Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Μεσοπαράλληλη ευθεία

[[Αρχείο:Mesoparallel line.svg|thumb|right|220px|Η μεσοπαράλληλη <math>\mu</math> δύο παράλληλων ευθειών <math>\varepsilon_1</math> και <math>\varepsilon_2</math> αποτελείται από όλ τα σημεία που ισαπέχουν από τις δύο ευθείες.]]
Στην [[γεωμετρία]], '''μεσοπαράλληλη ευθεία''' (ή απλά '''μεσοπαράλληλη''' ή '''μεσοπαράλληλος''') δύο [[παράλληλες ευθείες|παράλληλων ευθειών]] είναι η ευθεία που είναι παράλληλη στις δύο άλλες και ισαπέχει από αυτές.<ref name="T57">{{cite book |last=Τόγκας |first=Πέτρος Γ. |title=Θεωρητική Γεωμετρία |year=1957 |publisher=Πέτρου Γ. Τόγκα |location=Αθήνα}}</ref>{{rp|149-150}}<ref>{{cite book |last=Κουρκουλος |first=Αγγ. Μ. |title=Η γεωμετρία του υποψηφίου ανωτάτων σχολών Τόμος Α' Επιπεδομετρία |publisher=Σ. Ε. Χαλκιαδάκης}}</ref>{{rp|117}}

Η κύρια ιδιότητα της μεσοπαράλληλης είναι ότι είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις δύο παράλληλες ευθείες.

==Η μεσοπαράλληλη ως γεωμετρικός τόπος==

{{Μαθηματικό θεώρημα|Η μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις δύο ευθείες.}}

{{Μαθηματική απόδειξη|
[[File:Mesoparallel line proof.svg|thumb|Σχήμα απόδειξης για την μεσοπαράλληλη.]]

Έστω <math>\varepsilon_1</math>, <math>\varepsilon_2</math> δύο παράλληλες ευθείες και <math>\mu</math> παράλληλη ευθεία η οποία ισαπέχει από αυτές τις δύο, δηλαδή υπάρχει σημείο <math>\rm \Sigma</math> της <math>\mu</math> τέτοιο ώστε <math>{\rm \Sigma K} = {\rm \Sigma \Lambda}</math>, όπου <math>\rm K</math> και <math>\rm \Lambda</math> τα [[ίχνος (σημείο)|ίχνη]] του <math>\rm \Sigma</math> στις <math>\varepsilon_1</math> και <math>\varepsilon_2</math> αντίστοιχα.

Έστω <math>\rm \Sigma'</math> ένα τυχόν σημείο της <math>\mu</math>, και <math>\rm K'</math> και <math>\rm \Lambda'</math> τα ίχνη της στις <math>\varepsilon_1</math> και <math>\varepsilon_2</math>. Το τετράπλευρο <math>\rm K\Sigma \Sigma' K'</math> είναι [[παραλληλόγραμμο]] (καθότι έχει τις πλευρές του παράλληλες), επομένως <math>{\rm \Sigma K} = {\rm \Sigma' K'}</math>. Αντίστοιχα, το <math>\rm  \Lambda \Sigma \Sigma' \Lambda'</math> είναι παραλληλόγραμμο και <math>{\rm \Sigma \Lambda} = {\rm \Sigma' \Lambda'}</math>. Καθώς <math>{\rm \Sigma K } = {\rm \Sigma \Lambda}</math>, καταλήγουμε ότι <math>{\rm \Sigma' K' } = {\rm \Sigma' \Lambda'}</math>, και άρα το <math>\rm \Sigma'</math> ισαπέχει από τις <math>\varepsilon_1</math> και <math>\varepsilon_2</math>.

Για το αντίστροφο, έστω <math>\Sigma'</math> ένα σημείο που ισαπέχει από τις <math>\varepsilon_1</math> και <math>\varepsilon_2</math>, δηλαδή <math>{\rm \Sigma' K' } = {\rm \Sigma' \Lambda'}</math>. Καθώς <math>{\rm \Sigma'K'} \perp \varepsilon_1</math> και <math>{\rm \Sigma'\Lambda'} \perp \varepsilon_2</math>, και οι <math>\varepsilon_1</math> και <math>\varepsilon_2</math> είναι παράλληλες, έχουμε ότι τα <math>\rm \Sigma', K', \Lambda'</math> είναι συνευθειακά σημεία. Επειδή <math>{\rm \Sigma K } = {\rm \Sigma \Lambda}</math> και <math>{\rm \Sigma' K' } = {\rm \Sigma' \Lambda'}</math>, από το [[Θεώρημα τομής του Θαλή|αντίστροφο του θεωρήματος τομής του Θαλή]], έχουμε ότι <math>{\rm \Sigma\Sigma'} \parallel \varepsilon_1</math>. Τέλος από κάθε σημείο υπάρχει μόνο μία παράλληλη προς μια ευθεία, άρα το <math>\rm \Sigma'</math> ανήκει στην <math>\mu</math>.
}}
== Αναλυτική γεωμετρία == 
Έστω δύο παράλληλες ευθείες 
:<math>(\varepsilon_1): y = \lambda x + \beta_1</math>, 
:<math>(\varepsilon_2): y = \lambda x + \beta_2</math>.
Η μεσοπαράλληλη τους είναι η ευθεία
:<math>(\mu): y = \lambda x + \frac{\beta_1 + \beta_2}{2}</math>.
{{Μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
Η μεσοπαράλληλη <math>\mu</math> ώντας παράλληλη στις άλλες δύο ευθείες πρέπει να έχει την μορφή 
:<math>(\mu): y = \lambda x + \beta</math>,
για κάποια σταθερά <math>c</math>. Για να υπολογίσουμε την σταθερά <math>c</math>, θεωρούμε το <math>x = 0</math> όπου στην ευθεία <math>\varepsilon_1</math> ανήκει το σημείο <math>(0, \beta_1)</math> και στην ευθεία <math>\varepsilon_2</math> ανήκει το σημείο <math>(0, \beta_2)</math>. Συνεπώς, στην <math>\mu</math> ανήκει το σημείο στο μέσο αυτών που είναι το σημείο
:<math>\left(0, \frac{\beta_1+\beta_2}{2}\right)</math>.
Επομένως, καταλήγουμε ότι <math>\beta = \tfrac{\beta_1 + \beta_2}{2}</math>.
}}
== Ιδιότητες ==
* Η μεσοπαράλληλη δύο ευθειών <math>\varepsilon_1</math> και <math>\varepsilon_2</math> είναι και ο [[άξονας συμμετρίας]] τους.
* Τα σημεία των ευθειών <math>\varepsilon_1</math> και <math>\varepsilon_2</math> είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν <math>d</math> από την ευθεία <math>\mu</math>, όπου <math>2d</math> είναι απόσταση της <math>\varepsilon_1</math> και <math>\varepsilon_2</math>.

== Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ==

# Θεωρούμε ένα τυχόν σημείο <math>\rm A</math> της <math>\varepsilon_1</math> και δύο σημεία <math>\rm B_1</math> και <math>\rm B_2</math> της ευθείας <math>\varepsilon_2</math>.
# [[Μέσο_(σημείο)#Γεωμετρική_κατασκευή|Κατασκευάζουμε τα μέσα]] <math>\rm M_1</math> και <math>\rm M_2</math> των <math>\rm AB_1</math> και <math>\rm AB_2</math> αντίστοιχα.
# Η ευθεία που διέρχεται από τα <math>\rm M_1</math> και <math>\rm M_2</math> είναι η μεσοπαράλληλος.

== Δείτε επίσης ==
* [[Διχοτόμος γωνίας]]

== Παραπομπές ==
<references/>

{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:Μεσοπαράλληλη ευθεία}}
{{Γεωμετρικοί τόποι στην ευκλείδεια γεωμετρία||state=expanded}}
{{ευθεία|state=expanded}}
{{Portal bar|Μαθηματικά}}

[[Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία]]
[[Κατηγορία:Ευθείες]]
[[Κατηγορία:Γεωμετρικοί τόποι]]
[[Κατηγορία:Γεωμετρικές κατασκευές]]
[[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία]]