Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Ευθεία

{{multiple image
 |image1=Line through two points el.svg
 |caption1=Ευθεία που διέρχεται από τα σημεία <math>\rm K</math> και <math>\rm \Lambda</math>.
 |image2=Line with axes el.svg
 |caption2=Μία ευθεία στο [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων|Καρτεσιανό επίπεδο]].
}}
Στην [[γεωμετρία]], '''ευθεία''' είναι [[γραμμή]], απείρου μήκους και μηδενικού πάχους, χωρίς [[αρχή]] και [[τέλος]] και απολύτως ίσια.

Πιο αυστηρά, μία ευθεία στο [[επίπεδο]] είναι το [[σύνολο]] των σημείων με συντεταγμένες <math>(x, y)</math> που ικανοποιούν την γραμμική εξίσωση
:<math>Ax + By + \mathit{\Gamma} = 0</math>,
όπου <math>A, B, \mathit{\Gamma}</math> είναι [[πραγματικός αριθμός|πραγματικοί αριθμοί]], και τουλάχιστον ένας από τους <math>A</math> και <math>B</math> δεν είναι <math>0</math>. 

[[Αρχείο:Line with axes slope and intercept el.svg|thumb|Ευθεία με εξίσωση <math>y = \lambda x +\beta</math>, όπου <math>\lambda = \tan \varphi</math>.]]
Αν η ευθεία δεν είναι [[παράλληλες ευθείες|παράλληλη]] στο άξονα <math>{\rm O}y</math> τότε μπορεί να πάρει την μορφή
:<math>y = \lambda x + \beta</math>.
Το <math>\lambda</math> λέγεται '''συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας''' και είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας της ευθείας με τον άξονα <math>{\rm O}y</math>. Το <math>(0, \beta)</math> είναι το σημείο τομής της ευθείας με τον <math>{\rm O}y</math>.

Η [[ευκλείδεια γεωμετρία]] δεν δίνει ορισμό της ευθείας, αλλά τη θεωρεί πρωταρχική έννοια, όπως και το [[σημείο]] και το [[επίπεδο]].<ref name="Tav">{{cite book |last=Ταβανλης |first=Χ. |title=Επίπεδος Γεωμετρία |publisher=Ι. Χιωτελη |location=Αθήνα}}</ref>{{rp|11}}<ref>{{cite book |title=Ελάσσον Γεωμετρικόν |last=Πάμφιλος |first=Πάρις |publisher=Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης |year=2012 |isbn=9789605243807 }}</ref>{{rp|15}}<ref>{{cite book |title=Γεωμετρία: Η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας |first=Γιάννης |last=Ντάνης |publisher=Gutenberg }}</ref>{{rp|13}} Την εικόνα ενός μέρους μιας ευθείας παρέχει ένα τεντωμένο λεπτό νήμα. Σύμφωνα με τη γεωμετρία αυτή, από δύο οποιαδήποτε σημεία του χώρου διέρχεται μία και μόνο μία ευθεία, η οποία αποτελεί και τη συντομότερη οδό μεταξύ των δύο αυτών σημείων. Η ευθεία μπορεί να περιγραφεί επίσης ως η τομή δύο [[επίπεδο|επιπέδων]] του ευκλείδειου χώρου. 

== Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ==
Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου μπορεί να έχουν:
#Ένα κοινό σημείο, δηλαδή να ''τέμνονται''. Υποχρεωτικά ανήκουν στο ίδιο [[επίπεδο]].
#Δύο ή περισσότερα κοινά σημεία, όποτε υποχρεωτικά [[ταύτιση|ταυτίζονται]].
#Κανένα κοινό σημείο. Αν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, τότε λέγονται ''παράλληλες''.<ref group="Σημείωση">Όπως θα δούμε παρακάτω, σε παραπάνω από δύο διαστάσεις υπάρχουν και ευθείες που δεν έχουν κοινά σημεία αλλά οι κλίσεις τους δεν είναι ίσες. Αυτές ονομάζονται ''ασύμβατες''.</ref>
{{multiple image
  |align=center
  |total_width=300
  |title=Σχετικές θέσεις δύο ευθειών <math>\varepsilon_1</math> και <math>\varepsilon_2</math>
  |image1=Intersecting lines el.svg
  |caption1=Δύο ευθείες που τέμνονται στο σημείο <math>\rm I</math>.
  |image2=Parallel_lines_el.svg
  |caption2=Δύο παράλληλες ευθείες.
}}

== Εξίσωση ευθείας στο επίπεδο ==

=== Γραμμική εξίσωση ===

Μία ευθεία <math>\varepsilon</math> είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες <math>(x, y)</math> που ικανοποιούν την εξίσωση
:<math>Ax + By + \mathit{\Gamma} = 0</math>,
όπου <math>A, B, \mathit{\Gamma}</math> είναι πραγματικοί αριθμοί. Επιπλέον ένα από τα <math>A, B</math> πρέπει να είναι διάφορο του μηδενός.<ref group="Σημείωση">Αν και τα δύο είναι <math>0</math>, τότε αν <math>\mathit{\Gamma} = 0</math> τότε η εξίσωση ικανοποιείται από όλα τα σημεία του επιπέδου, ή αν <math>\mathit{\Gamma} \neq 0</math> η εξίσωση δεν ικανοποιείται από κανένα.</ref>

'''Σημείωση 1:''' Όταν <math>A, B\neq 0</math>, τότε η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως 
:<math>\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1</math>,
όπου <math>(a, 0)</math> και <math>(0, b)</math> είναι τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες <math>{\rm O}x</math> και <math>{\rm O}y</math> αντίστοιχα. 

'''Σημείωση 2:''' Η παραπάνω εξίσωση της ευθείας δίνει την διανυσματική ερμηνεία, ως ο [[γεωμετρικός τόπος]] των σημείων <math>\vec{x}</math> που έχουν σταθερό [[εσωτερικό γινόμενο]] (ίσο με <math>\mathit{\Gamma}</math>) με ένα σταθερό διάνυσμα <math>\vec{n} = (A, B)</math>, δηλαδή 
:<math>\varepsilon = \{ \vec{x} \in \R^2 : \vec{n} \cdot \vec{x} = \mathit{\Gamma} \}</math>.  

=== Παραμετρική εξίσωση ===
Τα σημεία της ευθείας <math>\varepsilon</math> που διέρχεται από το σημείο <math>\vec{x} = (x_0, y_0)</math> με διεύθυνση <math>\vec{d} = (d_x, d_y)</math> έχουν συντεταγμένες
:<math>x = x_0 + t \cdot d_x</math> και <math>y = y_0 + t \cdot d_y</math>, 
για κάθε πραγματική τιμή της παραμέτρου <math>t</math>.

Με την μορφή διανυσμάτων μπορεί να γραφτεί και ως
:<math>\varepsilon = \{ \vec{x} \in \R^2 : \vec{x} + t \cdot \vec{d} \}</math>.

== Ευθεία μεταξύ δύο σημείων ==
[[File:Slope of line el.svg|thumb|300px|Υπολογισμός συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας μεταξύ των <math>\rm K</math> και <math>\rm \Lambda</math>, όπου<br><center><math>\tan \varphi = \tfrac{{\rm \Lambda}_y - {\rm K}_y}{{\rm \Lambda}_x - {\rm K}_x}</math>.</center>]]
Έστω δύο διακριτά σημεία <math>({\rm K}_x, {\rm K}_y)</math> και <math>({\rm \Lambda}_x, {\rm \Lambda}_y)</math>. Διακρίνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις για την εξίσωση της ευθείας:
* '''Περίπτωση 1<sup>η</sup>:''' Ισχύει ότι <math>{\rm K}_x = {\rm \Lambda}_x</math>. Η ευθεία είναι κάθετη στον άξονα <math>{\rm O}x</math> και έχει εξίσωση
::<math>x = {\rm K}_x</math>.
* '''Περίπτωση 2<sup>η</sup>:''' Ισχύει ότι <math>{\rm K}_x \neq {\rm \Lambda}_x</math>. Η ευθεία έχει κλίση 
::<math>\lambda = \frac{{\rm \Lambda}_y - {\rm K}_y}{{\rm \Lambda}_x - {\rm K}_x}</math>, 
:και καθώς διέρχεται από το <math>({\rm K}_x, {\rm K}_y)</math>, θα έχει εξίσωση
::<math>y - {\rm K}_y = \lambda \cdot (x - {\rm K}_x)</math>.

=== Κανονική μορφή ===
Η '''κανονική μορφή''' (ή '''μορφή Hesse''') της εξίσωσης της ευθείας <math>Ax + By + \mathit{\Gamma} = 0</math> είναι η εξίσωση 
:<math>\frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} \cdot x + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \cdot y + \frac{\mathit{\Gamma}}{\sqrt{A^2+B^2}} = 0</math>.
Η εξίσωση μπορεί επίσης να γραφτεί ως 
:<math>(\cos \omega) \cdot x + (\sin \omega) \cdot y + d = 0</math>, 
όπου <math>\omega</math> είναι η προσημασμένη γωνία της ευθείας που συνδέει την αρχή των αξόνων με το κοντινότερο σημείο της ευθείας και <math>d</math> είναι η (προσημασμένη) απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία.
{{Μαθηματική απόδειξη|
[[File:Hesse normal form el.svg|thumb|250px|Σχήμα απόδειξης.]]
Θεωρούμε το σημείο <math>\rm P</math> της ευθείας <math>\varepsilon</math> που είναι το κοντινότερο σημείο από την αρχή των αξόνων <math>\rm O</math>. Αφού είναι το κοντινότερο σημείο έπεται ότι <math>\rm OP</math> είναι [[κάθετες ευθείες|κάθετη]] στην <math>\varepsilon</math>.

Από το [[Πυθαγόρειο θεώρημα]] στο [[ορθογώνιο τρίγωνο]] <math>{\rm OI}_x {\rm I}_y</math> έχουμε ότι η υποτείνουσα 
:<math>{\rm I}_x {\rm I}_y = \sqrt{{\rm OI}_x^2 + {\rm OI}_y^2} = \frac{\mathit{\Gamma}}{A \cdot B} \cdot \sqrt{A^2 + B^2}</math>.

Επίσης, το [[εμβαδόν τριγώνου|εμβαδόν]] <math>\rm E</math> του ορθογωνίου τριγώνου δίνεται από τους εξής δύο τύπους
:<math>{\rm E} = \frac{1}{2} \cdot {\rm OI}_x \cdot {\rm OI}_y</math>, και
:<math>{\rm E} = \frac{1}{2} \cdot {\rm I}_x{\rm I}_y \cdot d</math>.
Εξισώνοντας τις δύο αυτές σχέσεις, η απόσταση <math>d</math> είναι ίση με
:<math>d = \frac{{\rm OI}_x \cdot {\rm OI}_y}{{\rm I}_x{\rm I}_y} = \frac{\mathit{\Gamma}^2}{A \cdot B} \cdot \frac{1}{\frac{\mathit{\Gamma}}{A \cdot B} \cdot \sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{\mathit{\Gamma}}{\sqrt{A^2 + B^2}}</math>.
Τέλος, από τα ορθογώνια <math>{\rm OPI}_x</math> και <math>{\rm OPI}_y</math>, προκύπτει ότι 
:<math>\cos \omega = \frac{{\rm OI}_x}{{\rm OP}} = \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}</math> και <math>\sin \omega = \frac{{\rm OI}_y}{{\rm OP}} = \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}</math>.
}}

== Απόσταση σημείου από ευθεία ==

Η απόσταση ενός σημείου <math>{\rm P} = ({\rm P}_x, {\rm P}_y)</math> από μία ευθεία <math>\varepsilon</math> με εξίσωση <math>Ax +By + \mathit{\Gamma} = 0</math> δίνεται από τον τύπο
:<math>d = \frac{|A \cdot {\rm P}_x + B \cdot {\rm P}_y + \mathit{\Gamma}|}{\sqrt{A^2 + B^2}}</math>.
{{Μαθηματική απόδειξη|
[[File:Distance of point from line proof el.svg|thumb|Σχήμα απόδειξης για την απόσταση ενός σημείου <math>\rm P</math> από μία ευθεία <math>\varepsilon</math>.]]
Από την κανονική μορφή της ευθείας έχουμε ότι
:<math>d_1 = \frac{\mathit{\Gamma}}{\sqrt{A^2 + B^2}}</math> 
είναι η προσημασμένη απόσταση της ευθείας <math>\varepsilon</math> από την αρχή των αξόνων.

Η ευθεία <math>\varepsilon'</math> με εξίσωση <math>A(x - {\rm P}_x) +B(y - {\rm P}_y)= 0</math> διέρχεται από το σημείο <math>\rm P</math> και είναι παράλληλη στην <math>\varepsilon</math> (καθώς έχει ίδιο συντελεστή διεύθυνσης). Η προσημασμένη απόστασή της από την αρχή των αξόνων είναι 
:<math>d_2 = \frac{-A{\rm P}_x - A{\rm P}_y }{\sqrt{A^2 + B^2}}</math>.
Επομένως, η ζητούμενη απόσταση είναι ίση με 
:<math>d = |d_1 - d_2| = \frac{|A \cdot {\rm P}_x + B \cdot {\rm P}_y + \mathit{\Gamma}|}{\sqrt{A^2 + B^2}}</math>.
}}

Από τον παραπάνω τύπο προκύπτει ότι δύο παράλληλες ευθείες με εξισώσεις
:<math>Ax + By + \mathit{\Gamma}_1 = 0 \quad (\varepsilon_1)</math>,
:<math>Ax + By + \mathit{\Gamma}_2 = 0 \quad (\varepsilon_2)</math>,
έχουν [[απόσταση δύο παράλληλων ευθειών|απόσταση]] 
:<math>d = \frac{|\mathit{\Gamma}_2 - \mathit{\Gamma}_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}</math>.

== Γωνία μεταξύ ευθειών ==
{{multiple image
 |image1=Intersecting lines angle el.svg
 |caption1=Γωνία μεταξύ δύο ευθειών <math>\varepsilon_1</math> και <math>\varepsilon_2</math>.
 |image2=Perpendicular_lines_el.svg
 |caption2=Δύο κάθετες ευθείες.
}}
Δύο ευθείες με διευθύνσεις <math>\vec{d}_1</math> και <math>\vec{d}_2</math> έχουν μεταξύ τους γωνία <math>\vartheta</math> με 
:<math>\cos \vartheta = \frac{|\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2|}{|\vec{d}_1| \cdot |\vec{d}_2|}</math>,
όπου <math>\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2</math> είναι το [[εσωτερικό γινόμενο|εσωτερικό τους γινόμενο]] και <math>|\vec{d}_1|, |\vec{d}_2|</math> τα [[μέτρο διανύσματος|μέτρα]] τους.

Στην ειδική περίπτωση που <math>\cos \vartheta = 0</math>, δηλαδή οι ευθείες σχηματίζουν τέσσερις [[ορθή γωνία|ορθές γωνίες]], λέμε ότι οι ευθείες είναι [[κάθετες ευθείες|κάθετες]].
{{clear}}

== Σημείο τομής δύο ευθειών ==
Η εύρεση του σημείου τομής δύο ευθειών ανάγεται στην επίλυση ενός [[σύστημα εξισώσεων|συστήματος δύο εξισώσεων]] με δύο αγνώστους (τα <math>x, y</math>):
:<math>A_1 x + B_1 y = -\mathit{\Gamma}_1</math>,
:<math>A_2 x + B_2 y = -\mathit{\Gamma}_2</math>,
για το οποίο υπάρχουν διάφοροι τρόποι, όπως η μέθοδος της αντικατάστασης, η μέθοδος των αντίθετων συντελεστών, ο [[κανόνας του Κράμερ]], η [[Γκαουσιανή απαλοιφή]], κ.λπ.

== Σχετικές έννοιες ==
* '''[[Ευθύγραμμο τμήμα]]''': Το τμήμα μίας ευθείας μεταξύ των δύο σημείων της ευθείας. Πιο αυστηρά, το σύνολο των σημείων του ευθυγράμμου τμήματος μεταξύ των σημείων <math>\vec{a}</math> και <math>\vec{b}</math> είναι 
::<math>\left\{ t \cdot \vec{a} + (1 - t) \cdot \vec{b} : t \in [0, 1] \right\}</math>.
* '''[[Ημιευθεία]]''': Το τμήμα μιας ευθείας που έχει αρχή ένα σημείο αυτής και εκτείνεται προς τη μια κατεύθυνση αυτής. Το σύνολο των σημείων των δύο ημιευθειών της ευθείας με κατεύθυνση <math>\vec{d}</math> στο σημείο <math>\mathbf{x}_0</math> είναι αντίστοιχα
::<math>\left\{ \mathbf{x}_0 + t \cdot \vec{d} : t \geq 0 \right\}\quad </math> και <math>\quad \left\{ \mathbf{x}_0 + t \cdot \vec{d} : t \leq 0 \right\}</math>.
* '''[[Ημιεπίπεδο]]''': Τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζει μία ευθεία με εξίσωση <math>Ax + By + \mathit{\Gamma} = 0</math> είναι τα σύνολα των σημείων που ικανοποιούν τις ανισότητες
::<math>\left\{ (x, y) \in \R^2 : Ax + By + \mathit{\Gamma} > 0 \right\}</math>,
:ή αντίστοιχα
::<math>\left\{ (x, y) \in \R^2 : Ax + By + \mathit{\Gamma} < 0 \right\}</math>.

{{multiple image
  |align=center
  |image1=Line segment greek.svg
  |caption1=Ευθύγραμμο τμήμα <math>\rm AB</math> με φορέα την ευθεία <math>\varepsilon</math>.
  |image2=Half line through one point el.svg
  |caption2=Μία από τις δύο ημιευθείες με αρχή το σημείο <math>\rm A</math> και φορέα την ευθεία <math>\varepsilon</math>.
  |image3=Half plane.svg
  |caption3=Με πράσινο και μπλε τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζονται από την ευθεία <math>\varepsilon</math>.
}}

=== Σε ένα τρίγωνο ===
Σε ένα τρίγωνο υπάρχουν αρκετές αξιοσημείωτες ευθείες, οι οποίες είτε συντρέχουν σε συγκεκριμένα σημεία, είτε περιλαμβάνουν άλλα αξιοσημείωτα σημεία. 

Ενδεικτικά, οι [[μεσοκάθετος|μεσοκάθετοι]] διέρχονται από το [[περίκεντρο τριγώνου|περίκεντρο]], τα [[ύψος τριγώνου|ύψη]] διέρχονται από το [[ορθόκεντρο τριγώνου|ορθόκεντρο]], οι [[εσωτερική διχοτόμος τριγώνου|διχοτόμοι]] των γωνιών του διέρχονται από το [[έγκεντρο τριγώνου|έγκεντρο]], οι [[διάμεσος τριγώνου|διάμεσοι]] από το [[βαρύκεντρο τριγώνου|βαρύκεντρο]], οι [[Συμμετροδιάμεσος τριγώνου|συμμετροδιάμεσοι]] από το [[σημείο Λεμουάν]], κ.λπ. Αξιοσημείωτες ευθείες είναι η [[ευθεία Όιλερ]], [[ευθεία Σίμσον-Γουάλας]], [[ευθεία Στάινερ]], κ.λπ.

=== Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη ===

Οι ευθείες εμφανίζονται επίσης και στις λεγόμενες "κατασκευές με κανόνα και διαβήτη" όπου ο σκοπός είναι ο μεθοδικός σχεδιασμός γεωμετρικών σχημάτων με [[Κανόνας (γεωμετρία)|κανόνα]] (χάρακα) και [[Διαβήτης (όργανο)|διαβήτη]]. Ο κανόνας επιτρέπει την χάραξη ευθειών μεταξύ δύο σημείων, ενώ ο διαβήτης επιτρέπει την χάραξη κύκλων μεταξύ δύο σημείων.

== Σε πάνω από δύο διαστάσεις ==

=== Τρεις διαστάσεις ===

Σε τρεις διαστάσεις μία ευθεία <math>\varepsilon</math> ορίζεται ως το σύνολο στων σημείων του χώρου <math>(x, y, z)</math> που ικανοποιεί την γραμμική εξίσωση 
:<math>Ax + By + \mathit{\Gamma}z + \mathit{\Delta} = 0</math>, 
για πραγματικούς αριθμούς <math>A, B, \mathit{\Gamma}, \mathit{\Delta}</math> όπου δεν είναι όλοι οι <math>A, B, \mathit{\Gamma}</math> μηδέν.

==== Παραμετρικές εξισώσεις ====
Τα σημεία της ευθείας <math>\varepsilon</math> που διέρχεται από το σημείο <math>\vec{x} = (x_0, y_0, z_0)</math> με διεύθυνση <math>\vec{d} = (d_x, d_y, d_z)</math> έχουν συντεταγμένες
:<math>x = x_0 + t \cdot d_x</math>,
:<math>y = y_0 + t \cdot d_y</math>, και
:<math>z = z_0 + t \cdot d_z</math>, 
για κάθε πραγματική τιμή της παραμέτρου <math>t</math>.

'''Σημείωση:''' Με την μορφή διανυσμάτων μπορεί να γραφτεί ως το σύνολο σημείων
:<math>\varepsilon = \left\{ \vec{x} \in \R^3 : \vec{x} + t \cdot \vec{d} \right\}</math>.

==== Απόσταση σημείου από ευθεία ====

Η απόσταση ενός σημείου <math>\vec{x} = (x, y, z)</math> από μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο <math>\vec{x}_0</math> και έχει διεύθυνση <math>\vec{d}</math>, δίνεται από τον τύπο<ref name="H12">{{cite web |url=https://users.physics.ox.ac.uk/~harnew/lectures/lecture4-handout.pdf |title=Lecture 4: Vector geometry: Representation of lines |first=N. |last=Harnew |publisher=University of Oxford |year=2012 }}</ref>
:<math>d = |(\vec{x} - \vec{x}_0) \times \hat{d}|</math>,
όπου <math>\hat{d} = d/|d|</math>.

'''Σημείωση:''' Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να γραφτεί και με το [[εξωτερικό γινόμενο]], ως το σύνολο των σημείων
:<math>\varepsilon = \left\{ \vec{x} \in \R^3 : (\vec{x} - \vec{x}_0) \times \vec{d} = 0 \right\}</math>.

==== Ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο ευθειών ====

Η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο ευθειών με εξισώσεις <math>\vec{r}_1 = \vec{x}_1 + t \cdot \vec{d}_1</math> και <math>\vec{r}_2 = \vec{x}_2 + t \cdot \vec{d}_2</math>  δίνεται από τον τύπο{{r|H12}}
:<math>d = (\vec{x}_2 - \vec{x}_1) \cdot \hat{n}</math>, 
όπου <math>\vec{n} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2</math> και <math display="inline">\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}</math>

=== Πάνω από τρεις διαστάσεις ===

Σε <math>n</math> διαστάσεις μία ευθεία ορίζεται ως το σύνολο στων σημείων του χώρου <math>(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math> που ικανοποιεί την γραμμική εξίσωση 
:<math>A_1 x_1 + A_2 x_2 + \ldots A_n x_n + A_{n+1} = 0</math>, 
για πραγματικούς αριθμούς <math>A_1, A_2, \ldots, A_n, A_{n+1}</math> όπου δεν είναι όλοι οι <math>A_1, A_2, \ldots , A_n</math> μηδέν.

==Δείτε επίσης==
* [[Ευθύγραμμο τμήμα]]
* [[Ημιευθεία]]
* [[Άξονας συμμετρίας]]

== Περαιτέρω ανάγνωση ==
=== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ===
{{βικιλεξικό}}
*[http://mathworld.wolfram.com/Line.html MathWorld Encyclopedia]
* [https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml Εξισώσεις της ευθείας γραμμής] στο cut-the-knot.

== Σημειώσεις ==
<references group="Σημείωση"/>

== Παραπομπές ==
<references/>


{{ευθεία}}

[[Κατηγορία:Ευθείες]]
[[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία]]
[[Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία]]