Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Κύβος (άλγεβρα)

{{multiple image
 |direction = vertical
 |align     = right
 |width     = 250
 |image1    = CubeChart.svg
 |caption1  = {{math|1=''y'' = ''x''<sup>3</sup>}}, {{math|0 ≤ ''x'' ≤ 25}}
 |image2    = Rubik's cube.svg
 |caption2  = Ο [[κύβος του Ρούμπικ]] σχηματίζεται από 27 μικρότερους στερεούς κύβους. Συνεπώς ο αριθμός 27 είναι τέλειος κύβος.
}}
Στα [[μαθηματικά]] '''κύβος''' ενός [[αριθμός|αριθμού]] π.χ. <math>\alpha</math>, ονομάζεται η [[τρίτη δύναμη]] του αριθμού αυτού, δηλαδή <math>\alpha \times \alpha \times \alpha</math>. Η ονομασία "κύβος" ή "κύβος αριθμού" λήφθηκε από το γεγονός ότι η τρίτη δύναμη ενός αριθμού παριστά και τον [[όγκος|όγκο]] του [[Κύβος (στερεό)|κύβου]] που έχει ακμή (πλευρά) τον αριθμό αυτό.

Οι θετικοί κύβοι ή '''τέλειοι κύβοι''' μέχρι το 60<sup>3</sup> είναι ([[OEIS]]:[https://oeis.org/A000578 A000578]):

{| width="65%"
| 1<sup>3</sup> = 1 || 11<sup>3</sup> = 1331 || 21<sup>3</sup> = 9261 || 31<sup>3</sup> = 29,791 
| 41<sup>3</sup> = 68,921 || 51<sup>3</sup> = 132,651
|-
| 2<sup>3</sup> = 8 || 12<sup>3</sup> = 1728 || 22<sup>3</sup> = 10,648 || 32<sup>3</sup> = 32,768
| 42<sup>3</sup> = 74,088 || 52<sup>3</sup> = 140,608
|-
| 3<sup>3</sup> = 27 || 13<sup>3</sup> = 2197 || 23<sup>3</sup> = 12,167 || 33<sup>3</sup> = 35,937
| 43<sup>3</sup> = 79,507 || 53<sup>3</sup> = 148,877
|-
| 4<sup>3</sup> = 64 || 14<sup>3</sup> = 2744 || 24<sup>3</sup> = 13,824 || 34<sup>3</sup> = 39,304
| 44<sup>3</sup> = 85,184 || 54<sup>3</sup> = 157,464
|-
| 5<sup>3</sup> = 125 || 15<sup>3</sup> = 3375 || 25<sup>3</sup> = 15,625 || 35<sup>3</sup> = 42,875
| 45<sup>3</sup> = 91,125 || 55<sup>3</sup> = 166,375
|-
| 6<sup>3</sup> = 216 || 16<sup>3</sup> = 4096 || 26<sup>3</sup> = 17,576 || 36<sup>3</sup> = 46,656
| 46<sup>3</sup> = 97,336 || 56<sup>3</sup> = 175,616
|-
| 7<sup>3</sup> = 343 || 17<sup>3</sup> = 4913 || 27<sup>3</sup> = 19,683 || 37<sup>3</sup> = 50,653
| 47<sup>3</sup> = 103,823 || 57<sup>3</sup> = 185,193
|-
| 8<sup>3</sup> = 512 || 18<sup>3</sup> = 5832 || 28<sup>3</sup> = 21,952 || 38<sup>3</sup> = 54,872
| 48<sup>3</sup> = 110,592 || 58<sup>3</sup> = 195,112
|-
| 9<sup>3</sup> = 729 || 19<sup>3</sup> = 6859 || 29<sup>3</sup> = 24,389 || 39<sup>3</sup> = 59,319
| 49<sup>3</sup> = 117,649 || 59<sup>3</sup> = 205,379
|-
| 10<sup>3</sup> = 1000 || 20<sup>3</sup> = 8000 || 30<sup>3</sup> = 27,000 || 40<sup>3</sup> = 64,000
| 50<sup>3</sup> = 125,000 || 60<sup>3</sup> = 216,000
|}

Σε γεωμετρικούς όρους, ένας θετικός αριθμός {{mvar|m}} είναι τέλειος κύβος αν και μόνο αν είναι δυνατόν να διαταχθούν {{mvar|m}} κύβοι (ενν. στερεά)  με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζουν ένα μεγαλύτερο κύβο. Για παράδειγμα 27 μικροί κύβοι μπορούν να διαταχθούν έτσι ώστε να σχηματίζουν έναν μεγαλύτερο (συγκεκριμένα με την μορφή ενός [[Κύβος του Ρούμπικ|κύβου του Ρούμπικ]]), διότι 3 x 3 x 3 = 3<sup>3</sup> = 27.

Η διαφορά κύβων ανάμεσα σε διαδοχικούς ακεραίους μπορεί να εκφραστεί ως:

:{{math|size=120%|1=''n''<sup>3</sup> &minus; (''n'' &minus; 1)<sup>3</sup> = 3(''n'' &minus; 1)''n'' + 1}}.

ή

:{{math|size=120%|1=(''n'' + 1)<sup>3</sup> &minus; ''n''<sup>3</sup> =  3(''n'' + 1)''n'' + 1}}.

Δεν υπάρχει ελάχιστος τέλειος κύβος διότι ο αρνητικός ακέραιος υψωμένος στην τρίτη είναι αρνητικός. Για παράδειγμα, (&minus;4)&nbsp;&times;&nbsp;(&minus;4)&nbsp;&times;&nbsp;(&minus;4)&nbsp;=&nbsp;&minus;64.

== Στους ακεραίους ==

=== Το πρόβλημα του Waring για κύβους ===
{{κύριο|Πρόβλημα του Waring}}
Κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί ως άθροισμα το πολύ εννέα θετικών κύβων. Το άνω φράγμα των εννέα κύβων δεν μπορεί να ελαττωθεί διότι, παραδείγματος χάριν, το 23 δεν είναι δυνατό να γραφεί ως άθροισμα λιγότερων από εννέα κύβων:

:23 = 2<sup>3</sup> + 2<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup>.

=== Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για κύβους ===
{{κύριο|Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά}}

Η εξίσωση {{math|1=''x''<sup>3</sup> + ''y''<sup>3</sup> = ''z''<sup>3</sup>}} δεν έχει λύσεις πέραν της τετριμένης (δηλ για {{math|''xyz'' ≠ 0}}) στο σύνολο των ακεραίων. Για την ακρίβεια δεν έχει λύσεις στους ακεραίους Euler.<ref>Hardy & Wright, Thm. 227</ref>{{#tag:ref|Γνωστοί και ως ακέραιοι Eisenstein|group=N}}

Τα παραπάνω ισχύουν επίσης για την εξίσωση:<ref>Hardy & Wright, Thm. 232</ref> {{math|1=''x''<sup>3</sup> + ''y''<sup>3</sup> = 3''z''<sup>3</sup>}}.

=== Άθροισμα των πρώτων ''n'' κύβων ===

Το άθροισμα των πρώτων {{mvar|n}} κύβων είναι ο {{mvar|n}}στος [[τριγωνικός αριθμός]]{{#tag:ref|Ο nοστός τριγωνικός αριθμός είναι: <math>T_n= \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2}</math> Για παράδειγμα <math>T_3 = 1+2+3 = 6</math>|group=N}} στο τετράγωνο:

:<math>1^3+2^3+\dots+n^3 = (1+2+\dots+n)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.</math>

Για παράδειγμα, το άθροισμα των πρώτων πέντε κύβων είναι το τετράγωνο του 5ου τριγωνικού αριθμό:

:<math>1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 = 15^2 \,</math>

Παρόμοιο αποτέλεσμα δίδει και το άθροισμα των πρώτων {{mvar|y}} [[Άρτιοι και περιττοί αριθμοί|περιττών]] κύβων,

:<math>1^3+3^3+\dots+(2y-1)^3 = (xy)^2</math>

όμως τα {{mvar|x}} και {{mvar|y}} πρέπει να είναι λύσεις της εξίσωσης <math>x^2-2y^2 = -1</math>.

Παραδείγματα:

Για {{math|1=''y'' = 5}} έχουμε:

:<math>1^3+3^3+\dots+9^3 = (7\cdot 5)^2 \,</math>

και για {{math|29}},

:<math>1^3+3^3+\dots+57^3 = (41\cdot 29)^2</math>

Κάθε άρτιος [[τέλειος αριθμός]], εκτός από τον πρώτο, επίσης είναι άθροισμα των πρώτων [[power of two|{{math|2<sup>(''p''−1)/2</sup>}}]] περιττών κύβων:

:<math>28 = 2^2(2^3-1) = 1^3+3^3</math>

=== Άθροισμα κύβων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο ===
Υπάρχουν παραδείγματα κύβων αριθμών σε [[αριθμητική πρόοδος|αριθμητική πρόοδο]], το άθροισμα των οποίων είναι κύβος:

:<math>3^3+4^3+5^3 = 6^3</math>
:<math>11^3+12^3+13^3+14^3 = 20^3</math>
:<math>31^3+33^3+35^3+37^3+39^3+41^3 = 66^3</math>

=== Οι κύβοι ως αθροίσματα διαδοχικών περιττών ακεραίων ===
Στην ακολουθία περιττών ακεραίων 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., το 1 είναι κύβος (1 = 1<sup>3</sup>), το άθροισμα των επόμενων δύο αριθμών είναι ο επόμενος κύβος (3+5 = 2<sup>3</sup>), το άθροισμα των επόμενων τριών είναι αμέσως επόμενος κύβος (7+9+11 = 3<sup>3</sup>) και ούτω καθεξής.

== Στους ρητούς ==
Κάθε θετικός [[ρητοί αριθμοί|ρητός αριθμός]] είναι άθροισμα τριών θετικών ρητών κύβων,<ref>Hardy & Wright, Thm. 234</ref> ενώ υπάρχουν ρητοί που δεν είναι άθροισμα δύο ρητών κύβων.<ref>Hardy & Wright, Thm. 233</ref>

== Στους πραγματικούς αριθμούς ==
[[Image:X cubed plot.svg|thumb|right|250px|Γραφική παράσταση της f(x) = x³ στο [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων|καρτεσιανό επίπεδο]]]]
Η συνάρτηση f(x) = x<sup>3</sup> είναι γνησίως αύξουσα και έχει πεδίο ορισμού καθώς και σύνολο τιμών το σύνολο των [[πραγματικοί αριθμοί|πραγματικών αριθμών]]. Η πρώτη παράγωγός της είναι {{math|3''x''<sup>2</sup>}}.

=== Άθροισμα και διαφορά δύο κύβων ===
{{Κύριο|Άθροισμα δύο κύβων}}
Το άθροισμα δύο κύβων μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως 
:<math>x^3 + y^3 = (x + y) \cdot (x^2 - xy + y^2)</math>,
και η διαφορά τους ως
:<math>x^3 - y^3 = (x - y) \cdot (x^2 + xy + y^2)</math>.

== Ιστορικό ==
Πολλοί αρχαίοι πολιτισμοί ασχολήθηκαν με την εύρεση των κύβων μεγάλων αριθμών. Μαθηματικοί της αρχαίας Μεσοποταμίας είχαν πίνακες για των υπολογισμό κύβων και κυβικών ριζών ήδη από την [[Πρώτη Βαβυλωνιακή Δυναστεία]] (20ος - 16ος αιώνας π.Χ)<ref>{{cite book|last=Cooke|first=Roger|title=The History of Mathematics |date=8 November 2012|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-46029-0|page=63}}</ref><ref name="nen">{{cite book|last=Nemet-Nejat|first=Karen Rhea|title=Daily Life in Ancient Mesopotamia|year=1998|publisher=Greenwood Publishing Group|isbn=978-0-313-29497-6|page=[https://archive.org/details/dailylifeinancie00neme/page/306 306]|url=https://archive.org/details/dailylifeinancie00neme/page/306}}</ref> ενώ ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός [[Διόφαντος]] ασχολήθηκε με την επίλυση κυβικών εξισώσεων.<ref>Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich  1983 ISBN 0-387-12159-5</ref> Ο [[Ήρων ο Αλεξανδρεύς]] ανέπτυξε μέθοδο εύρεσης των κυβικών ριζών.<ref>{{cite journal|last=Smyly|first=J. Gilbart|title=Heron's Formula for Cube Root|url=https://archive.org/details/sim_hermathena_1920_19_42/page/64|journal=Hermathena|year=1920|volume=19|issue=42|pages=64–67|publisher=Trinity College Dublin}}</ref>

Μέθοδοι επιλύσεως κυβικών εξισώσεων αναφέρονται στο έργο ''[[Τα Εννέα Κεφάλαια της Μαθηματικής Τέχνης]]'', ένα κινεζικό εγχειρίδιο μαθηματικών του 2ου αιώνα π.Χ., το οποίο σώζεται με τον σχολιασμό του  Liu Hui από τον 3ο αιώνα μ.Χ.<ref name="oxf">{{cite book|last=Crossley|first=John|last2=W.-C. Lun|first2=Anthony|title=The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary |year=1999|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-853936-0|pages=176, 213}}</ref> Ο Ινδός μαθηματικός Aryabhata έγραψε ερμηνεία των κύβων στο έργο του Aryabhatiya. Το 2010 ο Alberto Zanoni ανέπτυξε νέο ταχύτερο αλγόριθμο για τον υπολογισμό του κύβου ενός μεγάλου ακεραίου σε καθορισμένο εύρος.[http://bodrato.it/papers/zanoni/AnotherSugarCube.pdf new algorithm]<ref>http://www.springerlink.com/content/q1k57pr4853g1513/{{Dead link|date=Φεβρουάριος 2020 }}</ref>

== Σημειώσεις ==
<references group="N"/>

== Παραπομπές ==
<references />

{{Portal bar|Μαθηματικά}}


{{μαθηματικά-επέκταση}}

[[Κατηγορία:Στοιχειώδης αριθμητική]]
[[Κατηγορία:Θεωρία αριθμών]]