Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Εκθετική συνάρτηση

[[Image:exp.svg|thumb|200px|right|Η φυσική εκθετική συνάρτηση <math>y = e^x</math>]]

Στα [[μαθηματικά]], η '''εκθετική συνάρτηση''' είναι η  [[συνάρτηση]] με τύπο ''<math>y = e^x</math>'', όπου ''[[E (μαθηματική σταθερά) |e]]'' είναι ο αριθμός [[Λέοναρντ Όιλερ|Όιλερ]] (άρρητος αριθμός, περίπου ίσος με 2.718281828) για την οποία ισχύει ότι είναι ίση με την [[παράγωγος|παράγωγό]] της.<ref>Goldstein, Lay, Schneider, Asmar, ''Brief calculus and its applications'', 11th ed., Prentice-Hall, 2006. </ref><ref>"''The natural exponential function is identical with its derivative.''  This is really the source of all the properties of the exponential function, and the basic reason for its importance in applications…" - p.448 of Courant and Robbins, ''What is mathematics? An elementary approach to ideas and methods'' (edited by Stewart), 2nd revised edition, Oxford Univ. Press, 1996. </ref>  Η εκθετική συνάρτηση χρησιμοποιείται για να εκφράσει μια σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών, σύμφωνα με την οποία μια σταθερή αύξηση ή μείωση στην ανεξάρτητη μεταβλητή προκαλεί μια επίσης σταθερή ποσοστιαία αύξηση ή μείωση αντίστοιχα στην εξαρτημένη μεταβλητή. Αντί του συμβόλου ''<math>e^x</math>'',  συχνά χρησιμοποιείται το σύμβολο ''<math>\exp{x}</math>'', ειδικά όταν δεν είναι βολικό να γραφεί στον εκθέτη η ανεξάρτητη μεταβλητή. Η εκθετική συνάρτηση  χρησιμοποιείται ευρέως στη φυσική, χημεία, μηχανική, μαθηματική βιολογία, τα οικονομικά και τα μαθηματικά.

{| class=infobox width=200px
|+ '''Εκθετική συνάρτηση'''
|-
| '''Τύπος'''      || <math>e^x \,</math>
|-
| '''Αντίστροφη'''             || <math>\ln x \,</math>
|-
| '''Παράγωγος'''          || <math>e^x \,</math>
|-
| '''Αόριστο ολοκλήρωμα''' || <math>e^x + C \,</math>
|}

{{Μαθηματικές συναρτήσεις}}

Η [[Γραφική παράσταση συνάρτησης|γραφική παράσταση]] της ''<math>y = e^x</math>'' έχει θετική κλίση,, η οποία και αυξάνεται όλο και περισσότερο όσο το ''<math>x</math>'' παίρνει ολοένα και μεγαλύτερες τιμές. Η γραφική παράσταση βρίσκεται πάνω από τον άξονα των ''x'' και πλησιάζει σ’ αυτόν ασυμπτωτικά όταν το ''<math>x</math>'' απειρίζεται αρνητικά, δηλαδή ο άξονας των x είναι οριζόντια ασύμπτωτη της καμπύλης. Η [[κλίση συνάρτησης|κλίση]] της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε κάθε σημείο της, είναι ίση με την τεταγμένη ''<math>y</math>'' του σημείου αυτού. Η συνάρτηση ''<math>y = e^x</math>'' είναι αντιστρέψιμη και η [[αντίστροφη συνάρτηση]] είναι ο [[φυσικός λογάριθμος]] ''<math>\ln{x}</math>'' . Λόγω αυτού, κάποια παλιά κείμενα <ref>"Inverse Use of a Table of Logarithms; that is, given a logarithm, to find the number corresponding to it, (called its antilogarithm)…" - p.12 of Converse and Durrel, ''Plane and spherical trigonometry'', C.E. Merrill co., 1911.</ref> αναφέρονται στην εκθετική συνάρτηση ως αντιλογάριθμο.

Μερικές φορές ο όρος "εκθετική συνάρτηση" χρησιμοποιείται γενικότερα για συναρτήσεις της μορφής ''<math>c \cdot b^x</math>'', όπου η [[Βάση (μαθηματικά)|βάση]] ''<math>b</math>'' είναι οποιοσδήποτε θετικός [[πραγματικός αριθμός]], κι όχι απαραίτητα ο αριθμός ''<math>e</math>'' , ενώ ο ''<math>c</math>'' είναι σταθερός μη μηδενικός πραγματικός αριθμός. Δείτε την [[εκθετική επέκταση]] γι'αυτή τη χρήση της.

Γενικά, η [[Μεταβλητή (Μαθηματικά)|μεταβλητή]] ''x'' μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός ή [[μιγαδικός αριθμός]], ή ακόμα κι ένα εντελώς διαφορετικού είδους [[μαθηματικό αντικείμενο]]. Συμβουλευτείτε τον [[#τυπικός ορισμός|τυπικό ορισμό παρακάτω]].

{{e (μαθηματική σταθερά)}}

==Γενικά==
Λέμε ότι εκθετικά αυξάνεται ή μειώνεται ένας πληθυσμός, όταν αυξάνεται ή φθίνει με ρυθμό ανάλογο προς τον ίδιο τον πληθυσμό. Μια τέτοια περίπτωση είναι ο συνεχής [[ανατοκισμός]],  ο οποίος και οδήγησε τον [[Γιακόμπ Μπερνούλι]] το 1683<ref name="mactutor">{{cite web |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html |title=The number e |author=John J O'Connor; Edmund F Robertson |publisher=University of St Andrews, Scotland |work=School of Mathematics and Statistics |accessdate=2011-06-13}}</ref> στο να ανακαλύψει τον αριθμό:

:<math>\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n</math>

σήμερα γνωστό ως ''<math>e</math>''.  Αργότερα, το 1697, ο [[Γιόχαν Μπερνούλι]] μελέτησε το λογισμό της εκθετικής συνάρτησης.<ref name="mactutor" />

Εάν ένα αρχικό κεφάλαιο μίας χρηματικής μονάδας τοκιστεί με ετήσιο [[επιτόκιο]] ''<math>x</math>'' χρηματικές μονάδες, με τρόπο ώστε ο τόκος να ανακεφαλαιώνεται κάθε μήνα, τότε ο [[τόκος]] που καταβάλλεται κάθε μήνα είναι το γινόμενο του αρχικού κεφαλαίου επί τον αριθμό ''<math>x/12</math>'', δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο κάθε μηνός πολλαπλασιάζεται με ''<math>1+x/12</math>'' στο τέλος του μήνα αυτού κι έτσι το συνολικό κεφάλαιο στο τέλος του έτους είναι ''<math>(1+x/12)^{12}</math>''. Αν όμως, ο τόκος ανακεφαλαιώνεται κάθε ημέρα του έτους, τότε το κεφάλαιο στο τέλος του έτους γίνεται ''<math>(1+x/365)^{365}</math>''. Επιτρέποντας το πλήθος των ανακεφαλαιοποιήσεων ανά έτος να αυξάνεται χωρίς περιορισμό, οδηγούμαστε στον ακόλουθο ορισμό της εκθετικής συνάρτησης με τη βοήθεια του ορίου συνάρτησης ,

:<math>\exp(x) = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}</math>

αρχικά διατυπωμένο από τον [[Λέοναρντ Όιλερ]].<ref>[[Eli Maor]], ''e: the Story of a Number'', p.156.</ref>
Αυτός είναι ένας από τους πολλούς  [[ορισμός συνάρτησης|ορισμούς της εκθετικής συνάρτησης]]. Άλλοι χρησιμοποιούν [[σειρά (μαθηματικά)|σειρές]] κι άλλοι [[διαφορική εξίσωση|διαφορικές εξισώσεις]].


Ξεκινώντας από οποιονδήποτε από αυτούς τους ορισμούς, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η εκθετική συνάρτηση ικανοποιεί τη βασική ιδιότητα των [[ύψωση σε δύναμη|δυνάμεων]]:

:<math>\exp(x + y) = \exp(x) \cdot \exp(y)</math>

η οποία γράφεται πιο απλά ως:  

<math>e^{x + y} = e^x \cdot e^y</math>.

Η [[παράγωγος]] (ή αλλιώς ρυθμός μεταβολής) της εκθετικής συνάρτησης είναι η ίδια η εκθετική συνάρτηση. Γενικότερα, μια συνάρτηση με ρυθμό μεταβολής ''ανάλογο'' με την ίδια τη συνάρτηση (κι όχι απαραίτητα  ίσο με αυτή) μπορεί να εκφραστεί εκθετικά. Αυτή η ιδιότητα παρατηρείται σε αυξήσεις και μειώσεις πληθυσμών, που γενικά είναι εκθετικές μεταβολές.

Η επέκταση της εκθετικής συνάρτησης στο μιγαδικό επίπεδο είναι μία ολοκληρωτική συνάρτηση.  Ο [[Τύπος του Όιλερ]] συνδέει τις τιμές της εκθετικής συνάρτησης με τη φανταστική μονάδα και τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.  Υπάρχουν ανάλογες γενικεύσεις της εκθετικής συνάρτησης στις περιπτώσεις που η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι [[πίνακας (μαθηματικά)|πίνακας]], ή ακόμα κι ένα στοιχείο της  [[ άλγεβρα banach|Άλγεβρας Banach]] ή και μια [[Άλγεβρα Lie]].

==Τυπικός Ορισμός==
{{main|Χαρακτηρισμοί της εκθετικής συνάρτησης}}
[[Image:Exp series.gif|right|thumb|Η εκθετική συνάρτηση (με μπλε χρώμα), και το άθροισμα των πρώτων ''n''&nbsp;+&nbsp;1 όρων της δυναμοσειράς (με κόκκινο χρώμα).]]

Η εκθετική συνάρτηση <math>e^x</math> μπορεί να οριστεί ισοδύναμα με πολλούς τρόπους. Ειδικότερα, μπορεί να οριστεί από την ακόλουθη [[δυναμοσειρά]]:<ref name="rudin">Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 3rd ed., 1986, ISBN 978-0-07-054234-1, page 1</ref>

: <math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots</math>

Αν αναπτυχθεί ως [[σειρά Taylor]] καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα.

Λιγότερο συχνά, η ''<math>e^x</math>'' ορίζεται ως η λύση ''<math>y</math>'' της εξίσωσης: 
: <math>x = \int_1^y {dt \over t}</math>

Είναι επίσης το ακόλουθο όριο:

: <math>e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n</math>

==Παράγωγοι και διαφορικές εξισώσεις==
[[Image:Exp tangent.svg|thumb|250px|right| Η τιμή της παραγώγου της εκθετικής συνάρτησης σε κάθε σημείο της είναι ίση με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο αυτό. Σε κάθε σημείο Ρ της καμπύλης (στο σχήμα με μπλε χρώμα) η εφαπτομένη (με κόκκινο χρώμα) και η κατακόρυφη ευθεία (με πράσινο χρώμα) που διέρχεται από το Ρ, σχηματίζουν με τον άξονα x ένα τρίγωνο με βάση b και ύψος h. Επειδή η κλίση της εφαπτομένης στο Ρ είναι ίση με το λόγο του ύψους h προς τη βάση b και επειδή η παράγωγος είναι ίση με την τιμή h της συνάρτησης (δηλαδή την τεταγμένη του Ρ), θα πρέπει η βάση b να είναι ίση με 1 για οποιαδήποτε θέση του Ρ πάνω στην καμπύλη. .]]

Η μεγάλη σημασία της εκθετικής συνάρτησης στα μαθηματικά, και τις επιστήμες γενικότερα, οφείλεται βασικά στις ιδιότητες της  [[παράγωγος|παραγώγου]]. Πιο συγκεκριμένα, 

: <math>{\operatorname{d} \over \operatorname{d}x} e^x = e^x</math>

δηλαδή, η ''<math>e^x</math>'' είναι η ίδια η [[παράγωγος|παράγωγός]] της και συνεπώς είναι είναι ίσως η απλούστερη μη τετριμμένη από τις  [[συναρτήσεις του Pfaff]]. Σύμφωνα με το [[Θεώρημα Picard&ndash;Lindelöf]], οι μόνες συναρτήσεις με αυτήν την ιδιότητα είναι συναρτήσεις της μορφής ''ce''<sup>''x''</sup> , όπου ''c'' πραγματική σταθερά. Ισοδύναμες είναι οι ακόλουθες προτάσεις: 

*Η κλίση της καμπύλης σε κάθε σημείο είναι ίση με την απόσταση του σημείου αυτού από τον άξονα των ''x''.
*Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης στο ''<math>x</math>'' είναι ίσος με την τιμή της συνάρτησης στο ''x''.
*Η συνάρτηση είναι λύση της [[διαφορική εξίσωση]] ''<math>y'=y</math>''.
*Η εκθετική συνάρτηση είναι αμετάβλητο σημείο αν θεωρήσουμε την παράγωγο ως [[μετασχηματισμός|μετασχηματισμό]].

Αν ο ρυθμός αύξησης ή μείωσης μιας μεταβλητής είναι [[αναλογία (μαθηματικά)|ανάλογος]] προς μέγεθός της&mdash;όπως π.χ. στην περίπτωση της απεριόριστης αύξησης ενός πληθυσμού (βλ. [[Μαλθουσιανή καταστροφή]]),του διαρκώς ανακεφαλαιούμενου τόκου ή στην περίπτωση της συνεχούς διάσπασης ενός ραδιενεργού υλικού, τότε η μεταβλητή μπορεί να γραφεί ως [[γινόμενο]] μιας σταθεράς επί την εκθετική συνάρτηση του χρόνου.  Φυσικά για κάθε πραγματική σταθερά ''k'', μια συνάρτηση ''<math>f: \textbf{R}  \rightarrow \textbf{R}</math>'' ικανοποιεί την <math>f'=k\cdot f</math> αν και μόνον αν <math>f(x)=c\cdot e^{kx}</math> για κάποια σταθερά ''<math>c</math>''.

Επιπλέον για οποιαδήποτε παραγωγίσιμη συνάρτηση <math>y=f(x)</math>, βρίσκουμε, από τον [[κανόνας αλυσίδας|κανόνα της αλυσίδας]]:

: <math>{\operatorname{d} \over \operatorname{d}x} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}</math>

== Συνεχή κλάσματα για την ''<math>e^x</math>'' ==
Ένα [[συνεχές κλάσμα]] για την ''<math>e^x</math>'' μπορεί να προκύψει από [[Τύπος συνεχών κλασμάτων του Όιλερ|μια ταυτότητα του Όιλερ]]:

:<math>
  e^x = 1 + \cfrac{x}{1 - \cfrac{x}{x + 2 - \cfrac{2x}{x + 3 - \cfrac{3x}{x + 4 - \cfrac{4x}{x + 5 - \cfrac{5x}{x + 6 - \ddots}}}}}}
</math>

Η ακόλουθη [[γενικευμένη συνεχής συνάρτηση]] για την ''<math>e^z</math>'' συγκλίνει ταχύτερα:<ref>[http://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-94-91216-37-4%2F1 "A.2.2 The exponential function." L. Lorentzen and H. Waadeland, ''Continued Fractions'', Atlantis Studies in Mathematics, page 268.]</ref>

:<math>
  e^z = 1 + \cfrac{2z}{2 - z + \cfrac{z^2}{6 + \cfrac{z^2}{10 + \cfrac{z^2}{14 + \cfrac{z^2}{18 + \cfrac{z^2}{22 + \cfrac{z^2}{26 + \ddots}}}}}}}
</math>

είτε, αντικαθιστώντας με ''<math>z = \frac{x}{y}</math>'' :

:<math>
  e^\frac{x}{y} = 1 + \cfrac{2x}{2y - x + \cfrac{x^2} {6y + \cfrac{x^2} {10y + \cfrac{x^2} {14y + \cfrac{x^2} {18y + \cfrac{x^2} {22y + \cfrac{x^2} {26y + \ddots}}}}}}}
</math>

Ειδική περίπτωση για ''<math>z = 2</math>'':

:<math>
  e^2 = 1 + \cfrac{4}{0 + \cfrac{2^2}{6 + \cfrac{2^2}{10 + \cfrac{2^2}{14 + \ddots\,}}}} = 7 + \cfrac{2}{5 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{9 + \cfrac{1}{11 + \ddots\,}}}}
</math>

Αυτός ο τύπος επίσης συγκλίνει, αν και πιο αργά, για ''<math>z > 2</math>''. Για παράδειγμα:
 
:<math>
  e^3 = 1 + \cfrac{6}{-1 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{3^2}{10 + \cfrac{3^2}{14 + \ddots\,}}}} = 13 + \cfrac{54}{7 + \cfrac{9}{14 + \cfrac{9}{18 + \cfrac{9}{22 + \ddots\,}}}}
</math>

{{anchor|Μιγαδικό επίπεδο}}<!-- This section is linked from [[Μιγαδικό επίπεδο]] -->

==Μιγαδικό επίπεδο==
[[Image:Complex exp.jpg|thumb|right|Η εκθετική συνάρτηση στο μιγαδικό επίπεδο.Η μετάβαση από τα σκοτεινά προς τα φωτεινά χρώματα υποδηλώνει ότι το πλάτος της εκθετικής συνάρτησης αυξάνεται προς τα δεξιά. Οι επαναλαμβανόμενες οριζόντιες ζώνες δείχνουν ότι η εκθετική συνάρτηση είναι  περιοδική συνάρτηση όσον αφορά το φανταστικό μέρος του ορίσματός της. ]]

Όπως και στους  [[πραγματικός αριθμός|πραγματικούς]], η εκθετική συνάρτηση μπορεί να οριστεί και στο [[μιγαδικό επίπεδο]] με διάφορους ισοδύναμους τρόπους. Ένας τέτοιος ορισμός προσομοιάζει τον ορισμό δυναμοσειρών πραγματικών αριθμών, όπου η πραγματική μεταβλητή αντικαθίσταται από έναν μιγαδικό αριθμό:
: <math>e^z = \sum_{n = 0}^\infty\frac{z^n}{n!} </math>

Η εκθετική συνάρτηση είναι περιοδική με [[φανταστικός αριθμός|φανταστική]] περίοδο <math>2 \pi i</math> και μπορεί να γραφεί ως
: <math>e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)</math>
 
όπου ''<math>a</math>'' και ''<math>b</math>'' είναι πραγματικοί αριθμοί και οι συναρτήσεις του δεύτερου μέλους είναι πραγματικές πραγματικής μεταβλητής <ref>{{cite book | last = Ahlfors | first = Lars V. | title = Complex analysis | url = https://archive.org/details/complexanalysisi00ahlf | publisher = McGraw-Hill Book Company, Inc. | year = 1953 | authorlink1=Lars_Ahlfors}}</ref> (βλ. επίσης [[Τύπος του Όιλερ]]) Αυτός ο τύπος συνδέει την εκθετική συνάρτηση με τις [[τριγωνομετρική συνάρτηση|τριγωνομετρικές συναρτήσεις]] και τις  [[υπερβολική συνάρτηση|υπερβολικές συναρτήσεις]].

Ορισμένη στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, η εκθετική συνάρτηση διατηρεί τις ιδιότητες:

* <math>e^{z + w} = e^z e^w\,</math>
* <math>e^0 = 1\,</math>
* <math>e^z \ne 0</math>
* <math>{\operatorname{d} \over \operatorname{d}z} e^z = e^z</math>
* <math>\,(e^z)^n = e^{nz}, n \in \mathbb{Z}</math>
για κάθε ''<math>z</math>'' και ''<math>w</math>''.

Η εκθετική συνάρτηση είναι μια [[ακεραία συνάρτηση]] καθώς είναι [[ολόμορφη συνάρτηση|ολόμορφη]] σε όλο το μιγαδικό επίπεδο. Δέχεται ως τιμή κάθε μιγαδικό αριθμό εκτός του 0. Αυτό είναι ένα παράδειγμα του [[θεώρημα του Picard |μικρού θεωρήματος Picard]] ότι κάθε μη σταθερή ακέραια συνάρτηση δέχεται ως τιμή κάθε μιγαδικό αριθμό, το πολύ ενός εξαιρουμένου. 

Επεκτείνοντας το φυσικό λογάριθμο στους μιγαδικούς έχουμε τον [[μιγαδικός λογάριθμος|μιγαδικό λογάριθμο]] ''<math>\log{z}</math>'', που είναι μια [[συνάρτηση πολλαπλών τιμών]].

Στη συνέχεια, μπορούμε να ορίσουμε μια πιο γενικευμένη μορφή «ύψωσης σε δύναμη»:
: <math>z^w = e^{w \log z}</math>

για κάθε μιγαδικό ''<math>z</math>'' και ''<math>w</math>''. Αυτή είναι επίσης συνάρτηση συνάρτηση πολλαπλού τύπου, ακόμα και όταν ο ''<math>z</math>'' είναι πραγματικός. Αυτή η διαφοροποίηση δημιουργεί πολλαπλά προβλήματα, καθώς οι συναρτήσεις πολλαπλού τύπου ''<math>\log{z}</math>'' and ''<math>z^w</math>'' συγχέονται εύκολα με τις αντίστοιχες μονοσήμαντες, όταν τεθεί στη θέση του μιγαδικού ένας πραγματικός αριθμός. Για παράδειγμα, η ιδιότητα που αναφέρει την ύψωση δύναμης σε άλλη δύναμη, στην περίπτωση των θετικών πραγματικών αριθμών πρέπει να τροποποιηθεί σε ένα πλαίσιο πολλαπλών τιμών: δηλαδή δεν μπορεί να γραφεί η ιδιότητα ως εξής:

: <math>(e^z)^w \ne e^{z w}</math>, αλλά <math>(e^z)^w = e^{(z + 2\pi i n) w}\,</math> για πολλούς ακέραιους ''<math>n</math>''.

Η εκθετική συνάρτηση μετασχηματίζει κάθε [[ευθεία]] του μιγαδικού επιπέδου σε μια [[λογαριθμική σπείρα]] στο μιγαδικό επίπεδο με κέντρο την [[Αρχή των αξόνων (μαθηματικά)|αρχή των αξόνων]]. Ίσως θα έπρεπε να τονίσουμε δύο ειδικές περιπτώσεις: α) όταν η αρχική ευθεία είναι παράλληλη προς τον πραγματικό άξονα, τότε η σπείρα που προκύπτει δεν κλείνει στον εαυτό της, β) όταν η αρχική ευθεία είναι παράλληλη στο φανταστικό άξονα, τότε η σπείρα που προκύπτει είναι κύκλος ορισμένης ακτίνας.

<gallery caption="Σχήματα της εκθετικής συνάρτησης στο μιγαδικό επίπεδο">
 Image:ExponentialRe.png| ''z'' = Re(''e''<sup>''x''+''iy''</sup>)
 Image:ExponentialIm.png| ''z'' = Im(''e''<sup>''x''+''iy''</sup>)
 Image:ExponentialAbs.png| ''z'' = ''e''<sup>''x''+''iy''</sup>
</gallery>

=== Υπολογισμός της ''<math>a^b</math>'' όπου και ο ''<math>a</math>'' και ο ''<math>b</math>'' είναι μιγαδικοί ===
{{Main|Ύψωση σε δύναμη}}
Η μιγαδική ύψωση σε δύναμη ''<math>a^b</math>'' μπορεί να οριστεί αντικαθιστώντας το ''a'' με πολικές συντεταγμένες και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα ''<math>(e^{\ln{a}})^b = a^b</math>'':
: <math>a^b = \left(re^{\theta i}\right)^b = \left(e^{\ln(r) + \theta i}\right)^b = e^{(\ln(r) + \theta i)b}</math>

Παρολαυτά, όταν ο ''<math>b</math>'' δεν είναι ακέραιος, αυτή η συνάρτηση γίνεται [[συνάρτηση πολλαπλών τιμών|πολλαπλών τιμών]], επειδή το όρισμα ''<math>\theta</math>'' δεν είναι μοναδικό.

==Πίνακες και άλγεβρες Banach ==
Ο ορισμός της εκθετικής συνάρτησης με τη βοήθεια δυναμοσειρών έχει νόημα στους τετραγωνικούς [[πίνακας (μαθηματικά)|πίνακες]] και γενικότερα σε κάθε [[άλγεβρα Banach]] ''Β''.  Αυτή η συνάρτηση ονομάζεται εκθετικός πίνακας. Σε αυτή την περίπτωση,η  ''<math>e^0 = 1</math>'', και η ''<math>e^x</math>'' είναι αντιστρέψιμη, με αντίστροφο ''<math>e^{-x}</math>'' για οποιοδήποτε ''<math>x</math>'' στη ''B''. Εάν ''<math>xy = yx</math>'', τότε <math>e^{x + y} = e^x \cdot e^y</math>, μια ταυτότητα που δεν ισχύει για μη μετατρέψιμα ''<math>x</math>'' και ''<math>y</math>''.

Όμως, και άλλοι ορισμοί οδηγούν στην ίδια συνάρτηση. Για παράδειγμα, η ''<math>e^x</math>'' μπορεί να οριστεί ως <math>\textstyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n} \right)^n</math>

ή η ''<math>e^x</math>'' ή ως ''<math>f(1)</math>'', όπου ''<math>f: \textbf{R}  \rightarrow B</math>'' είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης  ''<math>f'(t) = x\cdot f(t)</math>'' με αρχική συνθήκη ''<math>f(0)=1</math>''.

==Σε άλγεβρες Λάι ==

Δοθείσης μιας [[ομάδα Λάι|ομάδας Λάι]]''<math>G</math>'' και της αντίστοιχης  [[άλγεβρα Λάι|άλγεβρας Λάι]] <math>\mathfrak{g}</math>, ο [[εκθετικός μετασχηματισμός]] είναι ένας μετασχηματισμός <math>\mathfrak{g}\to G</math> που έχει παρόμοιες ιδιότητες. Πράγματι, εφόσον η ''<math>R</math>'' είναι η Άλγεβρα Λάο της Ομάδας Λάι όλων των θετικών πραγματικών αριθμών με εσωτερική πράξη τον πολλαπλασιασμό, η συνήθης εκθετική συνάρτηση με πραγματικά ορίσματα είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση Άλγεβρας Λάι. Ομοίως, εφόσον η ομάδα Λάι ''<math>GL(n,\textbf{R})</math>'' των αντιστρέψιμων ''n''&nbsp;×&nbsp;''n'' πινάκων έχει ως άλγεβρα Λάι ''<math>M(n,\textbf{R})</math>'', το κενό όλων των ''<math>n \times n</math>'' πινάκων, η εκθετική συνάρτηση για τετραγωνικούς πίνακες είναι μια ειδική περίπτωση  του εκθετικού μετασχηματισμού άλγεβρας Λάι.

Η ταυτότητα <math>\exp(x + y) = \exp(x) \cdot \exp(y)</math> μπορεί να μην ισχύει για στοιχεία της άλγεβρας Λάι ''<math>x</math>'' και ''<math>y</math>'' τα οποία δεν αντιμετατίθενται. Ο [[τύπος των Μπέικερ–Κάμπελ–Χάουσντορφ]] παρέχει τους απαραίτητους διορθωτικούς όρους.

==Διπλά εκθετική συνάρτηση==
{{main|Διπλά εκθετική συνάρτηση}}
Ο όρος '''''διπλά εκθετική συνάρτηση''''' μπορεί να έχει δύο ερμηνείες:
*μια συνάρτηση με δύο εκθετικούς όρους, με διαφορετικούς εκθέτες
*μια συνάρτηση της μορφής ''<math>f(x) = a^{a^x}</math>''. Αυτή αυξάνεται γρηγορότερα από την εκθετική συνάρτηση. Για παράδειγμα, αν ''<math>a = 10</math>'' τότε : ''<math>f(-1)=1.26</math>'' , ''<math>f(0)=10</math>'', ''<math>f(1)=10^{10}</math>'',''<math>f(2)=10^{100}</math>''= [[googol]], …, ''<math>f(100)</math>'' = [[googolplex]].

Τα [[Παράγωγος|παραγοντικά]] αυξάνουν γρηγορότερα από τις εκθετικές συναρτήσεις , αλλά πιο αργά από τις διπλά εκθετικές συναρτήσεις. Οι [[Αριθμός Φερμά|αριθμοί του Φερμά]], που παράγονται από την <math>\,F(m) = 2^{2^m} + 1</math> και [[οι διπλοί αριθμοί του Μαρσέν]] που παράγονται από την <math>\,MM(p) = 2^{2^p - 1} - 1</math> είναι παραδείγματα διπλά εκθετικών συναρτήσεων.

== Όμοιες ιδιότητες του ''<math>e</math>'' και της συνάρτησης ''<math>e^z</math>'' ==
Η συνάρτηση ''<math>e^z</math>'' δεν είναι μια ''<math>\textbf{C}(z)</math>'' συνάρτηση (δηλαδή, δεν είναι πηλίκο δύο πολυωνύμων με μιγαδικούς συντελεστές) .

Για ''<math>n</math>'' διαφορετικούς μιγαδικούς αριθμούς ''<math>\{a_1,...,a_n\}</math>'', το σύνολο ''<math>\{e^{a_1z},...,e^{a_nz}\}</math>'' είναι γραμμικά ανεξάρτητο πάνω στο ''<math>\textbf{C}(z)</math>''.

Η συνάρτηση ''<math>e^z</math>'' είναι [[υπερβατική συνάρτηση|υπερβατική]] στο ''<math>\textbf{C}(z)</math>''.

== Περαιτέρω ανάγνωση ==

=== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ===
* {{springer|title=Exponential function|id=p/e036910}}
* {{planetmath reference|id=6341|title=Complex exponential function}}
* {{planetmath reference|id=9313|title=Derivative of exponential function}}
* [https://web.archive.org/web/20160809034128/http://sympl.org/book/examples/interactive-plots/derivative-exponential-function Derivative of exponential function interactive graph]
* {{MathWorld|urlname= ExponentialFunction|title= Exponential Function}}
* [http://www.efunda.com/math/taylor_series/exponential.cfm Taylor Series Expansions of Exponential Functions] at [http://www.efunda.com efunda.com]
* [http://www-math.mit.edu/daimp/ComplexExponential.html Complex exponential interactive graphic]
* [http://www.docstoc.com/docs/137048039/Derivative-of-exp(x%5En)-by-limit-definition, Derivative of exp(x^n) by limit definition]
* [http://www.docstoc.com/docs/148557191/A-general-limit-for-exponentials, General exponential limit]

=== Ελληνικά άρθρα ===
* {{cite journal |title=Για την Γ' Τάξη: Η εκθετική συνάρτηση |pages=126-130 |author=Γιάννης Στρατής |journal=[[Ευκλείδης Β΄]] |year=1978 |issue=3 |url=http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3930 }}
* {{cite journal |title=Εκθετική και Λογαριθμική συνάρτηση. Μια "φυσική"... προσέγγιση |author=Βισκαδουράκης Βασίλειος |journal=[[Ευκλείδης Β΄]] |year=1990 |issue=4 |url=http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3402 }}
* {{cite journal |title=Εκθετική και Λογαριθμική συνάρτηση |author1=Παπαδόπουλος Νίκος |author2=Παπαδόπουλος Στάθης |journal=[[Ευκλείδης Β΄]] |year=1991 |issue=4 |url=http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3423 }}
* {{cite journal |title=Πόσο καλά έχουμε κατανοήσει την εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση;
 |author=Μπάμπης Τουμάαης |journal=[[Ευκλείδης Β΄]] |year=1993 |issue=4 |pages=53-55 |url=http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3607 }}

=== Ξενόγλωσσα άρθρα ===
* {{cite journal |last=Rippon |first=P. J. |title=Infinite exponentials |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1983-10_67_441/page/189 |journal=The Mathematical Gazette |date=Οκτωβρίου 1983 |volume=67 |issue=441 |pages=189–196 |doi=10.2307/3617180}}
* {{cite journal |last=Lowry |first=H. V. |title=3001. On the exponential series |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1962-02_46_355/page/54 |journal=The Mathematical Gazette |date=Φεβρουαρίου 1962 |volume=46 |issue=355 |pages=54–54 |doi=10.2307/3613116}}
* {{cite journal |last=Walmsley |first=C. |title=1956. Exponential, logarithmic and circular functions |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1947-05_31_294/page/107 |journal=The Mathematical Gazette |date=Μαΐου 1947 |volume=31 |issue=294 |pages=107–108 |doi=10.2307/3611370}}
* {{cite journal |last=Tuckey |first=C. O. |title=1805. Exponential and logarithmic functions |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1945-02_29_283/page/23 |journal=The Mathematical Gazette |date=Φεβρουαρίου 1945 |volume=29 |issue=283 |pages=23–23 |doi=10.2307/3609740}}
* {{cite journal |last=Gant |first=P. |title=A Treatment of the Exponential and Logarithmic Functions |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1946-12_30_292/page/277 |journal=The Mathematical Gazette |date=Δεκεμβρίου 1946 |volume=30 |issue=292 |pages=277–281 |doi=10.2307/3610733}}
* {{cite journal |last=Egan |first=M. F. |title=1331. The Exponential, Logarithmic, and Binomial Series for a Complex Variable |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1938-12_22_252/page/489 |journal=The Mathematical Gazette |date=Δεκεμβρίου 1938 |volume=22 |issue=252 |pages=489–491 |doi=10.2307/3607272}}

==Παραπομπές==
<references />

[[Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις]]