Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Δέκατο όγδοο πρόβλημα του Χίλμπερτ

[[Αρχείο:Zur Zerlegung der euklidischen Räume in kongruente Polytope Reinhardt 1928.pdf|μικρογραφία|Εξώφυλλο του βιβλίου του Ράινχαρντ<ref name=":1">{{Cite web|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Reinhardt/|title=Karl Reinhardt - Biography|website=Maths History|language=en|accessdate=2024-12-19}}</ref> που κυκλοφόρησε το 1928 και στο οποίο έλυσε το δεύτερο μέρος του προβλήματος.]]
Το '''δέκατο όγδοο πρόβλημα του Χίλμπερτ''' είναι ένα από τα 23 [[Προβλήματα του Χίλμπερτ|προβλήματα Χίλμπερτ]] που παρατίθενται σε έναν περίφημο κατάλογο που συνέταξε το 1900 ο μαθηματικός [[Ντέιβιντ Χίλμπερτ]]. Θέτει τρία ξεχωριστά ερωτήματα σχετικά με τα πλέγματα και το πακετάρισμα σφαιρών στον [[Ευκλείδειος χώρος|Ευκλείδειο χώρο]]{{sfn|Milnor|1976}}.

==Ομάδες συμμετρίας σε {{math|1=''n''}} διαστάσεις==
Το πρώτο μέρος του προβλήματος διερωτάται αν υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλές ουσιαστικά διαφορετικές ομάδες χώρου στον <math>n</math>-διάστατο [[Ευκλείδειος χώρος|Ευκλείδειο χώρο]]. Το συγκεκριμένο ερώτημα απαντήθηκε καταφατικά από τον Μπίμπερμπαχ<ref>{{Cite web|url=https://zbmath.org/authors/?q=ai:bieberbach.ludwig|title=Ludwig Bieberbach - Author Profile - zbMATH Open|website=zbmath.org|accessdate=2024-12-18}}</ref>.

==Ανισοεδρικά πλακίδια σε 3 διαστάσεις==
Το δεύτερο μέρος του προβλήματος διερωτάται αν υπάρχει ένα [[πολύεδρο]] που να καλύπτει τον τρισδιάστατο [[Ευκλείδειος χώρος|Ευκλείδειο χώρο]] αλλά να μην είναι η θεμελιώδης περιοχή<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/FundamentalDomain.html|title=Fundamental Domain|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|accessdate=2024-12-18}}</ref> οποιασδήποτε ομάδας χώρου- δηλαδή, που να καλύπτει αλλά να μην επιτρέπει ισοεδρική (μεταβατική) κάλυψη. Τέτοια πλακίδια είναι τώρα γνωστά ως ανισοεδρικά<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/AnisohedralTiling.html|title=Anisohedral Tiling|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|accessdate=2024-12-18}}</ref>. Θέτοντας το πρόβλημα σε τρεις διαστάσεις, ο [[Ντάβιντ Χίλμπερτ|Χίλμπερτ]] πιθανότατα υπέθετε ότι δεν υπάρχει τέτοιο πλακίδιο στις δύο διαστάσεις- η υπόθεση αυτή αποδείχθηκε αργότερα εσφαλμένη.

Το πρώτο τέτοιο κεραμίδι σε τρεις διαστάσεις ανακαλύφθηκε από τον Καρλ Ράινχαρντ το 1928<ref name=":1" />. Το πρώτο παράδειγμα σε δύο διαστάσεις ευρέθη από τον Χες (Heesch )<ref>{{Cite web|url=http://www.ifg.uni-kiel.de/eckenundkanten/hk-02_de.html|title=Ecken & Kanten - Kristall zwischen Wissenschaft und Kunst /publikationen|ημερομηνία=2007-09-29|website=web.archive.org|accessdate=2024-12-18|archive-date=2007-09-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20070929134106/http://www.ifg.uni-kiel.de/eckenundkanten/hk-02_de.html|url-status=}}</ref> το 1935.{{sfn|Edwards|2003}} Το σχετικό πρόβλημα του Αϊνστάιν<ref>{{Cite web|url=https://www.sciencenews.org/article/quasicrystal-einstein-tile-hat-shape|title=A predicted quasicrystal is based on the ‘einstein’ tile known as the hat|ημερομηνία=2024-01-25|language=en-US|accessdate=2024-12-19}}</ref> απαιτεί ένα σχήμα που να μπορεί να πλακιδώσει το χώρο αλλά όχι με άπειρη κυκλική ομάδα συμμετριών.

==Συσκευασία σφαιρών==

Στο τρίτο μέρος του προβλήματος ζητείται η πυκνότερη συσκευασία σφαιρών ή άλλων καθορισμένων σχημάτων. Αν και περιλαμβάνει ρητά και άλλα σχήματα εκτός από [[Σφαίρα|σφαίρες]], θεωρείται γενικά ισοδύναμο με την εικασία του [[Γιοχάνες Κέπλερ|Κέπλερ]].<ref name=":0">{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/KeplerConjecture.html|title=Kepler Conjecture|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|accessdate=2024-12-18}}</ref>

Το 1998, ο Αμερικανός μαθηματικός Τόμας Κάλιστερ Χέιλς<ref>{{Cite web|url=https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=77593|title=Thomas Hales - The Mathematics Genealogy Project|website=www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu|accessdate=2024-12-18}}</ref> έδωσε μια απόδειξη της εικασίας Κέπλερ<ref name=":0" /> με τη βοήθεια υπολογιστή. Δείχνει ότι ο πιο αποδοτικός τρόπος για να πακεταριστούν οι σφαίρες είναι σε σχήμα πυραμίδας. {{sfn|Hales|2005}}

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/20405 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών]
*[http://everything2.com/e2node/Proof%2520for%2520Hilbert%2527s%2520third%2520problem Proof of Dehn's Theorem at Everything2]
*{{MathWorld |id=DehnInvariant |title=Dehn Invariant}}
*[http://everything2.com/e2node/Dehn%2520invariant Dehn Invariant at Everything2]
* [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html#prob6 Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση].

== Δείτε επίσης ==
* [[Μερική διαφορική εξίσωση]]
* [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους]]
* [[Προβολικός χώρος]]
* [[Δυναμικός προγραμματισμός]]
* [[Μαθηματική ανάλυση]]
* [[Αλγεβρική γεωμετρία]]
* [[Μερική διαφορική εξίσωση]]
* [[Δευτεροβάθμια εξίσωση]] 
* [[Χώρος Χίλμπερτ]]
* [[Ντάβιντ Χίλμπερτ]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]
* [[Θεωρία αριθμών]]
* [[Ισοσκελές τρίγωνο]]

== Βιβλιογραφία==
* {{Cite book|title=Harmonic Analysis on Symmetric Spaces and Applications II|first=Audrey|last=Terras|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4612-3820-1|date=2012-12-06|url=https://books.google.gr/books?id=MWLdBwAAQBAJ&pg=PA120&dq=%22+Hilbert's+eighteenth+problem%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOvpKnubKKAxV-B9sEHQ42Dw8Q6AF6BAgIEAI#v=onepage&q=%22%20Hilbert's%20eighteenth%20problem%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Why Is There Philosophy of Mathematics At All?|first=Ian|last=Hacking|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-05017-4|date=2014-01-30|url=https://books.google.gr/books?id=-hpiAgAAQBAJ&pg=PA178&dq=%22+Hilbert's+eighteenth+problem%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOvpKnubKKAxV-B9sEHQ42Dw8Q6AF6BAgGEAI#v=onepage&q=%22%20Hilbert's%20eighteenth%20problem%22&f=false}}
* {{Cite book|title=The Mathematical Century: The 30 Greatest Problems of the Last 100 Years|first=Piergiorgio|last=Odifreddi|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-12805-4|date=2006-10-22|url=https://books.google.gr/books?id=cRKWBYXtvAcC&pg=PA102&dq=%22+Hilbert's+eighteenth+problem%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOvpKnubKKAxV-B9sEHQ42Dw8Q6AF6BAgJEAI#v=onepage&q=%22%20Hilbert's%20eighteenth%20problem%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Discrete Geometry and Topology: On the 100th Anniversary of the Birth of Boris Nikolaevich Delone : Collection of Papers|first=Boris Nikolaevich|last=Delone|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-3147-2|date=1993|url=https://books.google.gr/books?id=xljWYPP2rngC&pg=PA103&dq=%22+Hilbert's+eighteenth+problem%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOvpKnubKKAxV-B9sEHQ42Dw8Q6AF6BAgKEAI#v=onepage&q=%22%20Hilbert's%20eighteenth%20problem%22&f=false}}
* {{Cite book|title=The Mathematical Gardner|first=David A.|last=Klarner|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4684-6686-7|date=2012-12-06|url=https://books.google.gr/books?id=DhgGCAAAQBAJ&pg=PA183&dq=%22+Hilbert's+eighteenth+problem%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOvpKnubKKAxV-B9sEHQ42Dw8Q6AF6BAgMEAI#v=onepage&q=%22%20Hilbert's%20eighteenth%20problem%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Numerical Linear Algebra and Applications: Second Edition|first=Biswa Nath|last=Datta|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-765-5|date=2010-01-01|url=https://books.google.gr/books?id=-tW8-FUoxWwC&pg=PA443&dq=%22+Hilbert's+eighteenth+problem%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOvpKnubKKAxV-B9sEHQ42Dw8Q6AF6BAgLEAI#v=onepage&q=%22%20Hilbert's%20eighteenth%20problem%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Tilings and Patterns|first=Branko|last=Grünbaum|first2=G. C.|last2=Shephard|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-46981-2|url=https://books.google.gr/books?id=0x0vDAAAQBAJ&pg=PA517&dq=%22+Hilbert's+eighteenth+problem%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOvpKnubKKAxV-B9sEHQ42Dw8Q6AF6BAgEEAI#v=onepage&q=%22%20Hilbert's%20eighteenth%20problem%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Harmonic Analysis on Symmetric Spaces—Higher Rank Spaces, Positive Definite Matrix Space and Generalizations|first=Audrey|last=Terras|publisher=Springer|isbn=978-1-4939-3408-9|date=2016-04-26|url=https://books.google.gr/books?id=00EWDAAAQBAJ&pg=PA163&dq=%22+Hilbert's+eighteenth+problem%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOvpKnubKKAxV-B9sEHQ42Dw8Q6AF6BAgHEAI#v=onepage&q=%22%20Hilbert's%20eighteenth%20problem%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Modern Algebra: An Introduction|first=John R.|last=Durbin|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-38443-5|date=2008-12-31|url=https://books.google.gr/books?id=dnDJDwAAQBAJ&pg=PT286&dq=%22+Hilbert's+eighteenth+problem%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOvpKnubKKAxV-B9sEHQ42Dw8Q6AF6BAgNEAI#v=onepage&q=%22%20Hilbert's%20eighteenth%20problem%22&f=false}}
* {{Cite book|title=How to Free Your Inner Mathematician: Notes on Mathematics and Life|first=Susan|last=D'Agostino|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-258174-7|date=2020-03-26|url=https://books.google.gr/books?id=dcjXDwAAQBAJ&pg=PT61&dq=%22+Hilbert's+eighteenth+problem%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjHiPrCurKKAxU2BdsEHSIeKWg4ChDoAXoECAsQAg#v=onepage&q=%22%20Hilbert's%20eighteenth%20problem%22&f=false}}

== Παραπομπές ==
{{Reflist}}

* [[:en:Shreeram Shankar Abhyankar|Shreeram Shankar Abhyankar]], "[http://www.emis.de/journals/SC/1997/2/pdf/smf_sem-cong_2_1-11.pdf  Hilbert's Thirteenth Problem]", ''Algèbre non commutative, groupes quantiques et invariants'' (Reims, 1995), 1–11, ''Sémin. Congr.'', 2, Soc. Math. France, Paris, 1997. {{MR|1601178}}
*{{citation|first=Steve |last=Edwards |title=Heesch's Tiling |year=2003 |url=http://www.spsu.edu/math/tiling/17.html |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110718054857/http://www.spsu.edu/math/tiling/17.html |archivedate=July 18, 2011 }}
*{{citation|last=Hales|first=Thomas C.|title=A proof of the Kepler conjecture|journal=Annals of Mathematics|year=2005|volume=162|issue=3|pages=1065–1185|doi=10.4007/annals.2005.162.1065|url=http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v162-n3-p01.pdf|arxiv=math/9811078}}
*{{citation | last=Milnor|first=J.|chapter=Hilbert's problem 18|editor-last=Browder|editor-first= Felix E.  | title=Mathematical developments arising from Hilbert problems |series=Proceedings of symposia in pure mathematics|volume= 28 | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=1976 | isbn=0-8218-1428-1}}

== Πηγές ==
* {{Cite book|title=The Honors Class, Hilbert's Problems and their solvers by Benjamin Hart Yandell b19510316 d20040825 [2002] {510'.9'04--dc21}|last=Benjamin Hart Yandell|date=2002|url=https://archive.org/details/HonorsClassHilbertsProblemstheirsolversYandell2002/httpsarchive.orgdetailsHonorsClassHilbertsProblemstheirsolversYandell2002_144dx75/}}
* {{Cite web|url=https://www.britannica.com/science/Hilberts-23-problems|title=Hilbert’s 23 problems {{!}} mathematics {{!}} Britannica|website=www.britannica.com|language=en|accessdate=2024-12-15}}
* {{Cite book|title=History of Topology|first=I. M.|last=James|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-053407-7|date=1999-08-24|url=https://books.google.gr/books?id=7iRijkz0rrUC&pg=PA851&dq=bieberbach.ludwig+Hilbert&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwif7ungiLSKAxVMefEDHfW7DXMQ6AF6BAgGEAI#v=onepage&q=bieberbach.ludwig%20Hilbert&f=false}}
* {{Cite book|title=Emmy Noether – Mathematician Extraordinaire|first=David E.|last=Rowe|publisher=Springer Nature|isbn=978-3-030-63810-8|date=2021-01-09|url=https://books.google.gr/books?id=MCgTEAAAQBAJ&pg=PA130&dq=bieberbach.ludwig+Hilbert&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwif7ungiLSKAxVMefEDHfW7DXMQ6AF6BAgJEAI#v=onepage&q=bieberbach.ludwig%20Hilbert&f=false}}
* {{Cite book|title=Courant|first=Constance|last=Reid|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-21626-3|date=2013-06-05|url=https://books.google.gr/books?id=TGn1BwAAQBAJ&pg=PA123&dq=bieberbach.ludwig+Hilbert&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwif7ungiLSKAxVMefEDHfW7DXMQ6AF6BAgFEAI#v=onepage&q=bieberbach.ludwig%20Hilbert&f=false}}
* {{Cite book|title=Gentzens Problem: Mathematische Logik im nationalsozialistischen Deutschland|first=Eckart|last=Menzler-Trott|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-0348-8325-2|date=2013-03-07|url=https://books.google.gr/books?id=oqr3BQAAQBAJ&pg=PA151&dq=bieberbach.ludwig+Hilbert&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwif7ungiLSKAxVMefEDHfW7DXMQ6AF6BAgNEAI#v=onepage&q=bieberbach.ludwig%20Hilbert&f=false}}

{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{Προβλήματα του Χίλμπερτ}}
{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Δέκατο όγδοο πρόβλημα του Χίλμπερτ}}
[[Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία]]
[[Κατηγορία:Διακριτή γεωμετρία]]
[[Κατηγορία:Πολύεδρα]]
[[Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις]]
[[Κατηγορία:Προβλήματα του Χίλμπερτ]]
[[Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών]]
[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]]
[[Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία]]