Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Μαθηματική σταθερά

Οι '''μαθηματικές σταθερές''' είναι ιδιαίτεροι [[αριθμοί]], συνήθως [[πραγματικοί αριθμοί]], οι οποίοι έχουν σημαντικό ενδιαφέρον στα [[μαθηματικά]].<ref name="mathworld">{{cite web | url=http://mathworld.wolfram.com/Constant.html | title=Constant | publisher=MathWorld | accessdate=April 13, 2011 | author=Weisstein, Eric W.}}</ref> Οι σταθερές εμφανίζονται σε πολλούς κλάδους των [[Μαθηματικά|μαθηματικών]], με σταθερές όπως ο [[Αριθμός e (μαθηματικά)|αριθμός <math>e</math>]] και το [[Αριθμός π|{{pi}}]] να εμφανίζονται σε σημαντικά πεδία των μαθηματικών όπως η [[γεωμετρία]], η [[θεωρία αριθμών]] και ο [[λογισμός]].

Το πώς καθιερώθηκαν οι σταθερές και γιατί θεωρούνται ενδιαφέρουσες (ή πιο ενδιαφέρουσες από άλλους πραγματικούς αριθμούς), είναι σε ένα βαθμό αντικειμενικό. Κάποιες μαθηματικές σταθερές είναι αξιοσημείωτες κυρίως λόγω ιστορικού ενδιαφέροντος παρά λόγω του μαθηματικού τους ενδιαφέροντος. Οι πιο δημοφιλείς σταθερές μελετήθηκαν εδώ και χιλιάδες χρόνια και έχουν προσεγγιστεί σε πάρα πολλά δεκαδικά ψηφία. Όλες οι μαθηματικές σταθερές είναι αριθμοί οι οποίοι έχουν οριστεί και είναι δυνατό να [[Υπολογίσιμος αριθμός|υπολογιστούν]] (η [[σταθερά του Τσάιτιν]] αποτελεί μια σημαντική εξαίρεση).

== Βασικές μαθηματικές σταθερές ==
Αυτές είναι οι σταθερές που είναι πιο πιθανό να συναντήσει κάποιος κατά τη διάρκεια της φοίτησής του σε σχολεία [[Δευτεροβάθμια εκπαίδευση|δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης]] σε πολλές χώρες.

=== Η Αρχιμήδεια σταθερά π ===
{{main|π}}
[[Image:Pi-unrolled-720.gif|thumb|220px|right|Η περιφέρεια ενός κύκλου με διάμετρο 1 είναι {{pi}}.]]

Η σταθερά [[π (μαθηματική σταθερά)|π]] εμφανίζεται φυσικά στην [[Ευκλείδεια γεωμετρία]] ως ο λόγος μεταξύ της [[περιφέρεια (γεωμετρία)|περιφέρειας]] και της [[διάμετρος|διαμέτρου]] ενός [[κύκλος|κύκλου]], αλλά μπορεί να βρεθεί και σε πολλές άλλες περιοχές των μαθηματικών: για παράδειγμα, το [[ολοκλήρωμα του Γκάους]] στη [[μιγαδική ανάλυση]], στις [[μιγαδικές ρίζες της μονάδας]] στη [[θεωρία αριθμών]] και στις [[κατανομές Κωσύ]] στη [[θεωρία πιθανοτήτων]]. Ωστόσο, η καθολικότητά της δεν περιορίζεται μόνο στα καθαρά μαθηματικά. Διάφοροι [[τύποι]] στη [[φυσική]] όπως [[Αρχή της απροσδιοριστίας|η αρχή της αβεβαιότητας του Χάιζενμπεργκ]], και σταθερές όπως η [[κοσμολογική σταθερά]] περιλαμβάνουν τη σταθερά {{pi}}. Η παρουσία του {{pi}} στις φυσικές αρχές, στους [[Φυσικός νόμος|νόμους]] και στους τύπους μπορεί να έχει πολύ απλές εξηγήσεις. Για παράδειγμα, ο [[νόμος του Κουλόμπ]], περιγράφοντας  το [[μέγεθος]] της  [[ηλεκτροστατική δύναμη]] [[ηλεκτρικό φορτίο|δύο φορτίων]] ως ανάλογο του γινομένου των μέτρων των δύο φορτίων και αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου της απόστασης των δύο φορτίων, αναφέρει ότι σε [[Διεθνές σύστημα μονάδων|μονάδες SI]],<ref>{{MathWorld|urlname=Sphere|title=Sphere}}</ref>
:<math> F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\left|q_1 q_2\right|}{r^2}</math>.

Πέρα απ'τη σταθερά  <math>{\varepsilon_0}</math> που αντιστοιχεί στην διηλεκτρική σταθερά στο κενό, ο όρος <math>{4\pi r^2}</math> στον παρονομαστή εκφράζει την [[Επιφάνεια (μαθηματικά)|επιφάνεια]] μιας [[σφαίρα]]ς με [[ακτίνα (γεωμετρία)|ακτίνα]] <math>r</math>, έχοντας έτσι μια πολύ συγκεκριμένη έννοια. Η αριθμητική τιμή του {{pi}} είναι περίπου 3,14159. Πολλοί άνθρωποι διαγωνίζονται στο ποιος θα απομνημονεύσει περισσότερα ψηφία του {{pi}}.

[[Image:Exponential.svg|thumb|180px|right|Η εκθετική συνάρτηση (πράσινη γραμμή) περιγράφει πολλά φυσικά φαινόμενα.]]

=== Αριθμός {{mvar|e}} του Όιλερ ===
{{κύριο|e (μαθηματική σταθερά)}}
Ο αριθμός του [[Αριθμός e (μαθηματικά)|Όιλερ {{mvar|e}}]] (γνωστός και ως σταθερά του Νέιπιερ), εμφανίζεται σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών και μπορεί να οριστεί ως η τιμή του ακόλουθου ορίου:
:<math>e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>.
Για παράδειγμα, ο [[Ελβετία|Ελβετός]] μαθηματικός [[Γιακόμπ Μπερνούλι]] ανακάλυψε ότι το <math>e</math> εμφανίζεται στους [[τόκος|τόκους]]: ένας λογαριασμός που ξεκινά από 1€ με ετήσιο επιτόκιο {{math|''R''}} και με συνεχή ανατοκισμό, θα αυξηθεί κατά {{math|''e''<sup>''R''</sup>}} δολλάρια  στο τέλος του ενός έτους. Ο υπολογισμός έχει ως εξής: Αν χωρίσουμε τον χρόνο με <math>n</math> ίσα τμήματα και σε κάθε ένα υπάρχει ανατοκισμός <math>R/n</math>, τότε το τελικό ποσό μετά από έναν χρόνο είναι ίσο με
:<math>
S_n = \left( 1 + \frac{R}{n} \right)^n.
</math>
Επειδή είμαστε στον συνεχή ανατοκισμό παίρνουμε το όριο του <math>n \to \infty</math>, δηλαδή
:<math>
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} S_n 
  & = \lim_{n \to \infty} \left( \left( 1 + \frac{R}{n} \right)^{n/R} \right)^R \\
  & = \left( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{R}{n} \right)^{n/R} \right)^R \\
  & = \left( \lim_{n/R \to \infty} \left( 1 + \frac{R}{n} \right)^{n/R} \right)^R \\
  & = e^R.
\end{align}
</math>

Η σταθερά <math>e</math> έχει επίσης εφαρμογές στην [[θεωρία πιθανοτήτων]] όπου εμφανίζεται με έναν τρόπο ο οποίος φαίνεται να μην σχετίζεται με την εκθετική αύξηση. Ας υποθέσουμε ότι ένας παίκτης παίζει έναν κουλοχέρη με <math>1/n</math> πιθανότητα να κερδίσει, και παίζει <math>n</math> φορές.. Στη συνέχεια, για μεγάλα  {{mvar|n}}  (όπως ένα εκατομμύριο), η [[πιθανότητα]] ο παίκτης να μην κερδίσει ποτέ είναι περίπου {{math|1/''e''}}  και η πιθανότητα τείνει σε αυτήν την τιμή όταν το {{mvar|n}} τείνει στο άπειρο. Η πιθανότητα να μην κερδίσει ένα παιχνίδι είναι 
:<math>
  p = 1 - \frac{1}{n}
</math>.
Επειδή τα παιχνίδια είναι [[Ανεξαρτησία (Θεωρία πιθανοτήτων)|ανεξάρτητα]] η πιθανότητα να μην κερδίσει κανένα παιχνίδι είναι
:<math>
  p^n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n
</math>.
Παίρνοντας το όριο για <math>n \to \infty</math>, έχουμε ότι 
:<math>
  \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = e^{-1} = \frac{1}{e}
</math>.
Έχουμε ότι <math>1/e = 0.3678...</math> και για <math>n = 4</math> λαμβάνουμε <math>0.316...</math>, για <math>n = 5</math> λαμβάνουμε <math>0.327...</math> και για <math>n = 100</math> λαμβάνουμε <math>0.366...</math>.

Μια άλλη εφαρμογή του {{mvar|e}}, που ανακαλύφθηκε εν μέρει από τον Γιακόμπ Μπερνούλι μαζί με τον [[Γάλλος|Γάλλο]]  μαθηματικό [[Pierre Raymond de Montmort]] είναι το [[πρόβλημα διασάλευσης]].<ref>{{cite web|url=http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html|title=Introduction to probability theory|author=Grinstead, C.M.|author2=Snell, J.L.|page=85|accessdate=2007-12-09|archive-date=2011-07-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20110727200156/http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html|url-status=}}</ref> Εδώ <math>n</math> επισκέπτες καλούνται σε ένα πάρτι και στην πόρτα κάθε επισκέπτης δίνει το καπέλο του στον μπάτλερ ο οποίος τα τοποθετεί σε επίσημα κουτιά. Ο μπάτλερ δε γνωρίζει τα ονόματα των καλεσμένων και έτσι βάζει τα καπέλα τυχαία στα κουτιά. Στο τέλος του πάρτι δίνει τυχαία ένα κουτί σε κάθε καλεσμένο. Το πρόβλημα του de Montmort είναι: ποια είναι η πιθανότητα ''κανένα'' καπέλα να μην επιστραφεί στον σωστό αποδέκτη. Η απάντηση είναι:
:<math>
p_n =  1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!},
</math>
και καθώς το <math>n</math> τείνει στο άπειρο, το <math>p_n</math> προσεγγίζει το <math>1/e</math>. Το <math>e</math> εμφανίζεται και σε πολλά άλλα μέρη των πιθανοτήτων, συμπεριλαμβανομένων του [[πρόβλημα της γραμματέως|προβλήματος της γραμματέως]] και στην [[αναμενόμενη τιμή]] του μήκους μίας μονότονης ακολουθίας σε μία τυχαία [[μετάθεση (μαθηματικά)|μετάθεση]].

Ο αριθμός {{mvar|e}} είναι [[άρρητος αριθμός|άρρητος]] και η αριθμητική του τιμή είναι περίπου <math>2,7182818284</math> {{OEIS2C|A001113}}.

=== Η Πυθαγόρεια σταθερά {{math|{{sqrt|2}}}} ===
{{κύριο|Τετραγωνική ρίζα του 2}}
[[File:Square root of 2 triangle.svg|thumb|200px|Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ίση με το μήκος της υποτείνουσας ενός [[ορθογώνιο τρίγωνο|ορθογωνίου τριγώνου]] με κάθετες πλευρές μήκους 1.]]
Η '''τετραγωνική ρίζα του 2''', συχνά γνωστή και ως '''ρίζα 2''', '''ριζικό του 2''' ή '''σταθερά του Πυθαγόρα''', γράφεται ως {{math|{{sqrt|2}}}} και είναι ο θετικός [[πραγματικός αριθμός]] ο οποίος πολλαπλασιάζοντάς τον με τον εαυτό του δίνει τον αριθμό <math>2</math>. Ονομάζεται ακριβέστερα '''κύρια τετραγωνική ρίζα του 2''', για να διακρίνεται ο αριθμός αυτός απ'τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα, δηλαδή τον <math>-\sqrt{2}</math>.

Γεωμετρικά η [[τετραγωνική ρίζα]] του 2 είναι το μήκος της διαγωνίου σε ένα [[τετράγωνο]] με πλευρές μήκους ένα. Αυτό προκύπτει από το [[πυθαγόρειο θεώρημα]]. Ήταν ίσως ο πρώτος γνωστός [[Άρρητος αριθμός|άρρητος]]. Η αριθμητική του τιμή σε προσέγγιση 65 [[δεκαδικό σύστημα|δεκαδικών ψηφίων]] είναι: 
:{{gaps|1.41421|35623|73095|04880|16887|24209|69807|85696|71875|37694|80731|76679|73799...}} {{OEIS2C|id=A002193}}.
[[File:Dedekind cut- square root of two.png|thumb|right| 200px|Η τετραγωνική ρίζα του 2 στον άξονα των πραγματικών αριθμών.]]
Συχνά χρησιμοποιείται η προσέγγιση <math>99/70</math> (<math>\approx 1.41429/</math>) για την τετραγωνική ρίζα του δύο. Παρά το γεγονός ότι έχει σχετικά μικρό [[παρανομαστή]], μόλις <math>70</math> η προσέγγιση διαφέρει από την κανονική τιμή λιγότερο από <math>1/10,000</math> (περίπου <math>7,2 \cdot 10^{-5}</math>).

=== Η φανταστική μονάδα  {{mvar|i}} ===
{{κύριο|φανταστική μονάδα}}
[[File:ImaginaryUnit5.svg|thumb|right|Το  '''{{mvar|i}}''' στο μιγαδικό ή καρτεσιανό επίπεδο. Οι πραγματικοί αριθμοί βρίσκονται στον οριζόντιο άξονα και οι φανταστικοί στον κατακόρυφο.]]
Η '''φανταστική μονάδα''' ή αλλιώς '''φανταστικός αριθμός''', συμβολίζεται ως <math>i</math>, είναι μια [[μαθηματικά|μαθηματική]] έννοια που επεκτείνει το [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικό αριθμητικό σύστημα]] {{math|ℝ}}  στο [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικό αριθμητικό σύστημα]] <math>\C</math> στο οποίο κάθε [[πολυώνυμο]] <math>P(x)</math> έχει μία τουλάχιστον [[Ρίζα (μαθηματικά)|ρίζα]] (βλέπε [[αλγεβρική κλειστότητα]]  και [[θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας]]). Η βασική σχέση που ικανοποιεί η φανταστική μονάδα είναι <math>i^{2} = -1</math>. Ο όρος "[[φανταστικός αριθμός|φανταστικός]]" χρησιμοποιείται επειδή δεν υπάρχει [[πραγματικός αριθμός]] ο οποίος έχει αρνητικό [[τετράγωνο]].

Υπάρχουν δύο μιγαδικές τετραγωνικές ρίζες του <math>-1</math>, δηλαδή το <math>i</math> και το <math>-i</math>, όπως υπάρχουν δύο μιγαδικές τετραγωνικές ρίζες για κάθε άλλο πραγματικό αριθμό εκτός από το [[0 (αριθμός)|μηδέν]] που έχει μία διπλή τετραγωνική ρίζα.

Στις περιπτώσεις όπου το <math>i</math> είναι αμφίσημο ή προβληματικό, το {{mvar|j}} ή το ελληνικό [[γιώτα|{{math|ι}}]] (βλέπε [[εναλλακτικούς συμβολισμούς]]) χρησιμοποιούνται συνήθως. Στους κλάδους της [[ηλεκτρολογία]]ς και των [[συστήματα μηχανικού ελέγχου|συστημάτων μηχανικού ελέγχου]], η φανταστική μονάδα συχνά συμβολίζεται με <math>J</math> αντί του <math>i</math>, γιατί το <math>i</math>  συνήθως χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει το [[ηλεκτρικό ρεύμα]] σε αυτούς τους κλάδους.

== Σταθερές στα ανώτερα μαθηματικά ==
Παρακάτω δίνονται σταθερές που εμφανίζονται συχνά στα ανώτερα μαθηματικά.

=== Οι σταθερές του Feigenbaum {{mvar|α}} και {{mvar|δ}} ===
[[Image:LogisticMap BifurcationDiagram.png|thumb|200px|left|διάγραμμα διακλάδωσης της λογιστικής απεικόνισης.]]
Οι επαναλήψεις των συνεχών απεικονίσεων θεωρούνται από τα πιο απλά παραδείγματα μοντέλων για δυναμικά συστήματα.<ref>{{cite book|author=Collet & Eckmann|year=1980|title=Iterated maps on the inerval as dynamical systems|url=https://archive.org/details/iteratedmapsonin0000coll|publisher=Birkhauser|isbn=3-7643-3026-0}}</ref> Οι δύο σταθερές ονομάστηκαν έτσι εξαιτίας του φυσικομαθηματικού [[Mitchell Feigenbaum]] και εμφανίζονται στις εξής επαναληπτικές διαδικασίες: ως μαθηματικές σταθερές των [[λογιστική απεικόνιση|λογιστικών απεικονίσεων]] με τετραγωνικά μέγιστα σημεία<ref>{{cite book|last=Finch|first=Steven|year=2003|title=Mathematical constants|url=https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc|publisher=[[Cambridge University Press]]|page=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/67 67]|isbn=0-521-81805-2}}</ref> και τα [[Διάγραμμα διακλάδωσης|διαγράμματα διακλάδωσής]] τους.

Η λογιστική απεικόνιση είναι ένα πολυώνυμο χαρτογράφησης, συχνά δίνεται ως ένα αρχετυπικό παράδειγμα των τρόπων με τους οποίους εξηγεί  πως η [[Θεωρία του χάους|χαοτική συμπεριφορά]] μπορεί να προκύψει από πολύ απλές [[μη γραμμικός|μη-γραμμικές]] [[δυναμική εξίσωση|δυναμικές εξισώσεις]]. Η απεικόνιση δημοσιεύθηκε σε μια εργασία το 1976 από τον Αυστραλιανό βιολόγο [[Robert May]],<ref>{{cite book|first=Robert|last=May|year=1976|title=Theoretical Ecology: Principles and Applications|publisher=Blackwell Scientific Publishers|isbn=0-632-00768-0}}</ref> εν μέρει, ως ένα διακριτού-χρόνου δημογραφικό ανάλογο στη λογιστική εξίσωση που για πρώτη φορά δημιουργήθηκε από τον [[Pierre François Verhulst]]. Η [[διαφορική εξίσωση]]  προορίζεται για να συλλάβει τις δύο επιδράσεις της αναπαραγωγής και της λιμοκτονίας.

Η αριθμητική τιμή της [[σταθερά του Feigenbaum α|α]] είναι περίπου <math>2.5029</math> ({{OEIS2C|A006891}}). Η αριθμητική τιμή της [[σταθερά του Feigenbaum δ|δ]] είναι προσεγγιστικά <math>4.6692</math> ({{OEIS2C|A006890}}).

=== Η σταθερά του Apéry {{math|{{mvar|ζ}}(3)}} ===
Η [[σταθερά του Apéry]] ορίζεται ως η τιμή του αθροίσματος της παρακάτω σειράς
:<math>\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \cdots</math>.
Η σταθερά αυτή είναι ένας [[άρρητος αριθμός]] και η τιμή της είναι περίπου <math>1.2020569</math> ({{OEIS2C|A002117}}).

Παρά την ειδική σημασία της στην [[Συνάρτηση ζήτα|συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν]], η [[σταθερά του Apéry]] εμφανίζεται σε πλήθος φυσικών προβλημάτων, συμπεριλαμβανομένων των δεύτερης και τρίτης τάξης όρων της [[γυρομαγνητική αναλογία|γυρομαγνητικής αναλογίας]] του [[ηλεκτρόνιο|ηλεκτρονίου]], που υπολογίζεται με τη χρήση της [[κβαντική ηλεκτροδυναμική|κβαντικής ηλεκτροδυναμικής]]<ref>{{MathWorld|urlname=AperysConstant|title=Apéry's constant|author=Steven Finch}}</ref>.

=== Η χρυσή τομή {{mvar|φ}} ===
[[Image:Icosahedron-golden-rectangles.svg|thumb|right|Τα χρυσά παραλληλόγραμμα σε ένα [[εικοσάεδρο]].]]
{{Κύριο|Χρυσή τομή}}

<div class="thumb tleft">
<div class="thumbinner" style="width:260px;"><math>F\left(n\right)=\frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt 5}</math>
<div class="thumbcaption">Ένας αυστηρός τύπος για το <math>n</math>-οστό όρο της [[Ακολουθία Φιμπονάτσι|ακολουθίας Φιμπονάτσι]] συναρτήσει του [[αριθμός φ|φ]].</div></div></div>
Ο αριθμός [[φ (μαθηματική σταθερά)|φ]], επίσης αποκαλείται [[χρυσή τομή]], χρησιμοποιείται συχνά στη [[γεωμετρία]], ιδιαίτερα σε σχήματα με [[πεντάγωνο|πενταγωνική συμμετρία]]. Πράγματι, το μήκος της διαγωνίου ενός [[κανονικό πολύγωνο|κανονικού πενταγώνου]] είναι <math>\varphi</math> φορές την πλευρά του. Οι κορυφές ενός κανονικού εικοσαέδρου είναι εκείνες των τριών αμοιβαία καθέτων [[χρυσό ορθογώνιο|χρυσών ορθογωνίων]]. Επίσης, εμφανίζεται στην [[ακολουθία Φιμπονάτσι]], και καθορίζει την εκθετική της αύξηση.<ref>{{cite book|last=Livio|first=Mario|year=2002|title=The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number|publisher=Broadway Books|location=New York|isbn=0-7679-0815-5|url-access=registration|url=https://archive.org/details/goldenratiostory00livi}}</ref> Η χρυσή τομή έχει την πιο αργή σύγκλιση από οποιοδήποτε [[Άρρητος αριθμός|άρρητο αριθμό]].<ref>[http://plus.maths.org/content/chaos-numberland-secret-life-continued-fractions "The Secret Life of Continued Fractions"]</ref> Είναι, για αυτόν τον λόγο, μία από τις χειρότερες περιπτώσεις του [[θεώρημα προσέγγισης του Λαγκράνζ|θεωρήματος προσέγγισης του Λαγκράνζ]] και μια ακραία περίπτωση της ανισότητας του [[Hurwitz]] για τις [[διοφαντική προσέγγιση|διοφαντικές προσεγγίσεις]]. Αυτή ίσως μπορεί να είναι η εξήγηση γιατί οι γωνίες που βρίσκονται κοντά στη χρυσή αναλογία συχνά απεικονίζονται στην [[phyllotaxis]] (ανάπτυξη των φυτών)<ref>[http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat2.html Fibonacci Numbers and Nature - Part 2 : Why is the Golden section the "best" arrangement?], στο [http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/ Dr. Ron Knott's] [http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/ Fibonacci Numbers and the Golden Section], retrieved 2012-11-29.</ref>. Ο αριθμός <math>\varphi = \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> και προσεγγιστικά είναι ίσος με <math>1,61803398874</math> ({{OEIS2C|A001622}}).

=== Η σταθερά {{mvar|γ}} των Όιλερ-Mascheroni ===
Η [[σταθερά Όιλερ-Mascheroni]] είναι μια σταθερά που ορίζεται ως το εξής όριο:
:<math>
  \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \left( \sum_{i = 1}^n \frac{1}{i} \right) - \ln n\right)
</math>.
Η σταθερά των Όιλερ-Mascheroni εμφανίζεται, στο [[τρίτο θεώρημα του Merten]] και έχει σχέση με την [[συνάρτηση γάμμα]], τη [[συνάρτηση ζήτα]] και πολλά άλλα [[ολοκλήρωμα|ολοκληρώματα]] και [[σειρά|σειρές]]. Ο ορισμός της σταθεράς των Euler-Mascheroni παρουσιάζει στενή σχέση μεταξύ των [[Διακριτά μαθηματικά|διακριτών]] και των [[Συνέχεια συνάρτησης|συνεχών μαθηματικών]]. Η αριθμητική τιμή της <math>\gamma</math> είναι περίπου <math>0,57721</math> ({{OEIS2C|A001620}}).

=== Η σταθερά {{mvar|λ}} του Κόνγουεϊ ===
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:80px;"><math>\begin{matrix} 1 \\ 11 \\ 21 \\ 1211 \\ 111221 \\ 312211 \\ \vdots \end{matrix}</math>
<div class="thumbcaption"> η [[ακολουθία look-and-say|ακολουθία look-and-say του Κόνγουεϊ]]</div></div></div>

Η [[σταθερά του Κόνγουεϊ]] είναι ο αναλλοίωτος ρυθμός αύξησης όλων των συμβολοσειρών που προέρχονται παρόμοια με την [[ακολουθία look-and-say]]  (με εξαίρεση μερικές τετριμμένες),<ref name="ReferenceA">{{MathWorld|urlname=ConwaysConstant|title=Conway's Constant|author=Steven Finch}}</ref> και συνήθως συμβολίζεται ως <math>\lambda</math>.

Δίνεται από τη μοναδική θετική πραγματική ρίζα ενός [[Πολυώνυμο|πολυωνύμου]] 71<sup>ου</sup> βαθμού  με ακέραιους συντελεστές.<ref name="ReferenceA"/> Η τιμή του <math>\lambda</math> είναι περίπου <math>1,30357</math> ({{OEIS2C|A014715}}).

===Η σταθερά {{mvar|K}} του Khinchin===

Εάν ένας πραγματικός αριθμός <math>r</math> είναι γραμμένος ως ένα [[συνεχές κλάσμα|απλό συνεχές  κλάσμα]]:
:<math>r=a_0+\dfrac{1}{a_1+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{a_3+\cdots}}}</math>,
όπου <math>a_k</math> είναι [[φυσικός αριθμός|φυσικοί αριθμοί]] για όλα τα <math>k</math>, τότε, σύμφωνα με το [[Ρωσία|Ρώσο]] μαθηματικό  [[Aleksandr Khinchin]], ο οποίος  απέδειξε το 1934, ότι το όριο του [[γεωμετρικός μέσος|γεωμετρικού μέσου]] <math>(a_1 a_2 \cdot \ldots \cdot a_n)^{1/n}</math> όσο το <math>n</math> τείνει προς το [[άπειρο]], υπάρχει και μάλιστα είναι μια σταθερά, η [[σταθερά Κ του Khinchin]], (σε όλα τα συνεχή κλάσματα εκτός από ένα [[σύνολο μέτρου 0]]).<ref>{{cite book|first=Marc |last=Kac |title=Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory|url=https://archive.org/details/statisticalindep0000mark |publisher=Mathematical Association of America|year=1959}}</ref><ref>{{MathWorld|urlname=KhinchinsConstant|title=Khinchin's Constant|author=Steven Finch}}</ref>

Η αριθμητική τιμή του <math>K</math> είναι περίπου <math>2,6854520010</math> ({{OEIS2C|A002210}}).

=== Η σταθερά {{mvar|A}} των Glaisher-Kinkelin ===
Η [[σταθερά Α των Glaisher-Kinkelin|σταθερά {{mvar|Α}} των Glaisher-Kinkelin]] ορίζεται ως το όριο:
:<math>A=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\prod_{k=1}^{n}k^k}{n^{n^2/2+n/2+1/12} e^{-n^2/4}}</math>.
Πρόκειται για μία σημαντική σταθερά η οποία εμφανίζεται σε πολλούς τύπους για την παράγωγο της [[συνάρτηση ζήτα|συνάρτησης ζήτα]] του [[Μπέρναρντ Ρίμαν|Ρίμαν]]. Η τιμή της {{mvar|Α}} είναι περίπου <math>1,2824271291</math> ({{OEIS2C|A074962}}).

== Μαθηματικές ανησυχίες και απροσδιόριστες σταθερές ==

=== Απλοί εκπρόσωποι συνόλων αριθμών ===
Μερικές σταθερές, όπως η [[τετραγωνική ρίζα του 2]], η [[σταθερά Λιουβίλ]] και η [[σταθερά Champernowne]] 
:<math>C_{10} = 0.{\color{blue}{1}}2{\color{blue}{3}}4{\color{blue}{5}}6{\color{blue}{7}}8{\color{blue}{9}}10{\color{blue}{11}}12{\color{blue}{13}}14{\color{blue}{15}}16\dots</math>
δεν είναι σημαντικές μαθηματικές σταθερές αλλά εξακολουθούν να έχουν ενδιαφέρον γιατί αποτελούν απλούς εκπροσώπους ειδικών συνόλων αριθμών όπως των [[Άρρητος αριθμός|άρρητων]]<ref>{{cite web|url=http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml|title=Square root of 2 is irrational|first=Alexander|last=Bogomolny}}</ref> , των [[Υπερβατικός αριθμός|υπερβατικών]]<ref>{{cite journal|title=On Transcendental Numbers|author=Aubrey J. Kempner|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=17|issue=4|year=Oct 1916|pages=476–482|doi=10.2307/1988833|publisher=Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 17, No. 4|jstor=1988833}}</ref>
και των [[κανονικός αριθμός|κανονικών]] αριθμών (με βάση το 10)<ref>{{cite journal|title=The onstruction of decimals normal in the scale of ten|first=David|last=Champernowne |journal=Journal of the London Mathematical Society|volume=8|year=1933|pages=254–260|doi=10.1112/jlms/s1-8.4.254|issue=4}}</ref> αντίστοιχα. Η ανακάλυψη των [[Άρρητος αριθμός|άρρητων]] αριθμών αποδίδεται συνήθως στον [[Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι|Πυθαγόρειο]] φιλόσοφο [[Ίππασος|Ίππασο τον «Μεταπόντιο»]] ο οποίος απέδειξε, κατά πάσα πιθανότητα με [[γεωμετρία|γεωμετρικό]] τρόπο, ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητος αριθμός. Όσον αφορά τη σταθερά του Λιουβίλ,η οποία πήρε το όνομα της από το [[Γάλλος|Γάλλο]] μαθηματικό [[Ζοζέφ Λιουβίλ]], ήταν ο πρώτος αριθμός που αποδείχθηκε ότι ήταν υπερβατικός.<ref>{{MathWorld|urlname=LiouvillesConstant|title=Liouville's Constant}}</ref>

=== Σταθερά {{mvar|Ω}} του Τσάιτιν ===
Στην [[θεωρητική πληροφορική]] και την [[θεωρία πληροφορίας]], η [[σταθερά του Τσάιτιν]] είναι ο πραγματικός αριθμός που αντιπροσωπεύει την [[Πιθανότητες|πιθανότητα]] με την οποία μια τυχαία επιλεγμένη [[Μηχανή Τούρινγκ]] θα τερματήσει. Η σταθερά του Τσάιτιν δημιουργηθηκε από τον [[Αργεντινο-Αμερικανός|Αργεντινο-Αμερικανό]] μαθηματικό και [[Επιστήμονας υπολογιστών|επιστήμονα ηλεκτρονικών υπολογιστών]] [[Γκρέγκορυ Τσάιτιν]].Η σταθερα αυτή, αν και δε μπορεί να [[υπολογίσιμος αριθμός|υπολογιστεί με ακρίβεια]], έχει αποδειχθεί πως είναι [[Υπερβατικός αριθμός|υπερβατικός]] και [[κανονικός αριθμός|κανονικός]] αριθμός. Η σταθερά δεν είναι καθολική, αφού εξαρτάται σημαντικά από την εκάστοτε αριθμιτική κωδικοποίηση που χρησιμοποιείται για τις μηχανές Τιούρινγκ, ωστόσο οι ενδιαφέρουσες ιδιότητες της είναι ανεξάρτητες της κωδικοποίησης που χρησιμοποιείται.

=== Απροσδιόριστες σταθερές ===
Όταν δεν προσδιορίζονται, οι σταθερές υποδηλώνουν κλάσεις παρόμοιων αντικειμένων, συνήθως [[συνάρτηση|συναρτήσεων]], οι οποίες αντιπροσοπεύονται από μία σταθερά. Τέτοιες σταθερές συναντώνται συχνά όταν ασχολούμαστε με [[Ολοκλήρωμα|ολοκληρώματα]] και [[διαφορικές εξισώσεις]]. Παρ' όλο που δεν προσδιόριζονται, εχουν συγκεκριμένη τιμή, η οποία πολλές φορές δεν παίζει σημαντικό ρόλο στη λυση του προβλήματος.

==== Στα ολοκληρώματα ====
Τα [[αόριστο ολοκλήρωμα|αόριστα ολοκληρώματα]] ονομάζονται έτσι διότι οι λύσεις τους διαφέρουν μόνο σε μια σταθερά. Για παράδειγμα, όταν δουλεύουμε στους [[πραγματικός αριθμός|πραγματικούς αριθμούς]], έχουμε ότι
:<math>\int\cos x\ dx=\sin x+C</math>
όπου <math>C</math>, η [[σταθερά ολοκληρώσεως]], είναι ένας αυθαίρετος σταθερός πραγματικός αριθμός.<ref>{{cite book|title=Calculus with analytic geometry|first=Henry|last=Edwards|author2=David Penney|edition=4η|page=[https://archive.org/details/calculuswithanal0000edwa/page/269 269]|publisher=Prentice Hall|isbn=0-13-300575-5|year=1994|url=https://archive.org/details/calculuswithanal0000edwa/page/269}}</ref> Με άλλα λόγια, οποιαδήποτε κι αν είναι η τιμή της σταθεράς <math>C</math> ,η [[παράγωγος]] του <math>\sin x + C</math>  ως προς <math>x</math> πάντοτε δίνει <math>\cos x</math>.

==== Στις διαφορικές εξισώσεις ====

Με παρόμοιο τρόπο, σταθερές εμφανίζονται στις λύσεις [[διαφορικές εξισώσεις|διαφορικών εξισώσεων]] στις οποίες δεν δίνονται αρκετές [[αρχική τιμή|αρχικές τιμές]] ή [[συνθήκη περιορισμών|συνθήκες περιορισμών]]. Για παράδειγμα, η [[συνήθης διαφορική εξίσωση]]
:<math>\tfrac{df}{dx} = f(x)</math>,
έχει λύση την <math>f(x) = Ce^x</math> όπου το <math>C</math> είναι αυθαίρετη σταθερά.

Όταν ασχολούμαστε με [[μερικές διαφορικές εξισώσεις]], οι σταθερές ίσως είναι [[Συνάρτηση|συναρτήσεις,]] δηλαδή μπορεί να είναι συναρτήσεις ως προς μεταβλητές οι οποίες δεν είναι μεταβλητές παραγώγισης. Για παράδειγμα, η [[μερική διαφορική εξίσωση]]
:<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=0</math>,
έχει λύσεις <math>f(x, y) = C(y)</math>, όπου <math>C(y)</math> είναι αυθαίρετη συνάρτηση της [[Μεταβλητή (μαθηματικά)|μεταβλητής]] <math>y</math>.

== Συμβολισμός ==

=== Αναπαράσταση σταθερών ===
Είναι συνηθισμένο να εκφράζουμε την αριθμητική τιμή μιας σταθεράς χρησιμοποιώντας τη [[Δεκαδικό σύστημα|δεκαδική της αναπαράσταση]] (ή τουλάχιστον κάποια από τα πρώτα ψηφία της αναπαράστασης). Αυτή η αναπαράσταση όμως ίσως προκαλέσει προβλήματα για δύο λόγους. Πρώτον, παρ' όλο που όλοι οι ρητοί έχουν πεπερασμένο ή συνεχώς επαναλαμβανόμενο δεκαδικό ανάπτυγμα, οι άρρητοι ωστόσο δεν έχουν τέτοιου είδους έκφραση κι αυτό τους καθιστά αδύνατο να περιγραφούν εντελώς με τέτοιο τρόπο. Επίσης, το δεκαδικό ανάπτυγμα ενός αριθμού δεν είναι απαραίτητα μοναδικό. Για παράδειγμα, οι δύο αναπραστάσεις [[0.999]] και 1 είναι ισοδύναμες<ref>{{cite book|last=Rudin |first=Walter |title=Principles of mathematical analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |edition=3η |year=1976 |origyear=1953 |publisher=McGraw-Hill |isbn=0-07-054235-X|at=σελ.61 θεώρημα 3.26}}</ref><ref>{{cite book|last=Stewart|first=James|title=Calculus: Early transcendentals|edition=4η|year=1999|publisher=Brooks/Cole|isbn=0-534-36298-2|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00stew/page/706 706]|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew/page/706}}</ref> με την έννοια ότι αντιπροσωπεύουν τον ίδιο αριθμό.

Ο υπολογισμός του δεκαδικού αναπτύγματος των σταθερών έχει αποτελέσει συνηθισμένο εγχείρημα ανά τους αιώνες. Για παράδειγμα ο [[Γερμανός]] μαθηματικός [[Ludolph van Ceulen]] που έζησε το 16ο αιώνα αφιέρωσε σημαντικό κομμάτι της ζωής του στον υπολογισμό των πρώτων 35 ψηφίων του {{pi}}π.<ref>[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Van_Ceulen.html Ludolph van Ceulen] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150707160846/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Van_Ceulen.html |date=2015-07-07 }} – biography at the MacTutor History of Mathematics archive.</ref> Χρησιμοποιώντας υπολογιστές και [[Υπερυπολογιστής|υπερ-υπολογιστές]] έχουν υπολογιστεί περισσότερα από εκατό δισεκατομμύρια ψηφία κάποιων μαθηματικών σταθερών συμπεριλαμβανομένων του {{pi}}, του <math>e</math> και της τετραγωνικής ρίζας του 2. Έχουν αναπτυχθεί γρήγοροι [[Αλγόριθμος|αλγόριθμοι]], κάποιοι από τους οποίους - όπως αυτός για τη [[σταθερά του Apéry]]- είναι απροσδόκητα γρήγοροι.

<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:260px;"><math>G=\left . \begin{matrix} 3 \underbrace{ \uparrow \ldots \uparrow } 3 \\ \underbrace{\vdots } \\ 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3 \end{matrix} \right \} \text{64 layers}</math>
<div class="thumbcaption">Ο [[αριθμός Graham]] ορίζεται χρησιμοποιώντας τον [[συμβολισμό του Κνουθ με άνω βέλος]].</div></div></div>

Κάποιες σταθερές διαφέρουν τόσο πολύ από το συνηθισμένο είδος ώστε έχει εφευρεθεί ένας νέος συμβολισμός για να τις αναπαριστούμε ικανοποιητικά. Κάτι τέτοιο απεικονίζεται στη διπλανή εικόνα στον [[αριθμός του Graham|αριθμό του Graham]], όπου χρησιμοποιείται ο [[συμβολισμός του Κνουθ με άνω βέλος]].<ref>{{cite journal|journal=Science|last=Knuth|first=Donald|authorlink=Donald Knuth|title=Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness. Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations|volume=194|pages=1235–1242|year=1976|pmid=17797067|issue=4271|doi=10.1126/science.194.4271.1235}}</ref><ref name="Site 1">{{cite web|url=http://www.po28.dial.pipex.com/maths/constant.htm|title=mathematical constants|accessdate=2007-11-27|archiveurl=https://archive.today/20120907101833/http://www.po28.dial.pipex.com/maths/constant.htm|archivedate=2012-09-07|url-status=dead}}</ref>

Πολλές φορές τις αναπαριστάμε χρησιμοποιώντας [[συνεχές κλάσμα|συνεχή κλάσματα]] όταν διεξάγουμε διάφορες έρευνες, όπως στατιστικές αναλύσεις. Πολλές μαθηματικές σταθερές έχουν μια [[αναλυτική μορφή]], αυτό σημαίνει ότι μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας ευρέως γνώστες πράξεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για τον υπολογισμό τους. Δεν έχουν όλες οι σταθερές αναλυτικές μορφές όπως συμβαίνει για παράδειγμα με τη [[σταθερά Grossman]]<ref>{{MathWorld|urlname=GrossmansConstant|title=Grossman's constant}}</ref> και τη [[σταθερά Foias]].<ref>{{MathWorld|urlname=FoiasConstant|title=Foias' constant}}</ref>

=== Συμβολισμός και ονομασία των σταθερών ===
Η χρήση γραμμάτων για το συμβολισμό των σταθερών είναι ένας τρόπος που χρησιμοποιείται συχνά για να κάνουμε το [[μαθηματικός συμβολισμός|συμβολισμό]] πιο συνοπτικό. Μια καθιερωμένη [[σύμβαση]], η οποία ξεκίνησε από τον [[Λέοναρντ Όιλερ]] το 18ο αιώνα,είναι η χρήση [[πεζά γραμμάτα|πεζών γραμμάτων]] από την αρχή του [[Λατινικό αλφάβητο|λατινικού αλφαβήτου]], δηλαδή <math>a, b, c, \ldots</math> ή του [[Ελληνικό αλφάβητο|ελληνικού αλφαβήτου]] <math>\alpha, \beta, \gamma,\ldots</math> για την ονομασία των σταθερών.

Ωστόσο, για κάποιες πιο σημαντικές σταθερές, τα σύμβολα μπορεί να είναι πιο περίπλοκα και να έχουν κάποιο επιπλέον γράμμα, [[αστερίσκος|αστερίσκο]], αριθμό, [[λημνίσκος του Bernoulli|λημνίσκο]] ή χρήση γραμμάτων από άλλα αλφάβητα όπως το [[Εβραϊκό αλφάβητο|εβραϊκό]],το [[Σλαβικές γλώσσες|κυριλικικό]] ή το [[γοτθικό αλφάβητο(Blackletter)|γοτθικό]].<ref name="Site 1"/>

<div class="thumb tleft">
<div class="thumbinner" style="width:420px;"><math>\mathrm{googol}=10^{100}\,\ ,\ \mathrm{googolplex}=10^\mathrm{googol}=10^{10^{100}}\,</math>
</div></div>

Μερικές φορές το σύμβολο που αναπαριστά μια σταθερά είναι μια ολόκληρη λέξη. Για παράδειγμα, ο 9χρονος ανιψιός του [[Αμερικανός|αμερικανού]] μαθηματικού [[Edward Kasner]] επινόησε τα ονόματα [[googol]] και [[googolplex]].<ref name="Site 1"/><ref>{{cite book|title=Mathematics and the Imagination|publisher=[[Microsoft Press]]|year=1989|page=23|author=Edward Kasner and James R. Newman}}</ref>

Γενικότερα, τα ονόματα των σταθερών συνδέονται είτε με τη σημασία της σταθεράς ([[καθολική παραβολική σταθερά]], [[σταθερά δίδυμων πρώτων|σταθερά των δίδυμων πρώτων αριθμών]], ..) είτε με κάποιο συγκεκριμένο πρόσωπο ([[σταθερά Sierpiński]], [[σταθερά Josephson]], ..).

== Δείτε επίσης ==
* [[π (μαθηματική σταθερά)]]
* [[e (μαθηματική σταθερά)]]
* [[Χρυσή τομή]]
* [[Τετραγωνική ρίζα του 2]]
* [[Τετραγωνική ρίζα του 3]]
* [[Τετραγωνική ρίζα του 5]]

== Παραπομπές ==
<references />

[[Κατηγορία:Μαθηματικές σταθερές| ]]