Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Έλλειψη (γεωμετρία)

{{πηγές|21|02|2017}}
[[Αρχείο:Conicas1.PNG|μικρογραφία|δεξιά|250px|Μια έλλειψη ως τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο.]]
[[Αρχείο:Elipsegr.png|μικρογραφία|δεξιά|250px|Σχήμα έλλειψης με τα βασικά της στοιχεία:
<ul>
 <li><math>\rm E_1</math>, <math>\rm E_2</math>: εστίες έλλειψης
 <li><math>\rm B\Delta</math>: μεγάλος άξονας
 <li><math>\rm A\Gamma</math>: μικρός άξονας
 <li><math>\alpha</math>: μεγάλος ημιάξονας
 <li><math>\beta</math>: μικρός ημιάξονας
 <li><math>\gamma</math>: εστιακή απόσταση
 <li><math>\rm O</math>: το κέντρο έλλειψης (η τομή των δύο αξόνων ή το μέσον <math>\rm E_1E_2</math>).
</ul>]]

Η '''έλλειψη''' είναι η [[κωνική τομή]] που προκύπτει από την τομή ενός [[κώνος|κώνου]] με ένα [[επίπεδο]] που τον τέμνει πλαγίως ως προς τον άξονά του.

Ισοδύναμα μία έλλειψη μπορεί να οριστεί ως ο [[γεωμετρικός τόπος]] των σημείων που έχουν σταθερό άθροισμα [[Απόσταση (γεωμετρία)|αποστάσεων]] από δύο σταθερά σημεία <math>\rm E_1</math> και <math>\rm E_2</math>, τα οποία απκαλούνται οι '''εστίες''' της έλλειψης.

Ο [[κύκλος]] είναι η ειδική περίπτωση όπου το επίπεδο είναι [[καθετότητα|κάθετο]] στον άξονά του κώνου, ή αντίστοιχα οι εστίες <math>\rm E_1</math> και <math>\rm E_2</math> συμπίπτουν.

== Αυστηρός ορισμός ==

Έστω <math>\rm E_1</math>, <math>\rm E_2</math> δύο [[σημείο|σημεία]] σε ένα [[ευκλείδειο επίπεδο]] με [[Απόσταση (γεωμετρία)|απόσταση]] <math>{\rm E_1 E_2} = 2\gamma</math> μεταξύ τους και <math>\alpha>\gamma</math> ένας θετικός [[πραγματικός αριθμός|αριθμός]]. Έλλειψη ονομάζεται το [[σύνολο]] των [[σημείο|σημείων]] <math>\Sigma</math> [[επίπεδο|επιπέδου]] για τα οποία
:<math>{\rm \Sigma E_1} + {\rm \Sigma E_2} = 2\alpha</math>.

== Βασικές έννοιες ==
* Τα σημεία <math>\rm E_1, E_2</math> ονομάζονται '''εστίες''' της έλλειψης.
* Το [[μέσο (σημείο)|μέσο]] <math>\rm O</math>. του [[ευθύγραμμο τμήμα|ευθύγραμμου τμήματος]] <math>\rm E_1 E_2</math> ονομάζεται '''κέντρο''' της έλλειψης, και αποτελεί [[κέντρο συμμετρίας]] αυτής.
* Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει ως άκρα δύο διαφορετικά σημεία της έλλειψης και διέρχεται από το κέντρο αυτής ονομάζεται '''[[διάμετρος]]''' της έλλειψης.
* Μία έλλειψη (που δεν είναι κύκλος) έχει δύο [[άξονας συμμετρίας|άξονες συμμετρίας]], οι οποίοι είναι η μικρότερη και η μεγαλύτερη διάμετρός της. Αυτές ονομάζονται '''μικρός''' και '''μεγάλος άξονας''' αντίστοιχα. 
* Έστω <math>\gamma = {\rm E_1O} = {\rm E_2 O}</math> και <math>\alpha = {\rm \Delta O} = {\rm BO}</math>. Ο λόγος <math>\varepsilon = \tfrac{\gamma}{\alpha}</math> είναι η '''εκκεντρότητα''' ή εκκεντρότης της έλλειψης.
**Η εκκεντρότητα της έλλειψης, δηλώνει πόσο ''στενή'' 'η ''πλατιά'' είναι η έλλειψη. 
**Για <math>\varepsilon=0</math> έχουμε κύκλο, ενώ για <math>\varepsilon</math> κοντά στο <math>1</math> μία ''μακρόστενη'' έλλειψη.

== Ιδιότητες ==
* Ο μεγάλος άξονας της έλλειψης έχει μήκος <math>2\alpha</math>.
{{Μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
Έστω <math>\rm B\Delta</math> ο μεγάλος άξονας της έλλειψης. Τότε καθώς το <math>\rm B</math> είναι σημείο της έλλειψης έχουμε ότι
:<math>{\rm BE_1} + {\rm BE_2} = 2\alpha</math>.
Λόγω συμμετρίας έχουμε ότι <math>{\rm BE_2} = {\rm \Delta E_1}</math> και έτσι καταλήγουμε ότι 
:<math>{\rm B\Delta} = {\rm BE_1} + {\rm E_1 \Delta} = {\rm BE_1} + {\rm BE_2} = 2\alpha</math>.
}}
* Ο μικρός άξονας έχει μήκος <math>2\beta</math>, όπου <math>\beta^2=\alpha^2-\gamma^2</math>. 
{{Μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
Αυτό προκύπτει από το [[πυθαγόρειο θεώρημα]], αν θεωρήσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο <math>\rm E_1 AO</math> (βλ. σχήμα).
}}
* H εκκεντρότητα <math>\varepsilon</math> ικανοποιεί την ανισότητα <math>0 \leq \varepsilon \leq 1</math>.
== Εξισώσεις της έλλειψης ==

=== Κανονική μορφή  ===
Μία έλλειψη θεωρείται στην κανονική της μορφή, όταν το κέντρο της είναι στο <math>(0,0)</math> του συστήματος συντεταγμένων και οι άξονές της συμπίπτουν με τους άξονες <math>\rm xx'</math> και <math>\rm yy'</math>.

Σε [[καρτεσιανές συντεταγμένες]] η έλλειψη είναι το σύνολο των σημείων <math>(x, y)</math> που ικανοποιούν την εξίσωση
:<math>\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2}=1</math>
όπου <math>\,\beta^2=\alpha^2-\gamma^2</math>.

Οι [[παραμετρικές εξισώσεις]] της έλλειψης είανι
:<math>x=\alpha\cos t,\quad y=\beta\sin t</math>,
με παράμετρο το <math>t,\;0\leq t<2\pi</math>.

Η εξίσωση της έλλειψης σε [[πολικές συντεταγμένες]] είναι:
:<math>\rho=\frac{\alpha^2-\gamma^2}{\alpha-\gamma\cos\phi}</math>.

=== Γενική μορφή ===

Έστω μία κωνική τομή
:<math>ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0.</math>

Η καμπύλη αυτή είναι έλλειψη, αν <math>4ac-b^2>0</math>.
Για <math>b=0</math> έχουμε παράλληλη μετατόπιση, ενώ για <math>b\neq0</math> έχουμε και στροφή.

== Πολικές ευθείες της έλλειψης ==

Έστω μία έλλειψη (στην κανονική της μορφή) και ένα σημείο <math>{\rm P} =(p_1,p_2)\neq(0,0)</math> του επιπέδου. Η ευθεία με εξίσωση
:<math>\frac{p_1x}{\alpha^2} + \frac{p_2y}{\beta^2}=1</math>
ονομάζεται '''πολική ευθεία''' του <math>\rm P</math>. Το <math>\rm P</math> ονομάζεται '''πόλος''' της ευθείας.

* Αν το <math>\rm P</math> είναι ένα σημείο της έλλειψης, τότε η πολική του είναι η [[εφαπτομένη]] της έλλειψης στο <math>\rm P</math>.

* Έστω <math>\rm P</math> ένα εξωτερικό σημείο της έλλειψης. Τότε από αυτό διέρχονται δύο εφαπτομένες της έλλειψης. Η πολική ευθεία του <math>\rm P</math> είναι η ευθεία που συνδέει τα δυο σημεία επαφής της έλλειψης με τις εφαπτομένες αυτές.

* Έστω <math>\rm P</math> ένα εσωτερικό σημείο της έλλειψης διάφορο του κέντρου της. Τότε η πολική του ευθεία δεν τέμνει την έλλειψη.

Αντιστρόφως σε κάθε ευθεία του επιπέδου που δεν διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης αντιστοιχεί ένας πόλος.

== Ιδιότητες ==

=== Ανακλαστική ιδιότητα εστιών ===

Έστω ένα σημείο της έλλειψης <math>\rm P</math>. Φέρουμε την εφαπτόμενη σε αυτό το σημείο και την κάθετη αυτής. 
Η κάθετη [[διχοτόμος γωνίας|διχοτομεί]] την γωνία <math>\rm E_1PE_2</math>.
Αυτό έχει την εξής συνέπεια: 
Αν θεωρήσουμε την εστία <math>E_1</math> ως πηγή φωτεινής [[ακτινοβολία]]ς, τότε η [[φωτεινή ακτίνα]] που εκπέμπεται από την <math>\rm E_1</math> και αντανακλάται στην έλλειψη διέρχεται από την <math>\rm E_2</math>.

=== Ορθή προβολή κύκλου ===

Έστω ένας κύκλος με ακτίνα <math>\alpha</math> σε ένα επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο.
Θεωρούμε ένα δεύτερο επίπεδο που τέμνει το πρώτο με μία γωνία <math>\phi\in(0,2\pi)</math> και διέρχεται από το κέντρο του κύκλου.
Η [[ορθή προβολή]] του κύκλου στο δεύτερο επίπεδο αποτελεί έλλειψη με άξονες μήκους <math>2\alpha</math> και <math>2\alpha\cos\phi</math>.

Κάθε έλλειψη μπορεί να εκφραστεί ως ορθή προβολή κύκλου.

=== Συζυγείς διάμετροι ===

Έστω μία έλλειψη και ένας κύκλος του οποίου η ορθή προβολή είναι η έλλειψη αυτή.
Δύο διάμετροι της έλλειψης ονομάζονται συζυγείς, όταν αποτελούν ορθή προβολή δύο κάθετων διαμέτρων του κύκλου.

Μία διάμετρος έλλειψης διέρχεται από τα μέσα όλων των [[χορδή (γεωμετρία)|χορδών]] που είναι παράλληλες με τη συζυγή της.

== Χαρακτηριστικά μεγέθη ==

Το [[εμβαδό]] της έλλειψης ισούται με 
:<math>{\rm E} = \pi\alpha\beta</math>.
Η [[περίμετρος]] της έλλειψης ισούται με 
:<math>{\rm \Pi} = 4\alpha\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\sqrt {1 - \varepsilon^2 (\cos t)^2}} \ dt</math>.
Το ολοκλήρωμα που εμφανίζεται είναι ένα [[ελλειπτικό ολοκλήρωμα]] και δεν μπορεί να εκφραστεί με τη βοήθεια [[αρχική συνάρτηση|αρχικής συνάρτησης]].

== Δείτε επίσης ==
* [[Κύκλος]]
* [[Παραβολή (γεωμετρία)|Παραβολή]]
* [[Υπερβολή (γεωμετρία)|Υπερβολή]]

==Εξωτερικοί σύνδεσμοι==
* {{βικιλεξικό-σύντομο|έλλειψη}}
* {{commonscat2}}

{{Κωνικές τομές|state=expand}}
{{Γεωμετρικοί τόποι στην ευκλείδεια γεωμετρία|state=expand}}
{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Ελλειψη}}
[[Κατηγορία:Κωνικές τομές]]
[[Κατηγορία:Καμπύλες]]
[[Κατηγορία:Αλγεβρικές καμπύλες]]
[[Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία]]