Σχέση του Λάιμπνιτς

Τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με βαρύκεντρο $\mathrm{G}$ και ένα τυχόν σημείο $\mathrm{M}$ του επιπέδου.

Στην γεωμετρία, η σχέση του Λάιμπνιτς (αναφέρεται και ως σχέση του Leibniz) αναφέρεται στην σχέση μεταξύ των τετραγώνων των αποστάσεων ενός τυχόντος σημείου $\mathrm{M}$ από τις κορυφές ενός τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και το βαρύκεντρο $\mathrm{G}$ του τριγώνου. Πιο συγκεκριμένα,Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

$\begin{array}{cc}{\mathrm{M}\mathrm{A}}^2+{\mathrm{M}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{M}\mathrm{\Gamma }}^2& =3\cdot {\mathrm{M}\mathrm{G}}^2+{\mathrm{G}\mathrm{A}}^2+{\mathrm{G}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{G}\mathrm{\Gamma }}^2\\ & =3\cdot {\mathrm{M}\mathrm{G}}^2+\frac{1}{3}\cdot ({\mathrm{A}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}^2+{\mathrm{\Gamma }\mathrm{A}}^2).\end{array}$

Η σχέση παίρνει το όνομα της από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς.

Πορίσματα

Από την σχέση του Λάιμπνιτς προκύπτει ότι το βαρύκεντρο $\mathrm{G}$ του τριγώνου είναι το σημείο $\mathrm{M}$ του επιπέδου που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τις τρεις κορυφές του, δηλαδή την τιμή της συνάρτησης:

$f(\mathrm{M})={\mathrm{M}\mathrm{A}}^2+{\mathrm{M}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{M}\mathrm{\Gamma }}^2$.

Γενικεύσεις

Γενικά, σε ένα διανυσματικό χώρο σε κάθε πολύγωνο με κορυφές τα σημεία ${\mathrm{A}}_1,\dots ,{\mathrm{A}}_n$ και ένα τυχόν σημείο $\mathrm{M}$ του επιπέδου ισχύει ότι

${\mathrm{M}\mathrm{A}}_1^2+\dots +{\mathrm{M}\mathrm{A}}_n^2=n\cdot {\mathrm{M}\mathrm{G}}^2+{\mathrm{G}\mathrm{A}}_1^2+\dots +{\mathrm{G}\mathrm{A}}_n^2$,

όπου $\mathrm{G}=\frac{1}{n}\cdot ({\mathrm{A}}_1+\dots +{\mathrm{A}}_n)$.

Δείτε επίσης

• Πρώτο θεώρημα διαμέσων
• Θεώρημα Στιούαρτ
• Βαρύκεντρο τριγώνου