Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Εικασία του Αρτέν για αρχικές ρίζες

Στη [[Θεωρία αριθμών|θεωρία των αριθμών]], η '''εικασία του Αρτέν για τις αρχικές ρίζες'''<ref>{{Cite journal|title=ARTIN'S CONJECTURE FOR PRIMITIVE ROOTS|url=https://academic.oup.com/qjmath/article-abstract/37/1/27/1515517|journal=The Quarterly Journal of Mathematics|date=1986-03-01|issn=0033-5606|pages=27–38|volume=37|issue=1|doi=10.1093/qmath/37.1.27|first=D. R.|last=HEATH-BROWN}}</ref> δηλώνει ότι ένας δεδομένος [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιος]] ''α'' που δεν είναι ούτε [[τετραγωνικός αριθμός]] ούτε -1 είναι μια αρχική [[Ρίζα (μαθηματικά)|ρίζα]]<ref>{{Cite web|url=https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf|title=Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου -σελίδα 294 primitive root}}</ref> σε άπειρους [[Πρώτος αριθμός|πρώτους αριθμούς]] ''p''. Η [[εικασία]] αποδίδει επίσης μια ασυμπτωτική πυκνότητα σε αυτούς τους [[Πρώτος αριθμός|πρώτους αριθμούς]]. Αυτή η εικαστική πυκνότητα ισούται με τη σταθερά του Αρτέν ή ένα [[Ρητός αριθμός|ρητό]] πολλαπλάσιο αυτής.

Η εικασία διατυπώθηκε από τον Εμίλ Αρτέν στον Χέλμουτ Χάσε στις 27 Σεπτεμβρίου 1927, σύμφωνα με το σημειωματάριο του τελευταίου. Η εικασία παραμένει άλυτη μέχρι το 2024. Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει καμία μοναδική τιμή του ''a'' για την οποία να αποδεικνύεται η εικασία του Αρτέν.

==Σχηματισμός==

Έστω ''α'' ένας [[ακέραιος αριθμός]] που δεν είναι [[Τετραγωνικός αριθμός|τετραγωνικός]] και δεν είναι &minus;1. Ας γράψουμε ''a''&nbsp;=&nbsp;''a''<sub>0</sub>''b''<sup>2</sup> με ''a''<sub>0</sub> χωρίς τετράγωνο. Συμβολίζουμε με ''S''(''a'')) το σύνολο των [[Πρώτος αριθμός|πρώτων αριθμών]] ''p'' που είναι τέτοιοι ώστε ο ''a'' να είναι μια αρχική ρίζα modulo ''p''. Τότε η εικασία δηλώνει 

# Η ''S''(''a'') έχει θετική ασυμπτωτική πυκνότητα μέσα στο σύνολο των [[Πρώτος αριθμός|πρώτων αριθμών]]. Ειδικότερα, το ''S''(''a'') είναι άπειρο.
# Υπό τις προϋποθέσεις ότι το ''a'' δεν είναι τέλεια δύναμη και ότι το ''a''<sub>0</sub> δεν είναι συμβατό με το 1 modulo 4 {{OEIS|id=A085397}}, η πυκνότητα αυτή είναι ανεξάρτητη από το ''a'' και ισούται με τη '''σταθερά του Αρτέν''',  η οποία μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο γινόμενο

#: <math>C_{\mathrm{Artin}}=\prod_{p\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right) = 0.3739558136\ldots</math> {{OEIS|A005596}}.

Παρόμοιοι εικαστικοί τύποι γινομένων<ref>
{{cite web|url=http://www.numericana.com/answer/constants.htm#artin|title=Artin's Constant|first1=Gerard P.|last1=Michon|date=2006-06-15|work=Numericana}}
</ref> υπάρχουν για την πυκνότητα όταν το ''a'' δεν ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η εικαστική πυκνότητα είναι πάντα ένα ρητό πολλαπλάσιο του ''C''<sub>Artin</sub>.

==Παράδειγμα==

Παραδείγματος χάριν, ας πάρουμε ''a'' = 2. Η εικασία ισχυρίζεται ότι το σύνολο των πρώτων ''p'' για το οποίο το 2 είναι μία αρχική ρίζα έχει την παραπάνω πυκνότητα ''C''<sub>Artin</sub>. Το σύνολο αυτών των [[Πρώτος αριθμός|πρώτων αριθμών]] είναι  {{OEIS|id=A001122}}) 
: ''S''(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, ...}.

Διαθέτει 38 στοιχεία μικρότερα από 500 και υπάρχουν 95 [[πρώτοι αριθμοί]] μικρότεροι από 500. Η αναλογία (η οποία υποθετικά τείνει προς  ''C''<sub>Artin</sub>)) είναι 38/95&nbsp;=&nbsp;2/5&nbsp;=&nbsp;0.4.

==Μερικά αποτελέσματα==

Το 1967, ο Κρίστοφερ Χούλεϊ δημοσίευσε μια υπό όρους απόδειξη της εικασίας, υποθέτοντας ορισμένες περιπτώσεις της [[Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν|γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν]]<ref>{{cite journal |last1=Hooley|first1=Christopher |year=1967 |title=On Artin's conjecture |journal=J. Reine Angew. Math. |volume=1967 |issue=225 |pages=209–220|mr=0207630|doi=10.1515/crll.1967.225.209|s2cid=117943829 }}</ref>.

Χωρίς τη [[γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν]], δεν υπάρχει μία μόνο τιμή του ''a'' για την οποία να αποδεικνύεται η εικασία του Αρτέν. Ο ΝΤ. Ρ. Χιθ-Μπράουν απέδειξε το 1986 (Πόρισμα 1) ότι τουλάχιστον μία από τις τιμές 2, 3 ή 5 είναι αρχική ρίζα modulo απείρως πολλούς πρώτους ''p''.<ref>{{ cite journal |author=D. R. Heath-Brown |title=Artin's Conjecture for Primitive Roots |journal=The Quarterly Journal of Mathematics |volume=37 |issue=1 |date=March 1986 |pages=27–38 |doi=10.1093/qmath/37.1.27}}</ref> Απέδειξε επίσης (Πόρισμα 2) ότι υπάρχουν το πολύ δύο πρώτοι για τους οποίους η εικασία του Αρτέν αποτυγχάνει.

== Μερικές παραλλαγές του προβλήματος του Αρτέν ==

=== Ελλειπτική καμπύλη ===
Μια ελλειπτική καμπύλη <math>E</math> που δίνεται από τη σχέση <math>y^2 = x^3+ax+b</math>, οι Λανγκ και Τρότερ έδωσαν μια εικασία για ρητά σημεία στην <math>E(\mathbb{Q})</math>  ανάλογη με την εικασία της αρχικής ρίζας του Αρτέν.<ref name=":0">{{Cite web |last=Moree |first=Pieter |title=Artin's Primitive Root Conjecture – a survey |url=http://guests.mpim-bonn.mpg.de/moree/surva.pdf}}</ref>

Συγκεκριμένα, είπαν ότι υπάρχει μια σταθερά <math>C_E</math> για ένα δεδομένο σημείο άπειρης τάξης <math>P</math> στο σύνολο των ρητών σημείων <math>E(\mathbb{Q})</math> τέτοια ώστε ο αριθμός <math>N(P)</math> των πρώτων αριθμών (<math>p\leq x</math>) για τους οποίους η αναγωγή του σημείου <math>P\pmod p</math> που συμβολίζεται με <math>\bar{P}</math> παράγει το σύνολο των σημείων του <math>\mathbb{F_p}</math> στο <math>\bar{E}(\mathbb{F_p})</math>, δίνεται από τη σχέση <math>N(P)\sim C_E\left ( \frac{x}{\log x} \right )</math>.<ref>{{Cite journal |last=Lang and 2 Trotter |date=1977 |title=Primitive points on Elliptic Curves |journal=Bull. Amer. Math. Soc. |volume=83 |issue=2 |pages=289–292|doi=10.1090/S0002-9904-1977-14310-3 |doi-access=free |url=https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society/volume-83/issue-2/Primitive-points-on-elliptic-curves/bams/1183538693.pdf }}</ref>, Εδώ αποκλείουμε τους πρώτους αριθμούς που διαιρούν τους παρονομαστές των συντεταγμένων του <math>P</math>.

 Οι Γκούπτα και Μέρτι απέδειξαν την εικασία των Λανγκ και Τρότερ για το <math>E/\mathbb{Q}</math> με μιγαδικό πολλαπλασιασμό υπό τη [[Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν|Γενικευμένη Υπόθεση Ρίμαν]], για πρώτους που χωρίζονται στο σχετικό φανταστικό τετραγωνικό σώμα.<ref>{{Cite journal |last=Gupta and Murty |date=1987 |title=Primitive points on elliptic curves |url=https://eudml.org/doc/89763 |journal=Compositio Mathematica |volume=58 |pages=13–44}}</ref>

=== Ακριβής διάταξη ===
Ο Κρισναμούρτι πρότεινε το ερώτημα πόσο συχνά η περίοδος του δεκαδικού αναπτύγματος <math>1/p</math> ενός πρώτου αριθμού <math>p</math> είναι άρτια.

Ο ισχυρισμός είναι ότι η περίοδος του δεκαδικού αναπτύγματος ενός πρώτου στη βάση <math>g</math> είναι άρτια αν και μόνο αν <math>g^\left ( \frac{p-1}{2^j} \right )\not\equiv1\bmod p</math> όπου <math>j\geq1</math> and <math>j</math> είναι μοναδικό και p είναι τέτοιο ώστε <math>p\equiv 1+2^j\mod{2^j}</math>.

Το αποτέλεσμα αποδείχθηκε από τον Χάσε το 1966.<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal |last=Hasse |first=H |date=1966 |title=About the density of prime numbers p, for a given integral number a not equal to 0 of even or odd order mod p |journal=Mathematische Annalen |pages=19–23|doi=10.1007/BF01361432 |s2cid=121171472 }}</ref>

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/20405 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών]

== Δείτε επίσης ==
* [[Θεωρία αριθμών]]
* [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών]]
* [[Φυσικός λογάριθμος]]
* [[Πρώτος αριθμός Μερσέν]]
* [[e (μαθηματική σταθερά)]]
* [[Πρώτος αριθμός]]
* [[Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί]]
* [[Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν]]
* [[Φυσικός αριθμός]]
* [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]]
* [[Αλγεβρική γεωμετρία]]
* [[Αριθμητική πρόοδος]]
* [[Συνάρτηση Όιλερ]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]

== Βιβλιογραφία==
* {{Cite book|title=Number Theoretic Methods: Future Trends|first=Shigeru|last=Kanemitsu|first2=Chaohua|last2=Jia|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4757-3675-5|date=2013-03-14|url=https://books.google.gr/books?id=G0P2BwAAQBAJ&pg=PA231&dq=%22Artin's+conjecture+on+primitive+roots%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjL4vH58dWKAxUCSfEDHdNtBrgQ6AF6BAgLEAI#v=onepage&q=%22Artin's%20conjecture%20on%20primitive%20roots%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Emil Artin and Helmut Hasse: The Correspondence 1923-1958|first=Günther|last=Frei|first2=Franz|last2=Lemmermeyer|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-0348-0715-9|date=2014-01-16|url=https://books.google.gr/books?id=6rDBBAAAQBAJ&pg=PA214&dq=%22Artin's+conjecture+on+primitive+roots%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjL4vH58dWKAxUCSfEDHdNtBrgQ6AF6BAgGEAI#v=onepage&q=%22Artin's%20conjecture%20on%20primitive%20roots%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers|first=Wladyslaw|last=Narkiewicz|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-662-07001-7|date=2013-06-29|url=https://books.google.gr/books?id=3FbuCAAAQBAJ&pg=PA308&dq=%22Artin's+conjecture+on+primitive+roots%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjL4vH58dWKAxUCSfEDHdNtBrgQ6AF6BAgEEAI#v=onepage&q=%22Artin's%20conjecture%20on%20primitive%20roots%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Cryptography and Coding: 9th IMA International Conference, Cirencester, UK, December 16-18, 2003, Proceedings|first=Kenneth G.|last=Paterson|first2=Institute of Mathematics and Its|last2=Applications|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-20663-7|date=2003-12-03|url=https://books.google.gr/books?id=-V4G3gVR0VgC&pg=PA188&dq=%22Artin's+conjecture+on+primitive+roots%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjL4vH58dWKAxUCSfEDHdNtBrgQ6AF6BAgIEAI#v=onepage&q=%22Artin's%20conjecture%20on%20primitive%20roots%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Number Theory for the Millennium III|first=M. A.|last=Bennett|first2=Bruce|last2=Berndt|publisher=CRC Press|isbn=978-0-429-61141-4|date=2023-03-17|url=https://books.google.gr/books?id=F7CzEAAAQBAJ&pg=PA46&dq=%22Artin's+conjecture+on+primitive+roots%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjL4vH58dWKAxUCSfEDHdNtBrgQ6AF6BAgKEAI#v=onepage&q=%22Artin's%20conjecture%20on%20primitive%20roots%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Handbook of Number Theory I|first=József|last=Sándor|first2=Dragoslav S.|last2=Mitrinovic|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4020-4215-7|date=2005-11-17|url=https://books.google.gr/books?id=XT1-HjeXFgYC&pg=PA541&dq=%22Artin's+conjecture+on+primitive+roots%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjL4vH58dWKAxUCSfEDHdNtBrgQ6AF6BAgHEAI#v=onepage&q=%22Artin's%20conjecture%20on%20primitive%20roots%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Number Theory in Function Fields|first=Michael|last=Rosen|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4757-6046-0|date=2013-04-18|url=https://books.google.gr/books?id=YWjmBwAAQBAJ&pg=PA150&dq=%22Artin's+conjecture+on+primitive+roots%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjL4vH58dWKAxUCSfEDHdNtBrgQ6AF6BAgJEAI#v=onepage&q=%22Artin's%20conjecture%20on%20primitive%20roots%22&f=false}}
* {{Cite book|title=An Introduction to Number Theory with Cryptography|first=James S.|last=Kraft|first2=Lawrence C.|last2=Washington|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4822-1442-0|date=2016-04-19|url=https://books.google.gr/books?id=mYLSBQAAQBAJ&pg=PA217&dq=%22Artin's+conjecture+on+primitive+roots%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjL4vH58dWKAxUCSfEDHdNtBrgQ6AF6BAgNEAI#v=onepage&q=%22Artin's%20conjecture%20on%20primitive%20roots%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Mathematics of Complexity and Dynamical Systems|first=Robert A.|last=Meyers|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4614-1805-4|date=2011-10-05|url=https://books.google.gr/books?id=iXEmLUcXAPcC&pg=PA322&dq=%22Artin's+conjecture+on+primitive+roots%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj56KbR89WKAxViR_EDHRx6Afc4FBDoAXoECAYQAg#v=onepage&q=%22Artin's%20conjecture%20on%20primitive%20roots%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Selecta: Diophantine problems and polynomials|first=Andrzej|last=Schinzel|publisher=European Mathematical Society|isbn=978-3-03719-038-8|date=2007|url=https://books.google.gr/books?id=REsX1Viig-EC&pg=PA1106&dq=%22Artin's+conjecture+on+primitive+roots%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjY8aX98tWKAxXuB9sEHabuJ244ChDoAXoECAkQAg#v=onepage&q=%22Artin's%20conjecture%20on%20primitive%20roots%22&f=false}}

== Παραπομπές ==
{{reflist}}
* {{Cite book|title=Number Theory for the Millennium II|first=Bruce|last=Berndt|publisher=CRC Press|isbn=978-0-429-61140-7|date=2024-07-31|url=https://books.google.gr/books?id=Iq8SEQAAQBAJ&pg=PA3&dq=%22Polignac's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjo8s_Jo9WKAxWLRPEDHcsPMto4FBDoAXoECA0QAg#v=onepage&q=%22Polignac's%20conjecture%22&f=false}}
*{{cite book
|author= Dickson, L. E.
|author-link=:en: Leonard Eugene Dickson
|title= [[:en:History of the Theory of Numbers|History of the Theory of Numbers]]
|publisher= Carnegie Institute of Washington
|year= 1919
|ol=6616242M
|page= [https://archive.org/details/historyoftheoryo01dick_1/page/31 31] }} Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.
* {{Cite book|title=The Secret Lives of Numbers: Numerals and Their Peculiarities in Mathematics and Beyond|first=Alfred S.|last=Posamentier|publisher=Rowman & Littlefield|isbn=978-1-63388-761-9|date=2022-07-01|url=https://books.google.gr/books?id=bIhlEAAAQBAJ&pg=PA135&dq=%22Polignac's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiKkZLVpNWKAxUscfEDHReGHDQ4HhDoAXoECAUQAg#v=onepage&q=%22Polignac's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Erdös Centennial|first=László|last=Lovász|first2=Imre|last2=Ruzsa|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-642-39286-3|date=2014-01-24|url=https://books.google.gr/books?id=7_zFBAAAQBAJ&pg=PA505&dq=%22Polignac's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiKkZLVpNWKAxUscfEDHReGHDQ4HhDoAXoECAwQAg#v=onepage&q=%22Polignac's%20conjecture%22&f=false}}

== Πηγές ==
*Alphonse de Polignac, [https://books.google.com/books?id=O6EKAAAAYAAJ Recherches nouvelles sur les nombres premiers]. ''Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences'' (1849)
*{{Cite web|url=https://mast.queensu.ca/~murty/intelligencer.pdf|title=Artin's conjecture for primitive roots - Queen's University}}
*{{MathWorld|urlname=ArtinsConstant|title=ArtinsConstant}}
* {{Cite book|title=Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry|first=I. M.|last=Singer|first2=J. A.|last2=Thorpe|publisher=Springer|isbn=978-1-4615-7347-0|date=2015-05-28|url=https://books.google.gr/books?id=8u7LCQAAQBAJ&lpg=PP1&hl=fr&pg=PP1#v=onepage&q&f=false}}
* {{Cite book|title=Introduction to Analytic Number Theory|first=Tom M.|last=Apostol|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4757-5579-4|date=2013-06-29|url=https://books.google.gr/books?id=3yoBCAAAQBAJ&lpg=PR1&hl=fr&pg=PR1#v=onepage&q&f=false}}
* {{citation| last=Miller | first= P. D. | title= Applied Asymptotic Analysis | year= 2006 | publisher= [[:en:American Mathematical Society|American Mathematical Society]]|url=https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ| isbn= 9780821840788 }}
* {{Citation|last1=Apostol|first1=Thomas M.|author1-link=:en:Thomas M. Apostol|title=Introduction to Analytic Number Theory|publisher=Springer|location=New York|isbn=0-387-90163-9|year=1976|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0}}

{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:Εικασία του Αρτέν για αρχικές ρίζες}}

[[Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών]]
[[Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς]]
[[Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί]]
[[Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί]]
[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]]