Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Μέση τιμή

Η '''μέση τιμή'''<ref>{{Cite web|url=https://www.britannica.com/science/mean|title=Mean {{!}} Definition, Formula, & Facts {{!}} Britannica|ημερομηνία=2024-12-17|website=www.britannica.com|language=en|accessdate=2025-02-03}}</ref> είναι μια ποσότητα που αντιπροσωπεύει το «κέντρο» μιας συλλογής αριθμών και βρίσκεται στο ενδιάμεσο των ακραίων τιμών του συνόλου των [[Αριθμός|αριθμών]].<ref name=":2"/> Υπάρχουν διάφορα είδη μέσων τιμών (ή «μέτρων κεντρικής τάσης») στα [[μαθηματικά]], ιδίως στη στατιστική. Καθένα από αυτά επιχειρεί να συνοψίσει ή να τυποποιήσει μια δεδομένη ομάδα [[Δεδομένα|δεδομένων]], απεικονίζοντας το μέγεθος και το πρόσημο του συνόλου δεδομένων. Το ποιο από αυτά τα μέτρα είναι πιο διαφωτιστικό εξαρτάται από το τι μετράται, καθώς και από το πλαίσιο και τον σκοπό.<ref>{{cite AV media |date=2024-08-27 |title=Why Few Math Students Actually Understand the Meaning of Means |type=YouTube video |language=en-us |url=https://www.youtube.com/watch?v=V1_4nNm8a6w |access-date=2024-09-10 |publisher=Math The World}}</ref>

Η αριθμητική μέση τιμή<ref>{{Cite web|url=https://sengpielaudio.com/calculator-geommean.htm|title=Geometric mean formula arithmetic mean calculate average center frequeny calculation find average of numbers bandwidth center frequency difference Hi-Fi phone telephone program two values value geometric mean represents the value between two numbers harmonic quadratic mean formula - sengpielaudio Sengpiel Berlin|website=sengpielaudio.com|accessdate=2025-02-03}}</ref>, επίσης γνωστή ως «αριθμητικός μέσος όρος», είναι το άθροισμα των τιμών διαιρούμενο με τον αριθμό των τιμών. Η αριθμητική μέση τιμή ενός συνόλου αριθμών  ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., x''<sub>n</sub>'' συμβολίζεται συνήθως με μια επάνω γραμμή (overline), <math>\bar{x}</math>.{{refn|Pronounced "''x'' bar".|group="note"}} Εάν οι αριθμοί προέρχονται από την παρατήρηση ενός δείγματος μιας [[Στατιστικός πληθυσμός|μεγαλύτερης ομάδας]], η αριθμητική μέση τιμή ονομάζεται δειγματική μέση τιμή (<math>\bar{x}</math>)  για να διακρίνεται από τη μέση τιμή της ομάδας (ή την αναμενόμενη τιμή) της υποκείμενης κατανομής, η οποία συμβολίζεται με '''<math>\mu</math>''' ή '''<math>\mu_x</math>'''.{{refn|Greek letter [[Mu (letter)|μ]], pronounced /'mjuː/.|group="note"}}<ref>Underhill, L.G.; Bradfield d. (1998) ''Introstat'', Juta and Company Ltd. ISBN 0-7021-3838-X [https://books.google.com/books?id=f6TlVjrSAsgC&pg=PA181 p. 181]</ref>

Εκτός των πιθανοτήτων και της στατιστικής, ένα ευρύ φάσμα άλλων εννοιών της μέσης τιμής χρησιμοποιείται συχνά στη [[γεωμετρία]] και τη [[μαθηματική ανάλυση]]- παρουσιάζονται παραδείγματα παρακάτω.

==Κατηγορίες μέσες τιμές==

=== Πυθαγόρειες μέσες τιμές===

Στα [[μαθηματικά]], οι τρεις κλασικές πυθαγόρειες μέσες τιμές είναι η αριθμητική μέση τιμή (AM), η γεωμετρική μέση τιμή (GM) και η αρμονική μέση τιμή (HM). Αυτές οι μέσες τιμές μελετήθηκαν με αναλογίες από τους [[Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι|Πυθαγόρειους]] και μεταγενέστερες γενιές Ελλήνων μαθηματικών<ref>{{cite book|first=Thomas|last=Heath|title=History of Ancient Greek Mathematics}}</ref> λόγω της σημασίας τους στη [[γεωμετρία]] και τη [[μουσική]]. 

==== Αριθμητική μέση τιμή (AM) ====

Η αριθμητική μέση τιμή (ή απλά «μέση τιμή» ή «μέσος όρος») μιας λίστας αριθμών, είναι το άθροισμα όλων των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό τους. Ομοίως, η μέση τιμή ενός δείγματος <math>x_1,x_2,\ldots,x_n</math>, που συνήθως συμβολίζεται με <math>\bar{x}</math>, είναι το άθροισμα των τιμών του δείγματος διαιρεμένο με τον αριθμό των στοιχείων του δείγματος.

:<math> \bar{x} = \frac{1}{n}\left (\sum_{i=1}^n{x_i}\right ) = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n} </math>

Παραδείγματος χάριν, η αριθμητική μέση τιμή πέντε τιμών: 4, 36, 45, 50, 75 είναι:
:<math>\frac{4+36+45+50+75}{5} = \frac{210}{5} = 42.</math>

==== Γεωμετρική μέση τιμή (GM) ====

Η γεωμετρική μέση τιμή είναι ένας μέσος όρος που είναι χρήσιμος για σύνολα θετικών αριθμών, τα οποία ερμηνεύονται σύμφωνα με το γινόμενό τους (όπως συμβαίνει με τους ρυθμούς ανάπτυξης) και όχι με το άθροισμά τους (όπως συμβαίνει με την αριθμητική μέση τιμή):

:<math>\bar{x} = \left( \prod_{i=1}^n{x_i} \right )^\frac{1}{n} = \left(x_1 x_2 \cdots x_n \right)^\frac{1}{n}</math>  <ref name=":2">{{Cite web|title=Mean {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/mean|access-date=2020-08-21|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref>

Παραδείγματος χάριν, η γεωμετρική μέση τιμή πέντε τιμών: 4, 36, 45, 50, 75 είναι:
:<math>(4 \times 36 \times 45 \times 50 \times 75)^\frac{1}{5} = \sqrt[5]{24\;300\;000} = 30.</math>

==== Αρμονική μέση τιμή (HM) ====

Η αρμονική μέση τιμή είναι ένας μέσος όρος που είναι χρήσιμος για σύνολα αριθμών που ορίζονται σε σχέση με κάποια μονάδα, όπως στην περίπτωση της ταχύτητας (δηλαδή της απόστασης ανά μονάδα χρόνου):

:<math> \bar{x} = n \left ( \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \right ) ^{-1}</math>

Παραδείγματος χάριν, η αρμονική μέση τιμή των πέντε τιμών: 4, 36, 45, 50, 75 είναι

:<math>\frac{5}{\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{45} + \tfrac{1}{50} + \tfrac{1}{75}} = \frac{5}{\;\tfrac{1}{3}\;} = 15.</math>

Εάν έχουμε πέντε αντλίες που μπορούν να αδειάσουν μια δεξαμενή συγκεκριμένου μεγέθους σε 4, 36, 45, 50 και 75 λεπτά αντίστοιχα, τότε η αρμονική μέση τιμή των <math>15</math>
μας λέει ότι αυτές οι πέντε διαφορετικές αντλίες που δουλεύουν μαζί θα αντλήσουν με τον ίδιο ρυθμό όσο και πέντε αντλίες που η καθεμία μπορεί να αδειάσει τη δεξαμενή σε <math>15</math> λεπτά.

====Σχέση μεταξύ AM, GM και HM ====
[[Αρχείο:AM GM inequality visual proof.svg|μικρογραφία|236x236εσ|[[Απόδειξη χωρίς λόγια]] της [[Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου|ανισότητας AM-GM]]:<br><br>Χρησιμοποιώντας το θεώρημα της γεωμετρικής μέσης τιμής, το υψόμετρο GQ του τριγώνου PGR είναι η γεωμετρική μέση τιμή. Για κάθε λόγο a:b, AO ≥ GQ.]]
Οι AM, GM και HM ικανοποιούν αυτές τις ανισότητες:

:<math> \mathrm{AM} \ge \mathrm{GM} \ge \mathrm{HM} \, </math>

Η ισότητα ισχύει εάν όλα τα στοιχεία του συγκεκριμένου δείγματος είναι ίσα.

====Στατιστική θέση====

Στην [[περιγραφική στατιστική]], η μέση τιμή μπορεί να συγχέεται με τη διάμεση τιμή, τον τρόπο ή το μέσο εύρος, καθώς οποιοδήποτε από αυτά μπορεί εσφαλμένα να αποκαλείται «μέσος όρος» (πιο επίσημα, μέτρο κεντρικής τάσης). Η μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των τιμών- ωστόσο, για λοξές κατανομές, η μέση τιμή δεν είναι απαραίτητα η ίδια με τη μέση τιμή (διάμεσος) ή την πιο πιθανή τιμή (τρόπος). Παραδείγματος χάριν, το μέσο εισόδημα είναι συνήθως στραβό προς τα πάνω από ένα μικρό αριθμό ατόμων με πολύ μεγάλα εισοδήματα, έτσι ώστε η πλειοψηφία να έχει εισόδημα χαμηλότερο από τη μέση τιμή. Αντίθετα, το διάμεσο εισόδημα είναι το επίπεδο στο οποίο ο μισός πληθυσμός βρίσκεται κάτω και ο μισός πάνω από αυτό. Το μέσο εισόδημα είναι το πιθανότερο εισόδημα και ευνοεί τον μεγαλύτερο αριθμό ατόμων με χαμηλότερα εισοδήματα. Ενώ η διάμεσος και ο τρόπος είναι συχνά πιο διαισθητικά μέτρα για τέτοια στρεβλά δεδομένα, πολλές στρεβλές κατανομές περιγράφονται στην πραγματικότητα καλύτερα από τη μέση τιμή τους, συμπεριλαμβανομένων των [[Εκθετική κατανομή|εκθετικών κατανομών]] και της [[Κατανομή Πουασσόν|κατανομής Πουασόν]].
[[Αρχείο:Comparison mean median mode.svg|μικρογραφία|233x233εσ|Σύγκριση της αριθμητικής μέσης τιμής, της διαμέσου και του τρόπου λειτουργίας δύο στρεβλών (λογαριθμοκανονικών) κατανομών]]

====Μέση τιμή μιας κατανομής πιθανοτήτων====
Κύριο άρθρο: [[Αναμενόμενη τιμή]]
[[Αρχείο:Visualisation mode median mean.svg|μικρογραφία|311x311px|Γεωμετρική απεικόνιση του τρόπου, της διαμέσου και της μέσης τιμής μιας αυθαίρετης συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας<ref>{{Cite web|url=https://web.archive.org/web/20150402183703/http://apstatsreview.tumblr.com/post/50058615236/density-curves-and-the-normal-distributions?action=purge|title=AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions|ημερομηνία=2015-04-02|website=web.archive.org|accessdate=2025-02-03}}</ref>]]
Η μέση τιμή μιας [[Κατανομή πιθανότητας|κατανομής πιθανοτήτων]] είναι η μακροχρόνια αριθμητική μέση τιμή μιας [[Τυχαία μεταβλητή|τυχαίας μεταβλητής]] που έχει αυτή την κατανομή. Εάν η τυχαία μεταβλητή συμβολίζεται με <math>X</math>, τότε η μέση τιμή είναι επίσης γνωστή ως η αναμενόμενη τιμή της <math>X</math> (συμβολίζεται με <math>E(X)</math>). Για μια διακριτή κατανομή πιθανότητας, η μέση τιμή δίνεται από τη σχέση <math>\textstyle \sum xP(x)</math>, όπου το άθροισμα λαμβάνεται σε όλες τις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής και <math>\textstyle \sum xP(x)</math> είναι η [[συνάρτηση μάζας πιθανότητας]]. Για μια συνεχή κατανομή, η μέση τιμή είναι <math>\textstyle \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\,dx</math> είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας.<ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Population Mean|url=https://mathworld.wolfram.com/PopulationMean.html|access-date=2020-08-21|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> Σε όλες τις περιπτώσεις, συμπεριλαμβανομένων εκείνων στις οποίες η κατανομή δεν είναι ούτε διακριτή ούτε συνεχής, η μέση τιμή είναι το ολοκλήρωμα Λεμπέσγκ της τυχαίας μεταβλητής ως προς το μέτρο πιθανότητάς της. Ο μέσος όρος δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει ή να είναι πεπερασμένος- για ορισμένες κατανομές πιθανότητας η μέση τιμή είναι άπειρη ({{math|+&infin;}} or {{math|−&infin;}}),, ενώ για άλλες η μέση τιμή είναι απροσδιόριστη.

=== Γενικευμένη μέση τιμή===

====Μέση ισχύς====
Η γενικευμένη μέση τιμή, επίσης γνωστή ως μέση τιμή δύναμης ή μέση τιμή Χόλντερ, είναι μια αφαίρεση των τετραγωνικών, αριθμητικών, γεωμετρικών και αρμονικών μέσων τιμών. Ορίζεται για ένα σύνολο ''n'' θετικών αριθμών ''x''<sub>i</sub> με

<p style="margin-left:1.6em;">
<math>\bar{x}(m) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^m \right)^\frac{1}{m}</math> {{r|:2|style="position:absolute; right:0;"}}
</p>

Επιλέγοντας διαφορετικές τιμές για την παράμετρο ''m'', προκύπτουν οι ακόλουθες κατηγορίες μέσης τιμής: 

{{glossary|style=display:grid;grid-template-columns: max-content auto;margin-left:1.6em;}}
{{term|style=grid-column-start: 1;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:right;|term=<math>\lim_{m \to \infty}</math>}}
{{defn|style=grid-column-start: 2;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:left;|defn=μέγιστη του <math>x_i</math>}}
{{term|style=grid-column-start: 1;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:right;|term=<math>\lim_{m \to 2}</math>}}
{{defn|style=grid-column-start: 2;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:left;|defn=τετραγωνική μέση τιμή}}
{{term|style=grid-column-start: 1;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:right;|term=<math>\lim_{m \to 1}</math>}}
{{defn|style=grid-column-start: 2;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:left;|defn= αριθμητική μέση τιμή}}
{{term|style=grid-column-start: 1;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:right;|term=<math>\lim_{m \to 0}</math>}}
{{defn|style=grid-column-start: 2;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:left;|defn=γεωμετρική μέση τιμή}}
{{term|style=grid-column-start: 1;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:right;|term=<math>\lim_{m \to -1}</math>}}
{{defn|style=grid-column-start: 2;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:left;|defn=αρμονική μέση τιμή}}
{{term|style=grid-column-start: 1;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:right;|term=<math>\lim_{m \to -\infty}</math>}}
{{defn|style=grid-column-start: 2;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:left;|defn=ελαχίστη του <math>x_i</math>}}
{{glossary end}}

==== ''f''-μέση τιμή====
Αυτό μπορεί να γενικευτεί περαιτέρω ως γενικευμένη {{mvar|f}}-μέση τιμή

και πάλι μια κατάλληλη επιλογή ενός αντιστρέψιμου  {{mvar|f}} θα δώσει
: {|
|-
| <math>f(x) = x^m</math> || μέση τιμή ισχύος,
|-
| <math>f(x) = x</math> || αριθμητική μέση τιμή,
|-
| <math>f(x) = \ln(x)</math> || γεωμετρική μέση τιμή.
|-
| <math>f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}</math> || αρμονική μέση τιμή,
|}

==== Σταθμισμένη αριθμητική μέση τιμή==== 

Η σταθμισμένη αριθμητική μέση τιμή (ή σταθμισμένος μέσος όρος) χρησιμοποιείται εάν κάποιος θέλει να συνδυάσει μέσες τιμές από δείγματα διαφορετικού μεγέθους του ίδιου πληθυσμού: 

:<math>\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n {w_i \bar{x_i}}}{\sum_{i=1}^n w_i}. </math>  <ref name=":2" />

Όπου <math>\bar{x_i}</math> και <math>w_i</math> είναι η μέση τιμή και το μέγεθος του δείγματος <math>i</math> αντίστοιχα. Σε άλλες εφαρμογές, αντιπροσωπεύουν ένα μέτρο για την αξιοπιστία της επιρροής του μέσου όρου από τις αντίστοιχες τιμές.

====Αποκομμένη μέση τιμή====

Μερικές φορές, ένα σύνολο αριθμών μπορεί να περιέχει ακραίες τιμές (δηλαδή τιμές δεδομένων που είναι πολύ χαμηλότερες ή πολύ υψηλότερες από τις υπόλοιπες). Συχνά, οι ακραίες τιμές είναι εσφαλμένα δεδομένα που προκαλούνται από τεχνουργήματα. Στην περίπτωση αυτή, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει μια αποκομμένη μέση τιμή. Περιλαμβάνει την απόρριψη συγκεκριμένων τμημάτων των δεδομένων στο άνω ή στο κάτω άκρο, συνήθως ίσης ποσότητας σε κάθε άκρο, και στη συνέχεια τη λήψη του αριθμητικού μέσου των εναπομεινάντων δεδομένων. Ο αριθμός των τιμών που αφαιρούνται αναφέρεται ως ποσοστό του συνολικού αριθμού των τιμών.

====Διατεταρτημοριακή μέση τιμή====

Η διατεταρτημοριακή μέση τιμή είναι ένα συγκεκριμένο παράδειγμα μιας περικομμένης μέσης τιμής. Είναι απλώς η αριθμητική μέση τιμή μετά την αφαίρεση του χαμηλότερου και του υψηλότερου τετάρτου των τιμών.

: <math>\bar{x} = \frac{2}{n} \;\sum_{i = \frac{n}{4} + 1}^{\frac{3}{4}n}\!\! x_i</math>

υποθέτοντας ότι οι τιμές έχουν ταξινομηθεί, οπότε είναι απλώς ένα συγκεκριμένο παράδειγμα μιας σταθμισμένης μέσης τιμής για ένα συγκεκριμένο σύνολο βαρών.

====Μέση τιμή μιας συνάρτησης====

Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι μαθηματικοί μπορούν να υπολογίσουν την μέση τιμή ενός άπειρου (ή ακόμη και μη αναρίθμητου) συνόλου τιμών. Αυτό μπορεί να συμβεί κατά τον υπολογισμό της μέσης τιμής <math>y_\text{avg}</math> μιας συνάρτησης <math>f(x)</math>. Διαισθητικά, η μέση τιμή μιας συνάρτησης μπορεί να θεωρηθεί ως ο υπολογισμός του εμβαδού κάτω από ένα τμήμα μιας καμπύλης και στη συνέχεια η διαίρεση με το μήκος αυτού του τμήματος. Αυτό μπορεί να γίνει χονδροειδώς μετρώντας τετράγωνα σε χαρτί γραφικών παραστάσεων, ή ακριβέστερα με ολοκλήρωση. Ο τύπος της ολοκλήρωσης γράφεται ως εξής:

: <math>y_\text{avg}(a, b) = \frac{1}{b - a} \int\limits_a^b\! f(x)\,dx</math>

Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να ληφθεί μέριμνα ώστε το ολοκλήρωμα να συγκλίνει. Αλλά η μέση τιμή μπορεί να είναι πεπερασμένη ακόμη και αν η ίδια η συνάρτηση τείνει στο άπειρο σε ορισμένα σημεία.

====Μέση τιμή γωνιών και κυκλικών μεγεθών====

Οι γωνίες, οι ώρες της ημέρας και άλλες κυκλικές ποσότητες απαιτούν [[Μοδιακή αριθμητική]] για να προσθέσουν και να συνδυάσουν με άλλο τρόπο αριθμούς. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, δεν θα υπάρχει μία μοναδική μέση τιμή. Παραδείγματος χάριν, οι ώρες μια ώρα πριν και μετά τα μεσάνυχτα ισαπέχουν τόσο από τα μεσάνυχτα όσο και από το μεσημέρι. Είναι επίσης πιθανό να μην υπάρχει μέση τιμή. Σκεφτείτε έναν τροχό χρωμάτων - δεν υπάρχει μέση τιμή στο σύνολο όλων των χρωμάτων. Σε αυτές τις περιπτώσεις, πρέπει να αποφασίσετε ποια μέση τιμή είναι πιο χρήσιμη. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό προσαρμόζοντας τις τιμές πριν από τη μέση τιμή ή χρησιμοποιώντας μια εξειδικευμένη προσέγγιση για τη μέση τιμή κυκλικών ποσοτήτων.

====Μέση τιμή Φρεσέ====

Η μέση τιμή Φρεσέ δίνει έναν τρόπο για τον προσδιορισμό του «κέντρου» μιας κατανομής μάζας σε μια επιφάνεια ή, γενικότερα, σε μια πολλαπλή του Ριμάν. Σε αντίθεση με πολλά άλλα μέσα, η μέση τιμή Φρεσέ ορίζεται σε ένα χώρο του οποίου τα στοιχεία δεν μπορούν απαραίτητα να προστεθούν ή να πολλαπλασιαστούν με κλιμάκια. Μερικές φορές είναι επίσης γνωστός ως μέση τιμή Κάρτσερ (από το όνομα του Χέρμαν Κάρτσερ).

====Τριγωνικά σύνολα====

Στη γεωμετρία, υπάρχουν χιλιάδες διαφορετικοί ορισμοί για το κέντρο ενός τριγώνου που μπορούν όλοι να ερμηνευθούν ως μέση τιμή ενός τριγωνικού συνόλου σημείων στο επίπεδο.<ref>{{cite journal
 | last1 = Narboux | first1 = Julien
 | last2 = Braun | first2 = David
 | doi = 10.1007/s11786-016-0254-4
 | issue = 1
 | journal = Mathematics in Computer Science
 | mr = 3483261
 | pages = 57–73
 | title = Towards a certified version of the encyclopedia of triangle centers
 | volume = 10
 | year = 2016
 | quote = under the guidance of Clark Kimberling, an electronic encyclopedia of triangle centers (ETC) has been developed, it contains more than 7000 centers and many properties of these points}}</ref>

===Κανόνας του Σουάνσον===

Πρόκειται για μια προσέγγιση της μέσης τιμής για μια μέτρια στρεβλή κατανομή.<ref name=Hurst2000>Hurst A, Brown GC, Swanson RI (2000) Swanson's 30-40-30 Rule.  American Association of Petroleum Geologists Bulletin 84(12) 1883-1891</ref> Χρησιμοποιείται στην εξερεύνηση υδρογονανθράκων και ορίζεται ως εξής:

: <math> m = 0.3P_{10} + 0.4P_{50} + 0.3P_{90} </math>

όπου  <math display="inline">P_{10}</math>, <math display="inline">P_{50}</math>  και <math display="inline">P_{90}</math> είναι το 10ο, 50ο και 90ο εκατοστημόριο της κατανομής, αντίστοιχα.

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/20405 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών]
* [https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/107/5/NumberTheory30Sep.pdf Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές]
* [https://repository.kallipos.gr/handle/11419/1045 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών]
* [https://thesis.ekt.gr/thesisBookReader/id/15362?lang=el#page/1/mode/2up Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες] Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

== Δείτε επίσης ==
* [[Θεωρία αριθμών]]
* [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών]]
* [[Φυσικός αριθμός]]
* [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών]]
* [[Μοδιακή αριθμητική]]
* [[Θεωρία αναπαραστάσεων]]
* [[Μη ευκλείδειες γεωμετρίες]]
* [[Άρτιοι και περιττοί αριθμοί]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]
* [[Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι]]
* [[Πολλαπλάσιο (μαθηματικά)]]
* [[Συνάρτηση μάζας πιθανότητας]]
* [[Κατανομή πιθανότητας]]
* [[Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ]]
* [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]]
* [[Αλγεβρική γεωμετρία]]
* [[Στατιστικός πληθυσμός]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]

== Βιβλιογραφία==
* {{Cite book|title=The Pearson Guide to Mathematics for the AIEEE 2012|publisher=Pearson Education India|isbn=978-81-317-6390-2|url=https://books.google.gr/books?id=6r6hl7b2uEMC&pg=SA23-PA2&dq=%22mean%22++maths,++Geometric+mean+(GM),+Arithmetic+mean+(AM),+Harmonic+mean+(HM)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj2g_qMz6iLAxULcvEDHW6tOiQQ6AF6BAgFEAM#v=onepage&q=%22mean%22%20%20maths,%20%20Geometric%20mean%20(GM),%20Arithmetic%20mean%20(AM),%20Harmonic%20mean%20(HM)&f=false}}
* {{Cite book|title=Business Mathematics And Statistics Class 12 Revised 17th Edition for the Session of 2024-25|first=Dr S. K.|last=Singh|first2=Dr Awadesh Kumar|last2=Singh|publisher=SBPD Publications|date=2024-03-15|url=https://books.google.gr/books?id=bTn7EAAAQBAJ&pg=RA1-PA88&dq=%22mean%22++maths,++Geometric+mean+(GM),+Arithmetic+mean+(AM),+Harmonic+mean+(HM)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj2g_qMz6iLAxULcvEDHW6tOiQQ6AF6BAgGEAM#v=onepage&q=%22mean%22%20%20maths,%20%20Geometric%20mean%20(GM),%20Arithmetic%20mean%20(AM),%20Harmonic%20mean%20(HM)&f=false}}
* {{Cite book|title=The Pearson Guide to Complete Mathematics for AIEEE, 3/e (New Edition)|last=Khattar|publisher=Pearson Education India|isbn=978-81-317-2126-1|date=2010|url=https://books.google.gr/books?id=7cwSfkQYJ_EC&pg=SA23-PA2&dq=%22mean%22++maths,++Geometric+mean+(GM),+Arithmetic+mean+(AM),+Harmonic+mean+(HM)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj2g_qMz6iLAxULcvEDHW6tOiQQ6AF6BAgEEAM#v=onepage&q=%22mean%22%20%20maths,%20%20Geometric%20mean%20(GM),%20Arithmetic%20mean%20(AM),%20Harmonic%20mean%20(HM)&f=false}}
* {{Cite book|title=The Pearson Guide To Complete Mathematics For The Aieee, 4/E|first=Khattar|last=Dinesh|publisher=Pearson Education India|isbn=978-81-317-3380-6|date=2010|location=|page=|url=https://books.google.gr/books?id=u7HWgE60km4C&pg=SA23-PA2&dq=%22mean%22++maths,++Geometric+mean+(GM),+Arithmetic+mean+(AM),+Harmonic+mean+(HM)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj2g_qMz6iLAxULcvEDHW6tOiQQ6AF6BAgKEAM#v=onepage&q=%22mean%22%20%20maths,%20%20Geometric%20mean%20(GM),%20Arithmetic%20mean%20(AM),%20Harmonic%20mean%20(HM)&f=false}}
* {{Cite book|title=The Pearson Guide To Objective Mathematics For Engineering Entrance Examinations, 3/E|first=|last=Sharma/khattar|publisher=Pearson Education India|isbn=978-81-317-2363-0|date=2010|location=|page=|url=https://books.google.gr/books?id=2v-f9x7-FlsC&pg=PA950&dq=%22mean%22++maths,++Geometric+mean+(GM),+Arithmetic+mean+(AM),+Harmonic+mean+(HM)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj2g_qMz6iLAxULcvEDHW6tOiQQ6AF6BAgHEAM#v=onepage&q=%22mean%22%20%20maths,%20%20Geometric%20mean%20(GM),%20Arithmetic%20mean%20(AM),%20Harmonic%20mean%20(HM)&f=false}}
* {{Cite book|title=Mathematics Before and After Pythagoras: Exploring the Foundations and Evolution of Mathematical Thought|first=Ravi P.|last=Agarwal|publisher=Springer Nature|isbn=978-3-031-74224-8|date=2024|url=https://books.google.gr/books?id=CZU0EQAAQBAJ&pg=PA32&dq=%22mean%22++maths,++Geometric+mean+(GM),+Arithmetic+mean+(AM),+Harmonic+mean+(HM)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj2g_qMz6iLAxULcvEDHW6tOiQQ6AF6BAgIEAM#v=onepage&q=%22mean%22%20%20maths,%20%20Geometric%20mean%20(GM),%20Arithmetic%20mean%20(AM),%20Harmonic%20mean%20(HM)&f=false}}
* {{Cite book|title=Creative Secondary School Mathematics: 125 Enrichment Units For Grades 7 To 12|first=Alfred S.|last=Posamentier|publisher=World Scientific|isbn=978-981-12-4044-7|date=2021-06-08|url=https://books.google.gr/books?id=tGEzEAAAQBAJ&pg=PA421&dq=%22mean%22++maths,++Geometric+mean+(GM),+Arithmetic+mean+(AM),+Harmonic+mean+(HM)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj2g_qMz6iLAxULcvEDHW6tOiQQ6AF6BAgNEAM#v=onepage&q=%22mean%22%20%20maths,%20%20Geometric%20mean%20(GM),%20Arithmetic%20mean%20(AM),%20Harmonic%20mean%20(HM)&f=false}}
* {{Cite book|title=Comprehensive Mathematics IX|publisher=Laxmi Publications|isbn=978-81-7008-629-1|url=https://books.google.gr/books?id=BCFscEWe4hcC&pg=PA874&dq=%22mean%22++maths,++Geometric+mean+(GM),+Arithmetic+mean+(AM),+Harmonic+mean+(HM)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjRgeCt0KiLAxUPB9sEHVzlHKM4ChDoAXoECAYQAw#v=onepage&q=%22mean%22%20%20maths,%20%20Geometric%20mean%20(GM),%20Arithmetic%20mean%20(AM),%20Harmonic%20mean%20(HM)&f=false}}

== Παραπομπές ==
{{reflist}}
{{Reflist|group=note}}
* {{cite journal
 | author=Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter
 | title=Computer Methods for Sampling from Gamma, Beta, Poisson and Binomial Distributions
 | journal=Computing
 | year=1974
 | volume=12
 | issue=3
 | pages=223–246
 | doi=10.1007/BF02293108
}}
* {{cite journal
 | author=Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter
 | title=Computer Generation of Poisson Deviates
 | url=https://archive.org/details/sim_acm-transactions-on-mathematical-software_1982-06_8_2/page/163
 | journal=ACM Transactions on Mathematical Software
 | year=1982
 | volume=8
 | issue=2
 | pages=163–179
 | doi=10.1145/355993.355997
}}
* {{cite book |last1=Pettofrezzo |first1=Anthony J. |last2=Byrkit |first2=Donald R. |year=1970 |title=Elements of Number Theory |url=https://archive.org/details/elementsofnumber0000pett |url-access=registration |publisher=[[:en:Prentice Hall|Prentice Hall]] |location=Englewood Cliffs |isbn=9780132683005 |lccn=71081766}}
* {{cite book |last=Sengadir |first=T. |title=Discrete Mathematics and Combinatorics |year=2009 |publisher=Pearson Education India |location=Chennai, India |isbn=978-81-317-1405-8 |oclc=778356123}}
* [[:en:George W. Mackey]], [https://doi.org/10.1090/S0273-0979-1980-14783-7 Harmonic analysis as the exploitation of symmetry–a historical survey], ''Bull. Amer. Math. Soc.'' 3 (1980), 543–698.
* M. Bujosa, A. Bujosa and A. Garcıa-Ferrer. [http://dx.doi.org/10.1109/TSP.2015.2469640 Mathematical Framework for Pseudo-Spectra of Linear Stochastic Difference Equations], ''IEEE Transactions on Signal Processing'' vol. 63 (2015), 6498–6509.
*{{Citation | last= Wallach | first= Nolan R | year=1976 |title= On the Enright-Varadarajan modules: a construction of the discrete series| journal=  [[:en:Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure|Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure]]| volume = 4| issue= 1 | pages=81–101 | doi= 10.24033/asens.1304 | mr=0422518| doi-access= free }}
*{{citation|first1=Atílio|last1=Luiz|first2=Bruce|last2=Richter|year=2014|title=Remarks on a conjecture of Barát and Tóth|journal=[[:en:Electronic Journal of Combinatorics|Electronic Journal of Combinatorics]]|volume=21|issue=1|page=P1.57|doi=10.37236/3396 |url=http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v21i1p57|doi-access=free}}.

== Πηγές ==
* {{Citation|last1=Apostol|first1=Thomas M.|author1-link=:en:Thomas M. Apostol|title=Introduction to Analytic Number Theory|publisher=Springer|location=New York|isbn=0-387-90163-9|year=1976|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0}}
* {{Citation|last1=Conway|first1=John Horton|author1-link=:en:John Horton Conway|last2=Guy|first2=Richard K.|author2-link=:en:Richard K. Guy|title=The Book of Numbers|publisher=Copernicus|location=New York|isbn=978-0-387-97993-9|year=1996}}
* {{Citation|last1=Crandall|first1=Richard|author1-link=:en:Richard Crandall|last2=Pomerance|first2=Carl|author2-link=:en:Carl Pomerance|title=Prime Numbers: A Computational Perspective|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|isbn=978-0-387-25282-7|year=2005}}
* {{Cite book|title=Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry|first=I. M.|last=Singer|first2=J. A.|last2=Thorpe|publisher=Springer|isbn=978-1-4615-7347-0|date=2015-05-28|url=https://books.google.gr/books?id=8u7LCQAAQBAJ&lpg=PP1&hl=fr&pg=PP1#v=onepage&q&f=false}}
* {{Cite book|title=Introduction to Analytic Number Theory|first=Tom M.|last=Apostol|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4757-5579-4|date=2013-06-29|url=https://books.google.gr/books?id=3yoBCAAAQBAJ&lpg=PR1&hl=fr&pg=PR1#v=onepage&q&f=false}}
* {{citation| last=Miller | first= P. D. | title= Applied Asymptotic Analysis | year= 2006 | publisher= [[:en:American Mathematical Society|American Mathematical Society]]|url=https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ| isbn= 9780821840788 }}
* {{Citation|last1=Apostol|first1=Thomas M.|author1-link=:en:Thomas M. Apostol|title=Introduction to Analytic Number Theory|publisher=Springer|location=New York|isbn=0-387-90163-9|year=1976|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0}}

{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:Μέση τιμή}}

[[Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά]] 
[[Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση]] 
[[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών]] 
[[Κατηγορία:Θεωρία αριθμών]] 
[[Κατηγορία:Μετρική γεωμετρία]]