Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Νιφάδα του Κοχ

[[Αρχείο:Koch snowflake (RGB-CMY).jpg|μικρογραφία|275x275εσ|Καλλιτεχνική απόδοση μιας νιφάδας του Κοχ. Ονομάζουμε την καμπύλη που περιγράφει το περίγραμμα του σχήματος νιφάδα του Κοχ.]]
Η '''νιφάδα του Κοχ''' είναι μία από τις πρώτες καμπύλες [[φράκταλ]] που περιγράφηκαν, πολύ πριν ο όρος «[[φράκταλ]]» επινοηθεί από τον [[Μπενουά Μάντελμπροτ]].

Εφευρέθηκε το 1904 από τον Σουηδό μαθηματικό Χέλγκε φον Κοχ<ref>H. von Koch, « Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire », Arkiv för matematik, astronomi och fysik, vol. 1, 1904, p. 681-704.</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.sophiararebooks.com/pages/books/3660/helge-von-koch/sur-une-courbe-continue-sans-tangente-obtenue-par-une-construction-geometrique-elementaire|title=Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire by Helge von KOCH on SOPHIA RARE BOOKS|last=www.bibliopolis.com|website=SOPHIA RARE BOOKS|language=en-US|accessdate=2023-09-20}}</ref>.

==Καμπύλη του Κοχ==
[[File:Droite Koch.png|thumb|Τα 4 πρώτα στάδια της κατασκευής.]]
[[File:Koch anime.gif|thumb|Οι πρώτες 6 διαδοχικές καμπύλες σε κινούμενες εικόνες.]]

Μπορεί να δημιουργηθεί από ένα τμήμα γραμμής τροποποιώντας αναδρομικά κάθε τμήμα γραμμής ως εξής:

#Διαχωρίζουμε το ευθύγραμμο τμήμα σε τρία τμήματα ίσου μήκους.
#Κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με βάση το μέσο τμήμα από το πρώτο βήμα.
#Αφαιρούμε το δεξιό τμήμα που ήταν η βάση του τριγώνου στο δεύτερο βήμα.

Μετά από αυτά τα τρία βήματα, το προκύπτον αντικείμενο έχει σχήμα παρόμοιο με τη διατομή ενός καπέλου μάγισσας.

Η καμπύλη του Κοχ είναι η ένωση των κορυφών των πολυγωνικών γραμμών που προκύπτουν όταν τα παραπάνω βήματα επαναλαμβάνονται επ' αόριστον.

Μια επέκταση της έννοιας της διάστασης επιτρέπει να αποδοθεί στην καμπύλη Koch μια φράκταλ (μη ακέραια) διάσταση της οποίας η τιμή είναι<ref>Une démonstration figure dans « Les fractales », ''[[:fr:Tangente (magazine)|Tangente]]'' HS, {{numéro}}18, {{p.|26}}.</ref><ref>{{MathWorld|nom_url=KochSnowflake|titre=Koch Snowflake}}.</ref><ref>[https://archive.wikiwix.com/cache/index2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.math.nus.edu.sg%2Faslaksen%2Fgem-projects%2Fmaa%2F0304-2-02-Moire_Patterns_and_Fractals.pdf%2Findex.html#federation=archive.wikiwix.com&tab=url Moire patterns fractals].</ref>
: <math>d = \frac{\ln4}{\ln3}\approx 1{,}26</math>

Η καμπύλη του Κοχ είναι ένα παράδειγμα καμπύλης που είναι συνεχής, αλλά δεν μπορεί να διαχωριστεί σε κάθε σημείο της.

Μπορούμε να θεωρήσουμε τη νιφάδα του Κοχ ως τον ελκυστή μιας οικογένειας συστολών, γεγονός που μας επιτρέπει να αποδείξουμε, για παράδειγμα, ότι είναι ένα συμπαγές του R²<ref>{{Cite web|url=https://archive.wikiwix.com/cache/index2.php?url=http://cyrille.nathalie.free.fr/math/mathcurve/koch.shtml.htm#federation=archive.wikiwix.com&tab=url|title=Courbe de Koch|website=archive.wikiwix.com|accessdate=2023-09-20}}</ref>.

==Νιφάδα του Κοχ==
[[File:Von Koch curve.gif|thumb|upright=0.8|Δημιουργία της νιφάδας του Κοχ]]

Η νιφάδα του Κοχ δημιουργείται με τον ίδιο τρόπο όπως και το προηγούμενο φράκταλ, ξεκινώντας με ένα ισόπλευρο τρίγωνο αντί για μια ευθεία γραμμή και κάνοντας τις αλλαγές προσανατολίζοντας τα τρίγωνα προς τα έξω. Για ένα αρχικό τρίγωνο (βήμα 0) περιμέτρου p, η περίμετρος της νιφάδας στο βήμα n είναι (4/3)np.

Μπορούµε επίσης να ξεκινήσουµε µε ένα εξάγωνο και να εργαστούµε προσανατολίζοντας τα τρίγωνα προς τα µέσα.

Και στις δύο περιπτώσεις, μετά από μερικές επαναλήψεις λαμβάνουμε ένα σχήμα που θυμίζει κανονική νιφάδα χιονιού.

Όπως και η καμπύλη, η χιονονιφάδα Koch έχει άπειρο μήκος και πεπερασμένο εμβαδόν. Αυτό είναι ίσο με τα 8/5 του εμβαδού του αρχικού τριγώνου, λόγω της κατασκευής μόλις 3 τριγώνων στο πρώτο στάδιο.

Είναι δυνατή η επίστρωση του επιπέδου μόνο με τη χρήση αντιγράφων της νιφάδας του Κοχ σε δύο διαφορετικά μεγέθη<ref>{{Cite journal|title=78.13 Fractal tilings|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/7813-fractal-tilings/9DF3195C75314ED807AA6FD8B8132A4D|journal=The Mathematical Gazette|date=1994-07|issn=0025-5572|pages=193–196|volume=78|issue=482|doi=10.2307/3618577|language=en|first=Aidan|last=Burns}}</ref><ref>{{Cite journal|title=79.51 Tiling the plane with similar polygons of two sizes|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/7951-tiling-the-plane-with-similar-polygons-of-two-sizes/8159E392A87A130FAC98821BF2C2C6E0|journal=The Mathematical Gazette|date=1995-11|issn=0025-5572|pages=560–561|volume=79|issue=486|doi=10.2307/3618091|language=en|first=John|last=Rigby}}</ref>.

==Παραλλαγές της καμπύλης φον Κοχ==
Ακολουθώντας την ιδέα του von Κοχ, έχουν επινοηθεί διάφορες παραλλαγές, λαμβάνοντας υπόψιν ορθές γωνίες ("τετραγωνική"), άλλες γωνίες (" φράκταλ του Σεζάρο") ή επεκτάσεις σε υψηλότερες διαστάσεις ("σφαιρική νιφάδα", "επιφάνεια Κοχ").

{| border="0" cellpadding="4" rules="all" style="border: 1px solid #999; background-color:#FFFFFF"
|- align="center" bgcolor="#cccccc"
! align="center" bgcolor="#cccccc"| Mεταβλητή
! align="center" bgcolor="#cccccc"| Εικόνα
! align="center" bgcolor="#cccccc"| Κατασκευή
|-
| 1D & γωνία = 85°|| [[File:Koch Curve 85degrees.png|thumb|center|150px| φράκταλ του Σεζάρο.]]|| Το φράκταλ του Σεζάρο είναι μια γενίκευση της καμπύλης Κοχ με γωνία μεταξύ 60° και 90° (εδώ 85°).
|-
| 1D & 90°|| [[File:Quadratic Koch 2.png|thumb|center|150px|Τετραγωνική καμπύλη του Κοχ (τύπου 1)]]|| align="left"| [[File:Quadratic Koch curve type1 iterations.png|thumb|center|450px| Οι 2 πρώτες επαναλήψεις.]]
|-
| 1D & 90°|| [[File:Quadratic Koch.png|thumb|center|150px|Τετραγωνική καμπύλη του Κοχ (τύπου 2)]]|| align="left"| [[File:Quadratic Koch curve type2 iterations.png|thumb|center|450px|Οι δύο πρώτες επαναλήψεις. Η μορφοκλασματική του διάσταση είναι 1,5, στα μισά του δρόμου μεταξύ της διάστασης 1 και της διάστασης 2. Αυτή η ιδιότητα την καθιστά μια πολύ δημοφιλή καμπύλη για τη μελέτη των φυσικών ιδιοτήτων των μορφοκλασματικών αντικειμένων. (τύπου Sapoval).]]
|-
| 2D & triangles|| [[File:Koch surface 3.png|thumb|center|150px|Επιφάνεια φον Κοχ]]|| [[File:Koch surface iterations.png|thumb|center|450px| Οι 2 πρώτες επαναλήψεις. 2διάστατη φυσική επέκταση της καμπύλης φον Κοχ.]]
|-
| 2D & 90°|| [[File:Quadratic Koch 3D (type1 stage2).png|thumb|center|150px|Τετραγωνική επιφάνεια του Κοχ (τύπου 1)]]|| [[File:Quadratic Koch 3D (type1 stage1).png|150px]] [[File:Quadratic Koch 3D (type1 stage2).png|150px]] [[File:Quadratic Koch 3D (type1 stage3).png|150px]]
Τα τρία πρώτα στάδια.
|-
| 2D & 90°|| [[File:Quadratic Koch 3D (type2 stage2).png|thumb|center|150px|Τετραγωνική επιφάνεια του Κοχ (τύπου 2)]]||[[File:Quadratic Koch 3D (type2 stage1).png|150px]] [[File:Quadratic Koch 3D (type2 stage2).png|150px]] [[File:Quadratic Koch 3D (type2 stage3).png|150px]]
Τα τρία πρώτα στάδια.
|-
| 2D & σφαίρες || [[File:Sf6.jpg|thumb|150px|''Σφαιρική νιφάδα'']] || Ο Ερίκ Χέινς ανέπτυξε το φράκταλ ''sphereflake'' (σφαιρική νιφάδα), Μια επέκταση της νιφάδας του Κοχ, βασισμένη σε σφαίρες.
|}

==Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
{{commonscat|Koch curve|καμπύλη φον Κοχ}}
{{commonscat|Koch snowflake}}
*{{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20170720203543/http://www.efg2.com/Lab/FractalsAndChaos/vonKochCurve.htm |date=20 July 2017 |title=(2000) "von Koch Curve", ''efg's Computer Lab''}}
*[http://www.wahl.org/fe/HTML_version/link/FE3W/c3.htm#koch The Koch Curve poem by Bernt Wahl], ''Wahl.org''. Retrieved 23 September 2019.
*{{MathWorld |title=Koch Snowflake |id=KochSnowflake |access-date=23 September 2019}}
*[http://www.qsl.net/kb7qhc/antenna/fractal/Triadic%20Koch/review.htm Application of the Koch curve to an antenna]
*[https://tchaumeny.github.io/KochGL/ A WebGL animation showing the construction of the Koch surface] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200916103214/http://tchaumeny.github.io/KochGL/ |date=2020-09-16 }}, ''tchaumeny.github.io''. Retrieved 23 September 2019.
*{{cite web|url=https://ujdigispace.uj.ac.za/bitstream/handle/10210/1941/2Mathematical.pdf?sequence=2 |format=pdf |title=A mathematical analysis of the Koch curve and quadratic Koch curve |access-date=22 November 2011 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120426000500/https://ujdigispace.uj.ac.za/bitstream/handle/10210/1941/2Mathematical.pdf?sequence=2 |archive-date=26 April 2012 }}

== Δείτε επίσης ==
*[[Αυτοομοιότητα]]
*[[Σύνολο Μάντελμπροτ ]]
*[[Σύνολο Julia]]
*[[Οικοδομήσιμο Σύμπαν]]

==Παραπομπές==
{{reflist}}

{{Authority control}} 
{{Portal bar|Μαθηματικά}} 
[[Κατηγορία:Φράκταλ]]
[[Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση]]
[[Κατηγορία:Σύστημα-L]]