Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Λογισμός των μεταβολών

Ο '''λογισμός των μεταβολών''' ή '''μεταβολικός λογισμός''' είναι κλάδος της [[Μαθηματική ανάλυση|μαθηματικής ανάλυσης]] που ασχολείται με τη μεγιστοποίηση ή την ελαχιστοποίηση συναρτησιακών ή [[Συναρτησοειδές|συναρτησοειδών,]] τα οποία είναι απεικονίσεις από ένα σύνολο [[Συνάρτηση|συναρτήσεων]] στους [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικούς αριθμούς.]] Τα συναρτησιακά συχνά εκφράζονται ως ορισμένα [[Ολοκλήρωμα|ολοκληρώματα]] συναρτήσεων και [[Παράγωγος|παραγώγων]] αυτών. Στο λογισμό των μεταβολών το ενδιαφέρον μας στρέφεται γύρω από τις ''ακρότατες συναρτήσεις'', που είναι εκείνες για τις οποίες το συναρτησιακό λαμβάνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή, ή γύρω από τις ''στάσιμες συναρτήσεις'', για τις οποίες η τιμή του συναρτησιακού παραμένει αμετάβλητη.

== Εισαγωγικά ==
Ένα απλό παράδειγμα ενός τέτοιου προβλήματος είναι η εύρεση της καμπύλης βραχύτερου μήκους που συνδέει δυο σημεία. Απουσία περιορισμών, η λύση είναι προφανώς το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα δύο σημεία. Ωστόσο, αν η καμπύλη  πρέπει να κείται σε δεδομένη επιφάνεια στο χώρο, τότε η λύση είναι λιγότερο προφανής και πιθανώς να υπάρχουν πολλές λύσεις. Τέτοιες λύσεις είναι γνωστές ως [[Γεωδαισιακή γραμμή|γεωδαισιακές.]] Ένα σχετικό πρόβλημα ανακύπτει από την [[Αρχή του ελαχίστου χρόνου|αρχή του Φερμά]] το φως ακολουθεί τη διαδρομή του ελάχιστου οπτικού μήκους που συνδέει δυο σημεία, όπου το οπτικό μήκος εξαρτάται από τις φυσικές ιδιότητες του [[Οπτικά μέσα|μέσου.]] Μία αντίστοιχη έννοια στη [[μηχανική]] είναι η [[αρχή της ελαχίστης δράσης]].

Πολλά σημαντικά προβλήματα περιέχουν συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Οι λύσεις των προβλημάτων συνοριακών τιμών για την [[Εξίσωση Λαπλάς]] ικανοποιούν την [[αρχή του Ντίριχλετ]]. Το [[Πρόβλημα του Πλατώ|πρόβλημα του Plateau]] απαιτεί την εύρεση επιφάνειας ελαχίστου εμβαδού με δεδομένο [[Σύνορο (τοπολογία)|σύνορο]] στο χώρο· συνήθως η λύση (ή μία από τις λύσεις) μπορεί να βρεθεί εμπειρικά με την εμβάπτιση ειδικά κατασκευασμένου πλαισίου σε σαπουνάδα. Πειραματικές προσεγγίσεις όπως η προηγούμενη είναι σχετικά εύκολες, ωστόσο η μαθηματική τους ερμηνεία είναι πολύ δυσκολότερη: μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μια επιφάνειες ελαχιστοποίησης, και μάλιστα με μη-τετριμμένη [[τοπολογία]].

== Ιστορία ==
Ο λογισμός των μεταβολών μπορεί να θεωρηθεί ότι ξεκινά με το πρόβλημα της [[Βραχύχρονη καμπύλη|βραχύχρονης καμπύλης]] που έθεσε ο [[Γιόχαν Μπερνούλι]] (1696).<ref name=GelfandFominP3>{{cite book|last1=Gelfand|first1=I. M.|authorlink1=Israel Gelfand|last2=Fomin|first2=S. V.|authorlink2=Sergei Fomin|ref=harv|title=Calculus of variations|year=2000|publisher=Dover Publications|location=Mineola, New York|isbn=978-0486414485|page=3|url=http://store.doverpublications.com/0486414485.html|edition=Unabridged repr.|editor1-last=Silverman| editor1-first=Richard A.}}</ref> Το πρόβλημα αμέσως τράβηξε το ενδιαφέρον του [[Γιακόμπ Μπερνούλι]] και του [[Γκιγιόμ ντε λ'Οπιτάλ]], όμως η πρώτη σοβαρή μελέτη έγινε από το [[Λέοναρντ Όιλερ]]. Η συνεισφορά του άρχισε το 1733, και το έργο του «''Elementa Calculi Variationum''» έδωσε το όνομα του νεοσύστατου κλάδου.Σε μεγάλο βαθμό συνέβαλε και ο [[Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ|Λαγκράνζ]], ενώ ο [[Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ|Λεζάντρ]] (1786) δημιούργησε μια,όχι εντελώς ικανοποιητική, μέθοδο για τη διάκριση μεγίστων - ελαχίστων. Μάλιστα, το συγκεκριμένο ζήτημα απασχόλησε από νωρίς και τους [[Ισαάκ Νεύτων]]α και [[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς|Γκότφριντ Λάιμπνιτς.]]<ref name="brunt">{{cite book |last = van Brunt |first = Bruce |title = The Calculus of Variations |url = https://archive.org/details/springer_10.1007-b97436 |publisher = Springer |year = 2004  |isbn = 0-387-40247-0}}</ref> Σε αυτή τη διάκριση συνέβαλαν επίσης και οι [[Βιτσέντζο Μπρουνάτσι]] (1810), [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους]] (1829), [[Σιμεών Πουασόν]] (1831), [[Μιχαήλ Οστρογκράντσκι]] (1834) και [[Καρλ Γκούσταβ Γιάκομπ Γιακόμπι|Κάρλ Γιακόμπι]] (1837). Μια σημαντική δουλεία ήταν και αυτή του [[Sarrus]] (1842), την οποία βελτίωσε και συνόψισε ο [[Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ|Cauchy]] (1844). Άλλες πολύτιμες διατριβές αλλά και απομνημονεύματα  έχουν γραφτεί απο τους Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) και Carll (1885), αλλά ίσως η πιο καθοριστική συμβολή του αιώνα είναι αυτή  του [[Καρλ Βάιερστρας]]: οι περίφημες διαλέξεις του άφησαν εποχή, και μπορεί να θεωρηθεί πως ήταν ο πρώτος που μας παρείχε μία πραγματικά αυστηρή θεωρητική θεμελίωση. Το 20ό και το 23ο [[Προβλήματα του Χίλμπερτ|πρόβλημα του Χίλμπερτ]] (1900) ενθάρρυναν την περεταίρω ανάπτυξη του κλάδου.<ref name="brunt" /> Στον 20ο αιώνα πλέον, ο [[Ντάβιντ Χίλμπερτ]], η [[Έμμυ Ναίτερ]], ο [[Λεωνίδα Τονέλι]], ο [[Ανρί Λεμπέγκ]] και ο [[Ζακ Ανταμάρ]] μεταξύ άλλων είχαν σημαντική συνεισφορά.<ref name="brunt" /> Ακόμη, ο [[Μάρστον Μορς]] εφάρμοσε το λογισμό των μεταβολών σε αυτό που τώρα ονομάζεται [[Θεωρία του Μορς|θεωρία του Morse,]]<ref name="ferguson">{{cite arXiv |last=Ferguson |first=James |authorlink=|eprint=math/0402357 |title=  Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications |year=2004 }}</ref> ενώ οι Lev Pontryagin, Ralph Rockafellar και F. H. Clarke ανέπτυξαν νέα μαθηματικά εργαλεία για το λογισμό των μεταβολών στη [[θεωρία βέλτιστου ελέγχου.]]<ref name="ferguson" /> Ο [[δυναμικός προγραμματισμός]] του [[Ρίτσαρντ Μπέλμαν|Μπέλμαν]] είναι μια εναλλακτική θεωρία για το λογισμό των μεταβολών.<ref>[[Dimitri Bertsekas]]. Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific, 2005.
</ref><ref name="bellman">{{cite journal |last=Bellman |first=Richard E. |title= Dynamic Programming and a new formalism in the calculus of variations |year=1954 |journal= Proc. Nat. Acad. Sci. | issue=4 | pages=231–235|url=http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC527981/pdf/pnas00731-0009.pdf |pmc=527981 |pmid=16589462 |volume=40}}
</ref><ref name='Kushner2004'>{{cite news | first = Harold J. | last = Kushner | authorlink = Harold J. Kushner | title = Richard E. Bellman Control Heritage Award | year = 2004 | url = http://a2c2.org/awards/richard-e-bellman-control-heritage-award | work = American Automatic Control Council | accessdate = 2013-07-28 | archive-date = 2018-10-01 | archive-url = https://web.archive.org/web/20181001032837/http://a2c2.org/awards/richard-e-bellman-control-heritage-award | dead-url =  }} See '''2004: Harold J. Kushner''': regarding Dynamic Programming,  "The calculus of variations had related ideas (e.g., the work of Caratheodory, the Hamilton-Jacobi equation). This led to conflicts with the calculus of variations community."</ref>

== Ακρότατα ==
Ο λογισμός των μεταβολών ασχολείται με μέγιστα ή ελάχιστα συναρτησιακών, τα οποία συλλογικά ονομάζονται '''ακρότατα'''. Ένα συναρτησιακό εξαρτάται από μια [[συνάρτηση]], όπως, κατ' αναλογία, μια συνάρτηση μπορεί να εξαρτάται από μία αριθμητική [[Μεταβλητή (μαθηματικά)|μεταβλητή]], γι' αυτό και ένα συναρτησιακό έχει περιγραφτεί ως συνάρτηση μίας συνάρτησης. Τα συναρτησιακά έχουν ακρότατα ως προς τα στοιχεία {{math|''y''}} δεδομένου χώρου συναρτήσεων με συγκεκριμένο πεδίο ορισμού. Ένα συναρτησιακό {{math|''J'' [ ''y'' ]}} έχει ακρότατο στη συνάρτηση  {{math|''f''&nbsp; }} αν η {{math|''&Delta;J'' {{=}} ''J'' [ ''y'' ]  - ''J'' [ ''f'']}} έχει το ίδιο [[πρόσημο]] για κάθε {{math|''y''}} που ανήκει σε μία αυθαίρετα μικρή περιοχή της {{math|''f'' .}}{{refn|Η περιοχή του {{math|''f''}} είναι το τμήμα του δεδομένου χώρου συναρτήσεων όπου {{math|<nowiki>|</nowiki> ''y''  - ''f''<nowiki>|</nowiki> < h}} σε όλο το συναρτησιακό πεδίο ορισμού, με το {{math|h}} να είναι (αυστηρά) θετικός αριθμός που δίνει το πλάτος της περιοχής.<ref name='CourHilb1953P169'>{{cite book | last1=Courant | first1=R | authorlink1=Richard Courant | last2=Hilbert | first2=D | authorlink2=David Hilbert | title = Methods of Mathematical Physics | volume = Vol. I | edition = First English | ref=harv | publisher = Interscience Publishers, Inc | year = 1953 | location = New York | page = 169 | isbn = 978-0471504474}}</ref> |group="Σημείωση"}} Η συνάρτηση {{math|''f''}} ονομάζεται [[ακρότατη]] συνάρτηση. Το ακρότατο {{math|''J'' [ ''f'' ]}} ονομάζεται μέγιστο αν {{math|''&Delta;J'' &le; 0}} σε μία οσοδήποτε μικρή περιοχή της {{math|''f'' ,}} και ελάχιστο αν  {{math|''&Delta;J'' &ge; 0}} αντίστοιχα. Σε ένα χώρο συνεχών συναρτήσεων, τα ακρότατα των αντίστοιχων συναρτησιακών λέγονται '''ασθενή ακρότατα''' ή '''ισχυρά ακρότατα,''' ανάλογα με το αν οι [[Παράγωγος|πρώτοι παράγωγοι]] των συνεχών συναρτήσεων είναι αντίστοιχα κατ' ανάγκην όλες συνεχείς ή όχι.<ref name="GelfandFominPP12to13">{{harvnb|Gelfand|Fomin|2000|pp = 12–13}}</ref>

Τόσο τα ισχυρά όσο και τα ασθενή ακρότατα ενός συναρτησιακού αναφέρονται σε ένα διάστημα συνεχών συναρτήσεων, όμως το ασθενές ακρότατο έχει την πρόσθετη προϋπόθεση οι πρώτοι παράγωγοι των συναρτήσεων στο διάστημα να είναι συνεχείς. Έτσι, ένα ισχυρό ακρότατο είναι ταυτόχρονα και ασθενές, αλλά το αντίστοφο δεν ισχύει. Η εύρεση των ισχυρών ακρότατων είναι πιο δύσκολη σε σχέση με την εύρεση ασθενών.<ref name="GelfandFominP13">{{harvnb | Gelfand|Fomin| 2000 |p = 13}}</ref> Ένα παράδειγμα που αποτελεί [[αναγκαία συνθήκη]] και χρησιμοποιείται για την εύρεση ασθενών ακρότατων είναι η [[εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ]].<ref name="GelfandFominPP14to15">{{harvnb | Gelfand|Fomin| 2000 |pp = 11-12, 99}}</ref> {{refn | group="Σημείωση" | name=SectionVarSuffCond | Για μια ικανή συνθήκη, δείτε την ενότητα [[Λογισμός των μεταβολών#Μεταβολές και ικανή συνθήκη ελαχίστου|Μεταβολές και ικανή συνθήκη ελαχίστου.]]}}

== Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ ==
{{main|Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ}}

Η εύρεση των ακρότατων των συναρτησιακών είναι παρόμοια με την εύρεση των μέγιστων και ελάχιστων μιας συναρτήσης. Για να ορίσουμε τα μέγιστα και τα ελάχιστα μίας συνάρτησης χρειάζεται να βρούμε τα σημεία που μηδενίζουν την παράγωγό της. Ανάλογα, το ακρότατο του συναρτησιακού μπορεί να βρεθεί με την κατασκευή μίας συνάρτησης όπου η [[συναρτησιακή παράγωγος]] είναι ίση με 0. Αυτό μας οδηγεί στην επίλυση της αντίστοιχης εξίσωσης Όιλερ-Λαγκράνζ.<ref group="Σημείωση">Η ακόλουθη απόδειξη της εξίσωσης Όιλερ–Λαγκράνζ αντιστοιχεί σε αυτή των σελ. 184–5 του:<br>{{cite book | authors = [[Richard Courant|Courant, R.]], [[David Hilbert|Hilbert, D.]] | title = Methods of Mathematical Physics | volume = Vol. I | edition = πρώτη αγγλική | publisher = Interscience Publishers, Inc | year = 1953 | location = New York | page =  | accessdate =  | isbn = 978-0471504474}}</ref>

Ας θεωρήσουμε το συναρτησιακό
: <math> J[y] = \int_{x_1}^{x_2}  L[x,y(x),y'(x)]\, dx  \, ,</math>
όπου
: {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>}} είναι [[Σταθερά (μαθηματικά)|σταθερές,]]
: {{math|''y'' (''x'')}} είναι δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη,
: {{math|''y'' &prime;(''x'') {{=}} ''dy / dx'' &nbsp; ,}}
: {{math|''L''[''x'', ''y'' (''x''), ''y'' &prime;(''x'')]}} είναι δύο φορές συνεχώς (ολικά) παραγωγίσημη ως προς τα {{math|''x'',  &nbsp;''y'',  &nbsp;''y'' &prime; .}}
: Αν το συναρτησιακό {{math|''J''[''y'' ]}} επιτυγχάνει ένα [[τοπικό μέγιστο]] στην {{math|''f'' ,}} και η {{math|''&eta;''(''x'')}} είναι μία αυθαίρετη συνάρτηση η οποία έχει τουλάχιστον μία παράγωγο και μηδενίζεται στα όρια ολοκλήρωσης {{math|''x''<sub>1</sub>}} και {{math|''x''<sub>2</sub> ,}} τότε για κάθε αριθμό {{math|''&epsilon;''}} κοντά στο 0,
: <math>J[f] \le J[f + \varepsilon \eta] \, .</math>
: Ο όρος {{math|''&epsilon;&eta;''}} ονομάζεται μεταβολή της συνάρτησης {{math|''f''}} και συμβολίζεται με {{math|''&delta;f'' .}}<ref name="CourHilb1953P1844">{{harvnb|Courant|Hilbert|1953|p = 184}}</ref>

Αντικαθιστώντας όπου &nbsp;{{math|''y''}} το {{math|''f'' + ''&epsilon;&eta;''}}&nbsp; στο συναρτησιακό {{math|''J''[ ''y'' ] ,}} το αποτέλεσμα είναι μια συνάρτηση του {{math|''&epsilon;}},

:: <math> \Phi(\varepsilon) = J[f+\varepsilon\eta] \, . </math>

Δεδομένου ότι το συναρτησιακό {{math|''J''[ ''y'' ]}} παίρνει ελάχιστο για {{math|''y'' {{=}} ''f'' ,}} η συνάρτηση {{math|&Phi;(''&epsilon;'')}} έχει ελάχιστο στο {{math|''&epsilon;'' {{=}} 0}} και έτσι <ref group="Σημείωση">Το γινόμενο {{math|''&epsilon;''&Phi;&prime;(0)}} καλείται [[πρώτη μεταβολή]] του {{math|''J''}} και συμβολίζεται ως {{math|''&delta;J''}}. Στη βιβλιογραφία, η πρώτη μεταβολή ορίζεται κάποιες φορές διαφορετικά, χωρίς τον παράγοντα {{math|''&epsilon;'' .}}</ref>
:: <math> \Phi'(0) \equiv \left.\frac{d\Phi}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} = \int_{x_1}^{x_2} \left.\frac{dL}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} dx = 0 \, . </math>
Λαμβάνοντας την [[Ολική παράγωγος|ολική παράγωγο]] της {{math|''L''[''x'', ''y'', ''y'' &prime;] ,}} όπου οι {{math|''y'' {{=}} ''f'' + ''&epsilon; &eta;''}} και {{math|''y'' &prime; {{=}} ''f'' &prime; + ''&epsilon; &eta;''&prime;}} είναι συναρτήσεις των {{math|''&epsilon;''}} αλλά το {{math|''x''}} δεν είναι, 
:: <math>
\frac{dL}{d\varepsilon}=\frac{\partial L}{\partial y}\frac{dy}{d\varepsilon} + \frac{\partial L}{\partial y'}\frac{dy'}{d\varepsilon}
</math>
και δεδομένου ότι &nbsp;{{math|''dy'' /''d&epsilon;'' {{=}} ''&eta;''}} &nbsp;και&nbsp; {{math|''dy'' &prime;/''d&epsilon;'' {{=}} ''&eta;' ''}},
:: <math>
\frac{dL}{d\varepsilon}=\frac{\partial L}{\partial y}\eta + \frac{\partial L}{\partial y'}\eta'
</math> .
:: Επομένως, χρησιμοποιώντας [[ολοκλήρωση κατά παράγοντες]],
::: <math>
\begin{align}
\int_{x_1}^{x_2} \left.\frac{dL}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} dx 
 & = \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial L}{\partial f} \eta + \frac{\partial L}{\partial f'} \eta'\right)\, dx \\
 & = \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial L}{\partial f} \eta - \eta \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \right)\, dx + \left.\frac{\partial L}{\partial f'} \eta \right|_{x_1}^{x_2}\\
  \end{align}
</math>
όπου {{math|''L''[''x'', ''y'', ''y'' &prime;] &rarr; ''L''[''x'', ''f'', ''f'' &prime;]}} όταν ''ε'' = 0. Ο τελευταίος όρος χάνεται {{math|''&eta;'' {{=}} 0}} στα {{math|''x<sub>1</sub>''}} και {{math|''x<sub>2</sub>''}} εξ ορισμού. Επίσης, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως το αριστερό μέρος της εξίσωσης είναι μηδενικό, έτσι παίρνουμε
::: <math> \int_{x_1}^{x_2} \eta \left(\frac{\partial L}{\partial f} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \right) \, dx = 0 \, . </math>
Σύμφωνα με το [[θεμελειώδες λήμμα του λογισμού των μεταβολών]], ο όρος στην παρένθεση είναι ίσος με το μηδέν, δηλαδή  
::: <div style="{{divstylewhite}}; width:15em; margin:.3em"><center><math> \frac{\partial L}{\partial f} -\frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial f'}=0 </math></center></div>
το οποίο λέγεται '''εξίσωση Όιλερ–Λαγκράνζ.''' Το αριστερό μέλος της εξίσωσης ονομάζεται [[συναρτησιακή παράγωγος|συναρτησιακή]] ή [[συναρτησιακή παράγωγος|μεταβολική παράγωγος]] της {{math|''J''[''f'']}} και συμβολίζεται με  {{math|''δJ''/''δf''(''x'') .}}

Σε γενικές γραμμές αυτό δίνει μία δεύτερης τάξης [[Συνήθης διαφορική εξίσωση|συνήθη διαφορική εξίσωση]] η οποία μπορεί να λυθεί για να πάρουμε την ακρότατη συνάρτηση {{math| ''f''(''x'').}} Η εξίσωση των Όιλερ–Λαγκράνζ είναι αναγκαία, αλλά όχι ικανή συνθήκη για να είναι το {{math|''J''[''f'']}} ακρότατο. Μία ικανή συνθήκη για το ελάχιστο  δίνεται στην ενότητα [[Λογισμός των μεταβολών#Μεταβολές και επαρκείς συνθήκες για ελάχιστο|Μεταβολές και επαρκείς συνθήκες για ελάχιστο.]]

=== Παράδειγμα ===
Για την καλύτερη κατανόηση των παραπάνω, ας θεωρήσουμε το πρόβλημα της εύρεσης της ακρότατης συνάρτησης {{math|''y'' {{=}} ''f'' (''x'') ,}} η οποία είναι η βραχύτερη καμπύλη που συνδέει δυο σημεία {{math|(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}} και  {{math|(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) .}} Το [[μήκος τόξου]] της καμπύλης δίνεται από τον τύπο
: <math> A[y] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + [ y'(x) ]^2} \, dx \, , </math>
με 
: <math> y\,'(x) = \frac{dy}{dx} \, , \  \  y_1=f(x_1) \, , \ \  y_2=f(x_2) \, . </math>
Η εξίσωση των Όιλερ–Λαγκράνζ θα χρησιμοποιηθεί τώρα για την εύρεση της ακρότατης συνάρτησης {{math|''f'' (''x'')}} η οποία ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό {{math|''A''[''y'' ] .}}
: <math> \frac{\partial L}{\partial f} -\frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial f'}=0 </math>
με
: <math>L = \sqrt{1 + [ f'(x) ]^2} \, . </math>

Εφόσον η {{math|''f''}} δεν εμφανίζεται αυτή καθ' αυτή στην  {{math|''L'' ,}} ο πρώτος όρος της εξίσωσης Όιλερ–Λαγκράνζ μηδενίζεται για όλα τα  {{math|''f'' (''x'') }} και τότε έχουμε
: <math> \frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial f'}  = 0  \, . </math>
Αντικαθιστώντας το {{math|''L''}} και παίρνοντας τη μερική παράγωγο έχουμε,
: <math> \frac{d}{dx} \ \frac{ f'(x) } {\sqrt{1 + [ f'(x) ]^2}}  \ = 0 \, . </math>

Λαμβάνοντας τώρα την παράγωγο {{math|''d/dx''}}, μετά από απλοποιήσεις καταλήγουμε στην
: <math>\frac{d^2 f}{dx^2}\ \cdot\ \frac{1}{\left[\sqrt{1+[f'(x)]^2}\ \right]^3} = 0 \, , </math>
αλλά αφού το {{math|1+[''f &prime;''(''x'')]<sup>2</sup>}} είναι μη-μηδενικό, 
: <math>\frac{d^2 f}{dx^2} = 0 \, , </math>
απ' όπου συνάγουμε ότι η βραχύτερη καμπύλη που συνδέει δύο σημεία {{math|(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}} και {{math|(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) }} είναι η
::: <math> f(x) = m x + b, \qquad \mu \varepsilon \ \  m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}  \quad \kappa \alpha \iota \quad  b = \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2 - x_1} ,</math>
και έχουμε τότε βρει την ακρότατη συνάρτηση {{math|''f''(''x'')}} που ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό {{math|''A''[''y'']}} έτσι ώστε {{math|''A''[''f'']}} να είναι ελάχιστο. Να σημειώσουμε εδώ ότι η  {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} είναι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, με άλλα λόγια, η βραχύτερη απόσταση μεταξύ δυο σημείων είναι μία ευθεία.{{refn | Για την ιστορία, αυτό είναι το αξίωμα του [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη.]] Δείτε π.χ. {{cite  book|last=Kelland|first=Philip|authorlink=Philip Kelland|title=Lectures on the principles of demonstrative mathematics|year=1843|publisher=Google Books|page=58|url=https://books.google.com/books?id=yQCFAAAAIAAJ&pg=PA58}} |group = "Σημείωση"|name = ArchimedesStraight}}

== Ταυτότητα Beltrami ==
Σε προβλήματα φυσικής αποδεικνύεται συχνά ότι {{math|∂''L'' / ∂''x'' {{=}} 0}}. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ μπορεί να απλοποιηθεί στην [[ταυτότητα Μπελτράμι]]:<ref>{{Cite web|url = http://mathworld.wolfram.com/|title = "Euler-Lagrange Differential Equation."|date = |accessdate = |website = MathWorld|publisher = |last = Weisstein|first = Eric W.}}</ref> 
:<math>L-f'\frac{\partial L}{\partial f'}=C \, ,</math>

όπου {{math|''C''}} είναι μια σταθερά. Στο αριστερό μέρος της παραπάνω εξίσωσης φαίνεται ο [[Μετασχηματισμός Λεζάντρ|μετασχηματισμός Legendre]] της {{math|''L''}} ως προς την {{math|''f'' &prime; .}}

== Θεώρημα του Du Bois-Reymond ==
Mέχρι στιγμής έχει υποτεθεί ότι τα ακρότατα μιας συνάρτησης διαθέτουν δύο συνεχείς παραγώγους, αν και η ύπαρξη του ολοκληρώματος {{math|''A''}} απαιτεί μόνο την πρώτη παράγωγο από τις δοκιμαστικές συναρτήσεις. Η συνθήκη του μηδενισμού της πρώτης μεταβολής στις ακρότατες συναρτήσεις μπορεί να θεωρηθεί ως μία '''αδύναμη μορφή''' της εξίσωσης Όιλερ-Λαγκράνζ. Το θεώρημα του Du Bois-Reymond αποφαίνεται ότι αυτή η αδύναμη μορφή συνεπάγεται την ισχυρή. Αν η {{math|''L''}} έχει συνεχείς πρώτες και δεύτερες παραγώγους ως προς όλες τις μεταβλητές της και αν ισχύει ότι
<dl>
:<math>\frac{\partial^2 L}{(\partial f')^2} \ne 0, </math>
</dl>τότε η <math>f_0</math> έχει δύο συνεχείς παραγώγους και ικανοποιεί την εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ.   

== Φαινόμενο Lavrentiev ==
Ο πρώτος που έδωσε καλές συνθήκες για να έχουν οι εξισώσεις Όιλερ-Λαγκράνζ στάσιμη λύση ήταν ο [[Ντάβιντ Χίλμπερτ|Χίλμπερτ.]] Μέσα σε μια κυρτή επιφάνεια και μία θετική τρεις φορές παραγωγίσιμη Λαγρανζιανή οι λύσεις αποτελούνται απο ένα [[αριθμήσιμο σύνολο]] από τομές που είτε εντοπίζονται κατά μήκος του συνόρου, είτε ικανοποιούν τις εξισώσεις Όιλερ-Λαγκράνζ στο εσωτερικό.

Ωστόσο [[Μιχαήλ Λαβρέντιεφ|Lavrentiev]] το 1926 έδειξε ότι υπάρχουν περιπτώσεις όπου δεν υπάρχει βέλτιστη λύση αλλά μια από αυτές μπορεί να προσεγγιστεί με αυθαίρετη ακρίβεια αυξάνοντας τον αριθμό των τομών. Για παράδειγμα η ακόλουθη:<dl>
:<math>L(t,x,x') = (x^3-t)^2 x'^6,\,</math>
:<math>x(0)=0,\, x(1)=1.\,</math></dl>

Εδώ μία καμπύλη σε σχήμα «ζικ-ζακ» δίνει καλύτερη λύση από οποιαδήποτε ομαλή καμπύλη και η αύξηση του αριθμού των τομών βελτιώνει την λύση.

== Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών ==
Προβλήματα μεταβολών με πολλαπλά ολοκληρώματα προκύπτουν σε πλήθος εφαρμογών. Για παράδειγμα, αν η <math display="inline">\varphi (x,y)</math> δίνει τη μετατόπιση μεμβράνης επί πεδίου ορισμού <math display="inline">D</math> στο επίπεδο x,y, τότε η δυναμική του ενέργεια είναι ανάλογη του εμβαδού της:
:<math> U[\varphi] = \iint_D \sqrt{1 +\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi} dx\,dy.\,</math>
Το [[Πρόβλημα του Πλατώ|πρόβλημα του Plateau]] αφορά την εύρεση συνάρτησης που ελαχιστοποιεί το εμβαδό επιφάνειας με δεδομένο σύνορο του συνόλου <math display="inline">D ^{.}</math> οι λύσεις ονομάζονται '''ελάχιστες επιφάνειες.''' Η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ εδώ είναι μη-γραμμική:
:<math> \varphi_{xx}(1 + \varphi_y^2) + \varphi_{yy}(1 + \varphi_x^2) - 2\varphi_x \varphi_y \varphi_{xy} = 0.\,</math>
Δείτε Courant (1950) για περισσότερες λεπτομέρειες.
===Η αρχή του Dirichlet===
Συνήθως φτάνει να θεωρήσουμε μικρές μετατοπίσεις της μεμβράνης, της οποίας η ενεργειακή διαφορά από την αρχική της θέση δίνεται προσεγγιστικά από τον τύπο
:<math> V[\varphi] = \frac{1}{2}\iint_D \nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \, dx\, dy.\,</math>

Ζητείται η ελαχιστοποίηση του συναρτησιακού <math display="inline">V</math> με πεδίο ορισμού το σύνολο όλων των δοκιμαστικών συναρτήσεων <math display="inline">\varphi : D \rightarrow \mathbb{R}</math> (όπου το <math display="inline">D</math> έχει δεδομένο σύνορο). Αν <math display="inline">u</math> είναι μία συνάρτηση ελαχιστοποίησης και <math display="inline">v</math> είναι μία αυθαίρετη ομαλή συνάρτηση που μηδενίζεται στο σύνορο του <math display="inline">D,</math> τότε η πρώτη μεταβολή της <math>V[u + \varepsilon v]</math> πρέπει να μηδενίζεται: 
:<math> \frac{d}{d\varepsilon} V[u + \varepsilon v]|_{\varepsilon=0} = \iint_D \nabla u \cdot \nabla v \, dx\,dy = 0.\,</math>
Δεδομένου ότι  η <math display="inline">u</math> είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα της απόκλισης απ' όπου παίρνουμε την
:<math> \iint_D \nabla \cdot (v \nabla u) \,dx\,dy = 
\iint_D \nabla u \cdot \nabla v + v \nabla \cdot \nabla u \,dx\,dy = \iint_C v \frac{\partial u}{\partial n} ds, \,</math>
όπου <math display="inline">C</math> είναι το σύνορο του <math display="inline">D,</math> <math display="inline">s</math> είναι το μήκος του συνόρου και <math> \partial u / \partial n</math> είναι η κανονική παράγωγος του <math display="inline">u</math> στο <math display="inline">C.</math> Καθώς το <math display="inline">v</math> μηδενίζεται στο σύνορο, όπως και η πρώτη μεταβολή, καταλήγουμε στη σχέση
:<math>\iint_D v\nabla \cdot \nabla u \,dx\,dy =0 \, </math>
για κάθε τέτοια ομαλή συνάρτηση <math display="inline">v.</math> Η απόδειξη για την περίπτωση των μονοδιάστατων ολοκληρωμάτων μπορεί να αναχθεί στην παρούσα έτσι ώστε να μας δίνει 
:<math> \nabla \cdot \nabla u= 0 \, </math>

στο <math display="inline">D.</math>

Η δυσκολία αυτής της μεθόδου έγκειται στο γεγονός ότι η συνάρτηση ελαχιστοποίησης <math display="inline">u</math> πρέπει να έχει δύο παραγώγους. Ο Riemann υποστήριξε ότι η ύπαρξη ομαλής συνάρτησης ελαχιστοποίησης αναμένεται βάσει του αντίστοιχου φυσικού προβλήματος: οι μεμβράνες πράγματι παίρνουν θέσεις που ελαχιστοποιούν τη δυναμική τους ενέργεια. Ο Riemann ονόμασε την ιδέα αυτή «αρχή του Dirichlet» προς τιμήν του δασκάλου του [[Πέτερ Γκούσταβ Λεζέν Ντιρικλέ|Peter Gustav Lejeune Dirichlet.]] Παρ' όλα αυτά ο Weirstrass έδωσε αντιπαράδειγμα με ένα πρόβλημα μεταβολών χωρίς λύση: Να ελαχιστοποιηθεί το
:<math> W[\varphi] = \int_{-1}^{1} (x\varphi')^2 \, dx\,</math>
με πεδίο ορισμού το σύνολο όλων των δοκιμαστικών συναρτήσεων <math display="inline">\varphi</math> που ικανοποιούν τις σχέσεις <math display="inline">\varphi(-1)=-1</math> και <math display="inline">\varphi(1)=1.</math> Το <math display="inline">W</math> γίνεται αυθαίρετα μικρό με την επιλογή συναρτήσεων γραμμικών κατά κλάδους που μεταβάλλονται μεταξύ των τιμών <math display="inline">-1</math> και <math display="inline">1</math> σε μία μικρή περιοχή γύρω από την αρχή <math display="inline">\vec{0}.</math> Εντούτοις, δεν υπάρχει συνάρτηση για την οποία <math display="inline">W=0.</math> Η συζήτηση περί της ισχύος της αρχής του Dirichlet εξηγείται αναλυτικά στον ιστότοπο [http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/Biographies/Riemann.html http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Riemann.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150621020518/http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Riemann.html |date=2015-06-21 }} (στα Αγγλικά). Τελικά αποδείχθηκε πως η αρχή ισχύει, χρειάζεται όμως μία προχωρημένη εφαρμογή της θεωρίας κανονικότητας για τις ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις· δείτε Jost και Li-Jost (1998).
== Προβλήματα ιδιοτιμών ==

Τόσο τα μονοδιάστατα, όσο και τα πολυδιάστατα προβλήματα ιδιοτιμών ανάγονται σε προβλήματα μεταβολών.

===Προβλήματα Sturm-Liouville===
Το πρόβλημα ιδιοτιμών Sturm-Liouville αφορά μια γενική τριωνυμική μορφή
:<math>Q[\varphi] =  \int_{x_1}^{x_2} \left[ p(x) \varphi'(x)^2 + q(x) \varphi(x)^2 \right] \, dx, \,</math>
όπου η <math display="inline">\varphi</math> είναι περιορισμένη στις συναρτήσεις που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες
:<math>\varphi(x_1)=0, \quad \varphi(x_2)=0. \,</math>
Έστω <math display="inline">R</math> ένα ολοκλήρωμα κανονικοποίησης
:<math> R[\varphi] =\int_{x_1}^{x_2} r(x)\varphi(x)^2 \, dx.\,</math>
Οι συναρτήσεις <math>p(x)</math> και <math>r(x)</math> απαιτούμε να είναι αυστηρά θετικές παντού. Έχουμε λοιπόν το εξής πρόβλημα μεταβολών: Να ελαχιστοποιηθεί ο λόγος <math display="inline">Q / R</math> στο πεδίο ορισμού ορισμού του <math display="inline">Q.</math> Η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ όταν <math display="inline">u</math> είναι η συνάρτηση ελαχιστοποίησης έχει ως εξής:
:<math> -(pu')' +q u -\lambda r u =0, \,</math>
όπου <math display="inline">\lambda</math> είναι ο λόγος
:<math> \lambda = \frac{Q[u]}{R[u]}. \,</math>
Αποδεικνύεται (δείτε [http://www.amazon.com/Calculus-Variations-Dover-Books-Mathematics/dp/0486414485 Gelfand και Fomin 1963]) ότι η συνάρτηση ελαχιστοποίησης <math display="inline">u</math> είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί την εξίσωση των Όιλερ-Λαγκράνζ. Το αντίστοιχο <math display="inline">\lambda</math> συμβολίζεται ως <math display="inline">\lambda_1 ^{\ .}</math> αυτό είναι η μικρότερη ιδιοτιμή για τη δεδομένη εξίσωση (υπ' όψη των περιορισμών του <math display="inline">Q</math>). Επίσης, θα γράφουμε <math display="inline">u_1(x)</math> για την αντίστοιχη συνάρτηση ελαχιστοποίησης. Αυτός ο τρόπος εύρεσης ιδιοτιμών οδηγεί στη μέθοδο Rayleigh–Ritz: επιλέγουμε μία συνάρτηση προσέγγισης <math display="inline">u</math> την οποία εκφράζουμε ως γραμμικό συνδιασμό των συναρτήσεων μίας βάσης συναρτήσεων (για παράδειγμα τριγωνομετρικών συναρτήσεων), και αυτόν τον γραμμικό συνδυασμό τον ελαχιστοποιούμε σε πεπερασμένο πλήθος διαστάσεων. Αυτή η μέθοδος συνήθως είναι εκπληκτικά ακριβής.

Η αμέσως μικρότερη ιδιοτιμή και ιδιοσυνάρτηση μπορεί να βρεθεί ελαχιστοποιώντας το <math display="inline">Q</math> με τον επιπλέον περιορισμό
:<math> \int_{x_1}^{x_2} r(x) u_1(x) \varphi(x) \, dx=0. \,</math>
Η παρούσα διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί για να πάρουμε μία πλήρη ακολουθία ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων για το πρόβλημα.

Στο ίδιο πρόβλημα μεταβολών καταλήγουμε επίσης και όταν έχουμε πιο γενικές οριακές συνθήκες. Αντί να απαιτούμε το μηδενισμό της <math display="inline">\varphi</math> στα όρια ολοκλήρωσης μπορούμε να μην επιβάλλουμε κανέναν περιορισμό και να θέσουμε 
:<math>Q[\varphi] =  \int_{x_1}^{x_2} \left[ p(x) \varphi'(x)^2 + q(x)\varphi(x)^2 \right] \, dx + a_1 \varphi(x_1)^2 + a_2 \varphi(x_2)^2, \,</math>
όπου τα <math>a_1</math> και <math>a_2</math> είναι επιλεγμένα αυθαίρετα. Θέτοντας <math display="inline"> \varphi = u + \varepsilon v </math> η πρώτη μεταβολή του πηλίκου <math display="inline"> Q/R</math> είναι 
:<math> V_1 = \frac{2}{R[u]} \left( \int_{x_1}^{x_2} \left[ p(x) u'(x)v'(x) + q(x)u(x)v(x) -\lambda u(x) v(x) \right] \, dx + a_1 u(x_1)v(x_1) + a_2 u(x_2)v(x_2) \right) , \,</math>
όπου το <math display="inline">\lambda</math> δίνεται από το λόγο <math display="inline"> Q[u]/R[u],</math> όπως προηγουμένως. Εφαρμόζοντας κατά παράγοντες ολοκλήρωση παίρνουμε 
:<math> \frac{R[u]}{2} V_1 = \int_{x_1}^{x_2} v(x) \left[ -(p u')' + q u -\lambda r u \right] \, dx + v(x_1)[ -p(x_1)u'(x_1) + a_1 u(x_1)] +  v(x_2) [p(x_2) u'(x_2) + a_2 u(x_2)]. \,</math>
Αν πρώτα απαιτήσουμε η <math display="inline"> v </math> να μηδενίζεται στα <math display="inline"> x_1, </math> <math display="inline"> x_2, </math> τότε η πρώτη μεταβολή θα μηδενίζεται για κάθε τέτοια <math display="inline"> v </math> μόνον αν
:<math> -(p u')' + q u -\lambda r u =0 \quad \gamma \iota \alpha \quad x_1 < x < x_2.\,</math>
Αν το <math display="inline">u</math> ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη, τότε η πρώτη μεταβολή θα μηδενίζεται για αυθαίρετα επιλεγμένο <math display="inline"> v</math> μόνο αν
:<math> -p(x_1)u'(x_1) + a_1 u(x_1)=0  \quad \kappa \alpha \iota \quad p(x_2) u'(x_2) + a_2 u(x_2)=0.\,</math>
Οι τελευταίοι αυτοί περιορισμοί είναι οι '''φυσικές οριακές συνθήκες''' του προβλήματος, καθώς δεν επιβάλλονται στις δοκιμαστικές συναρτήσεις για την ελαχιστοποίηση, αλλά είναι συνέποια αυτής.

===Προβλήματα ιδιοτιμών σε πολλές διαστάσεις===
Το πρόβλημα ιδιοτιμών σε περισσότερες από μία διαστάσεις ορίζεται κατ' αναλογία με το αντίστοιχο μονοδιάστατο. Για παράδειγμα, δεδομένου πεδίου ορισμού <math display="inline"> D</math> με σύνορο <math display="inline"> B</math> σε τρεις διαστάσεις, ορίζουμε

:<math> Q[\varphi] = \iiint_D p(X) \nabla \varphi \cdot \nabla \varphi + q(X) \varphi^2 \, dx \, dy \, dz + \iint_B \sigma(S) \varphi^2 \, dS \,</math>
και
:<math> R[\varphi] = \iiint_D r(X) \varphi(X)^3 \, dx \, dy \, dz.\,</math>
Έστω <math display="inline"> u</math> μία συνάρτηση που ελαχιστοποιεί το πηλίκο <math> Q[\varphi] / R[\varphi], </math> χωρίς κανένα περιορισμό στο σύνορο <math display="inline"> B.</math> Η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ που ικανοποιείται από τη <math display="inline"> u</math> είναι η
:<math> -\nabla \cdot (p(X) \nabla u) + q(x) u - \lambda r(x) u=0,\,</math>
όπου 
:<math> \lambda = \frac{Q[u]}{R[u]}.\,</math>

Η συνάρτηση ελαχιστοποίησης <math display="inline"> u</math> πρέπει επίσης να ικανοποιεί τη φυσική οριακή συνθήκη
:<math> p(S) \frac{\partial u}{\partial n} + \sigma(S) u =0</math>
στο σύνορο <math display="inline"> B.</math> Αυτό το αποτέλεσμα βασίζεται στη θεωρία κανονικότητας για τις ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις· δείτε Jost και Li-Jost (1998) για λεπτομέρειες. Πολλές επεκτάσεις, συμπεριλαμβανομένων αποτελεσμάτων πληρότητας, ασυμπτωτικών ιδιοτήτων των ιδιοτιμών και αποτελεσμάτων που αφορούν τους κόμβους ιδιοσυναρτήσεων, βρίσκονται στο σύγγραμμα των Courant και Hilbert (1953).
== Εφαρμογές ==
Μερικές εφαρμογές του λογισμού των μεταβολών περιλαμβάνουν:
* Την εύρεση της [[αλυσοειδής καμπύλη|αλυσοειδούς καμπύλης]]. 
* Το πρόβλημα του [[Βραχύχρονη καμπύλη|βράχιστου (ελάχιστου) χρόνου]] του [[Γιόχαν Μπερνούλι]].
* [[Ισοπεριμετρικό|Ισοπεριμετρικά]] προβλήματα.
* [[Γεωδαισιακή γραμμή|Γεωδαισιακά]] προβλήματα σε επίπεδα.
* Προβλήματα ελαχιστοποίησης επιφάνειας και το [[πρόβλημα του Plateau]].
* Προβλήματα [[θεωρία βέλτιστου ελέγχου|βέλτιστου ελέγχου]].

=== Αρχή του Φερμά ===
Σύμφωνα με την '''[[Αρχή του ελαχίστου χρόνου|αρχή του Φερμά]],''' το φως κατά τη διαδρομή του μέσα σε ένα μέσο από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β, ακολουθεί τον οπτικό δρόμο που (τοπικά) ελαχιστοποιεί το οπτικό μήκος του. Αν η τετμημένη <math>x</math> οριστεί ως παράμετρος κατά μήκος του οπτικού δρόμου, με  <math display="inline">y=f(x),</math> τότε το οπτικό μήκος δίνεται από τον τύπο:

<math> A[f] = \int_{x=x_0}^{x_1} n(x,f(x)) \sqrt{1 + f'(x)^2} dx, \,</math>

όπου ο [[Δείκτης διάθλασης|δείκτης διαθλάσεως]] <math>n(x,y)</math> εξαρτάται από το υλικό του οπτικού μέσου. Αν θεωρήσουμε <math display="inline"> f(x) = f_0 (x) + \varepsilon f_1 (x)</math> τότε η πρώτη μεταβολή του {{math|''A''}} (η οποία εξαρτάται από το {{math|''&epsilon;''}}) είναι

<math>\delta A[f_0,f_1] = \int_{x=x_0}^{x_1} \left[ \frac{ n(x,f_0) f_0'(x) f_1'(x)}{\sqrt{1 + f_0'(x)^2}} + n_y (x,f_0) f_1 \sqrt{1 + f_0'(x)^2} \right] dx.</math>

Κάνοντας [[ολοκλήρωση κατά παράγοντες]] στον πρώτο όρο, καταλήγουμε στην εξίσωση Όιλερ–Λαγκράνζ:

<math> -\frac{d}{dx} \left[\frac{ n(x,f_0) f_0'}{\sqrt{1 + f_0'^2}} \right] + n_y (x,f_0) \sqrt{1 + f_0'(x)^2} =0. \,</math>

Ολοκληρώνοντας την παραπάνω εξίσωση μπορούν να υπολογιστούν οι ακτίνες φωτός. Αυτός ο φορμαλισμός χρησιμοποιείται στο πλαίσιο της [[Λαγκατζιανής οπτικής|Λαγρανζιανής οπτικής]], καθώς και της [[Χαμιλτονιανής οπτικής]].

==== Ο νόμος του Σνελ ====
Υπάρχει μια ασυνέχεια του δείκτη διάθλασης όταν το [[φως]] εισέρχεται ή εξέρχεται ενός [[Φακός|φακού]]. Ας υποθέσουμε

<math> n(x,y) = n_- \quad \alpha \nu \quad x<0, \,</math>

<math> n(x,y) = n_+ \quad \alpha \nu \quad x>0,\,</math>

όπου <math> n_-</math> και <math> n_+</math> είναι σταθερές. Συνεπώς, η εξίσωση του Όιλερ-Λαγκράνζ παραμένει ως προηγουμένως στο διάστημα <math display="inline"> x<0</math> και <math display="inline"> x>0,</math> και ο οπτικός δρόμος αποτελεί μια ευθεία γραμμή, καθώς ο δείκτης διάθλασης παραμένει σταθερός. Για <math display="inline"> x=0</math> η <math display="inline"> f</math> πρέπει να είναι συνεχής, με την <math display="inline"> f'</math> να μπορεί να είναι ασυνεχής. Εφαρμόζοντας την κατά παράγοντες μέθοδο στα ξεχωριστά χωρία και αξιοποιώντας την εξίσωση των Όιλερ-Λαγκράνζ, η πρώτη μεταβολή παίρνει τη μορφή

<math> \delta A[f_0,f_1] = f_1(0)\left[ n_-\frac{f_0'(0_-)}{\sqrt{1 + f_0'(0_-)^2}} -n_+\frac{f_0'(0_+)}{\sqrt{1 + f_0'(0_+)^2}} \right].\,</math>

Ο παράγοντας που πολλαπλασιάζει το <math> n_-</math> είναι το [[ημίτονο]] της γωνίας που σχηματίζει η προσπίπτουσα ακτίνα με τον άξονα των τετμημένων (άξονας των <math> x</math>)· αντιστοίχως ο παράγοντας που πολλαπλασιάζει το <math> n_+</math> είναι το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η διαθλόμενη ακτίνα με τον άξονα των τετμημένων. Ο [[Νόμος του Σνελ]] για τη διάθλαση απαιτεί αυτοί οι όροι να είναι ίσοι. Όπως μας αποδεικνύει ο παραπάνω υπολογισμός, ο νόμος του Σνελ ('''[[Ουΐλλεμπρορντ Σνελ|Willebrord Snel van Royen]]''') είναι ισοδύναμος με την απαίτηση η πρώτη μεταβολή του μήκους του οπτικού δρόμου να μηδενίζεται.

==== Η αρχή του Φερμά σε τρεις διαστάσεις ====
Είναι δόκιμο να χρησιμοποιήσουμε το διανυσματικό συμβολισμό: έστω <math display="inline">X=(x_1,x_2,x_3)</math> και μια παράμετρος  <math display="inline">t,</math> θα συμβολίζουμε ως <math>X(t)</math> την παραμετρική παράσταση καμπύλης <math display="inline">C</math> και ως <math>\dot X(t)</math> το εφαπτόμενο διάνυσμα αυτής. Το οπτικό μήκος της καμπύλης δίνεται από τον εξής τύπο:

: <math> A[C] = \int_{t=t_0}^{t_1} n(X) \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} dt. \,</math>

Ας σημειωθεί ότι το ολοκλήρωμα παραμένει αναλλοίωτο σε σχέση με τις μεταβολές στην παραμετρική παράσταση της <math display="inline">C.</math>  Οι εξισώσεις Όιλερ–Λαγκράνζ για μία καμπύλη ελαχιστοποίησης παίρνουν την εξής συμμετρική μορφή

: <math> \frac{d}{dt} P = \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} \nabla n, \,</math>

όπου 
: <math> P = \frac{n(X) \dot X}{\sqrt{\dot X \cdot \dot X} }.\,</math>

Εξ ορισμού η <math display="inline">P</math> ικανοποιεί την εξίσωση

: <math> P \cdot P = n(X)^2. \,</math>

Άρα το ολοκλήρωμα μπορεί να γραφεί και ως

: <math> A[C] = \int_{t=t_0}^{t_1} P \cdot \dot X \, dt.\,</math>

Από την τελευταία μορφή έπεται ότι αν μπορέσουμε να βρούμε συνάρτηση <math display="inline">\psi (X)</math> τέτοια ώστε <math>\nabla \psi = P,</math> τότε το ολοκλήρωμα {{math|''A''}} δίνεται από τη διαφορά <math>\psi (X(t_1)) - \psi (X(t_0)).</math> Επομένως, το πρόβλημα της μελέτης των καμπυλών για τις οποίες το ολοκλήρωμα είναι στάσιμο συνδεέται με τη μελέτη των [[Σταθμικό σύνολο|σταθμικών επιφανειών]] (level surfaces) της <math display="inline">\psi .</math> Για την εύρεση μίας τέτοιας συνάρτησης θα χρησιμοποιήσουμε την κυματική εξίσωση, που περιγράφει τη διάδοση του φωτός. Αυτός ο φορμαλισμός χρησιμοποιείται ως γενικό πλαίσιο στη [[Λαγκατζιανή οπτική|Λαγρανζιανή οπτική]] και στην [[Χαμιλτονιανή οπτική]].

===== Συσχέτιση της <math>\psi</math> με την κυματική εξίσωση =====
Η [[κυματική εξίσωση]] για ένα μη-ομογενές μέσο είναι η

: <math> u_{tt} = c^2 \nabla \cdot \nabla u, \,</math>

όπου <math display="inline">c</math> είναι η ταχύτητα, που γενικά εξαρτάται από το <math>X.</math> Τα μέτωπα των φωτεινών κυμάτων είναι χαρακτηριστικές επιφάνειες αυτής της διαφορικής εξίσωσης, για τις οποίες ισχύει:

: <math> \varphi_t^2 = c(X)^2 \nabla \varphi \cdot \nabla \varphi. \,</math>

Ας ψάξουμε για λύσεις της μορφής

: <math> \varphi(t,X) = t - \psi(X) ^{.}</math>

σε αυτή την περίπτωση η <math> \psi</math> ικανοποιεί τη σχέση

: <math> \nabla \psi \cdot \nabla \psi = n^2, \,</math>

όπου <math>n=1/c.</math>  Σύμφωνα με τη θεωρία των πρωτοβάθμιων μερικών [[Διαφορική εξίσωση|διαφορικών εξισώσεων,]] αν <math>P = \nabla \psi, </math> τότε ισχύει

: <math> \frac{dP}{ds} = n \nabla n, \,</math>

όταν έχουμε ένα σύστημα καμπυλών ('''ακτίνων φωτός''') που δίνονται από τον τύπο

: <math> \frac{dX}{ds} = P.</math>

Αυτές οι εξισώσεις για τη λύση μιας πρωτοβάθμιας μερικής διαφορικής εξίσωσης ταυτίζονται με εκείνες των Όιλερ-Λαγκράνζ,φυσικά αν θεωρήσουμε ότι

: <math> \frac{ds}{dt} = \frac{\sqrt{ \dot X \cdot \dot X} }{n}. \,</math>

Συμπεραίνουμε λοιπόν, πως η <math> \psi</math> είναι η τιμή του <math display="inline"> A[C]</math> συναρτήσει του σημείου <math display="inline"> X(t_1)</math> που αντιστοιχεί στο άνω όριο ολοκλήρωσης <math display="inline"> t_1,</math> όταν <math> C</math> είναι μια καμπύλη ελαχιστοποίησης. Ώστε, όταν μια οικογένεια καμπυλών ελαχιστοποίησης κατασκευαστεί, οι τιμές του οπτικού μήκους ικανοποιούν τη χαρακτηριστική εξίσωση που αντιστοιχεί στην κυματική εξίσωση. Ως εκ τούτου, η επίλυση της σχετικής πρωτοβάθμιας μερικής διαφορικής εξίσωσης ισοδυναμεί με την εύρεση οικογενειών λύσεων του αντίστοιχου προβλήματος μεταβολών. Αυτή είναι η ουσία της [[Θεωρία Χάμιλτον-Γιακόμπι|θεωρίας των Hamilton–Jacobi]], η οποία ισχύει και σε πιο γενικά προβλήματα μεταβολών.

=== Η Αρχή της Ελάχιστης Δράσης ===
Κυρίως Άρθρο: [[Δράση (φυσική)]]

Στην κλασσική μηχανική, η δράση, ''S'', ορίζεται ως η χρονική ολοκλήρωση της Λαγρανζιανής ''L''. Η Λαγρανζιανή είναι η διαφορά των ενεργειών,

<math> L = T - U, \,</math>

όπου ''T'' είναι η [[κινητική ενέργεια]] ενός μηχανικού συστήματος και ''U'' η [[δυναμική του ενέργεια]]. Η [[αρχή του Hamilton]] (ή η αρχη της ελάχιστης δράσης) υποστηρίζει ότι η κίνηση σε ένα συντηρητικό ολονομικό (με ακέραιους περιορισμούς) μηχανικό σύστημα είναι τέτοια ώστε  το ολοκλήρωμα της δράσης
:<math> S  = \int_{t=t_0}^{t_1} L(x, \dot x, t) dt \,</math>
είναι στάσιμο σε σχέση με τις μεταβολές της διαδρομής ''x(t)''. Οι εξισώσεις Όιλερ–Λαγκράνζ αυτού του συστήματος είναι γνωστές ως εξισώσεις Λαγκράνζ:
:<math> \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x} = \frac{\partial L}{\partial x}, \,</math>
και είναι ισοδύναμες με τις εξισώσεις κίνησης του Νεύτωνα (για τέτοιου είδους συστήματα).

Οι συζυγείς ορμές ''P'' ορίζονται από
:<math> p = \frac{\partial L}{\partial \dot x}. \,</math>
Για παράδειγμα, αν
:<math> T = \frac{1}{2} m \dot x^2, \,</math>
τότε

<math> p = m \dot x. \,</math>

Η [[μηχανική του Hamilton]] προκύπτει εαν θέσουμε τις συζυγείς ορμές στη θέση του <math>\dot x</math>, και η Λαγρανζιανή ''L'' αντικατασταθεί από την Χαμιλτονιανή ''H, η οποία ορίζεται ως''
:<math> H(x, p, t) = p \,\dot x - L(x,\dot x, t).\,</math>
Η Χαμιλτονιανή είναι η συνολική ενέργεια του συστήματος: ''H'' = ''T'' + ''U''. Η αναλογία με τις αρχές του Φερμά ορίζει ότι οι λύσεις των Λαγρανζιανών εξισώσεων (οι τροχές των σωματιδίων) μπορούν να περιγραφούν σε όρους επιπέδων των επιφανειών μιας συνάρτησης του ''X''. Αυτή η συνάρτηση είναι η λύση της [[εξίσωσης Hamilton–Jacobi]] :
:<math> \frac{\partial  \psi}{\partial t} + H\left(x,\frac{\partial  \psi}{\partial x},t\right) =0.\,</math>

== Μεταβολές και επαρκείς συνθήκες για ελάχιστο ==
Ο Λογισμός των μεταβολών ασχολείται με τις μεταβολές των συναρτησιακών, οι οποίες είναι μικρές μεταβολές στην αξία του συναρτησιακού λόγω μικρών μεταβολών στη συνάρτηση που είναι το όρισμά του. Η '''πρώτη μεταβολή'''<ref group="Σημείωση">Η πρώτη μεταβολή λέγεται επίσης και παραγωγίσιμη ή μια φορά παραγωγίσιμη.</ref>  ορίζεται ως το γραμμικό μέρος της μεταβολής στο συναρτησιακού και η '''δεύτερη μεταβολή'''<ref group="Σημείωση">Η δεύτερη μεταβολή καλείται επίσης δυο φορές παραγωγίσιμη.</ref>  ορίζεται ως το τετραγωνικό μέρος.<ref>Gelfand & Fomin 2000, σσ. 11–12, 99</ref>

Για παράδειγμα, αν ''J''[''y''] είναι ένα συναρτησιακό με συνάρτηση ''y'' = ''y''(''x'') ως όρισμά του και υπάρχει μια μικρή μεταβολή στο όρισμά της από ''y'' σε ''y'' + ''h'', όπου ''h'' = ''h''(''x'') είναι μια συνάρτηση στον ίδιο συναρτησιακό χώρο με την ''y'', τότε η μεταβολή που αντιστοιχεί στο συναρτησιακό είναι

<math> \Delta J[h] = J[y+h] - J[y] </math>.<ref group="Σημείωση">Σημειωτέον ότι το Δ ''J''[''h''] και οι μεταταβολές παρακάτω,εξαρτώνται από τα ''y'' και ''h''. To ''y'' έχει εξαιρεθεί για να απλοποιηθεί ο συμβολισμός. Για παράδειγμα, Δ ''J''[''h''] θα μπορούσε να είχε γραφεί Δ ''J''[''y'' ; ''h''].</ref>

Το συναρτησιακό ''J''[''y''] λέγεται '''διαφορίσιμο''' αν
: <math> \Delta J[h] = \phi [h] + \epsilon \|h\| </math>,
όπου ''φ''[''h''] είναι ένα γραμμικό συναρτησιακό,<ref group="Σημείωση">Ένα συναρτησοειδές ''φ''[''h''] λέγεται γραμμικό εαν ''φ''[''αh''] = ''α φ''[''h''] και  ''φ''[''h''<sub>1</sub> +''h''<sub>2</sub>] = ''φ''[''h''<sub>1</sub>] + ''φ''[''h''<sub>2</sub>] , όπου ''h'', ''h''<sub>1</sub>, ''h''<sub>2</sub> είναι συναρτήσεις και ''α'' είναι ένας πραγματικός αριθμός.</ref> ''||h||'' η νόρμα της ''h'',<ref group="Σημείωση">Για μια συνάρτηση ''h'' = ''h''(''x'') η οποία ορίζεται για ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b'', όπου ''a'' και ''b'' είναι πραγματικοί αριθμοί, η νόρμα του ''h'' είναι η μέγιστη απόλυτη τιμή της, π.χ. ''||h||'' = max |''h''(''x'')| for ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''.</ref> και ''ε → 0'' καθώς ''||h|| → 0''. Το γραμμικό συναρτησιακό ''φ''[''h''] είναι η πρώτη διαφορά του ''J''[''y''] και δίνεται από,<ref>Gelfand & Fomin 2000, σσ. 11–12</ref>
: <math>\delta J[h] = \phi(h) </math>.

Το συναρτησιακό ''J''[''y''] λέγεται '''δυο φορές διαφορίσιμο''' αν
: <math> \Delta J[h] = \phi_1 [h] + \phi_2 [h] + \epsilon \|h\|^2 </math>,
όπου ''φ<sub>1</sub>''[''h''] είναι ένα γραμμικό συναρτησιακό (πρώτη μεταβολή), ''φ<sub>2</sub>''[''h''] είναι ένα τετραγωνικό συναρτησιακό,<ref group="Σημείωση">Ένα συναρτησοειδές λέγεται τετραγωνικό αν είναι διγραμμικό συναρτησοειδές με δυο αντικειμενικές συναρτήσεις οι οποίες είναι ίσες. Ένα διγραμμικό συναρτησοειδές είναι συναρτησοειδές το οποίο εξαρτάτα από δυο αντικειμενικές συναρτήσεις και είναι γραμμικό όταν κάθε αντικειμενική συνάρτηση ξεχωριστά είναι σταθερή καθώς η άλλη μεταβάλεται.</ref> και ''ε → 0'' as ''||h|| → 0''. Το τετραγωνικό συναρτησιακό ''φ<sub>2</sub>''[''h''] είναι η δεύτερη μεταβολή του ''J''[''y''] και δίνεται από,<ref>Gelfand & Fomin 2000, σ. 99</ref>
: <math>\delta^2 J[h] = \phi_2(h) </math>.
Η δεύτερη μεταβολή ''δ''<sup>2</sup>''J''[''h''] λέγεται '''αυστηρά θετική''' αν
: <math>\delta^2J[h] \ge k \|h\|^2 </math>,
για όλα τα ''h'' και για κάποια σταθερά ''k'' > ''0'' .<ref>Gelfand & Fomin 2000, σ. 100</ref>

Επαρκής συνθήκη για ένα ελάχιστο''':'''

Το συναρτησιακό ''J''[''y''] έχει ένα ελάχιστο στο  ''y'' = ''ŷ'' αν η πρώτη μεταβολή του ''δJ''[''h''] = 0 στο ''y'' = ''ŷ'' και η δεύτερη μεταβολή του ''δ''<sup>2</sup>''J''[''h''] είναι αυστηρά θετική στο ''y'' = ''ŷ''.<ref>Gelfand & Fomin 2000, σ. 100, Theorem 2</ref><ref group="Σημείωση">Για άλλες επαρκείς συνθήκες, δείτε Gelfand & Fomin 2000. '''Κεφάλαιο 5: "The Second Variation. Sufficient Conditions for a Weak Extremum".''' Επαρκείς συνθήκες για ένα ασθενές ελάχιστο δίνονται από το θεώρημα στη σ. 116. '''Κεφάλαιο 6: "Fields. Sufficient Conditions for a Strong Extremum".''' Επαρκείς συνθήκες για ένα ισχυρό ελάχιστο δίνονται από το θεώρημα στη σ. 148.</ref>

== Δείτε επίσης ==
{| class="multicol"

|
|}
{{columns |colwidth = 33%|col1 = *[[Πρώτη μεταβολή]]
*[[Ισομετρική ανισότητα]]
*[[Αρχή της μεταβολής]]
*[[Μεταβολική bicomplex]]
*[[Αρχή του Φερμά]]
*[[Αρχή της ελάχιστης δράσης]]
*[[Βελτιστοποίηση άπειρης διάστασης]]
*[[Συναρτησοειδής ανάλυση]]
*[[Αρχή της μεταβολής του Ekeland]]
*[[Αντίστροφο πρόβλημα Λαγκρανζιανών μηχανικών]]
*[[Πρόβλημα εμποδίου]]
*[[Μέθοδος διαταραχής]]
*[[Μέτρηση Young]]
*[[Βέλτιστος έλεγχος]]|col2 = *[[Άμεση μέθοδος στον Λογισμό των μεταβολών]]
*[[Θεώρημα της Νέτερ]]
*[[Θεωρία των De Donder–Weyl]]
*[[Variational Bayesian methods]]
*[[Πρόβλημα Chaplygin]]
*[[Nehari manifold]]
*[[Αρχή του Hu Washizu]]
*[[Luke's variational principle]]
*[[Mountain pass theorem]]
*{{cat|Variational analysts}}
*[[Central tendency#Solutions to variational problems|Measures of central tendency as solutions to variational problems]]
*[[Stampacchia Medal]]
*[[Βραβείο Fermat]]
*[[Convenient vector space]]}}

== Σημειώσεις ==
<references group="Σημείωση" />

== Βιβλιογραφικές παραπομπές ==
<references />

[[Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση]]
[[Κατηγορία:Βελτιστοποίηση]]