Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Εικασία του Καταλάν

Η '''εικασία του Καταλάν''' (ή το '''θεώρημα του Μιχαϊλέσκου''') είναι ένα θεώρημα στη [[Θεωρία αριθμών|θεωρία των αριθμών]] που εικάστηκε από τον μαθηματικό Εζέν Σαρλ Καταλάν το 1844 και αποδείχθηκε το 2002 από την Πρέντα Μιχαϊλέσκου στο Πανεπιστήμιο του Πάντερμπορν.<ref>{{Citation |last=Weisstein |first=Eric W. |author-link=:en:Eric W. Weisstein |title=Catalan's conjecture |publisher=[[MathWorld]] |url=https://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html }}</ref><ref>{{Harvnb|Mihăilescu|2004}}</ref>  Οι [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιοι]] 2<sup>3</sup> και 3<sup>2</sup>  είναι δύο τέλειες δυνάμεις (δηλαδή δυνάμεις εκθέτη μεγαλύτερου του ενός) [[Φυσικός αριθμός|φυσικών αριθμών]] των οποίων οι τιμές (8 και 9, αντίστοιχα) είναι διαδοχικές. Το θεώρημα δηλώνει ότι αυτή είναι η μοναδική περίπτωση δύο διαδοχικών τέλειων δυνάμεων. Δηλαδή, ότι 

 '''Η εικασία του Καταλάν''' - η μόνη λύση στους φυσικούς αριθμούς του 
  <math>x^a - y^b = 1</math>
 για {{math|''a'', ''b'' &gt; 1}}, {{math|''x'', ''y'' &gt; 0}} is {{math|''x'' {{=}} 3}}, {{math|''a'' {{=}} 2}}, {{math|''y'' {{=}} 2}}, {{math|''b'' {{=}} 3}}.

==Ιστορία==
Η ιστορία του προβλήματος χρονολογείται τουλάχιστον από τον Γκερσονίδη, ο οποίος απέδειξε μια ειδική περίπτωση της εικασίας το 1343, όπου (''x'', ''y'') περιορίστηκε να είναι (2, 3) ή (3, 2).  Η πρώτη σημαντική πρόοδος μετά την εικασία του Καταλάν, ήρθε το 1850, όταν ο Βικτόρ-Αμεντί Λεμπεσγκ  ασχολήθηκε με την περίπτωση ''b'' = 2.<ref>{{citation | author=Victor-Amédée Lebesgue | author-link=:en:Victor-Amédée Lebesgue | title=Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation ''x<sup>m</sup>''=''y''<sup>2</sup>+1 | journal=Nouvelles annales de mathématiques | series=1<sup>re</sup> série | volume=9 | year=1850 | pages=178–181 }}</ref>

Το 1976, ο Ρόμπερτ Τίζντεμαν εφάρμοσε τη μέθοδο του Μπέικερ στη θεωρία της υπερβατικότητας για να καθορίσει ένα [[Φράγμα (μαθηματικά)|φράγμα]] για τα ''a'', ''b'' και χρησιμοποίησε τα υπάρχοντα αποτελέσματα που οριοθετούσαν τα ''x'', ''y'' ως προς τα ''a'', ''b'' για να δώσει ένα αποτελεσματικό άνω [[Φράγμα (μαθηματικά)|φράγμα]] για τα ''x'', ''y'', ''a'', ''b''. Ο Μισέλ Λανγκεβέν υπολόγισε μια τιμή <math>\exp \exp \exp \exp 730 \approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}</math>  για το όριο,<ref>{{citation | title=13 Lectures on Fermat's Last Theorem | first=Paulo | last=Ribenboim | author-link=:en:Paulo Ribenboim | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1979 | isbn=0-387-90432-8 | zbl=0456.10006 | page=236 }}</ref>  επιλύοντας την εικασία του Καταλάν για όλες τις περιπτώσεις εκτός από έναν πεπερασμένο αριθμό περιπτώσεων.

Η εικασία του Καταλάν αποδείχθηκε από τον Πρέντα Μιχαηλέσκου τον Απρίλιο του 2002. Η απόδειξη δημοσιεύθηκε στο J''ournal für die reine und angewandte Mathematik'', 2004. Κάνει εκτεταμένη χρήση της θεωρίας των [[Κυκλοτομικό σώμα|κυκλοτομικών σωμάτων]] και των modules Γαλουά. Μια έκθεση της απόδειξης δόθηκε από τον Γιούρι Μπίλου στο Σεμινάριο Μπουρμπακί.<ref>{{Citation | last1=Bilu | first1=Yuri | title=Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923 | series=Astérisque | year=2004 | volume=294 | chapter= Catalan's conjecture | pages=1–26| chapter-url=http://www.numdam.org/book-part/SB_2002-2003__45__1_0/ }}</ref> Το 2005, ο Μιχαϊλέσκου δημοσίευσε μια απλουστευμένη απόδειξη<ref>{{Harvnb|Mihăilescu|2005}}</ref>.

==Εικασία του Πιλάι==
Η εικασία του ''' Πιλάι''' αφορά μια γενική διαφορά των τέλειων δυνάμεων {{OEIS|id=A001597}}: πρόκειται για ένα ανοιχτό πρόβλημα που αρχικά προτάθηκε από τον Πιλάι (Pillai]), ο οποίος υπέθεσε ότι τα κενά στην ακολουθία των τέλειων δυνάμεων τείνουν στο άπειρο.  Αυτό είναι ισοδύναμο με το να πούμε ότι κάθε θετικός ακέραιος αριθμός εμφανίζεται μόνο πεπερασμένες φορές ως διαφορά τέλειων δυνάμεων: Γενικότερα, το 1931 ο Πιλάι υπέθεσε ότι για σταθερούς θετικούς [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιους]] ''A'', ''B'', ''C'' η εξίσωση <math>Ax^n - By^m = C</math> έχει μόνο πεπερασμένα πολλές λύσεις (''x'',&nbsp, ''y'',&nbsp;''m'',&nbsp;''n'') με (''m'',&nbsp;''n'') ≠ (2,&nbsp;2).  Ο Πιλάι απέδειξε ότι για σταθερά ''A'', ''B'', ''x'', ''y'', και για κάθε λ μικρότερο του 1, έχουμε <math>|Ax^n - By^m| \gg x^{\lambda n}</math> ομοιόμορφα στο ''m'' και ''n''.<ref name=rnt>{{citation | pages=[https://archive.org/details/rationalnumberth00nark/page/n261 253]–254 | title=Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT | url=https://archive.org/details/rationalnumberth00nark | url-access=limited | series=Springer Monographs in Mathematics | first=Wladyslaw | last=Narkiewicz | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2011 | isbn=978-0-857-29531-6}}</ref>

Η γενική εικασία προκύπτει από την εικασία ABC.<ref name=rnt/><ref>{{citation | last=Schmidt | first=Wolfgang M. | author-link=:en:Wolfgang M. Schmidt | title=Diophantine approximations and Diophantine equations | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=1467 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1996 | edition=2nd | isbn=3-540-54058-X | zbl=0754.11020 | page=207}}</ref>

Η εικασία του Πιλάι υποδηλώνει ότι για κάθε φυσικό αριθμό ''n'', υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλά ζεύγη τέλειων δυνάμεων με διαφορά ''n''. Ο παρακάτω κατάλογος δείχνει, για ''n''&nbsp;≤&nbsp;64, όλες τις λύσεις για τέλειες δυνάμεις μικρότερες από 10<sup>18</sup>, τέτοιες ώστε ο εκθέτης και των δύο δυνάμεων να είναι μεγαλύτερος από 1. Ο αριθμός τέτοιων λύσεων για κάθε ''n'' παρατίθεται στη διεύθυνση {{oeis|id=A076427}}. Δείτε επίσης {{oeis|id=A103953}} για τη μικρότερη λύση (&gt;&nbsp;0).

{|class="wikitable" style="border:none;text-align:right;"
! ''n''
! λύση<br />μέτρηση
! Αριθμοί ''k'' τέτοιοι ώστε ''k'' και ''k'' + ''n''<br />να είναι και οι δύο τέλειες δυνάμεις
|rowspan="33" style="padding:2px;background:white;border:none;"|
! ''n''
! λύση<br />μέτρηση
! Αριθμοί ''k'' τέτοιοι ώστε ''k'' και ''k'' + ''n''<br />να είναι και οι δύο τέλειες δυνάμεις
|-
| 1 || 1 ||style="text-align:left"| 8
| 33 || 2 ||style="text-align:left"| 16, 256
|-
| 2 || 1 ||style="text-align:left"| 25
| 34 || 0 ||style="text-align:left"| ''none''
|-
| 3 || 2 ||style="text-align:left"| 1, 125
| 35 || 3 ||style="text-align:left"| 1, 289, 1296
|-
| 4 || 3 ||style="text-align:left"| 4, 32, 121
| 36 || 2 ||style="text-align:left"| 64, 1728
|-
| 5 || 2 ||style="text-align:left"| 4, 27
| 37 || 3 ||style="text-align:left"| 27, 324, {{val|14348907}}
|-
| 6 || 0 ||style="text-align:left"| ''none''
| 38 || 1 ||style="text-align:left"| 1331
|-
| 7 || 5 ||style="text-align:left"| 1, 9, 25, 121, {{val|32761}}
| 39 || 4 ||style="text-align:left"| 25, 361, 961, {{val|10609}}
|-
| 8 || 3 ||style="text-align:left"| 1, 8, {{val|97336}}
| 40 || 4 ||style="text-align:left"| 9, 81, 216, 2704
|-
| 9 || 4 ||style="text-align:left"| 16, 27, 216, {{val|64000}}
| 41 || 3 ||style="text-align:left"| 8, 128, 400
|-
| 10 || 1 ||style="text-align:left"| 2187
| 42 || 0 ||style="text-align:left"| ''none''
|-
| 11 || 4 ||style="text-align:left"| 16, 25, 3125, 3364
| 43 || 1 ||style="text-align:left"| 441
|-
| 12 || 2 ||style="text-align:left"| 4, 2197
| 44 || 3 ||style="text-align:left"| 81, 100, 125
|-
| 13 || 3 ||style="text-align:left"| 36, 243, 4900
| 45 || 4 ||style="text-align:left"| 4, 36, 484, 9216
|-
| 14 || 0 ||style="text-align:left"| ''none''
| 46 || 1 ||style="text-align:left"| 243
|-
| 15 || 3 ||style="text-align:left"| 1, 49, {{val|1295029}}
| 47 || 6 ||style="text-align:left"| 81, 169, 196, 529, 1681, {{val|250000}}
|-
| 16 || 3 ||style="text-align:left"| 9, 16, 128
| 48 || 4 ||style="text-align:left"| 1, 16, 121, 21904
|-
| 17 || 7 ||style="text-align:left"| 8, 32, 64, 512, {{val|79507}}, {{val|140608}}, {{val|143384152904}}
| 49 || 3 ||style="text-align:left"| 32, 576, {{val|274576}}
|-
| 18 || 3 ||style="text-align:left"| 9, 225, 343
| 50 || 0 ||style="text-align:left"| ''none''
|-
| 19 || 5 ||style="text-align:left"| 8, 81, 125, 324, {{val|503284356}}
| 51 || 2 ||style="text-align:left"| 49, 625
|-
| 20 || 2 ||style="text-align:left"| 16, 196
| 52 || 1 ||style="text-align:left"| 144
|-
| 21 || 2 ||style="text-align:left"| 4, 100
| 53 || 2 ||style="text-align:left"| 676, {{val|24336}}
|-
| 22 || 2 ||style="text-align:left"| 27, 2187
| 54 || 2 ||style="text-align:left"| 27, 289
|-
| 23 || 4 ||style="text-align:left"| 4, 9, 121, 2025
| 55 || 3 ||style="text-align:left"| 9, 729, {{val|175561}}
|-
| 24 || 5 ||style="text-align:left"| 1, 8, 25, 1000, {{val|542939080312}}
| 56 || 4 ||style="text-align:left"| 8, 25, 169, 5776
|-
| 25 || 2 ||style="text-align:left"| 100, 144
| 57 || 3 ||style="text-align:left"| 64, 343, 784
|-
| 26 || 3 ||style="text-align:left"| 1, {{val|42849}}, {{val|6436343}}
| 58 || 0 ||style="text-align:left"| ''none''
|-
| 27 || 3 ||style="text-align:left"| 9, 169, 216
| 59 || 1 ||style="text-align:left"| 841
|-
| 28 || 7 ||style="text-align:left"| 4, 8, 36, 100, 484, {{val|50625}}, {{val|131044}}
| 60 || 4 ||style="text-align:left"| 4, 196, {{val|2515396}}, {{val|2535525316}}
|-
| 29 || 1 ||style="text-align:left"| 196
| 61 || 2 ||style="text-align:left"| 64, 900
|-
| 30 || 1 ||style="text-align:left"| 6859
| 62 || 0 ||style="text-align:left"| ''none''
|-
| 31 || 2 ||style="text-align:left"| 1, 225
| 63 || 4 ||style="text-align:left"| 1, 81, 961, {{val|183250369}}
|-
| 32 || 4 ||style="text-align:left"| 4, 32, 49, 7744
| 64 || 4 ||style="text-align:left"| 36, 64, 225, 512
|}

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/20405 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών]
* [https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/107/5/NumberTheory30Sep.pdf Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές]
* [https://repository.kallipos.gr/handle/11419/1045 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών]

== Δείτε επίσης ==
* [[Θεωρία αριθμών]]
* [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών]]
* [[Φυσικός λογάριθμος]]
* [[Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ]]
* [[Κυκλοτομικό σώμα]]
* [[e (μαθηματική σταθερά)]]
* [[Πυθαγόρεια τετράδα]]
* [[Άρτιοι και περιττοί αριθμοί]]
* [[Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί]]
* [[Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν]]
* [[Προβλήματα του Λαντάου]]
* [[Αριθμοί των Ταξί]]
* [[Εικασία του Γκόλντμπαχ]]
* [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]]
* [[Αλγεβρική γεωμετρία]]
* [[Υπόθεση H του Σίνζελ]]
* [[Συνάρτηση Όιλερ]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]

== Βιβλιογραφία==
* {{Cite book|title=Catalan's Conjecture|first=René|last=Schoof|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-84800-185-5|date=2010-07-08|url=https://books.google.gr/books?id=80jxfDJ2G98C&pg=PP1&dq=%22Catalan's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjoseXgioCLAxVzBtsEHcapAI0Q6AF6BAgKEAI#v=onepage&q=%22Catalan's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=European Congress of Mathematics: Stockholm, June 27-July 2, 2004|first=Ari|last=Laptev|publisher=European Mathematical Society|isbn=978-3-03719-009-8|date=2005|url=https://books.google.gr/books?id=lsgcqL5_nHYC&pg=PA325&dq=%22Catalan's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjoseXgioCLAxVzBtsEHcapAI0Q6AF6BAgHEAI#v=onepage&q=%22Catalan's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=CRC Concise Encyclopedia of Mathematics|first=Eric W.|last=Weisstein|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4200-3522-3|date=2002-12-12|url=https://books.google.gr/books?id=D_XKBQAAQBAJ&pg=PA344&dq=%22Catalan's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjoseXgioCLAxVzBtsEHcapAI0Q6AF6BAgMEAI#v=onepage&q=%22Catalan's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=The Art of Mathematics – Take Two: Tea Time in Cambridge|first=Béla|last=Bollobás|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-108-83327-1|date=2022-06-30|url=https://books.google.gr/books?id=TPxvEAAAQBAJ&pg=PA163&dq=%22Catalan's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjoseXgioCLAxVzBtsEHcapAI0Q6AF6BAgFEAI#v=onepage&q=%22Catalan's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Computing Science, Communication and Security|first=Nirbhay|last=Chaubey|publisher=Springer Nature|isbn=978-3-031-75170-7|date=2024|url=https://books.google.gr/books?id=0fA4EQAAQBAJ&pg=PA247&dq=%22Catalan's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjoseXgioCLAxVzBtsEHcapAI0Q6AF6BAgGEAI#v=onepage&q=%22Catalan's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Fundamental Number Theory with Applications|first=Richard A.|last=Mollin|publisher=CRC Press|isbn=978-0-8493-3987-5|date=1997-09-10|url=https://books.google.gr/books?id=Fsaa3MUUQYkC&pg=PA379&dq=%22Catalan's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjoseXgioCLAxVzBtsEHcapAI0Q6AF6BAgNEAI#v=onepage&q=%22Catalan's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=A Modern Introduction To Classical Number Theory|first=Tianxin|last=Cai|publisher=World Scientific|isbn=978-981-12-1831-6|date=2021-07-21|url=https://books.google.gr/books?id=GoM8EAAAQBAJ&pg=PA276&dq=%22Catalan's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjx08Hei4CLAxUlAtsEHan-BJ84ChDoAXoECAsQAg#v=onepage&q=%22Catalan's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory|first=Paulo|last=Ribenboim|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-22754-2|date=2006-05-10|url=https://books.google.gr/books?id=t9ERBwAAQBAJ&pg=PA34&dq=%22Catalan's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjx08Hei4CLAxUlAtsEHan-BJ84ChDoAXoECAgQAg#v=onepage&q=%22Catalan's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations: A Computational Cookbook|first=Nigel P.|last=Smart|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-64633-8|date=1998-11-12|url=https://books.google.gr/books?id=faYE_41prOkC&pg=PA222&dq=%22Catalan's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjx08Hei4CLAxUlAtsEHan-BJ84ChDoAXoECAYQAg#v=onepage&q=%22Catalan's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Quadratics|first=Richard A.|last=Mollin|publisher=CRC Press|isbn=978-1-351-42077-8|date=2018-04-27|url=https://books.google.gr/books?id=DksPEAAAQBAJ&pg=PA36&dq=%22Catalan's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjx08Hei4CLAxUlAtsEHan-BJ84ChDoAXoECAwQAg#v=onepage&q=%22Catalan's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Combinatorial and Additive Number Theory IV: CANT, New York, USA, 2019 and 2020|first=Melvyn B.|last=Nathanson|publisher=Springer Nature|isbn=978-3-030-67996-5|date=2021-08-12|url=https://books.google.gr/books?id=VVw9EAAAQBAJ&pg=PA386&dq=%22Catalan's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjx08Hei4CLAxUlAtsEHan-BJ84ChDoAXoECAoQAg#v=onepage&q=%22Catalan's%20conjecture%22&f=false}}

== Παραπομπές ==
{{reflist}}
* {{citation | first=Yuri | last=Bilu | title=Catalan's conjecture (after Mihăilescu) | journal=[[:en:Astérisque|Astérisque]] | volume=294 | year=2004 | pages=vii, 1–26 | mr=2111637 }}
* {{citation | last=Catalan | first=Eugene | year=1844 | title=Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur | language=fr | journal=[[:en:J. Reine Angew. Math.|J. Reine Angew. Math.]] | pages=192 | doi=10.1515/crll.1844.27.192 | volume=27 | mr=1578392| url=https://zenodo.org/record/1448842 }}
* {{cite conference | last=Cohen | first=Henri | year=2005 | title=Démonstration de la conjecture de Catalan | language=fr | trans-title=A proof of the Catalan conjecture | conference=Théorie algorithmique des nombres et équations diophantiennes | publisher=Éditions de l'École Polytechnique | mr=222434 | location=Palaiseau | isbn=2-7302-1293-0 | pages=1–83}}
* {{citation | first=Tauno | last=Metsänkylä | title=Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved | journal=[[:en:Bulletin of the American Mathematical Society|Bulletin of the American Mathematical Society]] | volume=41 | year=2004 | issue=1 | pages=43–57 | doi=10.1090/S0273-0979-03-00993-5 | mr=2015449| url=https://www.ams.org/journals/bull/2004-41-01/S0273-0979-03-00993-5/S0273-0979-03-00993-5.pdf | doi-access=free }}
* {{citation | first=Preda | last=Mihăilescu | author-link=:en:Preda Mihăilescu | title=Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture | journal=[[:en:J. Reine Angew. Math.|J. Reine Angew. Math.]] | volume=2004 | issue=572 | year=2004 | pages=167–195 | doi=10.1515/crll.2004.048 |mr=2076124}}
* {{citation | first=Preda | last=Mihăilescu | title=Reflection, Bernoulli numbers and the proof of Catalan's conjecture | journal=European Congress of Mathematics | year=2005 | pages=325–340 | publisher=Eur. Math. Soc. | location=Zurich | mr=2185753 | url=https://www.uni-math.gwdg.de/preda/mihailescu-papers/catber.pdf | archive-url=https://web.archive.org/web/20220626111548/https://www.uni-math.gwdg.de/preda/mihailescu-papers/catber.pdf | archive-date=2022-06-26 | url-status=dead | accessdate=2025-01-19 | archivedate=2022-06-26 | archiveurl=https://web.archive.org/web/20220626111548/https://www.uni-math.gwdg.de/preda/mihailescu-papers/catber.pdf | deadurl= }}
* {{citation | first=Paulo | last=Ribenboim | author-link=:en:Paulo Ribenboim | title=Catalan's Conjecture | publisher=Academic Press, Inc. | location=Boston, MA | year=1994 | isbn=0-12-587170-8 | mr=1259738}}  Predates Mihăilescu's proof.
* {{citation | first=Robert | last=Tijdeman | author-link=:en:Robert Tijdeman | title=On the equation of Catalan | journal=[[:en:Acta Arith.|Acta Arith.]] | volume=29 | issue=2 | year=1976 | pages=197–209 | mr=0404137 | doi=10.4064/aa-29-2-197-209| url=https://www.impan.pl/shop/publication/transaction/download/product/100989?download.pdf | doi-access=free }}
* {{cite book | last=Pollack | first=Paul | chapter=An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field | pages=259–273 | editor1-last=De Koninck | editor1-first=Jean-Marie | editor1-link=:en:Jean-Marie De Koninck | editor2-last=Granville | editor2-first=Andrew | editor2-link=:en:Andrew Granville | editor3-last=Luca | editor3-first=Florian | title=Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006 | location=Providence, RI | publisher=[[:en:American Mathematical Society|American Mathematical Society]] | series=CRM Proceedings and Lecture Notes | volume=46 | year=2008 | isbn=978-0-8218-4406-9 | zbl=1187.11046 }}

== Πηγές ==
* {{Citation|last1=Apostol|first1=Thomas M.|author1-link=:en:Thomas M. Apostol|title=Introduction to Analytic Number Theory|publisher=Springer|location=New York|isbn=0-387-90163-9|year=1976|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0}}
* {{Citation|last1=Conway|first1=John Horton|author1-link=:en:John Horton Conway|last2=Guy|first2=Richard K.|author2-link=:en:Richard K. Guy|title=The Book of Numbers|publisher=Copernicus|location=New York|isbn=978-0-387-97993-9|year=1996}}
* {{Citation|last1=Crandall|first1=Richard|author1-link=:en:Richard Crandall|last2=Pomerance|first2=Carl|author2-link=:en:Carl Pomerance|title=Prime Numbers: A Computational Perspective|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|isbn=978-0-387-25282-7|year=2005}}
* {{Cite book|title=Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry|first=I. M.|last=Singer|first2=J. A.|last2=Thorpe|publisher=Springer|isbn=978-1-4615-7347-0|date=2015-05-28|url=https://books.google.gr/books?id=8u7LCQAAQBAJ&lpg=PP1&hl=fr&pg=PP1#v=onepage&q&f=false}}
* {{Cite book|title=Introduction to Analytic Number Theory|first=Tom M.|last=Apostol|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4757-5579-4|date=2013-06-29|url=https://books.google.gr/books?id=3yoBCAAAQBAJ&lpg=PR1&hl=fr&pg=PR1#v=onepage&q&f=false}}
* {{citation| last=Miller | first= P. D. | title= Applied Asymptotic Analysis | year= 2006 | publisher= [[:en:American Mathematical Society|American Mathematical Society]]|url=https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ| isbn= 9780821840788 }}
* {{Citation|last1=Apostol|first1=Thomas M.|author1-link=:en:Thomas M. Apostol|title=Introduction to Analytic Number Theory|publisher=Springer|location=New York|isbn=0-387-90163-9|year=1976|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0}}

{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:Εικασία του Καταλάν}}

[[Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις]]
[[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών]]
[[Κατηγορία:Θεωρία αριθμών]]
[[Κατηγορία:Εικασίες]]
[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]]