Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Εικασία Χίλμπερτ-Πόλια

Στα [[μαθηματικά]], η '''εικασία Χίλμπερτ-Πόλια''' δηλώνει ότι τα μη τετριμμένα [[Ρίζα (μαθηματικά)|μηδενικά]] της [[συνάρτηση ζήτα Ρίμαν|συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν]] αντιστοιχούν σε ιδιοτιμές ενός [[Αυτοσυζυγής τελεστής|Αυτοσυζυγούς τελεστή]]. Πρόκειται για μια πιθανή προσέγγιση της [[Υπόθεση Ρίμαν|υπόθεσης Ρίμαν]], μέσω της φασματικής θεωρίας.

==Ιστορία==

Σε μια επιστολή του προς τον Άντριου Οδλύζκο, με ημερομηνία 3 Ιανουαρίου 1982, ο Τζορτζ Πώλιας ανέφερε ότι ενώ βρισκόταν στο Γκέτινγκεν γύρω στο 1912 με 1914 του ζητήθηκε από τον Έντμουντ Λαντάου ένας φυσικός λόγος για τον οποίο η [[υπόθεση Ρίμαν]] θα έπρεπε να είναι αληθής, και πρότεινε ότι αυτό θα συνέβαινε αν τα φανταστικά μέρη ''t'' των μηδενικών

:<math> \tfrac12 + it </math>

της [[Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν|συνάρτησης Ζήτα του Ρίμαν]] αντιστοιχούσε σε ιδιοτιμές ενός αυτοσυνδυασμένου τελεστή.<ref name="odlyzko">{{citation|url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/polya/index.html|last=Odlyzko|first=Andrew|authorlink=:en:Andrew Odlyzko|title=Correspondence about the origins of the Hilbert&ndash;Polya Conjecture}}.</ref> Η πρώτη δημοσιευμένη δήλωση της εικασίας φαίνεται να είναι στο Μοντγκόμερι (1973)<ref name="odlyzko"/><ref name="montgomery">{{Citation | last1=Montgomery | first1=Hugh L. | title=Analytic number theory |series=Proc. Sympos. Pure Math.|volume= XXIV | publisher=[[:en:American Mathematical Society|American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | mr = 0337821 | year=1973 | chapter=The pair correlation of zeros of the zeta function | pages=181–193}}.</ref>

Ο [[Ντάβιντ Χίλμπερτ|Ντέιβιντ Χίλμπερτ]] δεν εργάστηκε στους κεντρικούς τομείς της [[Αναλυτική θεωρία αριθμών|αναλυτικής θεωρίας αριθμών]], αλλά το όνομά του έγινε γνωστό για την εικασία Χίλμπερτ-Πόλια λόγω μιας ιστορίας που διηγήθηκε ο Ερνστ Χέλινγκερ, μαθητής του Χίλμπερτ, στον [[Αντρέ Βέιλ|Αντρέ Βάιλ]]. Ο Χέλινγκερ είπε ότι ο Χίλμπερτ ανακοίνωσε στο σεμινάριό του στις αρχές της δεκαετίας του 1900 ότι περίμενε ότι η [[υπόθεση Ρίμαν]] θα ήταν συνέπεια της εργασίας του Φρέντολμ για τις ολοκληρωτικές εξισώσεις με συμμετρικό πυρήνα.<ref name="broughan">{{citation |first=K. |last=Broughan | title=Equivalents of the Riemann Hypothesis Volume 2: Analytic Equivalents | year=2017 | page=192 |publisher=Cambridge University Press | isbn=978-1107197121}}</ref><ref name="dieudonne">{{citation |first=J. |last=Dieudonne | title=History of Functional Analysis | year=1981 | page=106 |publisher=Instituto de Matemática Pura e Aplicada do Conselho Nacional de Pesquisas | isbn=978-0444861481}}</ref><ref>{{citation|first1=S. |last1=Endres|first2=F.|last2=Steiner|year=2009|title=The Berry–Keating operator on <math>L^2({\mathbb R}_>,{\rm d}x)</math> and on compact quantum graphs with general self-adjoint realizations|journal=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|volume=43|issue=9| page = 37|doi=10.1088/1751-8113/43/9/095204|arxiv=0912.3183v5|s2cid=115162684}}</ref><ref name="simon">{{citation |first=B. |last=Simon | title=Operator Theory: A Comprehensive Course in Analysis, Part 4 | year=2015 | page=42 |publisher=American Mathematical Soc. | isbn=978-1-4704-1103-9}}</ref>

===δεκαετία του 1950 και ο τύπος ίχνους του Σέλμπεργκ===

Την εποχή της συνομιλίας του Πόλια με τον Λαντάου, δεν υπήρχαν πολλές βάσεις για τέτοιου είδους εικασίες. Ωστόσο, ο Σέλμπεργκ στις αρχές της δεκαετίας του 1950 απέδειξε μια δυαδικότητα μεταξύ του φάσματος μήκους μιας [[Επιφάνεια Ρίμαν|επιφάνειας Ρίμαν]] και των ιδιοτιμών του [[Τελεστής Λαπλάς|τελεστή Λαπλάς]]. Αυτός ο λεγόμενος τύπος ίχνους του Σέλμπεργκ είχε μια εντυπωσιακή ομοιότητα με τους ρητούς τύπους, γεγονός που έδωσε αξιοπιστία στην εικασία των Χίλμπερτ-Πόλια.

===δεκαετία του 1970 και τυχαίοι πίνακες===

Ο Χαγκ Μοντγκόμερι διερεύνησε και διαπίστωσε ότι η στατιστική κατανομή των μηδενικών στην κρίσιμη γραμμή έχει μια ορισμένη ιδιότητα, η οποία σήμερα ονομάζεται [[Υπόθεση συσχέτισης ζεύγους του Μοντγκόμερι]]. Τα μηδενικά τείνουν να μην συγκεντρώνονται πολύ κοντά μεταξύ τους, αλλά να απωθούνται.<ref name="montgomery"/> Επισκεπτόμενος το 1972 το Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών, έδειξε αυτό το αποτέλεσμα στον [[Φρήμαν Ντάυσον]], έναν από τους θεμελιωτές της θεωρίας των τυχαίων πινάκων.

Ο Ντάισον είδε ότι η στατιστική κατανομή που βρήκε ο Μοντγκόμερι φαινόταν να είναι η ίδια με την κατανομή συσχέτισης ζεύγους για τις ιδιοτιμές ενός τυχαίου ερμιτιανού πίνακα. Αυτές οι κατανομές έχουν σημασία στη [[φυσική]] - οι ιδιοκαταστάσεις μιας Χαμιλτονιανής, παραδείγματος χάριν οι ενεργειακές στάθμες ενός ατομικού πυρήνα, ικανοποιούν τέτοιες στατιστικές. Μεταγενέστερες εργασίες επιβεβαίωσαν σε μεγάλο βαθμό τη σύνδεση μεταξύ της κατανομής των μηδενικών της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν και των ιδιοτιμών ενός τυχαίου ερμιτιανού πίνακα που προέρχεται από το μοναδιαίο σύνολο του Γκαουσιανού, και πιστεύεται πλέον ότι και οι δύο υπακούουν στις ίδιες στατιστικές. Έτσι, η εικασία Χίλμπερτ-Πόλια έχει πλέον μια πιο στέρεη βάση, αν και δεν έχει οδηγήσει ακόμη σε απόδειξη της [[Υπόθεση Ρίμαν|υπόθεσης Ρίμαν]]<ref>{{citation|first1=Zeev|last1=Rudnick|first2=Peter|last2=Sarnak|author2-link=:en:Peter Sarnak|year=1996|url=http://www.math.tau.ac.il/~rudnick/papers/zeta.dvi.gz|title=Zeros of Principal L-functions and Random Matrix Theory|journal= Duke Mathematical Journal|volume=81|issue=2|pages=269–322|doi=10.1215/s0012-7094-96-08115-6}}.</ref>.

=== Μεταγενέστερες εξελίξεις===

Το 1998, ο [[Αλέν Κον]] διατύπωσε έναν τύπο ίχνους που είναι στην πραγματικότητα ισοδύναμος με την [[υπόθεση Ρίμαν]]. Αυτό ενίσχυσε την αναλογία με τον τύπο ίχνους Σέλμπεργκ σε σημείο που να δίνει ακριβείς δηλώσεις. Δίνει μια γεωμετρική ερμηνεία του ρητού τύπου της [[Θεωρία αριθμών|θεωρίας αριθμών]] ως ιχνοστοιχείο στη [[Μη αντιμεταθετική αλγεβρική γεωμετρία|μη αντιμεταθετική γεωμετρία]] των τάξεων Αντέλ<ref>{{cite journal|arxiv=math/9811068|last=Connes|first=Alain|authorlink=:en:Alain Connes|title=Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function|year=1999|journal=Selecta Mathematica|volume=5|pages=29–106|doi=10.1007/s000290050042|s2cid=55820659}}.</ref>.

==Πιθανή σύνδεση με την κβαντομηχανική==
Μια πιθανή σύνδεση του τελεστή Χίλμπερτ - Πόλια με την κβαντομηχανική δόθηκε από τον Πόλια. Ο τελεστής της εικασίας Χίλμπερτ-Πόλια είναι της μορφής <math>\tfrac{1}{2}+iH</math> όπου <math>H</math> είναι η Χαμιλτονιανή ενός σωματιδίου μάζας <math>m</math> που κινείται υπό την επίδραση ενός δυναμικού <math>V(x)</math>. Η εικασία Ρίμαν είναι ισοδύναμη με τον ισχυρισμό ότι η Χαμιλτονιανή είναι Ερμιτιανή, ή ισοδύναμα ότι η <math>V</math> είναι πραγματική.

Χρησιμοποιώντας τη θεωρία διαταραχών πρώτης τάξης, η ενέργεια της ''n''th ιδιόμορφης κατάστασης σχετίζεται με την τιμή προσδοκίας του δυναμικού:

:<math> E_{n}=E_{n}^{0}+ \left. \left \langle \varphi^{0}_n \right | V \left | \varphi^{0}_n \right. \right \rangle </math>

όπου <math>E^{0}_n</math> και <math>\varphi^{0}_n</math> είναι οι ιδιοτιμές και οι ιδιοκαταστάσεις της Χαμιλτονιανής του ελεύθερου σωματιδίου. Η εξίσωση αυτή μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι μια ολοκληρωτική εξίσωση Φρέντολμ πρώτου είδους, με τις ενέργειες <math>E_n</math>. Τέτοιες ολοκληρωτικές εξισώσεις μπορούν να επιλυθούν με τη βοήθεια του πυρήνα επίλυσης, έτσι ώστε το δυναμικό να μπορεί να γραφεί ως εξής

:<math> V(x)=A\int_{-\infty}^{\infty} \left (g(k)+\overline{g(k)}-E_{k}^{0} \right )\,R(x,k)\,dk </math>

όπου <math>R(x,k)</math> είναι ο πυρήνας της επίλυσης, <math>A</math> είναι μια πραγματική σταθερά και

:<math> g(k)=i \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}-\rho_n \right)\delta(k-n) </math>

όπου <math>\delta(k-n)</math> είναι η [[Κρουστική συνάρτηση|συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ]], και οι <math>\rho_n</math> είναι οι «μη τετριμμένες» ρίζες της συνάρτησης ζήτα <math>\zeta (\rho_n)=0 </math>.

Οι Μάικλ Μπέρι και Τζόναθαν Κίτινγκ υπέθεσαν ότι η Χαμιλτονιανή ''H'' είναι στην πραγματικότητα κάποια κβάντωση της κλασικής Χαμιλτονιανής ''xp'' όπου ''p'' είναι η κανονική ορμή που σχετίζεται με το ''x''<ref name="bk99a">{{Citation|last1=Berry | first1=Michael V. | author1-link = :en:Michael Berry (physicist) | last2=Keating | first2 =Jonathan P. | editor1-last=Keating | editor1-first=Jonathan P. | editor2-last=Khmelnitski | editor2-first=David E. | editor3-last= Lerner | editor3-first=Igor V. | title=Supersymmetry and Trace Formulae: Chaos and Disorder | chapter-url= http://empslocal.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/berry-keating2.pdf | publisher=Plenum | location=New York | isbn=978-0-306-45933-7 | year =1999a | chapter=H = xp and the Riemann zeros | pages=355–367}}.</ref> Ο απλούστερος ερμιτιανός τελεστής που αντιστοιχεί στην ''xp'' είναι

:<math>\hat{H} = \tfrac1{2} (\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x}) = - i \left( x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} + \frac1{2} \right).</math>

Αυτή η βελτίωση της εικασίας Χίλμπερτ-Πόλια είναι γνωστή ως «εικασία Μπέρι» (ή «εικασία Μπέρι-Κίτινγκ»). Από το 2008, απέχει ακόμη αρκετά από το να είναι συγκεκριμένη, καθώς δεν είναι σαφές σε ποιο χώρο θα πρέπει να ενεργεί αυτός ο τελεστής για να έχουμε τη σωστή δυναμική, ούτε πώς να τον κανονικοποιήσουμε για να έχουμε τις αναμενόμενες λογαριθμικές διορθώσεις. Οι Μπέρι και Κίτινγκ υπέθεσαν ότι εφόσον αυτός ο τελεστής είναι αναλλοίωτος υπό διαστολές, ίσως η οριακή συνθήκη ''f''(''nx'')&nbsp;=&nbsp;''f''(''x'') για ακέραιο ''n'' μπορεί να βοηθήσει να πάρουμε τα σωστά ασυμπτωτικά αποτελέσματα που ισχύουν για μεγάλα ''n''.

:<math> \frac{1}{2} + i \frac{ 2\pi n}{\log n}. </math><ref>{{citation| last1=Berry | first1=Michael V. | author1-link =:en: Michael Berry (physicist) | last2=Keating | first2=Jonathan P. | year=1999b | url=http://empslocal.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/berry-keating1.pdf| title=The Riemann zeros and eigenvalue asymptotics |journal=SIAM Review|volume= 41|issue=2|pages=236–266 | doi=10.1137/s0036144598347497 |bibcode=1999SIAMR..41..236B}}.</ref>

Τον Μάρτιο του 2017 δημοσιεύθηκε μια εργασία των Καρλ Μ. Μπέντερ, Ντόρτζε Κ. Μπρόντι και Μάρκους Π. Μύλλερ <ref>{{citation| last1=Bender |first1=Carl M.| last2=Brody | first2=Dorje C. | last3=Müller | first3=Markus P. | arxiv=1608.03679| year=2017 | title = Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function|journal=Physical Review Letters| volume=118| issue=13| bibcode=2017PhRvL.118m0201B | doi=10.1103/PhysRevLett.118.130201 | pmid=28409977 | page=130201|s2cid=46816531}}.</ref> η οποία βασίζεται στην προσέγγιση του Μπέρι στο πρόβλημα. Εισήγαγαν τον τελεστή

:<math>\hat{H} = \frac{1}{1-e^{-i\hat{p}}} \left (\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x} \right ) \left (1-e^{-i\hat{p}} \right )</math>

ο οποίος, όπως ισχυρίστηκαν, ικανοποιούσε κάποιες τροποποιημένες εκδοχές των όρων της εικασίας Χίλμπερτ-Πόλια. Ο Ζαν Μπελισάρ επέκρινε την εργασία αυτή<ref>{{cite arXiv|last=Belissard|first=Jean|eprint=1704.02644 | year=2017 | title = Comment on "Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function"|mode=cs2|class=quant-ph}}</ref> και οι συγγραφείς απάντησαν με διευκρινίσεις.<ref>Bender, Carl M.; Brody, Dorje C.; Müller, Markus P. (2017). «Comment on 'Comment on "Hamiltonian for the zeros of the Riemann zeta function"'».
[https://arxiv.org/abs/1705.06767 arXiv:1705.06767] [https://arxiv.org/archive/quant-ph quant-ph]</ref> Επιπλέον, ο Φρέντερικ Μόξλεϊ προσέγγισε το πρόβλημα με μια εξίσωση Σρέντινγκερ<ref>{{cite conference|bibcode=2017AIPC.1905c0024M|title=A Schrödinger equation for solving the Bender-Brody-Müller conjecture| volume=1905|pages=030024|last=Moxley|first=Frederick|conference=13Th Imt-Gt International Conference on Mathematics|doi=10.1063/1.5012170|series=AIP Conference Proceedings|year=2017|issue=1}}</ref>

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/20405 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών]
* [https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/107/5/NumberTheory30Sep.pdf Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές]
* [https://repository.kallipos.gr/handle/11419/1045 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών]

== Δείτε επίσης ==
* [[Θεωρία αριθμών]]
* [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών]]
* [[Φυσικός λογάριθμος]]
* [[Πρώτος αριθμός Μερσέν]]
* [[Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί]]
* [[e (μαθηματική σταθερά)]]
* [[Πρώτος αριθμός]]
* [[Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί]]
* [[Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν]]
* [[Φυσικός αριθμός]]
* [[Εικασία του Λεζάντρ]]
* [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]]
* [[Αλγεβρική γεωμετρία]]
* [[Υπόθεση H του Σίνζελ]]
* [[Συνάρτηση Όιλερ]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]

== Βιβλιογραφία==
* {{Cite book|title=Equivalents of the Riemann Hypothesis: Volume 1, Arithmetic Equivalents|first=Kevin|last=Broughan|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-108-19541-6|date=2017-11-02|url=https://books.google.gr/books?id=vgRADwAAQBAJ&pg=PA282&dq=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOiv62-OmKAxWQUMMIHZx2IRIQ6AF6BAgKEAI#v=onepage&q=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=100 Years of Math Milestones: The Pi Mu Epsilon Centennial Collection|first=Stephan Ramon|last=Garcia|first2=Steven J.|last2=Miller|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-1-4704-3652-0|date=2019-06-13|url=https://books.google.gr/books?id=7qCdDwAAQBAJ&pg=PA407&dq=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOiv62-OmKAxWQUMMIHZx2IRIQ6AF6BAgHEAI#v=onepage&q=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Open Problems in Mathematics|first=John Forbes Nash|last=Jr|first2=Michael Th|last2=Rassias|publisher=Springer|isbn=978-3-319-32162-2|date=2016-07-05|url=https://books.google.gr/books?id=Fj2lDAAAQBAJ&pg=PA134&dq=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOiv62-OmKAxWQUMMIHZx2IRIQ6AF6BAgJEAI#v=onepage&q=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Prime Numbers: A Computational Perspective|first=Richard|last=Crandall|first2=Carl B.|last2=Pomerance|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-28979-3|date=2006-04-07|url=https://books.google.gr/books?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA426&dq=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOiv62-OmKAxWQUMMIHZx2IRIQ6AF6BAgFEAI#v=onepage&q=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Plasmon Resonances in Nanoparticles|first=I. D.|last=Mayergoyz|publisher=World Scientific|isbn=978-981-4350-65-5|date=2013|url=https://books.google.gr/books?id=USlbIBFjuSMC&pg=PA103&dq=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOiv62-OmKAxWQUMMIHZx2IRIQ6AF6BAgGEAI#v=onepage&q=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Recent Perspectives in Random Matrix Theory and Number Theory|first=F.|last=Mezzadri|first2=N. C.|last2=Snaith|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-62058-1|date=2005-06-21|url=https://books.google.gr/books?id=xMdOVmtur-4C&pg=PA175&dq=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOiv62-OmKAxWQUMMIHZx2IRIQ6AF6BAgMEAI#v=onepage&q=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Exchanges between Literature and Science from the 1800s to the 2000s: Converging Realms|first=Márcia|last=Lemos|publisher=Cambridge Scholars Publishing|isbn=978-1-4438-7605-6|date=2017-03-07|url=https://books.google.gr/books?id=6xNUDgAAQBAJ&pg=PA80&dq=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiOiv62-OmKAxWQUMMIHZx2IRIQ6AF6BAgNEAI#v=onepage&q=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=The Random Matrix Theory of the Classical Compact Groups|first=Elizabeth S.|last=Meckes|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-108-31799-3|date=2019-08-01|url=https://books.google.gr/books?id=BqCkDwAAQBAJ&pg=PA182&dq=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwivjvi7-emKAxWqRvEDHd_zKpI4ChDoAXoECAYQAg#v=onepage&q=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=The Theory of Hardy's Z-Function|first=A.|last=Ivić|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-02883-8|date=2013|url=https://books.google.gr/books?id=iphWE4ZV_f4C&pg=PA20&dq=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwivjvi7-emKAxWqRvEDHd_zKpI4ChDoAXoECAUQAg#v=onepage&q=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=The Mathematical Universe: From Pythagoras to Planck|first=Joel L.|last=Schiff|publisher=Springer Nature|isbn=978-3-030-50649-0|date=2020-11-18|url=https://books.google.gr/books?id=rOEJEAAAQBAJ&pg=PA98&dq=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwivjvi7-emKAxWqRvEDHd_zKpI4ChDoAXoECAgQAg#v=onepage&q=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Mathematical People: Profiles and Interviews|first=Donald|last=Albers|first2=Gerald L.|last2=Alexanderson|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4398-6517-0|date=2008-09-18|url=https://books.google.gr/books?id=1eHqBgAAQBAJ&pg=PA260&dq=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwivjvi7-emKAxWqRvEDHd_zKpI4ChDoAXoECA0QAg#v=onepage&q=%22Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya%20conjecture%22&f=false}}

== Παραπομπές ==
{{reflist}}
* {{citation|last=Aneva|first=B.|url=http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/aneva.pdf|title=Symmetry of the Riemann operator|year=1999|journal=Physics Letters B|volume=450|issue=4|pages= 388–396|doi=10.1016/s0370-2693(99)00172-0|arxiv=0804.1618|bibcode=|s2cid=222175681}}.
{{citation|last=Wolf|first=M.|url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6633/ab3de7|title=Will a physicist prove the Riemann hypothesis?|year=2020|journal=Reports on Progress in Physics|volume=83|issue=4|pages= 036001|doi=10.1088/1361-6633/ab3de7|pmid=31437818 |arxiv=1410.1214|bibcode=|s2cid=85450819}}.
*{{citation|last=Elizalde|first=Emilio|title=Zeta regularization techniques with applications|isbn=978-981-02-1441-8|publisher=World Scientific|year=1994|bibcode=1994zrta.book.....E}}. Here the author explains in what sense the problem of Hilbert–Polya is related with the problem of the Gutzwiller trace formula and what would be the value of the sum <math> \exp(i\gamma) </math> taken over the imaginary parts of the zeros.
* {{cite book | last=Pollack | first=Paul | chapter=An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field | pages=259–273 | editor1-last=De Koninck | editor1-first=Jean-Marie | editor1-link=:en:Jean-Marie De Koninck | editor2-last=Granville | editor2-first=Andrew | editor2-link=:en:Andrew Granville | editor3-last=Luca | editor3-first=Florian | title=Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006 | location=Providence, RI | publisher=[[:en:American Mathematical Society|American Mathematical Society]] | series=CRM Proceedings and Lecture Notes | volume=46 | year=2008 | isbn=978-0-8218-4406-9 | zbl=1187.11046 }}

== Πηγές ==
* {{Citation|last1=Apostol|first1=Thomas M.|author1-link=:en:Thomas M. Apostol|title=Introduction to Analytic Number Theory|publisher=Springer|location=New York|isbn=0-387-90163-9|year=1976|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0}}
* {{Citation|last1=Conway|first1=John Horton|author1-link=:en:John Horton Conway|last2=Guy|first2=Richard K.|author2-link=:en:Richard K. Guy|title=The Book of Numbers|publisher=Copernicus|location=New York|isbn=978-0-387-97993-9|year=1996}}
* {{Citation|last1=Crandall|first1=Richard|author1-link=:en:Richard Crandall|last2=Pomerance|first2=Carl|author2-link=:en:Carl Pomerance|title=Prime Numbers: A Computational Perspective|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|isbn=978-0-387-25282-7|year=2005}}
* {{Cite book|title=Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry|first=I. M.|last=Singer|first2=J. A.|last2=Thorpe|publisher=Springer|isbn=978-1-4615-7347-0|date=2015-05-28|url=https://books.google.gr/books?id=8u7LCQAAQBAJ&lpg=PP1&hl=fr&pg=PP1#v=onepage&q&f=false}}
* {{Cite book|title=Introduction to Analytic Number Theory|first=Tom M.|last=Apostol|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4757-5579-4|date=2013-06-29|url=https://books.google.gr/books?id=3yoBCAAAQBAJ&lpg=PR1&hl=fr&pg=PR1#v=onepage&q&f=false}}
* {{citation| last=Miller | first= P. D. | title= Applied Asymptotic Analysis | year= 2006 | publisher= [[:en:American Mathematical Society|American Mathematical Society]]|url=https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ| isbn= 9780821840788 }}
* {{Citation|last1=Apostol|first1=Thomas M.|author1-link=:en:Thomas M. Apostol|title=Introduction to Analytic Number Theory|publisher=Springer|location=New York|isbn=0-387-90163-9|year=1976|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0}}

{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Εικασία Χίλμπερτ-Πόλια}}
[[Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών]]
[[Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς]]
[[Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί]]
[[Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί]]
[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]]