Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Καμπύλη πλήρωσης χώρου

Στη [[μαθηματική ανάλυση]], με τον όρο '''καμπύλη πλήρωσης χώρου''' (ή αλλιώς '''καμπύλη που γεμίζει τον χώρο''') αναφερόμαστε σε [[Καμπύλη|καμπύλες]] που το σύνολο τιμών τους είναι ολόκληρο το [[μοναδιαίο τετράγωνο]] <math>[0,1]^2</math> (ή ολόκληρος ο [[υπερκύβος]] <math>[0,1]^n</math>). Πολλές φορές αυτές οι καμπύλες αναφέρονται και ως [[Καμπύλη Πεάνο|καμπύλες Πεάνο]], επειδή ο [[Τζουζέπε Πεάνο|Τζιουζέπε Πεάνο]] ήταν ο πρώτος μαθηματικός που ανακάλυψε μια τέτοια καμπύλη (παρότι και ο [[Ντάβιντ Χίλμπερτ]] είχε αναφερθεί σε παρόμοιες κατασκευές). 

== Ορισμός ==
Γενικά, μια συνεχής καμπύλη σε έναν χώρο 2, 3 ή περισσότερων διαστάσεων αποτελεί ένα μονοπάτι ενός σημείου που κινείται με συνεχή τρόπο. Ο επίσημος μαθηματικός ορισμός (ο οποίος εξαλείφει την αοριστία της προηγούμενης φράσης) είναι ο παρακάτω (Τζόρνταν 1887):

Μια καμπύλη (με σημεία που υποδηλώνουν την αρχή και το τέλος) είναι μια [[Συνέχεια συνάρτησης|συνεχής συνάρτηση]] <math>r:[0,1] \longrightarrow X</math>, όπου ο χώρος <math>X</math> μπορεί να είναι οποιοσδήποτε τοπολογικός χώρος.

Συνήθως, ο χώρος <math>X</math> αναφέρεται σε Ευκλείδειους χώρους όπως ο <math>R^2</math> (επίπεδη καμπύλη) ή ο <math>R^3</math> (καμπύλη στο χώρο). Πολύ συχνά με τον όρο καμπύλη αναφερόμαστε στην εικόνα της αντίστοιχης συνάρτησης, δηλαδή στο σύνολο όλων των δυνατών τιμών (σημείων) που μπορεί να πάρει η συνάρτηση. Επιπλέον, μπορούμε να ορίσουμε και καμπύλες χωρίς αρχικό ή τελικό σημείο (π.χ. καμπύλες που εκτείνονται στο άπειρο) αν θεωρήσουμε ως πεδίο ορισμού το ανοικτό σύνολο <math>(0,1)</math> ή ολόκληρο το <math>R</math>.

Μια καμπύλη που γεμίζει το μοναδιαίο τετράγωνο του επίπεδο μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιστοιχεί σε μια συνεχή και επί συνάρτηση της μορφής <math>\vec{r}:[0,1] \longrightarrow [0,1]^2</math>. Γενικότερα, μια καμπύλη που γεμίζει τον μοναδιαίο υπερκύβο, αντιστοιχεί σε μια συνεχή και επί συνάρτηση της μορφής <math>\vec{r}:[0,1] \longrightarrow [0,1]^n</math>.[[Αρχείο:Peanocurve.png|702x702px|Κατασκευή της καμπύλης Πεάνο|κέντρο|μικρογραφία]]

== Ιστορικό ==
Η πρώτη καμπύλη με την ιδιότητα να γεμίζει το χώρο ανακαλύφθηκε το 1890 από τον [[Τζουζέπε Πεάνο|Τζιουζέπε Πεάνο]].<ref>{{Cite journal|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01199438|title=Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane|last=Peano|first=G.|date=1890-03-01|journal=Mathematische Annalen|issue=1|doi=10.1007/BF01199438|volume=36|pages=157–160|language=fr|issn=0025-5831}}</ref> Η καμπύλη αυτή ονομάζεται συνήθως [[καμπύλη Πεάνο]] προς τιμήν του μαθηματικού. Σκοπός του Πεάνο ήταν να αποδείξει ότι τα σύνολα <math>[0,1]</math> και <math>[0,1]^2</math> περιέχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων, κάτι που ήδη είχε αποδείξει ο [[Γκέοργκ Κάντορ]]. Ο Πεάνο όμως απέδειξε ότι μπορεί να υπάρξει συνεχής και επί απεικόνιση μεταξύ των δύο χώρων. Η απεικόνιση αυτή όμως δεν είναι 1-1 και μάλιστα δεν μπορεί να υπάρξει συνεχής, επί και 1-1 απεικόνιση μεταξύ του <math>[0,1]</math> και του <math>[0,1]^2</math>.Το αρχικό άρθρο του Πεάνο δεν περιείχε κάποια εικόνα της κατασκευής. Ο Πεάνο είχε δώσει έμφαση στη σωστή μαθηματική αναπαράσταση και στις αποδείξεις των ιδιοτήτων της καμπύλης. Ένα χρόνο αργότερα ο [[Ντάβιντ Χίλμπερτ|Νταβίντ Χίλμπερτ]] δημοσίευσε <ref>{{Cite journal|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01199431|title=Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück|last=Hilbert|first=David|date=1891-09-01|journal=Mathematische Annalen|issue=3|doi=10.1007/BF01199431|volume=38|pages=459–460|language=de|issn=0025-5831}}</ref> μια άλλη καμπύλη που γεμίζει το <math>[0,1]^2</math> βασισμένος σε μια παραλλαγή της ιδέας του Πεάνο. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται σήμερα καμπύλη Χίλμπερτ. 

[[Αρχείο:Hilbert curve.svg|κέντρο|497x497px|Κατασκευή της καμπύλης Hilbert|μικρογραφία]]

== Ιδιότητες ==
Όπως αποδείχθηκε αργότερα οι καμπύλες που γεμίζουν το χώρο είναι [[φράκταλ]].<ref>{{Cite book|url=|title=Fractals everywhere|last=Barnsley|first=Michael|date=1998-01-01|publisher=AP Professional|isbn=0120790610|location=|page=|id=247668425}}</ref> Συνήθως οι καμπύλες αυτές δίνονται ως τα όρια συγκεκριμένων ακολουθιών από πολυγωνικές γραμμές.

== Δείτε επίσης ==
* [[Καμπύλη Χίλμπερτ]]
* [[Καμπύλη Πεάνο]]

== Παραπομπές ==
<references />

[[Κατηγορία:Καμπύλες]]