Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Αριθμός Φερμά

{{χωρίς παραπομπές|21|09|2015}}
{{infobox
| bodyclass  = vcard
| titleclass = fn org
| title      = Πρώτος Φερμά
| label1     = [[Υποσύνολο]] των
| data1      = Αριθμών Φερμά
| label2     = Ονομασία
| data2      = [[Πιερ ντε Φερμά]]
| label3     = Πλήθος γνωστών
| data3      = 5
| label4     = Εικάζεται πλήθος
| data4      = 5
| label5     = Αρχικοί αριθμοί
| data5      = [[3 (αριθμός)|3]], [[5 (αριθμός)|5]], [[17 (αριθμός)|17]], [[257 (αριθμός)|257]], [[65537 (αριθμός)|65537]]
| label6     = Μεγαλύτερος γνωστός
| data6      = 65537
| label7     = Σύνδεσμος [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]
| data7      = [https://oeis.org/A019434 A019434]
| below      = 
}}
Στα [[μαθηματικά]], '''αριθμός Φερμά''' είναι ένας [[φυσικός αριθμός]] της μορφής:

:<math>F_{n} = 2^{(2^n)} + 1</math>

όπου ''n'' είναι επίσης φυσικός αριθμός. Οι αριθμοί Φερμά πήραν το όνομά τους από τον [[Πιερ ντε Φερμά]], ο οποίος ήταν ο πρώτος που μελέτησε τους αριθμούς αυτούς. Οι αρχικοί αριθμοί Φερμά είναι:
: [[3 (αριθμός)|3]], [[5 (αριθμός)|5]], [[17 (αριθμός)|17]], [[257 (αριθμός)|257]], [[65537 (αριθμός)|65.537]], 4.294.967.297, 18.446.744.073.709.551.617, … {{OEIS|id=A000215}}.

Αν ο 2<sup>''k''</sup> + 1 είναι [[Πρώτος αριθμός|πρώτος]], και το ''k'' > 0, μπορεί να αποδειχθεί ότι ο ''k'' πρέπει να είναι δύναμη του δύο. (Αν ''k'' = ''ab'' όπου 1 ≤ ''a'', ''b'' ≤ ''k'' και ''b'' είναι [[Περιττός αριθμός|περιττός]], τότε 2<sup>''k''</sup> + 1 = (2<sup>''a''</sup>)<sup>''b''</sup> + 1 ≡ (&minus;1)<sup>''b''</sup> + 1 = 0 ('''mod''' 2<sup>''a''</sup> + 1). Βλέπε [[#Άλλα θεωρήματα σχετικά με τους αριθμούς Φερμά|κατωτέρω]] την πλήρη απόδειξη.) Με άλλα λόγια, κάθε πρώτος της μορφής 2<sup>''k''</sup> + 1 (εκτός του 2 = 2<sup>0</sup> + 1) είναι ένας αριθμός Φερμά και αντί του πρώτος ονομάζεται '''πρώτος Φερμά'''. Από το 2015, οι μόνοι γνωστοί πρώτοι αριθμοί Φερμά είναι οι ''F''<sub>0</sub>, ''F''<sub>1</sub>, ''F''<sub>2</sub>, ''F''<sub>3</sub> και ''F''<sub>4</sub> {{OEIS|id=A019434}}.

== Βασικές ιδιότητες ==
Οι αριθμοί Φερμά πληρούν τις ακόλουθες [[Αναδρομική σχέση|αναδρομικές σχέσεις]]:

:<math>
F_{n} = (F_{n-1}-1)^{2}+1\!</math>

για ''n'' ≥ 1,

:<math>
F_{n} = F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}F_{0} \cdots F_{n-2}\!</math>

:<math>
F_{n} = F_{n-1}^2 - 2(F_{n-2}-1)^2\!</math>

:<math>
F_{n} = F_{0} \cdots F_{n-1} + 2\!</math>

για ''n'' ≥ 2.

Κάθε μία από αυτές τις σχέσεις μπορεί να αποδειχθεί με [[μαθηματική επαγωγή]]. Από την τελευταία εξίσωση, μπορούμε να συμπεράνουμε το '''Θεώρημα του Γκόλντμπαχ''' (που πήρε το όνομά του από τον [[Κρίστιαν Γκόλντμπαχ]]), σύμφωνα με το οποίο δεν υπάρχουν δύο αριθμοί Φερμά που μοιράζονται έναν κοινό [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιο]] παράγοντα μεγαλύτερο από τον 1. Για να το δούμε αυτό, ας υποθέσουμε ότι 0 ≤ ''i'' < ''j'' ενώ οι ''F''<sub>''i''</sub> και ''F''<sub>''j''</sub> έχουν ένα κοινό παράγοντα ''a'' > 1. Τότε το ''a'' τους διαιρεί και τους δύο:

:<math>F_{0} \cdots F_{j-1}</math>

και ''F''<sub>''j''</sub>, ως εκ τούτου, ο ''a'' διαιρεί τη διαφορά τους, που είναι ίση με 2. Δεδομένου ότι το ''a'' > 1, πρέπει αναγκαστικά το ''a'' = 2 και αυτό είναι μια αντίφαση, διότι κάθε αριθμός Φερμά είναι σαφώς περιττός. Ως επιστέγασμα, παίρνουμε μια άλλη απόδειξη για το [[άπειρο]] πλήθος των πρώτων αριθμών, σύμφωνα με την οποία για κάθε ''F''<sub>''n''</sub>, επιλέγουμε έναν πρώτο παράγοντα ''p''<sub>''n''</sub>, και τότε η ακολουθία {''p''<sub>''n''</sub>} είναι μια [[Άπειρη σειρά|άπειρη ακολουθία]] διακριτών πρώτων αριθμών.

Περαιτέρω ιδιότητες:

* Ένας πρώτος Φερμά δεν μπορεί να εκφραστεί ως διαφορά δύο ''p''-οστών δυνάμεων, όταν ο ''p'' είναι πρώτος και περιττός.
* Με εξαίρεση τους ''F<sub>0</sub>'' και ''F<sub>1</sub>'', το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού Φερμά είναι 7.
* Το άθροισμα των αντίστροφων όλων των αριθμών Φερμά {{OEIS|id=A051158}} είναι [[άρρητος αριθμός]].<ref>Solomon W. Golomb (1963), σσ. 475–478</ref>
<!-- Προς μετάφραση:

==Primality of Fermat numbers==
Fermat numbers and Fermat primes were first studied by Pierre de Fermat, who [[conjecture]]d (but admitted he could not prove) that all Fermat numbers are prime. Indeed, the first five Fermat numbers ''F''<sub>0</sub>,...,''F''<sub>4</sub> are easily shown to be prime. However, this conjecture was refuted by [[Leonhard Euler]] in 1732 when he showed that

:<math> F_{5} = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \times 6700417. \; </math>

Euler proved that every factor of ''F''<sub>''n''</sub> must have the form ''k''2<sup>''n''+1</sup> + 1 (later improved to ''k''2<sup>''n''+2</sup> + 1 by [[Édouard Lucas|Lucas]]).

The fact that 641 is a factor of ''F''<sub>5</sub> can be easily deduced from the equalities 641&nbsp;=&nbsp;2<sup>7</sup>×5+1 and 641&nbsp;=&nbsp;2<sup>4</sup>&nbsp;+&nbsp;5<sup>4</sup>. It follows from the first equality that 2<sup>7</sup>×5&nbsp;≡&nbsp;−1&nbsp;(mod&nbsp;641) and therefore (raising to the fourth power) that 2<sup>28</sup>×5<sup>4</sup>&nbsp;≡&nbsp;1&nbsp;(mod&nbsp;641). On the other hand, the second equality implies that 5<sup>4</sup>&nbsp;≡&nbsp;−2<sup>4</sup>&nbsp;(mod&nbsp;641). These [[Modular arithmetic|congruences]] imply that −2<sup>32</sup>&nbsp;≡&nbsp;1&nbsp;(mod&nbsp;641).

Fermat was probably aware of the form of the factors later proved by Euler, so it seems curious why he failed to follow through on the straightforward calculation to find the factor.<ref>{{Harvnb|Křížek|Luca|Somer|2001|p=38, Remark 4.15}}</ref> One common explanation is that Fermat made a computational mistake.

There are no other known Fermat primes ''F''<sub>''n''</sub> with ''n'' > 4. However, little is known about Fermat numbers with large ''n''.<ref>Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/links/theory/special_forms/ "Prime Links++: special forms"] at The [[Prime Pages]].</ref> In fact, each of the following is an open problem:
*Is ''F''<sub>''n''</sub> [[composite number|composite]] for all ''n'' > 4?
*Are there infinitely many Fermat primes? ([[Gotthold Eisenstein|Eisenstein]] 1844)<ref>{{Harvnb|Ribenboim|1996|p=88}}.</ref>
*Are there infinitely many composite Fermat numbers?
*Does a Fermat number exist that is not [[square-free number|square-free]]?

{{As of|2014}}, it is known that ''F''<sub>''n''</sub> is composite for {{nowrap|5 ≤ ''n'' ≤ 32}}, although amongst these, complete factorizations of ''F''<sub>''n''</sub> are known only for {{nowrap|0 ≤ ''n'' ≤ 11}}, and there are no known prime factors for {{nowrap|1=''n'' = 20}} and {{nowrap|1=''n'' = 24}}.<ref name="Keller"/> The largest Fermat number known to be composite is ''F''<sub>3329780</sub>, and its prime factor {{nowrap|193 × 2<sup>3329782</sup> + 1}}, a [[megaprime]], was discovered by the [[PrimeGrid]] collaboration in July 2014.<ref name="Keller"/><ref name="PrimeGrid’s Mega Prime Search - 193*2^3329782+1">{{cite web|title=PrimeGrid’s Mega Prime Search – 193*2^3329782+1 (official announcement)|url=http://www.primegrid.com/download/mega-3329782.pdf|publisher=PrimeGrid|accessdate=7 August 2014}}</ref>

===Heuristic arguments for density===

There are several probabilistic arguments for estimating the number of Fermat primes. However these arguments give quite different estimates, depending on how much information about Fermat numbers one uses, and some predict no further Fermat primes while others predict infinitely many Fermat primes. 

The following [[heuristic argument]] suggests there are only finitely many Fermat primes: according to the [[prime number theorem]], the "[[probability]]" that a number ''n'' is prime is about 1/ln(''n''). Therefore, the total [[expected value|expected number]] of Fermat primes is at most

: <math>\begin{align}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\ln F_{n}} &= \frac{1}{\ln 2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\log_{2}(2^{2^{n}}+1)}\\ &< \frac{1}{\ln 2} \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n} \\ &= \frac{2}{\ln 2}.\end{align}</math>

This argument is not a rigorous [[mathematical proof|proof]]. For one thing, the argument assumes that Fermat numbers behave "[[randomness|randomly]]", yet we have already seen that the factors of Fermat numbers have special properties. For example, a similar argument applied to the numbers of the form 2<sup>''n''</sup>+1 suggests that infinitely many of them should be prime, which would mean that there are an infinite number of Fermat primes (though much the same argument applied to the numbers 2<sup>''n''</sup> suggests the ridiculous result that infinitely many of them should be prime, so such probability arguments should not be taken too seriously).

If (more sophisticatedly) we regard the ''conditional'' probability that ''n'' is prime, given that we know all its prime factors exceed ''B'', as at most ''A''ln(''B'')/ln(''n''), then using Euler's theorem that the least prime factor of ''F''<sub>''n''</sub> exceeds {{nowrap|2<sup>''n'' + 1</sup>}}, we would find instead

: <math>\begin{align}A \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\ln 2^{n+1}}{\ln F_{n}} &= A \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\log_2 2^{n+1}}{\log_{2}(2^{2^{n}}+1)} \\ &< 
A \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) 2^{-n} \\ &= 4A.\end{align}</math>

Although such arguments engender the belief that there are only finitely many Fermat primes, one can also produce arguments for the opposite conclusion. Suppose we regard the conditional probability that ''n'' is prime, given that we know all its prime factors are 1 modulo ''M'', as at least ''CM''/ln(''n''). Then using Euler's result that ''M''&nbsp;=&nbsp;2<sup>''n''&nbsp;+&nbsp;1</sup> we would find that the expected total number of Fermat primes was at least

: <math>\begin{align}C \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{\ln F_{n}} &= \frac{C}{\ln 2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{\log_{2}(2^{2^{n}}+1)} \\ &> \frac{C}{\ln 2} \sum_{n=0}^{\infty} 1 \\ &= \infty,\end{align}</math>

and indeed this argument predicts that an asymptotically ''constant fraction'' of Fermat numbers are prime.

===Equivalent conditions of primality===
{{main|Pépin's test}}

Let <math>F_n=2^{2^n}+1</math> be the ''n''th Fermat number. Pépin's test states that for ''n'' > 0,
:<math>F_n</math> is prime if and only if <math>3^{(F_n-1)/2}\equiv-1\pmod{F_n}.</math>
The expression <math>3^{(F_n-1)/2}</math> can be evaluated modulo <math>F_n</math> by [[exponentiation by squaring|repeated squaring]]. This makes the test a fast [[polynomial-time]] algorithm. However, Fermat numbers grow so rapidly that only a handful of Fermat numbers can be tested in a reasonable amount of time and space.

There some tests that can be used to test numbers of the form ''k''2<sup>''m''</sup> + 1, such as factors of Fermat numbers, for primality.
*'''[[Proth's theorem]]''' (1878)—Let ''N'' = ''k''2<sup>''m''</sup> + 1 with odd ''k'' < 2<sup>''m''</sup>. If there is an integer ''a'' such that

:: <math>a^{(N-1)/2} \equiv -1\pmod{N}\!</math>

:then ''N'' is prime. Conversely, if the above congruence does not hold, and in addition

:: <math>\left(\frac{a}{N}\right)=-1\!</math> (See [[Jacobi symbol]])

:then ''N'' is composite. If ''N'' = ''F''<sub>''n''</sub> > 3, then the above Jacobi symbol is always equal to &minus;1 for ''a'' = 3, and this special case of Proth's theorem is known as [[Pépin's test]]. Although Pépin's test and Proth's theorem have been implemented on computers to prove the compositeness of some Fermat numbers, neither test gives a specific nontrivial factor. In fact, no specific prime factors are known for ''n'' = 20 and 24.

==Factorization of Fermat numbers==
Because of the size of Fermat numbers, it is difficult to factorize or even to check primality. [[Pépin's test]] gives a necessary and sufficient condition for primality of Fermat numbers, and can be implemented by modern computers. The [[elliptic curve method]] is a fast method for finding small prime divisors of numbers. Distributed computing project ''Fermatsearch'' has successfully found some factors of Fermat numbers. Yves Gallot's proth.exe has been used to find factors of large Fermat numbers. [[Édouard Lucas]], improving the above-mentioned result by Euler, proved in 1878 that every factor of Fermat number <math>F_n</math>, with ''n'' at least 2, is of the form <math>k\times2^{n+2}+1</math> (see [[Proth number]]), where ''k'' is a positive integer. By itself, this makes it easy to prove the primality of the known Fermat primes.

Factorizations of the first twelve Fermat numbers are:

{|
|- valign="top"
|''F''<sub>0</sub> ||=|| 2<sup>1</sup>||+||1 ||=||[[3 (number)|3]] is prime||
|- valign="top"
|''F''<sub>1</sub> ||=|| 2<sup>2</sup>||+||1 ||=||[[5 (number)|5]] is prime||
|- valign="top"
|''F''<sub>2</sub> ||=|| 2<sup>4</sup>||+||1 ||=||[[17 (number)|17]] is prime||
|- valign="top"
|''F''<sub>3</sub> ||=|| 2<sup>8</sup>||+||1 ||=||[[257 (number)|257]] is prime||
|- valign="top"
|''F''<sub>4</sub> ||=|| 2<sup>16</sup>||+||1 ||=||[[65537 (number)|65,537]] is the largest known Fermat prime||
|- valign="top"
|''F''<sub>5</sub> ||=|| 2<sup>32</sup>||+||1 ||=||4,294,967,297||
|- style="background:white; color:#700000"
| || || || || ||=||641 &times; 6,700,417
|- valign="top"
|''F''<sub>6</sub> ||=|| 2<sup>64</sup>||+||1 ||=||18,446,744,073,709,551,617 (20 digits) ||
|- style="background:white; color:#700000"
| || || || || ||=||274,177 &times; 67,280,421,310,721 (14 digits)
|- valign="top"
|''F''<sub>7</sub> ||=|| 2<sup>128</sup>||+||1 ||=||340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457 (39 digits)||
|- style="background:white; color:#700000"
| || || || || ||=||59,649,589,127,497,217 (17 digits) &times; 5,704,689,200,685,129,054,721 (22 digits)
|- valign="top"
|''F''<sub>8</sub> ||=|| 2<sup>256</sup>||+||1 ||=||115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,<br />639,937 (78 digits)||
|- style="background:white; color:#700000; vertical-align:top"
| || || || || ||=||1,238,926,361,552,897 (16 digits) &times; <br />93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321 (62 digits)
|- valign="top"
|''F''<sub>9</sub> ||=|| 2<sup>512</sup>||+||1 ||=||13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,<br />030,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,<br />649,006,084,097 (155 digits)||
|- style="background:white; color:#700000; vertical-align:top"
| || || || || ||=|| 2,424,833 &times; 7,455,602,825,647,884,208,337,395,736,200,454,918,783,366,342,657 (49 digits) &times; <br />741,640,062,627,530,801,524,787,141,901,937,474,059,940,781,097,519,023,905,821,316,144,415,759,<br />504,705,008,092,818,711,693,940,737 (99 digits)
|- valign="top"
|''F''<sub>10</sub> ||=|| 2<sup>1024</sup>||+||1
||=||179,769,313,486,231,590,772,930,...,304,835,356,329,624,224,137,217 (309 digits)||
|- style="background:white; color:#700000; vertical-align:top"
| || || || || ||=||45,592,577 &times; 6,487,031,809 &times; 4,659,775,785,220,018,543,264,560,743,076,778,192,897 (40 digits) &times; <br />130,439,874,405,488,189,727,484,...,806,217,820,753,127,014,424,577 (252 digits)
|- valign="top"
|''F''<sub>11</sub> ||=|| 2<sup>2048</sup>||+||1
||=||323,170,060,713,110,073,007,148,...,193,555,853,611,059,596,230,657 (617 digits)||
|- style="background:white; color:#700000; vertical-align:top"
| || || || || ||=|| 319,489 &times; 974,849 &times; 167,988,556,341,760,475,137 (21 digits) &times; 3,560,841,906,445,833,920,513 (22 digits) &times; <br />173,462,447,179,147,555,430,258,...,491,382,441,723,306,598,834,177 (564 digits)
|-
|}

{{As of|2015}}, only ''F''<sub>0</sub> to ''F''<sub>11</sub> have been completely [[integer factorization|factored]].<ref name="Keller">{{Citation |first=Wilfrid |last=Keller |url=http://www.prothsearch.net/fermat.html#Summary |title=Prime Factors of Fermat Numbers |work=ProthSearch.net |date=February 7, 2012|accessdate=March 5, 2012}}</ref> The [[distributed computing]] project Fermat Search is searching for new factors of Fermat numbers.<ref>[http://www.fermatsearch.org/ FermatSearch.org]</ref> The set of all Fermat factors is [[OEIS:A050922|A050922]] (or, sorted, [[OEIS:A023394|A023394]]) in [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]].

The following factors of Fermat numbers were known before 1950 (since the 1950s digital computers have helped find more factors):

{| class="wikitable" border="1"
|-
! Year
! Finder
! Fermat number
! Factor
|-
| 1732
| [[Euler]]
| <math>F_5</math>
| <math>5 \cdot 2^7 + 1</math>
|-
| 1732
| Euler
| <math>F_5</math> (fully factored)
| <math>52347 \cdot 2^7 + 1</math>
|-
| 1855
| [[Thomas Clausen (mathematician)|Clausen]]
| <math>F_6</math>
| <math>1071 \cdot 2^8 + 1</math>
|-
| 1855
| Clausen
| <math>F_6</math> (fully factored)
| <math>262814145745 \cdot 2^8 + 1</math>
|-
| 1877
| [[Pervushin]]
| <math>F_{12}</math>
| <math>7 \cdot 2^{14} + 1</math>
|-
| 1878
| Pervushin
| <math>F_{23}</math>
| <math>5 \cdot 2^{25} + 1</math>
|-
| 1886
| [[Paul Peter Heinrich Seelhoff|Seelhoff]]
| <math>F_{36}</math>
| <math>5 \cdot 2^{39} + 1</math>
|-
| 1899
| [[Allan Joseph Champneys Cunningham|Cunningham]]
| <math>F_{11}</math>
| <math>39 \cdot 2^{13} + 1</math>
|-
| 1899
| Cunningham
| <math>F_{11}</math>
| <math>119 \cdot 2^{13} + 1</math>
|-
| 1903
| [[Alfred Western|Western]]
| <math>F_9</math>
| <math>37 \cdot 2^{16} + 1</math>
|-
| 1903
| Western
| <math>F_{12}</math>
| <math>397 \cdot 2^{16} + 1</math>
|-
| 1903
| Western
| <math>F_{12}</math>
| <math>973 \cdot 2^{16} + 1</math>
|-
| 1903
| Western
| <math>F_{18}</math>
| <math>13 \cdot 2^{20} + 1</math>
|-
| 1903
| [[James Cullen (mathematician)|Cullen]]
| <math>F_{38}</math>
| <math>3 \cdot 2^{41} + 1</math>
|-
| 1906
| [[James C. Morehead|Morehead]]
| <math>F_{73}</math>
| <math>5 \cdot 2^{75} + 1</math>
|-
| 1925
| [[Maurice Kraitchik|Kraitchik]]
| <math>F_{15}</math>
| <math>579 \cdot 2^{21} + 1</math>
|-
|}

{{as of|2015|4}}, 322 prime factors of Fermat numbers are known, and 280 Fermat numbers are known to be composite.<ref name="Keller" />
-->
{{Μετάφραση}}

== Ψευδοπρώτοι και αριθμοί Φερμά ==
Όπως και οι [[Σύνθετος αριθμός|σύνθετοι αριθμοί]] της μορφής 2<sup>''p''</sup> − 1, έτσι και ο κάθε σύνθετος αριθμός Φερμά είναι ένας [[ισχυρός ψευδοπρώτος]] με βάση το 2. Αυτό συμβαίνει επειδή όλοι οι ισχυροί ψευδοπρώτοι με βάση το 2 είναι και [[Ψευδοπρώτος|ψευδοπρώτοι]] Φερμά, δηλαδή:

:<math>2^{F_n-1} \equiv 1 \pmod{F_n}\,\!</math>

για όλους τους αριθμούς Φερμά.

Το 1964, ο Ρότκιεβιτς έδειξε ότι το γινόμενο τουλάχιστον δύο πρώτων αριθμών ή σύνθετων αριθμών Φερμά, θα είναι ένας ψευδοπρώτος Φερμά με βάση το 2.

== Εικασία του Σέλφριτζ ==
Ο Τζον Λ. Σέλφριτζ έκανε μια ενδιαφέρουσα εικασία. Έστω ότι ''g''(''n'') είναι το πλήθος των διακριτών πρώτων παραγόντων του {{nowrap|2<sup>2<sup>''n''</sup></sup> + 1}} {{OEIS|id=A046052}}. Τότε, η ''g''(''n'') δεν είναι μονότονη (μη φθίνουσα) και αν υπάρχει κάποιος ακόμα πρώτος Φερμά, η εικασία θα συνεπάγεται.<ref>''Prime Numbers: A Computational Perspective'', Richard Crandall and Carl Pomerance, Second edition, Springer, 2011 Look up ''Selfridge's Conjecture'' in the Index.</ref>

== Άλλα θεωρήματα σχετικά με τους αριθμούς Φερμά ==
'''Λήμμα: Αν ''n'' είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός, τότε'''

:<math>a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^kb^{n-1-k}.</math>

''Απόδειξη:''

:<math>(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}</math>

:<math>=\sum_{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-k}</math>

:<math>=a^n+\sum_{k=1}^{n-1}a^kb^{n-k}-\sum_{k=1}^{n-1}a^kb^{n-k}-b^n</math>

:<math>=a^n-b^n.</math>

'''Θεώρημα: Αν ο <math>2^k+1</math> είναι περιττός πρώτος, τότε ο <math>k</math> είναι δύναμη του 2.'''

''Απόδειξη:''

Αν <math>k</math> είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός αλλά όχι δύναμη του 2, τότε <math>k= rs</math> όπου
<math>1 \le r < k</math>, <math>1 <  s \le k</math> και οι r και s είναι [[σχετικά πρώτοι]]. Άνευ βλάβης της γενικότητας πρέπει ο <math>s</math> να είναι περιττός.

Σύμφωνα με το προηγούμενο λήμμα, για θετικό ακέραιο <math>m</math>,

:<math>(a-b) \mid (a^m-b^m)</math>

όπου το σύμβολο <math> \mid </math> σημαίνει μια «άρτια διαίρεση».

Αντικαθιστώντας <math>a = 2^r</math>, <math>b = -1</math> και <math>m = s</math> κάνοντας χρήση του <math> s </math> ως περιττό αριθμό,

:<math> (2^r+1) \mid (2^{rs}+1), </math>
και ετσι
:<math> (2^r+1) \mid (2^k+1). </math>

Δεδομένου του <math>1 < 2^r+1 < 2^k+1</math>, προκύπτει ότι ο <math>2^k+1</math> δεν είναι πρώτος. Ως εκ τούτου, με αντιδιαστολή ο <math>k</math> πρέπει να είναι δύναμη του 2.
<!-- Προς μετάφραση:

'''Θεώρημα: A Fermat prime cannot be a [[Wieferich prime]].'''

Proof: We show if <math>p=2^m+1</math> is a Fermat prime (and hence by the above, ''m'' is a power of 2), then the congruence <math>2^{p-1} \equiv 1 \pmod {p^2}</math>
does not hold.

It is easy to show
<math>2m |p-1</math>. Now write <math>p-1=2m\lambda</math>. If the given congruence holds, then <math>p^2|2^{2m\lambda}-1</math>, and therefore

:<math>0 \equiv (2^{2m\lambda}-1)/(2^m+1)=(2^m-1)(1+2^{2m}+2^{4m}+...+2^{2(\lambda-1)m}) \equiv -2\lambda \pmod {2^m+1}.\ </math>

Hence <math>2^m+1|2\lambda</math>,and therefore
<math>2\lambda \geq 2^m+1</math>. This leads to

<math>p-1 \geq m(2^m+1)</math>, which is impossible since <math>m \geq 2</math>.

'''A theorem of [[Édouard Lucas]]: Any prime divisor ''p'' of ''F''<sub>n</sub> = <math> 2^{2^{\overset{n}{}}}+1</math> is of the form <math>k2^{n+2}+1</math> whenever n is greater than one.'''

''Sketch of proof:''

Let ''G''<sub>''p''</sub> denote the group of non-zero elements of the integers (mod ''p'') under multiplication, which has order ''p-1''. Notice that ''2'' (strictly speaking, its image (mod ''p'')) has multiplicative order dividing <math>2^{n+1}</math> in ''G''<sub>''p''</sub> (since <math> 2^{2^{\overset{n+1}{}}}</math> is the square of <math> 2^{2^{\overset{n}{}}}</math> which is -1 mod ''F''<sub>n</sub>), so that, by [[Lagrange's theorem (group theory)|Lagrange's theorem]], ''p-1'' is divisible by <math>2^{n+1} </math> and ''p'' has the form <math>k2^{n+1}+1</math> for some integer ''k'',
as [[Euler]] knew. Édouard Lucas went further. Since ''n'' is greater than ''1'', the prime ''p'' above is congruent to 1 (mod ''8''). Hence (as was known to [[Carl Friedrich Gauss]]), ''2'' is a [[quadratic residue]] (mod ''p''), that is, there is integer ''a'' such that ''a''<sup>2</sup> -2 is divisible by ''p''. Then the image of ''a'' has order <math>2^{n+2}</math> in the group ''G''<sub>''p''</sub> and (using Lagrange's theorem again), ''p-1'' is divisible by <math>2^{n+2}</math>
and ''p'' has the form <math>s2^{n+2}+1</math> for some integer ''s''.

In fact, it can be seen directly that ''2'' is a quadratic residue (mod ''p''), since
<math>(1 +2^{2^{n-1}})^{2} \equiv  2^{1+2^{n-1}}</math> (mod ''p''). Since an
odd power of ''2'' is a quadratic residue (mod ''p''), so is ''2'' itself.
-->
{{Μετάφραση|#=Άλλα θεωρήματα σχετικά με τους αριθμούς Φερμά}}

== Σχέση με τα κατασκευάσιμα πολύγωνα ==
Ένα [[κανονικό πολύγωνο]] με ''n'' πλευρές μπορεί να [[Κατασκευάσιμο πολύγωνο|κατασκευαστεί]] με κανόνα και διαβήτη αν και μόνον αν ο ''n'' είναι γινόμενο μιας δύναμης του 2 ή διακριτός πρώτος Φερμά. Με άλλα λόγια, [[αν και μόνο αν]] ο ''n'' είναι της μορφής ''n'' = 2<sup>''k''</sup>''p''<sub>1</sub>''p''<sub>2</sub>…''p''<sub>''s''</sub>, όπου ο ''k'' είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός και οι ''p''<sub>''i''</sub> είναι διακριτοί πρώτοι Φερμά.

Ένας θετικός ακέραιος ''n'' είναι της παραπάνω μορφής αν και μόνον αν η [[συνάρτηση Όιλερ|τιμή]] φ(''n'') είναι δύναμη του 2.

== Εφαρμογές των αριθμών Φερμά ==

=== Δημιουργία ψευδοτυχαίων αριθμών ===
Οι πρώτοι Φερμά είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι στη δημιουργία ψευδοτυχαίων ακολουθιών αριθμών σε πεδία 1 ... ''Ν'', όπου το ''N'' είναι μία δύναμη του 2. Η πιο κοινή μέθοδος που χρησιμοποιείται είναι να λάβει οποιαδήποτε αρχική τιμή μεταξύ 1 και ''P''&nbsp;−&nbsp;1, όπου το ''P'' είναι ένας πρώτος Φερμά, και στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας τον με έναν αριθμό ''A'', ο οποίος είναι μεγαλύτερος από την τετραγωνική ρίζα του ''P'' και είναι μια [[Πρωτογενής ρίζα του υπολοίπου ενός αριθμού|πρωτογενής ρίζα του υπολοίπου]] του ''P'' (δηλαδή, δεν είναι [[υπόλοιπο τετραγώνου]]). Έτσι, παίρνουμε το αποτέλεσμα του υπολοίπου του ''P'', το οποίο είναι η επόμενη τιμή του αλγορίθμου για τη δημιουργία ψευδοτυχαίων αριθμών.
:<math>V_{j+1} = \left( A \times V_j \right) \bmod P</math>&nbsp; &nbsp;(βλ. [[Γραμμική συμβατική γεννήτρια]], [[RANDU]])

Αυτό είναι χρήσιμο στην επιστήμη των υπολογιστών δεδομένου ότι οι περισσότερες δομές δεδομένων έχουν μέλη με 2<sup>''X''</sup> δυνατές τιμές. Για παράδειγμα, ένα [[byte]] έχει 256 = 2<sup>8</sup> πιθανές τιμές (0–255). Ως εκ τούτου, για να γεμίσει ένα byte ή bytes με τυχαίες τιμές, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών που παράγει τιμές 1–256, και το byte θα λάβει τις αξίες αυτές −&nbsp;1. Για το λόγο αυτό, παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στην κρυπτογράφηση δεδομένων οι πολύ μεγάλοι πρώτοι αριθμοί Φερμά. Αυτή η μέθοδος παράγει μόνο ψευδοτυχαίες τιμές καθώς, μετά από ''P''&nbsp;−&nbsp;1 επαναλήψεις, η ακολουθία επαναλαμβάνεται. Μια κακή επιλογή πολλαπλασιαστή μπορεί να οδηγήσει στην επανάληψη της ακολουθίας νωρίτερα από τις ''P''&nbsp;−&nbsp;1 επαναλήψεις.

== Άλλα ενδιαφέροντα στοιχεία ==
Ένας αριθμός Φερμά δεν μπορεί να είναι [[τέλειος αριθμός]] ή μέρος ενός ζεύγους [[Φιλικός αριθμός|φιλικών αριθμών]].<ref>Luca (2000), σελ. 171–173</ref>

Η σειρά των αντίστροφων από όλους τους πρώτους διαιρέτες των αριθμών Φερμά είναι [[Συγκλίνουσα σειρά|συγκλίνουσα]].<ref>Křížek-Luca-Somer (2002), σελ. 95–112</ref>

Αν ''n''<sup>''n''</sup> + 1 είναι πρώτος, τότε υπάρχει ακέραιος ''m'' τέτοιος ώστε ''n''&nbsp;=&nbsp;2<sup>2<sup><big>''m''</big></sup></sup>, και τότε ισχύει η εξίσωση ''n''<sup>''n''</sup>&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;= ''F''<sub>(2<sup><big>''m''</big></sup>+''m'')</sub>.<ref>Jeppe Stig Nielsen, [http://jeppesn.dk/nton.html "S(n) = n^n + 1"]</ref>

Έστω ότι ο μεγαλύτερος πρώτος παράγοντας του αριθμού Φερμά ''F''<sub>''n''</sub> είναι ο ''P''(''F''<sub>''n''</sub>). Τότε ισχύει ''P''(''F''<sub>''n''</sub>)&nbsp;≥ 2<sup>n+2</sup>(4n&nbsp;+&nbsp;9)&nbsp;+&nbsp;1.<ref>Grytczuk / Luca / Wójtowicz (2001), σελ. 111–115</ref>

== Γενικευμένοι αριθμοί Φερμά ==
Οι αριθμοί της μορφής ''a''<sup>2<sup>''n''</sup></sup> + ''b''<sup>2<sup>''n''</sup></sup> όπου ''a'', ''b'' είναι [[σχετικά πρώτοι]] ακέραιοι και ''a'' > ''b'' > 0, ονομάζονται '''γενικευμένοι αριθμοί Φερμά'''. Ένας περιττός πρώτος ''p'' είναι ένας γενικευμένος αριθμός Φερμά αν και μόνο αν ο ''p'' είναι σύμφωνος στο [[Πυθαγόρειος πρώτος|1 (mod 4)]], εδώ θεωρούμε ότι το ''n'' > 0, για να μην είναι αντιπαράδειγμα το 3 = ''2''<sup>2<sup>0</sup></sup> + 1.

Κατ' αναλογία με τους απλούς αριθμούς Φερμά, είναι σύνηθες να γράψουμε τους γενικευμένους αριθμούς Φερμά της μορφής ''a''<sup>2<sup>''n''</sup></sup> + 1 ως ''F<sub>n</sub>''(''a''). Για παράδειγμα, με αυτή τη σημειογραφία ο αριθμός 100000001 θα γράφονταν ως ''F''<sub>3</sub>(10). Ακολούθως θα πρέπει να περιοριστούμε σε πρώτους της μορφής ''a''<sup>2<sup>''n''</sup></sup> + 1.

Εάν απαιτήται το ''n'' > 0, τότε το [[προβλήματα του Λαντάου|τέταρτο πρόβλημα Λαντάου]] ρωτά εάν υπάρχουν απείρως πολλοί γενικευμένοι πρώτοι Φερμά ''F<sub>n</sub>''(''a'').

=== Γενικευμένοι πρώτοι Φερμά ===
Λόγω της ευκολίας στην απόδειξη του ότι είναι πρώτοι, οι '''γενικευμένοι πρώτοι Φερμά''' έχουν γίνει τα τελευταία χρόνια ένα καυτό θέμα έρευνας στον κλάδο της [[Θεωρία αριθμών|θεωρίας αριθμών]]. Πολλοί από τους μεγαλύτερους γνωστούς πρώτους σήμερα είναι γενικευμένοι πρώτοι Φερμά.

Οι γενικευμένοι αριθμοί Φερμά μπορεί να είναι πρώτοι μόνο για [[Άρτιοι και περιττοί αριθμοί|άρτιο]] ''a'', διότι αν ο ''a'' είναι περιττός τότε κάθε γενικευμένος αριθμός Φερμά θα διαιρείται με το 2. Ο μικρότερος πρώτος αριθμός ''F<sub>n</sub>''(''a'') όπου ''n'' > 4 είναι ο ''F<sub>5</sub>''(''30''), ή 30<sup>32</sup>+1. Εκτός αυτού, μπορούμε να ορίσουμε και «ημιγενικευμένους αριθμούς Φερμά» σε μια περιττή βάση, ένας ημιγενικευμένος αριθμός Φερμά με βάση τον περιττό ''a'' είναι της μορφής {{nowrap|(''a''<sup>2<sup>''n''</sup></sup> + 1) / 2}}, επίσης θα πρέπει να υπάρχει πεπερασμένο πλήθος ημιγενικευμένων πρώτων Φερμά για κάθε περιττή βάση.

Στην παρακάτω λίστα, οι γενικευμένοι αριθμοί Φερμά ''F<sub>n</sub>''(''a''), για άρτιο ''a'' είναι {{nowrap|''a''<sup>2<sup>''n''</sup></sup> + 1}}, για περιττό ''a'', είναι {{nowrap|(''a''<sup>2<sup>''n''</sup></sup> + 1) / 2}}. Εάν ο ''a'' είναι μια τέλεια δύναμη με περιττό εκθέτη {{OEIS|id=A070265}}, τότε όλοι οι γενικευμένοι αριθμοί Φερμά μπορεί να είναι πεπερασμένοι αλγεβρικά και έτσι δεν μπορεί να είναι πρώτοι. Για τον μικρότερο αριθμό ''n'' τέτοιο ώστε ο ''F<sub>n</sub>''(''a'') να είναι πρώτος, βλ. {{OEIS|id=A253242}}.

{|class="wikitable"
|'''''a'''''
|Αριθμοί '''''n''''' τέτοιοι ώστε ο '''''F<sub>n</sub>''(''a'')''' να είναι πρώτος
|'''''a'''''
|Αριθμοί '''''n''''' τέτοιοι ώστε ο '''''F<sub>n</sub>''(''a'')''' να είναι πρώτος
|'''''a'''''
|Αριθμοί '''''n''''' τέτοιοι ώστε ο '''''F<sub>n</sub>''(''a'')''' να είναι πρώτος
|'''''a'''''
|Αριθμοί '''''n''''' τέτοιοι ώστε ο '''''F<sub>n</sub>''(''a'')''' να είναι πρώτος
|-
|2
|0, 1, 2, 3, 4, ...
|18
|0, ...
|34
|2, ...
|50
|...
|-
|3
|0, 1, 2, 4, 5, 6, ...
|19
|1, ...
|35
|1, 2, 6, ...
|51
|1, 3, 6, ...
|-
|4
|0, 1, 2, 3, ...
|20
|1, 2, ...
|36
|0, 1, ...
|52
|0, ...
|-
|5
|0, 1, 2, ...
|21
|0, 2, 5, ...
|37
|0, ...
|53
|3, ...
|-
|6
|0, 1, 2, ...
|22
|0, ...
|38
|...
|54
|1, 2, 5, ...
|-
|7
|2, ...
|23
|2, ...
|39
|1, 2, ...
|55
|...
|-
|8
|(κανείς)
|24
|1, 2, ...
|40
|0, 1, ...
|56
|1, 2, ...
|-
|9
|0, 1, 3, 4, 5, ...
|25
|0, 1, ...
|41
|4, ...
|57
|0, 2, ...
|-
|10
|0, 1, ...
|26
|1, ...
|42
|0, ...
|58
|0, ...
|-
|11
|1, 2, ...
|27
|(κανείς)
|43
|3, ...
|59
|1, ...
|-
|12
|0, ...
|28
|0, 2, ...
|44
|4, ...
|60
|0, ...
|-
|13
|0, 2, 3, ...
|29
|1, 2, 4, ...
|45
|0, 1, ...
|61
|0, 1, 2, ...
|-
|14
|1, ...
|30
|0, 5, ...
|46
|0, 2, 9, ...
|62
|...
|-
|15
|1, ...
|31
|...
|47
|3, ...
|63
|...
|-
|16
|0, 1, 2, ...
|32
|(κανείς)
|48
|2, ...
|64
|(κανείς)
|-
|17
|2, ...
|33
|0, 3, ...
|49
|1, ...
|65
|1, 2, 5, ...
|}

Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με άρτιες βάσεις έως το 1000, βλέπε ''jeppesn.dk'',<ref>[http://jeppesn.dk/generalized-fermat.html Generalized Fermat primes for bases up to 1000]</ref> έως το 1030, βλέπε ''noprimeleftbehind.net''.<ref>[http://www.noprimeleftbehind.net/crus/GFN-primes.htm Generalized Fermat primes for bases up to 1030]</ref>

Για τον μικρότερο πρώτο της μορφής ''F<sub>n</sub>''(''a'',&nbsp;''b''), όπου ο ''a''&nbsp;+&nbsp;''b'' είναι περττός, βλέπε την {{OEIS|id=A111635}}.

{|class="wikitable"
|'''''a'''''
|'''''b'''''
|Αριθμοί '''''n''''' τέτοιοι ώστε ο <math>F_n(a,b) = \frac{a^{2^n}+b^{2^n}}{gcd(a+b,2)}</math> να είναι πρώτος
|-
|2
|1
|0, 1, 2, 3, 4, ...
|-
|3
|1
|0, 1, 2, 4, 5, 6, ...
|-
|3
|2
|0, 1, 2, ...
|-
|4
|1
|0, 1, 2, 3, ...
|-
|4
|3
|0, 2, 4, ...
|-
|5
|1
|0, 1, 2, ...
|-
|5
|2
|0, 1, 2, ...
|-
|5
|3
|1, 2, 3, ...
|-
|5
|4
|1, 2, ...
|-
|6
|1
|0, 1, 2, ...
|-
|6
|5
|0, 1, 3, 4, ...
|-
|7
|1
|2, ...
|-
|7
|2
|1, 2, ...
|-
|7
|3
|0, 1, 8, ...
|-
|7
|4
|0, 2, ...
|-
|7
|5
|1, 4, ...
|-
|7
|6
|0, 2, 4, ...
|-
|8
|1
|(κανείς)
|-
|8
|3
|0, 1, 2, ...
|-
|8
|5
|0, 1, 2, ...
|-
|8
|7
|1, 4, ...
|-
|9
|1
|0, 1, 3, 4, 5, ...
|-
|9
|2
|0, 2, ...
|-
|9
|4
|0, 1, ...
|-
|9
|5
|0, 1, 2, ...
|-
|9
|7
|2, ...
|-
|9
|8
|0, 2, 5, ...
|-
|10
|1
|0, 1, ...
|-
|10
|3
|0, 1, 3, ...
|-
|10
|7
|0, 1, 2, ...
|-
|10
|9
|0, 1, 2, ...
|-
|11
|1
|1, 2, ...
|-
|11
|2
|0, 2, ...
|-
|11
|3
|0, 3, ...
|-
|11
|4
|1, 2, ...
|-
|11
|5
|1, ...
|-
|11
|6
|0, 1, 2, ...
|-
|11
|7
|2, 4, 5, ...
|-
|11
|8
|0, 6, ...
|-
|11
|9
|1, 2, ...
|-
|11
|10
|5, ...
|-
|12
|1
|0, ...
|-
|12
|5
|0, 4, ...
|-
|12
|7
|0, 1, 3, ...
|-
|12
|11
|0, ...
|-
|13
|1
|0, 2, 3, ...
|-
|13
|2
|1, 3, 9, ...
|-
|13
|3
|1, 2, ...
|-
|13
|4
|0, 2, ...
|-
|13
|5
|1, 2, 4, ...
|-
|13
|6
|0, 6, ...
|-
|13
|7
|1, ...
|-
|13
|8
|1, 3, 4, ...
|-
|13
|9
|0, 3, ...
|-
|13
|10
|0, 1, 2, 4, ...
|-
|13
|11
|2, ...
|-
|13
|12
|1, 2, 5, ...
|-
|14
|1
|1, ...
|-
|14
|3
|0, 3, ...
|-
|14
|5
|0, 2, 4, 8, ...
|-
|14
|9
|0, 1, 8, ...
|-
|14
|11
|1, ...
|-
|14
|13
|2, ...
|-
|15
|1
|1, ...
|-
|15
|2
|0, 1, ...
|-
|15
|4
|0, 1, ...
|-
|15
|7
|0, 1, 2, ...
|-
|15
|8
|0, 2, 3, ...
|-
|15
|11
|0, 1, 2, ...
|-
|15
|13
|1, 4, ...
|-
|15
|14
|0, 1, 2, 4, ...
|-
|16
|1
|0, 1, 2, ...
|-
|16
|3
|0, 2, 8, ...
|-
|16
|5
|1, 2, ...
|-
|16
|7
|0, 6, ...
|-
|16
|9
|1, 3, ...
|-
|16
|11
|2, 4, ...
|-
|16
|13
|0, 3, ...
|-
|16
|15
|0, ...
|}

Για τη μικρότερη άρτια βάση του ''a'' τέτοιον ώστε ο ''F<sub>n</sub>''(''a'') να είναι πρώτος, βλέπε την {{OEIS|id=A056993}}.

{|class="wikitable"
|'''''n'''''
|Βάσεις με '''''a''''' τέτοιον ώστε ο '''''F<sub>n</sub>''(''a'')''' να είναι πρώτος (εξετάζονται μόνο οι άρτιοι '''''a''''')
|Ακολουθία [[OEIS]]
|-
|0
|2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, ...
|[[OEIS:A006093|A006093]]
|-
|1
|2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, 40, 54, 56, 66, 74, 84, 90, 94, 110, 116, 120, 124, 126, 130, 134, 146, 150, 156, 160, 170, 176, 180, 184, ...
|[[OEIS:A005574|A005574]]
|-
|2
|2, 4, 6, 16, 20, 24, 28, 34, 46, 48, 54, 56, 74, 80, 82, 88, 90, 106, 118, 132, 140, 142, 154, 160, 164, 174, 180, 194, 198, 204, 210, 220, 228, ...
|[[OEIS:A000068|A000068]]
|-
|3
|2, 4, 118, 132, 140, 152, 208, 240, 242, 288, 290, 306, 378, 392, 426, 434, 442, 508, 510, 540, 542, 562, 596, 610, 664, 680, 682, 732, 782, ...
|[[OEIS:A006314|A006314]]
|-
|4
|2, 44, 74, 76, 94, 156, 158, 176, 188, 198, 248, 288, 306, 318, 330, 348, 370, 382, 396, 452, 456, 470, 474, 476, 478, 560, 568, 598, 642, ...
|[[OEIS:A006313|A006313]]
|-
|5
|30, 54, 96, 112, 114, 132, 156, 332, 342, 360, 376, 428, 430, 432, 448, 562, 588, 726, 738, 804, 850, 884, 1068, 1142, 1198, 1306, 1540, 1568, ...
|[[OEIS:A006315|A006315]]
|-
|6
|102, 162, 274, 300, 412, 562, 592, 728, 1084, 1094, 1108, 1120, 1200, 1558, 1566, 1630, 1804, 1876, 2094, 2162, 2164, 2238, 2336, 2388, ...
|[[OEIS:A006316|A006316]]
|-
|7
|120, 190, 234, 506, 532, 548, 960, 1738, 1786, 2884, 3000, 3420, 3476, 3658, 4258, 5788, 6080, 6562, 6750, 7692, 8296, 9108, 9356, 9582, ...
|[[OEIS:A056994|A056994]]
|-
|8
|278, 614, 892, 898, 1348, 1494, 1574, 1938, 2116, 2122, 2278, 2762, 3434, 4094, 4204, 4728, 5712, 5744, 6066, 6508, 6930, 7022, 7332, ...
|[[OEIS:A056995|A056995]]
|-
|9
|46, 1036, 1318, 1342, 2472, 2926, 3154, 3878, 4386, 4464, 4474, 4482, 4616, 4688, 5374, 5698, 5716, 5770, 6268, 6386, 6682, 7388, 7992, ...
|[[OEIS:A057465|A057465]]
|-
|10
|824, 1476, 1632, 2462, 2484, 2520, 3064, 3402, 3820, 4026, 6640, 7026, 7158, 9070, 12202, 12548, 12994, 13042, 15358, 17646, 17670, ...
|[[OEIS:A057002|A057002]]
|-
|11
|150, 2558, 4650, 4772, 11272, 13236, 15048, 23302, 26946, 29504, 31614, 33308, 35054, 36702, 37062, 39020, 39056, 43738, 44174, 45654, ...
|[[OEIS:A088361|A088361]]
|-
|12
|1534, 7316, 17582, 18224, 28234, 34954, 41336, 48824, 51558, 51914, 57394, 61686, 62060, 89762, 96632, 98242, 100540, 101578, 109696, ...
|[[OEIS:A088362|A088362]]
|-
|13
|30406, 71852, 85654, 111850, 126308, 134492, 144642, 147942, 150152, 165894, 176206, 180924, 201170, 212724, 222764, 225174, 241600, ...
|[[OEIS:A226528|A226528]]
|-
|14
|67234, 101830, 114024, 133858, 162192, 165306, 210714, 216968, 229310, 232798, 422666, 426690, 449732, 462470, 468144, 498904, 506664, ...
|[[OEIS:A226529|A226529]]
|-
|15
|70906, 167176, 204462, 249830, 321164, 330716, 332554, 429370, 499310, 524552, 553602, 743788, 825324, 831648, 855124, 999236, 1041870, ...
|[[OEIS:A226530|A226530]]
|-
|16
|48594, 108368, 141146, 189590, 255694, 291726, 292550, 357868, 440846, 544118, 549868, 671600, 843832, 857678, 1024390, 1057476, 1087540, ...
|[[OEIS:A251597|A251597]]
|-
|17
|62722, 130816, 228188, 386892, 572186, 689186, 909548, 1063730, 1176694, 1361244, 1372930, ...
|[[OEIS:A253854|A253854]]
|-
|18
|24518, 40734, 145310, 361658, 525094, 676754, 773620, ...
|[[OEIS:A244150|A244150]]
|-
|19
|75898, 341112, 356926, 475856, ...
|[[OEIS:A243959|A243959]]
|}

Η μικρότερη βάση ''b'' τέτοια ώστε ο ''b''<sup>2<sup>''n''</sup></sup> + 1 να είναι πρώτος, δίνει:
:2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, ... {{OEIS|id=A056993}}

Ο μικρότερος ''k'' τέτοιος ώστε ο (2''n'')<sup>''k''</sup> + 1 να είναι πρώτος, δίνει:
:1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 4, 1, ... (ο επόμενος όρος δεν είναι γνωστός), βλέπε την {{OEIS|id=A079706}}, επίσης την {{OEIS|id=A228101}} και την {{OEIS|id=A084712}}.

Μια πιο εμπεριστατωμένη θεωρία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προβλεφθεί ο αριθμός των βάσεων για τις οποίες ο ''F<sub>n</sub>''(''a'') θα είναι πρώτος για πεπερασμένο αριθμό ''n''. Ο αριθμός των γενικευμένων πρώτων αριθμών Φερμά χονδρικά αναμένεται να μειωθεί στο ήμισυ όταν ο ''n'' αυξηθεί κατά 1.

=== Οι μεγαλύτεροι γνωστοί γενικευμένοι πρώτοι Φερμά ===
Η παρακάτω λίστα περιέχει τους 10 μεγαλύτερους γνωστούς γενικευμένους πρώτους αριθμούς Φερμά,<ref name="Top Twenty's Generalized Fermat Primes">{{cite web |last=Caldwell |first=Chris K. |title=The Top Twenty: Generalized Fermat |publisher=The Prime Pages |url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=12 |accessdate=6 Φεβρουαρίου 2015}}</ref> οι οποίοι είναι όλοι μεγάλοι πρώτοι. Ανακαλύφθηκαν όλοι από τους συμμετέχοντες στην έρευνα του ''PrimeGrid'' και ισχύουν ως σήμερα.<ref>Ο τελευταίος έλεγχος έγινε τον Σεπτέμβριου του 2015.</ref>

{| class="wikitable" border="1" style="text-align: right;"
|-
! Θέση
! Θέση πρώτων<ref>{{cite web |last=Caldwell |first=Chris K. |title=The Top Twenty: Generalized Fermat (Top Ten) |publisher=The Prime Pages |url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=12?Number=10&Comment=Generalized%20Fermat |accessdate=6 Φεβρουαρίου 2015}}</ref>
! Πρώτος αριθμός
! Γενικευμένος Φερμά
! Ψηφία
! Ανακάλυψη
! Πηγή
|-
| 1 ||align="center"| 16 || 475856<sup>524288</sup>&nbsp;+&nbsp;1 ||align="center"| ''F<sub>19</sub>''(475856)
| 2,976,633
| 8 Αυγούστου 2012
| <ref name="PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search - 475856^524288+1">{{cite web |title=PrimeGrid’s Generalized Fermat Prime Search - 475856^524288+1 |publisher=Primegrid |url=http://www.primegrid.com/download/GFN-475856_524288.pdf |accessdate=21 Αυγούστου 2012}}</ref>
|-
| 2 ||align="center"| 17 || 356926<sup>524288</sup>&nbsp;+&nbsp;1 ||align="center"| ''F<sub>19</sub>''(356926)
| 2,911,151
| 20 Ιουνίου 2012
|<ref name="PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search - 356926^524288+1">{{cite web |title=PrimeGrid’s Generalized Fermat Prime Search - 356926^524288+1 |publisher=Primegrid |url=http://www.primegrid.com/download/GFN-356926_524288.pdf |accessdate=30 Ιουλίου 2012}}</ref>
|-
| 3 ||align="center"| 18 || 341112<sup>524288</sup>&nbsp;+&nbsp;1 ||align="center"| ''F<sub>19</sub>''(341112)
| 2,900,832
| 15 Ιουνίου 2012
|<ref name="PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search - 341112^524288+1">{{cite web |title=PrimeGrid’s Generalized Fermat Prime Search - 341112^524288+1 |publisher=Primegrid |url=http://www.primegrid.com/download/GFN-341112_524288.pdf |accessdate=9 Ιουλίου 2012}}</ref>
|-
| 4 ||align="center"| 21 || 75898<sup>524288</sup>&nbsp;+&nbsp;1 ||align="center"| ''F<sub>19</sub>''(75898)
| 2,558,647
| 19 Νοεμβρίου 2011
| <ref name="PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search - 75898^524288+1">{{cite web |title=PrimeGrid’s Generalized Fermat Prime Search - 75898^524288+1 |publisher=Primegrid |url=http://www.primegrid.com/download/gfn-75898_524288.pdf |accessdate=9 Ιουλίου 2012}}</ref>
|-
| 5 ||align="center"| 42 || 773620<sup>262144</sup>&nbsp;+&nbsp;1 ||align="center"| ''F<sub>18</sub>''(773620)
| 1,543,643
| 19 Απριλίου 2012
| <ref name="PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search - 773620^262144+1">{{cite web |title=PrimeGrid’s Generalized Fermat Prime Search - 773620^262144+1 |publisher=Primegrid |url=http://www.primegrid.com/download/gfn-773620_262144.pdf |accessdate=9 Ιουλίου 2012}}</ref>
|-
| 6 ||align="center"| 45 || 676754<sup>262144</sup>&nbsp;+&nbsp;1 ||align="center"| ''F<sub>18</sub>''(676754)
| 1,528,413
| 12 Φεβρουαρίου 2012
| <ref name="PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search - 676754^262144+1">{{cite web |title=PrimeGrid’s Generalized Fermat Prime Search - 676754^262144+1 |publisher=Primegrid |url=http://www.primegrid.com/download/gfn-676754_262144.pdf |accessdate=9 Ιουλίου 2012}}</ref>
|-
| 7 ||align="center"| 48 || 525094<sup>262144</sup>&nbsp;+&nbsp;1 ||align="center"| ''F<sub>18</sub>''(525094)
| 1,499,526
| 18 Ιανουαρίου 2012
| <ref name="PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search - 525094^262144+1">{{cite web |title=PrimeGrid’s Generalized Fermat Prime Search - 525094^262144+1 |publisher=Primegrid |url=http://www.primegrid.com/download/gfn-525094_262144.pdf |accessdate=9 Ιουλίου 2012}}</ref>
|-
| 8 ||align="center"| 52 || 361658<sup>262144</sup>&nbsp;+&nbsp;1 ||align="center"| ''F<sub>18</sub>''(361658)
| 1,457,075
| 29 Οκτωβρίου 2011
| <ref name="PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search - 361658^262144+1">{{cite web |title=PrimeGrid’s Generalized Fermat Prime Search - 361658^262144+1 |publisher=Primegrid |url=http://www.primegrid.com/download/gfn-361658_262144.pdf |accessdate=9 Ιουλίου 2012}}</ref>
|-
| 9 ||align="center"| 62 || 145310<sup>262144</sup>&nbsp;+&nbsp;1 ||align="center"| ''F<sub>18</sub>''(145310)
| 1,353,265
| 8 Φεβρουαρίου 2011
| <ref name="PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search - 145310^262144+1">{{cite web |title=PrimeGrid’s Generalized Fermat Prime Search - 145310^262144+1 |publisher=Primegrid |url=http://www.primegrid.com/download/gfn-145310_262144.pdf |accessdate=9 Ιουλίου 2012}}</ref>
|-
| 10 ||align="center"| 74 || 40734<sup>262144</sup>&nbsp;+&nbsp;1 ||align="center"| ''F<sub>18</sub>''(40734)
| 1,208,473
| 8 Μαρτίου 2011
| <ref name="PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search - 40734^262144+1">{{cite web |title=PrimeGrid’s Generalized Fermat Prime Search - 40734^262144+1 |publisher=Primegrid |url=http://www.primegrid.com/download/gfn-40734_262144.pdf |accessdate=9 Ιουλίου 2012}}</ref>
|-
|}

== Παραπομπές ==
<references />

=== Βιβλιογραφία ===
*{{Citation |last=Golomb |first=Solomon W. |date=January 1, 1963 |title=On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities |journal=Canadian Journal of Mathematics |volume=15 |issue= |publisher=Canadian Mathematical Society |pages=475–478 |doi=10.4153/CJM-1963-051-0 |format=PDF |issn=0008-414X |url=http://cms.math.ca/10.4153/CJM-1963-051-0 |accessdate=2015-09-08 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160816204352/http://cms.math.ca/10.4153/CJM-1963-051-0 |archivedate=2016-08-16 |url-status=dead }}
*{{Citation |last=Grytczuk |first=A. |last2=Luca |first2=F. |last3=Wójtowicz |first3=M. |lastauthoramp=yes |year=2001 |title=Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers |journal=Southeast Asian Bulletin of Mathematics |volume=25 |issue=1 |publisher=Springer-Verlag |pages=111–115 |doi=10.1007/s10012-001-0111-4 |issn=0129-2021 |url=http://link.springer.com/article/10.1007/s10012-001-0111-4}}
*{{citation |last=Guy |first=Richard K. |title=Unsolved Problems in Number Theory |year=2004 |edition=3η |publisher=Springer Verlag |series=Problem Books in Mathematics |volume=1 |location=New York |isbn=0-387-20860-7 |pages=A3, A12, B21 |url=http://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-20860-2?otherVersion=978-0-387-26677-0}}
*{{citation |last=Křížek |first=Michal |last2=Luca |first2=Florian |last3=Somer |first3=Lawrence |lastauthoramp=yes |chapter= |title=17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry |year=2001 |series=CMS books in mathematics |volume=10 |publisher=Springer |location=New York |isbn=0-387-95332-9 |pages= |url=http://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-95332-8}} - This book contains an extensive list of references.
*{{Citation |last=Křížek |first=Michal |last2=Luca |first2=Florian |last3=Somer |first3=Lawrence |lastauthoramp=yes |year=2002 |title=On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers |journal=Journal of Number Theory |volume=97 |issue=1 |publisher=Elsevier |pages=95–112 |doi=10.1006/jnth.2002.2782 |format=PDF |issn=0022-314X |url=http://www.sciencedirect.com/science/journal/0022314X/97/1}}
*{{Citation |last=Luca |first=Florian |year=2000 |title=The anti-social Fermat number |journal=American Mathematical Monthly |volume=107 |issue=2 |publisher=Mathematical Association of America |pages=171–173 |doi=10.2307/2589441 |issn=0002-9890 |url=http://www.maa.org/publications/periodicals/american-mathematical-monthly/american-mathematical-monthly-february-2000}}
*{{Citation |last=Ribenboim |first=Paulo |year=1996 |title=The New Book of Prime Number Records |publisher=Springer |location=New York |edition=3η |isbn=0-387-94457-5 |url=http://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-94457-9}}
*{{Citation |last=Robinson |first=Raphael M. |title=Mersenne and Fermat Numbers |journal=Proceedings of the American Mathematical Society |volume=5 |issue=5 |year=1954 |publisher=American Mathematical Society |pages=842–846 |doi=10.2307/2031878}}
*{{citation |last=Yabuta |first=M. |journal=Fibonacci Quarterly |publisher=Fibonacci Association |pages=439–443 |title=A simple proof of Carmichael's theorem on primitive divisors |format=PDF |volume=39 |year=2001 |issn=0015-0517 |url=http://www.fq.math.ca/Scanned/39-5/yabuta.pdf}}

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
* {{cite web |title=Fermat prime |publisher=''Encyclopædia Britannica'' |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/204678}}
* {{MathWorld |title=Fermat Number |urlname=FermatNumber}}
* {{MathWorld |title=Fermat Prime |urlname=FermatPrime}}
* {{MathWorld |title=Fermat Pseudoprime |urlname=FermatPseudoprime}}
* {{MathWorld |title=Generalized Fermat Number |urlname=GeneralizedFermatNumber}}

{{Portal bar|Μαθηματικά}}

{{DEFAULTSORT:Φερμα, Αριθμος}}
[[Κατηγορία:Ακολουθίες]]
[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]]
[[Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία]]
[[Κατηγορία:Θεωρία αριθμών]]
[[Κατηγορία:Μαθηματικές αποδείξεις]]