Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Βάθος (θεωρία δακτυλίων)

Στην [[Αντιμεταθετική άλγεβρα|αντιμεταθετική]]<ref>{{Cite book|title=Commutative Ring Theory|first=H.|last=Matsumura|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-71712-1|date=1989-05-25|url=https://books.google.gr/books?id=J68-BAAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Depth+(ring+theory)+Commutative+algebra&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Depth%20(ring%20theory)%20Commutative%20algebra&f=false}}</ref> και [[Ομολογική Άλγεβρα|ομολογική άλγεβρα]]<ref>{{Cite book|title=Homological Algebra and Ring Theory|first=James Patrick|last=Jans|first2=James Warren|last2=Armstrong|publisher=Department of Mathematics, Oklahoma State University|date=1961|url=https://books.google.gr/books?id=-lPvAAAAMAAJ&q=Depth+(ring+theory)+Homological+algebra&dq=Depth+(ring+theory)+Homological+algebra&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://math.uchicago.edu/~amathew/chhomologicallocal.pdf|title=Homological theory of local rings}}</ref>, το '''βάθος'''<ref>{{Cite web|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Depth_of_a_module|title=Depth of a module - Encyclopedia of Mathematics|website=encyclopediaofmath.org|accessdate=2024-05-10}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://math.unl.edu/~siyengar2/Papers/Abform.pdf|title=ON A DEPTH FORMULA FOR MODULES OVER LOCAL RINGS}}</ref> είναι ένα σημαντικό αναλλοίωτο των δακτυλίων και των [[Πρότυπο (άλγεβρα)|προτύπων]]. Αν και το βάθος μπορεί να οριστεί γενικότερα, η πιο συνηθισμένη περίπτωση που εξετάζεται είναι η περίπτωση των ενοτήτων πάνω από έναν αντιμεταθετικό [[Ναιτεριανός δακτύλιος|Ναιτεριανό]] τοπικό δακτύλιο. Σε αυτή την περίπτωση, το βάθος μιας ενότητας σχετίζεται με την προβολική της διάσταση μέσω του τύπου Αουσλάντερ - Μπούξμπαουμ. Μια πιο στοιχειώδης ιδιότητα του βάθους είναι η ανισότητα.

: <math> \mathrm{depth}(M) \leq \dim(M), </math>

όπου <math>\dim M</math> δηλώνει τη διάσταση Κρουλ του προτύπου <math>M</math>. Το βάθος χρησιμοποιείται για τον ορισμό κλάσεων δακτυλίων και ενοτήτων με καλές ιδιότητες, παραδείγματος χάριν, δακτυλίων και ενοτήτων Κοέν-Μακαουλέι, για τις οποίες ισχύει η ισότητα.

==Ορισμός==
Έστω <math>R</math> ένας αντιμεταθετικός [[Δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιος]], <math>I</math> ένα [[Ιδεώδες (μαθηματικά)|ιδεώδες]] του <math>R</math> και <math>M</math> ένα πεπερασμένης παραγωγής <math>R</math>-σύνολο με την ιδιότητα ότι <math>I M</math> περιέχεται σωστά στο <math>M</math>. (Δηλαδή, κάποια στοιχεία του <math>M</math> δεν βρίσκονται στο <math>I M</math>.) Τότε το <math>I</math>-'''βάθος''' του <math>M</math>, που συνήθως ονομάζεται και '''βαθμός''' του <math>M</math>, ορίζεται ως εξής

: <math> \mathrm{depth}_I(M) = \min \{i: \operatorname{Ext}^i(R/I,M)\ne 0\}. </math>

Σύμφωνα με τον ορισμό, το βάθος ενός τοπικού δακτυλίου <math>R</math> με ένα μέγιστο ιδανικό <math>\mathfrak{m}</math> είναι το βάθος του <math>\mathfrak{m}</math> ως ενότητα πάνω στον εαυτό του. <math>R</math> είναι ένας τοπικός δακτύλιος Κοέν-Μακαουλέι, τότε το βάθος του <math>R</math> είναι ίσο με τη διάσταση του <math>R</math>. 

Με βάση ένα θεώρημα του Ντέιβιντ Ρις, το βάθος μπορεί επίσης να χαρακτηριστεί χρησιμοποιώντας την έννοια της κανονικής ακολουθίας.

=== Θεώρημα (Ρις) ===

Ας υποθέσουμε ότι ο <math>R</math> είναι ένας αντιμεταθετικός [[Ναιτεριανός δακτύλιος|Ναιτεριανός]] τοπικός δακτύλιος με το μέγιστο ιδεώδες <math>\mathfrak{m}</math> και ο <math>M</math> είναι ένα πεπερασμένης παραγωγής <math>R</math>-σύνολο. Τότε όλες οι μέγιστες κανονικές ακολουθίες <math>x_1, \ldots, x_n</math> για το <math>M</math>, όπου κάθε <math>x_i</math> ανήκει στο <math>\mathfrak{m}</math>, έχουν το ίδιο μήκος <math>n</math> ίσο με το <math>\mathfrak{m}</math> βάθος του <math>M</math>.<ref>{{Cite web|url=https://anagrams-seminar.github.io/dimension-functions/depth.pdf|title=Dimension functions: depth, measuring singularities}}</ref>

==Βάθος και προβολική διάσταση==
Η προβολική διάσταση και το βάθος μιας ενότητας πάνω σε έναν αντιμεταθετικό τοπικό δακτύλιο Ναιτεριανού είναι συμπληρωματικά μεταξύ τους. Αυτό είναι το περιεχόμενο του τύπου Αουσλάντερ - Μπούξμπαουμ, ο οποίος όχι μόνο έχει θεμελιώδη θεωρητική σημασία, αλλά παρέχει επίσης έναν αποτελεσματικό τρόπο υπολογισμού του βάθους μιας ενότητας. Ας υποθέσουμε ότι ο <math>R</math> είναι ένας [[Αντιμεταθετικός δακτύλιος|αντιμεταθετικός]] τοπικός [[Ναιτεριανός δακτύλιος|Ναιτεριανος δακτύλιος]]  με το μέγιστο [[Ιδεώδες (μαθηματικά)|ιδεώδες]] <math>\mathfrak{m}</math> και ο <math>M</math> είναι ένα πεπερασμένα παραγόμενο <math>R</math>-[[Πρότυπο (άλγεβρα)|πρότυπο]]. Αν η προβολική διάσταση του <math>M</math> είναι πεπερασμένη, τότε ο τύπος Αουσλάντερ - Μπούξμπαουμ δηλώνει 

: <math> \mathrm{pd}_R(M) + \mathrm{depth}(M) = \mathrm{depth}(R).</math>

==Δακτύλιοι μηδενικού βάθους==
Ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος <math>R</math> έχει βάθος μηδέν αν και μόνο αν το μέγιστο ιδεώδες του <math>\mathfrak{m}</math> είναι ένας συσχετιζόμενος πρώτος, ή, ισοδύναμα, όταν υπάρχει ένα μη μηδενικό στοιχείο <math>x</math> του <math>R</math> τέτοιο ώστε <math>x\mathfrak{m}=0</math> (δηλαδή, το <math>x</math>  εκμηδενίζει το <math>\mathfrak{m}</math>). Αυτό σημαίνει, ουσιαστικά, ότι το κλειστό σημείο είναι ενα εμφυτευμένο στοιχείο.

Παραδείγματος χάριν, ο δακτύλιος <math>k[x,y]/(x^2,xy)</math> (όπου <math>k</math> είναι ένα πεδίο), ο οποίος αναπαριστά μια ευθεία (<math>x=0</math>) με ενσωματωμένο διπλό σημείο στην αρχή, έχει βάθος μηδέν στην αρχή, αλλά διάσταση ένα: αυτό δίνει ένα παράδειγμα δακτυλίου που δεν είναι Κοέν-Μακαλεϊ.

==Δημοσιεύσεις ==
{{reflist|group=notes}}
* [[:en:Michael Francis Atiyah|Michael F. Atiyah]], [[:en:Ian Macdonald|Ian G. MacDonald]]: ''Introduction to Commutative Algebra.'' Addison-Wesley, Reading MA 1969, ISBN 0-201-00361-9.
* Rainer Brüske, Friedrich Ischebeck, Ferdinand Vogel: ''Kommutative Algebra.'' BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-14041-0.
* [[:en:Robin Hartshorne|Robin Hartshorne]]: ''Algebraic Geometry'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' 52). Springer, New York u. a. 1977, ISBN 3-540-90244-9.
* [[:en:Ernst Kunz (Mathematiker)|Ernst Kunz]]: ''Introduction to commutative algebra and algebraic geometry'' (= ''Vieweg-Studium.'' 46 ''Aufbaukurs Mathematik.''). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6.
*Winfried Bruns, [[:en:Jürgen Herzog|Jürgen Herzog]]: Cohen-Macaulay rings (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 39). [[Cambridge University Press]], 1993.

==Δείτε επίσης==

* [https://web.archive.org/web/20210410041802/https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/9409F07DDAF8C4F82F4A71700035B321/S0010437X20007654a.pdf/div-class-title-depth-graded-motivic-multiple-zeta-values-div.pdf Depth-graded motivic multiple zeta values]

==Εξωτερικοί σύνδεσμοι  ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* [https://books.google.gr/books?id=yJwNrABugDEC&pg=PR10&dq=Depth+(ring+theory)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjZuY2C5YOGAxUbcvEDHTvBCa4Q6AF6BAgLEAI#v=onepage&q=Depth%20(ring%20theory)&f=false Commutative Ring Theory]
* [https://books.google.gr/books?id=gGYiqRFLqosC&pg=PA332&dq=Depth+(ring+theory)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwis96qv5YOGAxUsBNsEHc8wDdo4ChDoAXoECAsQAg#v=onepage&q=Depth%20(ring%20theory)&f=false  commutative ring theory: Proceedings of the Ii International Conference] 
*[https://books.google.gr/books?id=9YNIDwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Depth+(ring+theory)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Depth%20(ring%20theory)&f=false Ring Theory - Proceedings Of The Biennial Ohio State-denison Conference 1992]

==Παραπομπές==
<references/>

{{Authority control}} 
{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{DEFAULTSORT:Βάθος (θεωρία δακτυλίων)}}
[[Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία]]
[[Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων]]
[[Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα]]