Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Εικασία του Λεζάντρ

Η '''εικασία του Λεζάντρ''', που προτάθηκε από τον [[Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ]], δηλώνει ότι υπάρχει ένας [[πρώτος αριθμός]] μεταξύ <math>n^2</math> και <math>(n+1)^2</math> για κάθε [[Φυσικός αριθμός|θετικος ακέραιος]]. <math>n</math>.<ref>{{Cite book|last1=Legendre|first1=Adriene Marie|title=Essai sur la Théorie des Nombres|url=https://books.google.com/books?id=oyDmQ8LedIoC|edition=2|date=1808|publisher=Chez Courcier|location=Paris|language=French|oclc=|doi=|pages=405-406}}
</ref>
Η εικασία είναι ένα από τα προβλήματα του Λαντάου (1912)<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/LandausProblems.html|title=Landau's Problems|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|accessdate=2024-12-26}}</ref> σχετικά με τους [[Πρώτος αριθμός|πρώτους αριθμούς]] και ένα από τα πολλά ανοικτά προβλήματα σχετικά με την απόσταση των πρώτων αριθμών.

==Απόστασεις== 
Αν η εικασία του [[Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ|Λεζάντρ]] είναι αληθής, η απόσταση μεταξύ οποιουδήποτε [[Πρώτος αριθμός|πρώτου αριθμού]] ''p'' και του αμέσως μεγαλύτερου πρώτου αριθμού θα είναι <math>O(\sqrt{p}\,)</math>, όπως εκφράζεται με τον συμβολισμό big O.{{efn|This is a consequence of the fact that the difference between two consecutive [[:en:square number|squares]] is of the order of their [[:en:square root]]s.}} Είναι ένα από μια οικογένεια αποτελεσμάτων και εικασιών που σχετίζονται με τις αποστάσεις των πρώτων αριθμών, δηλαδή με την απόσταση μεταξύ των [[Πρώτος αριθμός|πρώτων αριθμών]]. Άλλοι περιλαμβάνουν το αξίωμα του Μπερτράν σχετικά με την ύπαρξη ενός πρώτου αριθμού μεταξύ <math>n</math> και <math>2n</math>, την εικασία του Όπερμαν σχετικά με την ύπαρξη [[Πρώτος αριθμός|πρώτων αριθμών]] μεταξύ <math>n^2</math>, <math>n(n+1)</math> και <math>(n+1)^2</math>, την [[Εικασία του Ανρίκα|εικασία του Αντρίκα]] και την εικασία του Μπροκάρντ για την ύπαρξη πρώτων αριθμών μεταξύ τετραγώνων διαδοχικών πρώτων αριθμών, και την [[εικασία του Κράμερ]] ότι οι αποστάσεις είναι πάντα πολύ μικρότερες, της τάξης <math>(\log p)^2</math>. Αν η εικασία του Κράμερ είναι αληθής, η εικασία του [[Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ|Λεζάντρ]] θα ακολουθούσε για όλα τα επαρκώς μεγάλα ''n''.  Ο Χάραλντ Κράμερ απέδειξε επίσης ότι η [[υπόθεση Ρίμαν]] συνεπάγεται ένα ασθενέστερο όριο <math>O(\sqrt p\log p)</math> για το μέγεθος των μεγαλύτερων πρώτων αποστάσεων.<ref>{{citation|title=Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems|first=Ian|last=Stewart|authorlink=:en:Ian Stewart (mathematician)|publisher=Basic Books|year=2013|isbn=9780465022403|page=164|url=https://books.google.com/books?id=dzdSy3diraUC&pg=PA164}}.</ref>

[[File:Plot of number of primes between consecutive squares.png|thumbnail|400px|right|Διάγραμμα του αριθμού των πρώτων αριθμών μεταξύ ''n''<sup>2</sup> και (''n'' + 1)<sup>2</sup> {{OEIS2C|id=A014085}}]]

Σύμφωνα με το θεώρημα των πρώτων αριθμών, ο αναμενόμενος αριθμός των πρώτων αριθμών μεταξύ <math>n^2</math> και <math>(n+1)^2</math> είναι περίπου <math>n/\ln n</math>, και είναι επιπλέον γνωστό ότι για σχεδόν όλες τις αποστάσεις αυτής της μορφής ο πραγματικός αριθμός των πρώτων αριθμών ({{OEIS2C|id=A014085}}) είναι ασυμπτωτικά προς αυτόν τον αναμενόμενο αριθμό.<ref>{{citation
 | last = Bazzanella | first = Danilo
 | doi = 10.1007/s000130050469
 | issue = 1
 | journal = Archiv der Mathematik
 | mr = 1764888
 | pages = 29–34
 | title = Primes between consecutive squares
 | volume = 75
 | year = 2000| s2cid = 16332859
 | url = http://porto.polito.it/1397858/2/Primes_between_squares.pdf
 }}</ref> Δεδομένου ότι ο αριθμός αυτός είναι μεγάλος για μεγάλο <math>n</math>, αυτό προσδίδει αξιοπιστία στην εικασία του [[Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ|Λεζάντρ]].<ref>{{citation
 | last = Francis | first = Richard L.
 | date = February 2004
 | doi = 10.35834/2004/1601051
 | issue = 1
 | journal = Missouri Journal of Mathematical Sciences
 | pages = 51–57
 | publisher = University of Central Missouri, Department of Mathematics and Computer Science
 | title = Between consecutive squares
 | volume = 16| doi-access = free
 | url = https://projecteuclid.org/journals/missouri-journal-of-mathematical-sciences/volume-16/issue-1/Between-Consecutive-Squares/10.35834/2004/1601051.pdf
 }}; see p. 52, "It appears doubtful that this super-abundance of primes can be clustered in
such a way so as to avoid appearing at least once between consecutive squares."</ref>Είναι γνωστό ότι το [[Θεώρημα πρώτων αριθμών|θεώρημα των πρώτων αριθμών]] δίνει μια ακριβή καταμέτρηση των πρώτων αριθμών μέσα σε μικρά διαστήματα, είτε άνευ όρων <ref>{{citation
 | last = Heath-Brown | first = D. R.
 | doi = 10.1515/crll.1988.389.22
 | journal = Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
 | mr = 953665
 | pages = 22–63
 | title = The number of primes in a short interval
 | volume = 1988
 | year = 1988| issue = 389
 | s2cid = 118979018
 | url = https://eudml.org/doc/153047
 }}</ref> ή με βάση την [[υπόθεση Ρίμαν]], <ref>{{citation
 | last = Selberg | first = Atle
 | issue = 6
 | journal = Archiv for Mathematik og Naturvidenskab
 | mr = 12624
 | pages = 87–105
 | title = On the normal density of primes in small intervals, and the difference between consecutive primes
 | volume = 47
 | year = 1943}}</ref> αλλά τα μήκη των αποστάσεων για τις οποίες αυτό έχει αποδειχθεί είναι μεγαλύτερα τις αποστάσεις μεταξύ διαδοχικών τετραγώνων, πολύ μεγάλα για να αποδειχθεί η εικασία του [[Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ|Λεζάντρ]].

==Μερικά αποτελέσματα==

Από ένα αποτέλεσμα του Άλμπερτ Ίνγκαμ προκύπτει ότι για για όλους τους αρκετά μεγάλους <math>n</math>, υπάρχει ένας πρώτος μεταξύ των διαδοχικών κύβων '' <math>n^3</math> και <math>(n+1)^3</math>.<ref>{{OEIS2C|id=A060199}}</ref><ref>{{cite journal | last=Ingham | first=A. E. | author-link=:en:Albert Ingham | title=On The Difference Between Consecutive Primes | journal=The Quarterly Journal of Mathematics | volume=os-8 | issue=1 | date=1937 | issn=0033-5606 | doi=10.1093/qmath/os-8.1.255 | pages=255–266}}</ref>. ''Ο Ντούντεκ απέδειξε ότι αυτό ισχύει για όλους τους'' <math>n \ge e^{e^{33.3}}</math>.<ref>{{Citation |last=Dudek |first=Adrian |title=An explicit result for primes between cubes |date=December 2016 |journal=Funct. Approx. |volume=55 |issue=2 |pages=177–197 |arxiv=1401.4233 |doi=10.7169/facm/2016.55.2.3 |s2cid=119143089}}</ref>

Ο Ντούντεκ απέδειξε επίσης ότι για <math>m = 4.971\times10^9</math> και κάθε θετικό ακέραιο <math>n</math>, υπάρχει ένας πρώτος αριθμός μεταξύ <math>n^m</math> και <math>(n+1)^m</math>. Ο Μάτνερ το μείωσε σε <math>m = 1438989</math> <ref>{{cite thesis |last=Mattner |first=Caitlin |date=2017 |title=Prime Numbers in Short Intervals |url=https://openresearch-repository.anu.edu.au|degree=BSc |publisher=Australian National University |doi=10.25911/5d9efba535a3e|language=en }}</ref> το οποίο μειώθηκε περαιτέρω σε <math>m = 155</math> από τον Κούλι-Χούγκιλ.<ref>{{Cite journal |last=Cully-Hugill |first=Michaela |date=2023-06-01 |title=Primes between consecutive powers |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X23000112 |journal=Journal of Number Theory |volume=247 |pages=100–117 |doi=10.1016/j.jnt.2022.12.002 |issn=0022-314X|arxiv=2107.14468 }}</ref>

Οι Μπέικερ, Χάρμαν και Πιντζ απέδειξαν ότι υπάρχει ένας πρώτος αριθμός στο διάστημα <math>[x-x^{21/40},\,x]</math> για όλους τους μεγάλους <math>x</math>.<ref name="baker">{{citation |last1=Baker |first1=R. C. |first2=G. |last2=Harman |first3=J. |last3=Pintz |year=2001 |title=The difference between consecutive primes, II |journal=Proceedings of the London Mathematical Society |volume=83 |issue=3 |pages=532–562 |doi=10.1112/plms/83.3.532 |s2cid=8964027 |url=http://www.cs.umd.edu/~gasarch/BLOGPAPERS/BakerHarmanPintz.pdf }}</ref>

Ένας πίνακας μέγιστων αποστάσεων [[Πρώτος αριθμός|πρώτων]] δείχνει ότι η εικασία ισχύει για τουλάχιστον <math>n^2=4\cdot10^{18}</math>, δηλαδή <math>n=2\cdot10^9</math>.<ref>{{citation
 | last1 = Oliveira e Silva | first1 = Tomás
 | last2 = Herzog | first2 = Siegfried
 | last3 = Pardi | first3 = Silvio
 | doi = 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1
 | issue = 288
 | journal = Mathematics of Computation
 | mr = 3194140
 | pages = 2033–2060
 | title = Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot10^{18}</math>
 | volume = 83
 | year = 2014| doi-access = free
 | url = https://www.openaccessrepository.it/record/100345/files/fulltext.pdf
 }}.</ref>

== Σύνδεση με την εικασία Ρίμαν ==
Η αλήθεια ως προς την [[υπόθεση Ρίμαν]] προϋποθέτει μια ελαφρώς ασθενέστερη μορφή της εικασίας του Λεζάντρ:

Έστω ''p<sub>m</sub>'' ο [[Πρώτος αριθμός|πρώτος]] της τάξεως ''m'' και ''n'' η τιμή  [<nowiki/>[[Συναρτήσεις δαπέδου και οροφής|√''p<sub>m</sub>'']]] + 1. Σύμφωνα με την εικασία του Λεζάντρ, θα υπήρχε ένας πρώτος ''p'' μεταξύ  ''n''<sup>2</sup> και (''n'' + 1)<sup>2</sup>. Τότε θα είχαμε τις ανισότητες (αυστηρές επειδή το [[Τετράγωνο (άλγεβρα)|τετράγωνο]] ενός [[Ακέραιος αριθμός|ακεραίου]] δεν μπορεί να είναι [[πρώτος αριθμός]])

:<math>(n-1)^2<p_m<n^2<p<(n+1)^2</math>

από το οποίο μπορούμε να συμπεράνουμε ότι

:<math>p_{m+1}\le p\le((n-1)+2)^2-1<(\sqrt{p_m}+2)^2-1=p_m+4\sqrt{p_m}+3.
</math>

Αυτό θα μας έδινε

:<math>p_{m+1}-p_m<4\sqrt{p_m}+3.</math>

Επομένως, η [[Υπόθεση Ρίμαν|υπόθεση του Ρίμαν]] της μορφής <math>|\pi(x) - \text{Li}(x)|= \mathcal{O}(x^{1/2} \ln x)</math> συνεπάγεται, για μια ορισμένη σταθερά ''C'' προσαρμοσμένη

:<math>p_{m+1}-p_m \le C\sqrt{p_m} \ln p_m.</math>

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/20405 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών]

== Δείτε επίσης ==
* [[Θεωρία αριθμών]]
* [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών]]
* [[Φυσικός λογάριθμος]]
* [[Υπόθεση Ρίμαν]]
* [[Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν]]
* [[Πρώτος αριθμός]]
* [[Τέρενς Τάο]]
* [[Σταθερά του Λεζάντρ]]
* [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]]
* [[Αλγεβρική γεωμετρία]]
* [[Χώρος Χίλμπερτ]]
* [[Ντάβιντ Χίλμπερτ]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]

== Βιβλιογραφία==
* {{Cite book|title=Professor Stewart's Casebook of Mathematical Mysteries|first=Ian|last=Stewart|publisher=Profile|isbn=978-1-84765-432-8|date=2014-10-02|url=https://books.google.gr/books?id=HvFYBQAAQBAJ&pg=PT107&dq=%22Legendre's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwi6hfGKzMaKAxXJSfEDHejoFk8Q6AF6BAgIEAI#v=onepage&q=%22Legendre's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Mersenne Numbers And Fermat Numbers|first=Elena|last=Deza|publisher=World Scientific|isbn=978-981-12-3033-2|date=2021-08-06|url=https://books.google.gr/books?id=-Wo-EAAAQBAJ&pg=PA92&dq=%22Legendre's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwi6hfGKzMaKAxXJSfEDHejoFk8Q6AF6BAgGEAI#v=onepage&q=%22Legendre's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Mathematical Combinatorics, Vol. IV, 2014: international book series|first=Linfan|last=Mao|publisher=Infinite Study|isbn=978-1-59973-321-0|url=https://books.google.gr/books?id=gP9pCgAAQBAJ&pg=PA70&dq=%22Legendre's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwi6hfGKzMaKAxXJSfEDHejoFk8Q6AF6BAgFEAI#v=onepage&q=%22Legendre's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Handbook of the History and Philosophy of Mathematical Practice|first=Bharath|last=Sriraman|publisher=Springer Nature|isbn=978-3-031-40846-5|date=2024-04-26|url=https://books.google.gr/books?id=N-oEEQAAQBAJ&pg=PA2405&dq=%22Legendre's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwi6hfGKzMaKAxXJSfEDHejoFk8Q6AF6BAgLEAI#v=onepage&q=%22Legendre's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=The Discrete Mathematical Charms of Paul Erd?s: A Simple Introduction|first=Vašek|last=Chvátal|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-108-83183-3|date=2021-08-26|url=https://books.google.gr/books?id=xwg3EAAAQBAJ&pg=PA13&dq=%22Legendre's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwi6hfGKzMaKAxXJSfEDHejoFk8Q6AF6BAgMEAI#v=onepage&q=%22Legendre's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=International Journal of Mathematical Combinatorics, Volume 4, 2014|first=Linfan|last=Mao|publisher=Infinite Study|url=https://books.google.gr/books?id=kBNCEAAAQBAJ&pg=PA72&dq=%22Legendre's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwi6hfGKzMaKAxXJSfEDHejoFk8Q6AF6BAgJEAI#v=onepage&q=%22Legendre's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Number Theory: An Introduction to Mathematics|first=W. A.|last=Coppel|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-89485-0|date=2009-08-12|url=https://books.google.gr/books?id=RdB6U3EtZM0C&pg=PA399&dq=%22Legendre's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwi6hfGKzMaKAxXJSfEDHejoFk8Q6AF6BAgKEAI#v=onepage&q=%22Legendre's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Pi: The Next Generation: A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation|first=David H.|last=Bailey|first2=Jonathan M.|last2=Borwein|publisher=Springer|isbn=978-3-319-32377-0|date=2016-07-19|url=https://books.google.gr/books?id=K26zDAAAQBAJ&pg=PA394&dq=%22Legendre's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiyztPyzMaKAxU4B9sEHfcXDxU4ChDoAXoECAYQAg#v=onepage&q=%22Legendre's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Advances In Number Theory And Applied Analysis|first=Pradip|last=Debnath|first2=Hari M.|last2=Srivastava|publisher=World Scientific|isbn=978-981-12-7261-5|date=2023-05-08|url=https://books.google.gr/books?id=fDHEEAAAQBAJ&pg=PA47&dq=%22Legendre's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiyztPyzMaKAxU4B9sEHfcXDxU4ChDoAXoECAsQAg#v=onepage&q=%22Legendre's%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Single Digits: In Praise of Small Numbers|first=Marc|last=Chamberland|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-17569-0|date=2017-05-30|url=https://books.google.gr/books?id=ZXGYDwAAQBAJ&pg=PA36&dq=%22Legendre's+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiyztPyzMaKAxU4B9sEHfcXDxU4ChDoAXoECAkQAg#v=onepage&q=%22Legendre's%20conjecture%22&f=false}}

== Παραπομπές ==
{{reflist}}
<references group="lower-greek"/>
* {{Cite web|url=https://nntdm.net/volume-23-2017/number-2/117-125/|title=On Legendre’s Conjecture - A. G. Shannon and J. V. Leyendekkers - Notes on Number Theory and Discrete Mathematics}}
* [[:en:American_institute_of_mathematics|American institute of mathematics]], [http://www.aimath.org/WWN/rh/ Riemann hypothesis]
* {{citation|first=Tom|last=Apostol|authorlink=:en:Tom M. Apostol|url=http://www.math.wisc.edu/~robbin/funnysongs.html#Zeta|title=Where are the zeros of zeta of s?}} Poem about the Riemann hypothesis, [http://www.olimu.com/RIEMANN/Song.htm sung] by [[:en:John_Derbyshire|John Derbyshire]].
* {{Cite book|title=Meaning and Speech Acts: Volume 1, Principles of Language Use|first=Daniel|last=Vanderveken|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-10490-6|date=2009-03-19|url=https://books.google.gr/books?id=JzUL0f1jzOMC&pg=PA172&dq=Goldbach's+weak+conjecture&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj02MCNp8OKAxVCBtsEHSjyJbM4MhDoAXoECAoQAg#v=onepage&q=Goldbach's%20weak%20conjecture&f=false}}
* {{Cite book|title=Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and analogy in mathematics|first=George|last=Polya|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-02509-4|date=1990-08-23|url=https://books.google.gr/books?id=-TWTcSa19jkC&pg=PA5&dq=Goldbach's+weak+conjecture&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwivuMblp8OKAxWTAdsEHVBnNZ84PBDoAXoECAYQAg#v=onepage&q=Goldbach's%20weak%20conjecture&f=false}}

== Πηγές ==
* {{mathworld |urlname=LegendresConjecture |title=Legendre's conjecture|mode=cs2}}
* {{Cite web|url=https://blogs.ams.org/mathgradblog/2013/09/29/legendres-conjecture/|title=Legendre’s Conjecture {{!}}|language=en-US|accessdate=2024-12-27}}
* {{Cite web|url=https://www.scirp.org/journal/paperinforcitation?paperid=125040|title=The Proofs of Legendre’s Conjecture and Three Related Conjectures - Journal of Applied Mathematics and Physics - SCIRP|website=www.scirp.org|accessdate=2024-12-27}}
* {{citation | first1= R. | last1= Estrada | first2= R. P. | last2= Kanwal| title= A Distributional Approach to Asymptotics | year= 2002 | publisher= [[:en:Birkhäuser|Birkhäuser]]|url=https://books.google.com/books?id=X3cECAAAQBAJ| isbn= 9780817681302 }}
* {{citation| last=Miller | first= P. D. | title= Applied Asymptotic Analysis | year= 2006 | publisher= [[:en:American Mathematical Society|American Mathematical Society]]|url=https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ| isbn= 9780821840788 }}
* {{Citation|last1=Apostol|first1=Thomas M.|author1-link=:en:Thomas M. Apostol|title=Introduction to Analytic Number Theory|publisher=Springer|location=New York|isbn=0-387-90163-9|year=1976|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0}}

{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:Εικασία του Λεζάντρ}}

[[Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών]] 
[[Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς]] 
[[Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί]] 
[[Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί]] 
[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]]