Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης

Το '''εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης''' αποτελεί μέθοδο η οποία χρησιμοποιεί το 60 ως την [[αριθμητική βάση]] των αριθμών. Χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τους [[Σουμέριοι|Σουμέριους]] την 3η χιλιετία π.Χ. εκφρασμένο στην [[Σφηνοειδής γραφή|σφηνοειδή γραφή]], και μετέπειτα αναπτύχθηκε από τους [[Βαβυλώνιοι|Βαβυλώνιους]] με την μετατροπή του σε [[θεσιακό σύστημα]]. Εξακολουθεί να χρησιμοποιείται υπό τροποποιημένη μορφή στην σύγχρονη εποχή σε τομείς όπως την [[ώρα]] και τις υποδιαιρέσεις της κατά την μέτρηση του χρόνου, [[τριγωνομετρία]], και [[γεωγραφικές συντεταγμένες]].

==Προέλευση==
[[Αρχείο:Phalanges of the hand (left hand) 04 proximal view.png|μικρογραφία|Οι [[Φάλαγγα (ανατομία)|φάλαγγες]] (οριζόντιες αρθρώσεις) των δαχτύλων χρησιμοποιούνται σε κάποιους πολιτισμούς για την μέτρηση έως το 12 με την χρήση του ενός χεριού]]
Ιστορικά, οι πολιτισμοί των [[Σουμέριοι|Σουμέριων]] και των [[Ακκάδιοι|Ακκάδιων]] κατά την 3η χιλιετία π.Χ. ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν το εξηνταδικό σύστημα σε βασική μορφή για την αναπαράσταση ποσοτήτων. Όμως η μετατροπή του συστήματος σε πραγματικό [[θεσιακό σύστημα]] (τάξεις μεγέθους, υποστήριξη κλασμάτων) έγινε μετέπειτα από τους [[Βαβυλώνιοι|Βαβυλώνιους]] (2η χιλιετία π.Χ.) οι οποίοι το χρησιμοποίησαν κατά την ανάπτυξη των [[Βαβυλωνιακά μαθηματικά|βαβυλωνιακών μαθηματικών]] και των αστρονομικών παρατηρήσεων τους.<ref>{{Cite web|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Babylonian_numerals.html|title=Babylonian numerals|website=www-history.mcs.st-and.ac.uk|accessdate=2017-09-26}}</ref>

Σε κάποιες περιοχές της Ασίας χρησιμοποιείται η μέτρηση αριθμών με τα δάκτυλα του ενός χεριού έως τον αριθμό 12, με τον αντίχειρα να χρησιμοποιείται για να καταμετρήσει τις [[Φάλαγγα (ανατομία)|φάλαγγες]] των δαχτύλων (3 φάλαγγες/οριζόντιες αρθρώσεις ανά δάκτυλο εκτός του αντίχειρα, 3 * 4 = 12). Κάτι τέτοιο ενδεχομένως εξηγεί το πως προέκυψαν τα συστήματα αρίθμησης με βάση το 12 και το πολλαπλάσιο του, 60, πέρα από τα πιο συνήθη με βάση το 5, 10 ή 20. Στο εξηνταδικό σύστημα το ένα χέρι μετρά επανειλημμένα έως το 12, ενώ τα δάχτυλα του άλλου χεριού κρατούν τον αριθμό των επαναλήψεων (12 * 5 = 60).<ref name="Ifrah">{{Citation
  | last = Ifrah
  | first = Georges
  | title = The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer.
  | publisher = John Wiley and Sons
  | year= 2000
  | page = 
  | isbn = 0-471-39340-1
}}. Translated from the French by David Bellos, E.F. Harding, Sophie Wood and Ian Monk.</ref><ref name="Macey">{{cite book|last=Macey|first=Samuel L.|title=The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure|year=1989|publisher=University of Georgia Press|location=Atlanta, Georgia|isbn=978-0-8203-3796-8|pages=92|url=https://books.google.com/books?id=xlzCWmXguwsC&pg=PA92&lpg=PA92}}</ref>

==Χρήση==

=== Γενικά ===
Το κύριο πλεονέκτημα του εξηνταδικού συστήματος βρίσκεται στον υπολογισμό κλασμάτων, καθώς ο αριθμός 60 αποτελεί εξαιρετικά υψηλά [[Σύνθετος αριθμός|σύνθετο αριθμό]], διαθέτοντας δώδεκα [[Παραγοντοποίηση|παράγοντες]] (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, και 60) εκ των οποίων οι τρεις (2, 3, 5) είναι [[Πρώτος αριθμός|πρώτοι αριθμοί]]. Λόγω της διαθεσιμότητας πολλών παραγόντων είναι εύκολη η κατάτμηση του αριθμού σε μικρότερες υποομάδες. Το 60 επίσης αποτελεί το [[ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο]] των πρώτων έξι αριθμών (1 έως 6). Στα αρχαία βαβυλωνιακά κείμενα χρησιμοποιείται πολύ συχνά για την παράθεση κλασμάτων αριθμών σε μαθηματικούς πίνακες.<ref>{{Cite book|title=The Exact Sciences in Antiquity|url=https://archive.org/details/exactsciencesant00neug|last=Neugebauer|first=O.|publisher=Dover|year=1969|isbn=0-486-22332-9|location=|pages=[https://archive.org/details/exactsciencesant00neug/page/n34 17], para. 3 (middle)|quote=In other words: it is only in strictly mathematical or astronomical contexts that the sexagesimal system is consistently applied. In all other matters (dates, measures of weight, areas, etc.), use was made of mixed systems which have their exact parallel in the chaos of 60-division, 24-division, 12-division, 10-division, 2-division which characterizes the units of our own civilization.|via=}}</ref> 

Στην πράξη αυτό χρησιμοποιήθηκε από τους εμπόρους και τους αγοραστές για τον υπολογισμό ποσοτήτων αγαθών και δοσοληψιών σε διάφορες υποδιαιρέσεις κατά τις αγοραπωλησίες, και νομισματικές μονάδες όπως το αρχαίο [[σέκελ]] βασίζονταν στο εξηνταδικό σύστημα (1 ''σέκελ'' = 1/60 ''μανά'')''.''<ref>{{Cite book|title=The Exact Sciences in Antiquity|url=https://archive.org/details/exactsciencesant00neug|last=Neugebauer|first=O.|publisher=Dover|year=1969|isbn=0-486-22332-9|location=|pages=[https://archive.org/details/exactsciencesant00neug/page/n36 19], para. 3|quote=Combined with this, another process was taking place. In economic texts units of weight, measuring silver, were of primary importance. These units seem to have been arranged from early times in a ratio 60 to 1 for the main units “mana” (the Greek μνα ̃ “mina”) and shekel. Though the details of this process cannot be described accurately, it is not surprising to see this same ratio applied to other units and then to numbers in general. In other words, any sixtieth could have been called a shekel because of the familiar meaning of this concept in all financial transactions. Thus the “sexagesimal” order eventually became the main numerical system and with it the place value writing derived from the use of bigger and smaller signs. The decimal substratum, however, always remained visible for all numbers up to 60.|via=}}</ref> Η μονάδα αυτή αργότερα υιοθετήθηκε και από τους Έλληνες ως [[μνα]], σε τροποποιημένη μορφή καθώς ως βάση ορίστηκε το 50 ώστε η μονάδα να είναι συμβατή με το [[δεκαδικό σύστημα]] (10 * 5 = 50).

Οι αναπαραστάσεις των αριθμών διέφεραν ανάλογα με την χρήση και υπήρχαν διάφορες παραλλαγές τους καθώς και συνδυασμοί των ψηφίων τους,<ref>{{Cite book|title=The Exact Sciences in Antiquity|url=https://archive.org/details/exactsciencesant00neug|last=Neugebauer|first=O.|publisher=Dover|year=1969|isbn=0-486-22332-9|location=|pages=[https://archive.org/details/exactsciencesant00neug/page/n36 19], para. 2|quote=Beside these basic elements, many modifications of number symbols were in use for different classes of objects, such as capacity measures, weights, areas, etc. Among these a clear decimal system has been recognized with signs for 1, 10, and 100. The numbers 1 and 10 we have already described. The 100 was written as a circular impression which looks like 10, but is made much bigger. Thus 100 is simply “big 10”. Another system proceeds sexagesimally, at least partially. Distinct units are 1 and 10 as before. A big 1 represents 60. Two big units written in opposing directions are combined into one sign to form 120. A 10-sign added in the middle gives 1200. A very big 10 sign stands for 3600. Variations of these systems, both decimal and more or less sexagesimal, can be established at different localities. The main facts, however, are common to all of them, namely, the existence of a decimal substratum and the use of bigger symbols to represent higher units.|via=}}</ref> ενώ μερικές δεν χρησιμοποιούνταν το [[μηδέν]].<ref>{{Cite book|title=The Exact Sciences in Antiquity|url=https://archive.org/details/exactsciencesant00neug_249|last=Neugebauer|first=O.|publisher=Dover|year=1969|isbn=0-486-22332-9|location=|pages=[https://archive.org/details/exactsciencesant00neug_249/page/n32 17], para. 1|quote=The other inconsistency of the modern astronomical notation, namely, to continue beyond the seconds with decimal fractions, is a recent innovation. It is interesting to see that it took about 2000 years of migration of astronomical knowledge from Mesopotamia via Greeks, Hindus, and Arabs to arrive at a truly absurd numerical system.|via=}}</ref>

===Βαβυλωνιακά μαθηματικά===
{{κύριο|Βαβυλωνιακά μαθηματικά}}

Το εξηνταδικό σύστημα των Βαβυλωνίων δεν ήταν ''καθαρό'' εξηνταδικό σύστημα καθώς δεν διέθετε ξεχωριστό σύμβολο για το κάθε ένα από τα εξήντα ψηφία του, αλλά συνδυασμούς ψηφίων για την κάθε καταχώριση αριθμού στο [[θεσιακό σύστημα]]. Για τις πρώτες εννέα καταχωρήσεις χρησιμοποιούνταν τα [[βαβυλωνιακά ψηφία]] στην [[Σφηνοειδής γραφή|σφηνοειδή γραφή]], ενώ για τις δεκάδες έως το πενήντα επίσης ξεχωριστά σύμβολα. Όλα τα υπόλοιπα ψηφία του αριθμητικού συστήματος αποτελούσαν συνδυασμούς των ψηφίων αυτών. Για τους μεγαλύτερους αριθμούς χρησιμοποιούνταν η ίδια λογική επανάληψης των ψηφίων, χωρίς να υπάρχουν πλέον νέα ψηφία.

[[Image:Babylonian numerals.svg|470px|center]]

Πριν την χρήση του [[Μηδέν|μηδενός]], η ερμηνεία των αριθμών εξαρτώταν ανά περίπτωση όπου εμφανίζονταν ο αριθμός, για παράδειγμα ο αριθμός 1 και ο αριθμός 60 (61ος αριθμός) αναγραφόταν με το ίδιο σύμβολο.<ref>{{citation|title=Topics in Contemporary Mathematics |first1=Ignacio |last1=Bello |first2=Jack R. |last2=Britton |first3=Anton |last3=Kaul |edition=9th |publisher=Cengage Learning |year=2009 |isbn=9780538737791 |page=182 |url=https://books.google.com/books?id=Aji2yzbopxgC&pg=PA182}}.</ref><ref name="lmnz" /> Όταν αργότερα οι Βαβυλώνιοι άρχισαν να χρησιμοποιούν το μηδέν (ως[[File:Babylonian digit 0.svg]]), η ανάγνωση των αριθμών διευκολύνθηκε, ωστόσο το έκαναν ως πρόθεμα (υποδηλώνοντας ότι ακολουθεί δεκάδα, εκατοντάδα κτλ), και όχι ως τμήμα του ίδιου του αριθμού (στα δεξιά του αριθμού όπως 10, 2000 κτλ).<ref name="lmnz">{{citation |url=http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2014/08/31/look-ma-no-zero/ |first=Evelyn |last=Lamb |journal=Scientific American |series=Roots of Unity |date=August 31, 2014 |title=Look, Ma, No Zero!}}</ref>

=== Ελληνικά κείμενα ===
Στην [[Πολιτεία του Πλάτωνα]] (4ος αιώνας π.Χ.) υπάρχει σχετική αλληγορία σχετικά με τον [[Γάμος|γάμο]] και τον αριθμό 60<sup>4</sup> = 12.960.000 και τους [[Διαιρέτης|διαιρέτες]] του. Καθώς ο αριθμός αυτός αναπαριστάται με πολύ απλή μορφή στο εξηνταδικό σύστημα ως ''1,0,0,0,0'' (τριγωνομετρική μορφή) υπήρξε προσπάθεια από διάφορους μελετητές των βαβυλωνιακών μαθηματικών και της μουσικής θεωρίας έτσι ώστε να εξηγηθεί η σχέση της αναφοράς αυτής με το εξηνταδικό σύστημα.<ref>{{citation|last=Barton|first=George A.|title=On the Babylonian origin of Plato's nuptial number|year=1908|journal=Journal of the American Oriental Society|volume=29|pages=210–219|doi=10.2307/592627|jstor=592627}}. {{citation|last=McClain|first=Ernest G.|title=Musical "Marriages" in Plato's "Republic"|year=1974|author2=Plato,|journal=Journal of Music Theory|volume=18|issue=2|pages=242–272|doi=10.2307/843638|jstor=843638}}</ref>

Ο υπολογισμός του [[Τροπικό έτος|τροπικού έτους]] ως 365,25 ημέρες από τον [[Κάλλιππος|Κάλλιπο]] (4ος αιώνας π.Χ.)<ref>{{citation|last=Leverington|first=David|title=Babylon to Voyager and Beyond: A History of Planetary Astronomy|url=https://books.google.com/books?id=6Hpi202ybn8C&pg=PA30|year=2003|page=30|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521808408}}.</ref> και οι μετέπειτα βελτιώσεις του [[Ίππαρχος ο Ρόδιος|Ίππαρχου]] (2ος αιώνας π.Χ.),<ref>[http://www.dioi.org/vols/w11.pdf ''DIO''], volume 1, number 1, pages 49–66; A.Jones, 2001; Thurston, ''op. cit.'', page 62</ref> ίσως είχαν βαβυλωνιακή προέλευση. Ο αριθμός των ημερών εκφράζεται ως 6,5;14,44,51 ({{nowrap|6 × 60 + 5 + {{sfrac|14|60}} + {{sfrac|44|60<sup>2</sup>}} + {{sfrac|51|60<sup>3</sup>}}}}) ημέρες.

Στο έργο [[Μαθηματική σύνταξις]] του [[Κλαύδιος Πτολεμαίος|Κλαύδιου Πτολεμαίου]] (2ος αιώνας μ.Χ.), το εξηνταδικό σύστημα χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση των δεκαδικών σημείων των αριθμών, και συγκεκριμένα στον ''πίνακα των χορδών'' της πραγματείας, ο οποίος υπήρξε ο μοναδικός αναλυτικός εξηνταδικός [[τριγωνομετρικός πίνακας]] για πάνω από μια χιλιετία. Τα ψηφία γράφτηκαν με χρήση του ελληνικού συστήματος αρίθμησης, με το κάθε εξηνταδικό ψηφίο να λογίζεται ως ξεχωριστός αριθμός, ενώ για την χρήση του μηδενός ακολουθήθηκε η ίδια με τους Βαβυλωνίους λογική του προθέματος. Σε ότι αφορά τον υπολογισμό της τιμής του [[Π (μαθηματική σταθερά)|''π'']] από τον Πτολεμαίο αυτός έγινε ως 3;8,30 = {{nowrap|3 + {{sfrac|8|60}} + {{sfrac|30|60<sup>2</sup>}}}} = {{sfrac|377|120}} ≈ {{val|3.141666}}....<ref>{{Citation|title=Ptolemy's Almagest|url=|year=1984|page=302|place=New York|publisher=Springer Verlag|editor-last=Toomer|editor-first=G. J.|isbn=0-387-91220-7|accessdate=}}</ref> 

=== Άλλες ιστορικές χρήσεις ===
Αριθμητικά συστήματα με βάση το 60 χρησιμοποιήθηκαν και από άλλους πολιτισμούς, απομακρυσμένους από την περιοχή της Μέσης Ανατολής, όπως τον λαό των [[Εκάρι]] στην δυτική [[Νέα Γουινέα]].<ref>{{citation|last=Bowers|first=Nancy|title=Kapauku numeration: Reckoning, racism, scholarship, and Melanesian counting systems|url=http://www.ethnomath.org/resources/bowers1977.pdf|year=1977|journal=Journal of the Polynesian Society|volume=86|issue=1|pages=105–116.|accessdate=2017-09-26|archiveurl=https://web.archive.org/web/20090305190121/http://www.ethnomath.org/resources/bowers1977.pdf|archivedate=2009-03-05|url-status=dead}}</ref><ref>{{citation|last=Lean|first=Glendon Angove|title=Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania|url=http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/thesis.htm|year=1992|publisher=Ph.D. thesis, Papua New Guinea University of Technology|accessdate=2017-09-26|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070905170848/http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/thesis.htm|archivedate=2007-09-05|url-status=dead}}. See especially [http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/ch4web/ch4.htm chapter 4] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070928061154/http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/ch4web/ch4.htm |date=2007-09-28 }}.</ref>

Στο [[κινεζικό ημερολόγιο]], χρησιμοποιείται συχνά το σύστημα του [[Εξηνταδικός κύκλος|εξηνταδικού κύκλου]], όπου οι ημέρες ή τα έτη ονομάζονται ανάλογα με την θέση τους σε ακολουθίες των 10 ομάδων και σε άλλη ακολουθία 12 κλάδων. Η ομάδα και ο κλάδος επαναλαμβάνονται με την ολοκλήρωση κάθε 60 εναλλαγών στον κύκλο αυτό.

=== Σύγχρονη χρήση ===

Στο πλαίσιο της [[Τριγωνομετρία|τριγωνομετρίας]] και της μελέτης των αρχαίων μαθηματικών, οι εξηνταδικοί αριθμοί γράφονται με χρήση των δεκαδικών ψηφίων, και το κάθε ψηφίο να χωρίζεται από κόμμα.<ref>{{Citation | last = Neugebauer | first = Otto | last2 = Sachs | first2 = Abraham Joseph | last3 = Götze | first3 = Albrecht | title = Mathematical Cuneiform Texts | place = New Haven | publisher = American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research | series = American Oriental Series | volume = 29 | year = 1945 | page = 2 | url = https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=i-juAAAAMAAJ&oi=fnd&pg=PA1&dq=%22sexagesimal+notation%22&ots=nkmW8KTnQ_&sig=U_K4iOoKy5Xf70UrbjoTyS3hN2A#v=onepage&q=%22sexagesimal%20notation%22&f=false}}</ref> Για παράδειγμα η τετραγωνική ρίζα του 2 στο δεκαδικό σύστημα είναι 1,41421 και στο εξηνταδικό 1;24,51,10.<ref>{{harvtxt|Aaboe|1964}}, pp. 15–16, 25</ref>

Στα συστήματα μέτρησης χρόνου, μια [[ώρα]] αποτελείται από 60 [[Λεπτό|λεπτά]], και το κάθε λεπτό απαρτίζεται από 60 [[Δευτερόλεπτο|δευτερόλεπτα]]. Έτσι η ποσότητα χρόνου όπως 3:23:17 (τρεις ώρες, είκοσι τρία λεπτά, δεκαεπτά δευτερόλεπτα) ερμηνεύεται ως εξηνταδικός αριθμός ως {{nowrap|3 × 60<sup>2</sup> + 23 × 60<sup>1</sup> + 17 × 60<sup>0</sup>}} δευτερόλεπτα. Με παρόμοιο τρόπο γίνεται και η μέτρηση των [[Γωνία|γωνιών]], όπου π.χ. ο [[κύκλος]] αποτελείται από 360 [[Μοίρα (γεωμετρία)|μοίρες]] (60 * 6 = 360). Η υιοθέτηση του συστήματος αυτού εδραιώθηκε κατά την περίοδο της [[Αναγέννηση]]ς στην δυτική Ευρώπη.<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=OQZxHpG2y3UC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false|title=A History of Mathematical Notations|last=Cajori|first=Florian|publisher=Cosimo, Inc.|year=2007|origyear=1928|isbn=9781602066854|volume=1|location=New York|page=216}}</ref><ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=WyQOAAAAQAAJ&pg=PA146&lpg=PA146&dq=%22Sexagesimal+Scale+of+Arithmetick,+of+frequent+use+among+Astronomers%22&source=bl&ots=RDkOg7a6Up&sig=_WFaXnugJ6HvQ_fkzuJDGmFFcKU&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwj9i_znotHKAhUT7GMKHVOCCkUQ6AEIHDAA#v=onepage&q=%22Sexagesimal%20Scale%20of%20Arithmetick%2C%20of%20frequent%20use%20among%20Astronomers%22&f=false|title=The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-lines.|last=Newton|first=Isaac|authorlink=Isaac Newton|publisher=Henry Woodfall|year=1671|isbn=|location=London|page=146|publication-date=1736|quote=}}</ref>

Σε ότι αφορά την απλή μετατροπή αριθμού από μια αριθμητική βάση στην βάση 60, για την παράσταση των ψηφίων πάνω από το 9 και έως το 60 χρησιμοποιούνται τα γράμματα του [[Λατινικό αλφάβητο|λατινικού αλφαβήτου]] σε πεζή και σε κεφαλαία μορφή.

== Κλάσματα ==
Στο εξηνταδικό σύστημα το κάθε [[κλάσμα]] του οποίου ο [[παρονομαστής]] διαθέτει μόνο το 2, 3, και 5 στην [[παραγοντοποίηση]] πρώτων του μπορεί να εκφραστεί με ακρίβεια.<ref>{{citation
| title=Astronomical Cuneiform Texts
| last=Neugebauer
| first=Otto E.
| year=1955
| publisher=Lund Humphries
| place=London
}}</ref> Για παράδειγμα το {{sfrac|1|9}} της ώρας είναι 6 λεπτά και 40 δευτερόλεπτα.
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|-
! Κλάσμα
| {{sfrac|2}} || {{sfrac|3}} || {{sfrac|4}} || {{sfrac|5}} || {{sfrac|6}} || {{sfrac|8}} || {{sfrac|9}} || {{sfrac|10}}
|-
!Εξηνταδικός
| 30  || 20  || 15  || 12  || 10  || 7,30 || 6,40 || 6
|-
! colspan="9" |
|-
! Κλάσμα
| {{sfrac|12}} || {{sfrac|15}} || {{sfrac|16}} || {{sfrac|18}} || {{sfrac|20}} || {{sfrac|24}} || {{sfrac|25}} || {{sfrac|27}}
|-
!Εξηνταδικός
| 5   ||4    || 3,45 || 3,20 || 3    || 2,30 || 2,24 || 2,13,20
|-
! colspan="9" |
|-
! Κλάσμα
| {{sfrac|30}} || {{sfrac|32}} || {{sfrac|36}} || {{sfrac|40}} || {{sfrac|45}} || {{sfrac|48}} || {{sfrac|50}} || {{sfrac|54}}
|-
!Εξηνταδικός
| 2   || 1,52,30 || 1,40 || 1,30 || 1,20 || 1,15 || 1,12 || 1,6,40 
|}
Για τα κλάσματα τα οποία δεν διαθέτουν παρονομαστές με την παραπάνω ιδιότητα η απόδοση τους είναι πιο περίπλοκη και επιστρέφει [[Περιοδικός αριθμός|περιοδικούς αριθμούς]]. 

:{{sfrac|7}} = 0;8,34,17,8,34,17 ...= 0;{{overline|8,34,17}}
:{{sfrac|11}} = 0;{{overline|5,27,16,21,49}}
:{{sfrac|13}} = 0;{{overline|4,36,55,23}}
:{{sfrac|14}} = 0;4,{{overline|17,8,34}}
:{{sfrac|17}} = 0;{{overline|3,31,45,52,56,28,14,7}}
:{{sfrac|19}} = 0;{{overline|3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41}}
[[Image:Ybc7289-bw.jpg|thumb|200px|Βαβυλωνιακή πλάκα με αναγραφή του εξηνταδικού αριθμού {{nowrap|1;24,51,10}} ο οποίος προσεγγίζει την [[τετραγωνική ρίζα]] του 2.]]
Η [[τετραγωνική ρίζα]] του 2, η οποία αντιστοιχεί στην διαγώνιο ενός τετραγώνου, υπολογίστηκε από τους Βαβυλώνιους ως:
:<math>1;24,51,10=1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}=\frac{30547}{21600}\approx 1.41421296\ldots</math><ref>{{Cite web |url=http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |title=YBC 7289 clay tablet |accessdate=2017-09-26 |archive-date=2012-08-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |url-status=dead }}</ref>
==Παραπομπές==
{{commonscat}}
{{reflist|colwidth=30em}}

==Σχετική βιβλιογραφία==
*{{citation
 | first = Georges
 | last = Ifrah
 | title = The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer
 | publisher = Wiley
 | year = 1999
 | isbn = 0-471-37568-3}}.
*{{citation
 | first1 = Hans J.
 | last1 = Nissen
 | first2 = P.
 | last2 = Damerow
 | first3 = R.
 | last3 = Englund
 | title = Archaic Bookkeeping
 | publisher = University of Chicago Press
 | year = 1993
 | isbn = 0-226-58659-6}}

*[http://www.wdl.org/en/item/4259 "Facts on the Calculation of Degrees and Minutes"] is an Arabic language book by Sibṭ al-Māridīnī, Badr al-Dīn Muḥammad ibn Muḥammad (b. 1423).  This work offers a very detailed treatment of sexagesimal mathematics and includes what appears to be the first mention of the periodicity of sexagesimal fractions.

[[Κατηγορία:Συστήματα αρίθμησης]]
[[Κατηγορία:Βαβυλωνιακά μαθηματικά]]