Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Ομάδα

[[Image:Rubik's cube.svg|thumb|right|Οι μετασχηματισμοί του [[Κύβος του Ρούμπικ|κύβου του Ρούμπικ]] σχηματίζουν την [[ομάδα του κύβου του Ρούμπικ]].]]
Στα [[μαθηματικά]], '''ομάδα''' είναι ένα [[σύνολο]] στοιχείων εφοδιασμένο με μία πράξη, η οποία συνδυάζει δύο [[Αλγεβρικό στοιχείο|στοιχεία]] του συνόλου για να σχηματίσουν ένα τρίτο στοιχείο που ανήκει επίσης στο σύνολο, ικανοποιώντας ταυτόχρονα τέσσερις συνθήκες που ονομάζονται [[αξίωμα|αξιώματα]] της ομάδας και αναφορικά είναι η [[κλειστότητα]], η [[προσεταιριστική ιδιότητα]], η ύπαρξη [[Ουδέτερο στοιχείο|ουδέτερου στοιχείου]] και η [[Αντίστροφος|ύπαρξη αντιστρόφων]]. Ένα από τα πιο γνώριμα παραδείγματα ομάδας είναι το σύνολο των [[Ακέραιοι αριθμοί|ακεραίων]] με την πράξη της [[πρόσθεση]]ς. Η πρόσθεση δύο οποιονδήποτε ακεραίων έχει ως αποτέλεσμα ακέραιο. Η αφηρημένη διατύπωση των αξιωμάτων της ομάδας, τις καθιστά ένα κυρίαρχο εργαλείο της έρευνας στους περισσότερους κλάδους της [[Αφηρημένη άλγεβρα|αφηρημένης άλγεβρας]] αλλά και σε άλλους τομείς.<ref>{{Harvard citations|last = Herstein|year = 1975|loc = §2, p. 26|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Hall|year = 1967|loc = §1.1, p. 1|nb = yes}}: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."</ref>

Οι ομάδες συνδέονται στενά με την έννοια της [[συμμετρία]]ς. Για παράδειγμα μια [[συμμετρική ομάδα]] κωδικοποιεί τα συμμετρικά χαρακτηριστικά ενός [[γεωμετρικό αντικείμενο|γεωμετρικού αντικειμένου]]: η ομάδα απαρτίζεται από το σύνολο των μετασχηματισμών που αφήνουν αναλλοίωτο το αντικείμενο και την πράξη που συνδυάζει δύο τέτοιους μετασχηματισμούς εκτελώντας τον ένα μετά τον άλλο. Οι [[Ομάδα Lie|ομάδες Lie]] είναι συμμετρικές ομάδες που χρησιμοποιούνται σε μοντέλα [[σωματιδιακή φυσική|σωματιδιακής φυσικής]], οι [[σημειακή ομάδα|σημειακές ομάδες]] χρησιμεύουν στην κατανόηση συμμετρικών φαινομένων της [[μοριακή χημεία|μοριακής χημείας]], οι [[ομάδα του Poincaré|ομάδες του Poincaré]] μπορούν να εκφράσουν τη φυσική συμμετρία που υποβόσκει στην [[ειδική σχετικότητα]]. Η ιδέα της ομάδας ξεκίνησε από τις [[πολυωνυμική εξίσωση|πολυωνυμικές εξισώσεις]], με τον [[Εβαρίστ Γκαλουά]] (Évariste Galois) στο 1830. Με τη συνδρομή και άλλων κλάδων όπως η [[θεωρία αριθμών]] και η [[γεωμετρία]], η έννοια της ομάδας γενικεύθηκε και θεμελιώθηκε γύρω στο 1870. Η σύγχρονη [[θεωρία ομάδων]] —με αυστηρή μαθηματική πειθαρχεία—μελετά τις ομάδες αυτές καθαυτές. Για να ερευνήσουν τις ομάδες οι μαθηματικοί επινόησαν διάφορες έννοιες για να σπάσουν τις ομάδες σε μικρότερα καλύτερα κατανοητά κομμάτια. Τέτοιες έννοιες είναι οι [[υποομάδα|υποομάδες]], οι [[ομάδα πηλίκο|ομάδες πηλίκο]] και οι [[απλή ομάδα|απλές ομάδες]]. Επιπλέον των αφηρημένων ιδιοτήτων τους, οι ειδικοί της θεωρίας ομάδων μελετούν επίσης τους διάφορους τρόπους με τους οποίους μπορεί να οριστεί συγκεκριμένα μια ομάδα (τις παραστάσεις μιας ομάδας), τόσο από θεωρητική όσο και από υπολογιστική πλευρά. Μια ιδιαίτερα πλούσια θεωρία έχει αναπτυχθεί για τις πεπερασμένες ομάδες, η οποία κορυφώθηκε με την μνημειώδη ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων που ανακοινώθηκε το 1983<ref>{{cite book |last=Gorenstein |first=Daniel |title=The classification of finite simple groups. Volume 1, Groups of noncharacteristic 2 type |year=1983 |publisher=Springer New York, NY |location=New York |isbn=978-1-4613-3687-7}}</ref> και ολοκληρώθηκε το 2004.<ref>{{cite journal |last=Aschbacher |first=Michael |title=The status of the classification of the finite simple groups |journal=Notices Amer. Math. Soc. |year=2004 |volume=51 |issue=7 |pages=736-740}}</ref> Από τα μέσα του 1980, η [[γεωμετρική θεωρία ομάδων]], η οποία μελετά τη δράση ομάδων (συνήθως άπειρων) επί [[Γράφος|γραφημάτων]] έχει εξελιχθεί σε έναν ιδιαίτερα ενεργό κλάδο της θεωρίας ομάδων, λόγω και της σχέσης της με την [[αλγεβρική τοπολογία]].

== Πρώτο παράδειγμα: Οι ακέραιοι ==

Μία από τις πιο γνωστές ομάδες είναι το σύνολο των [[ακέραιος αριθμός|ακεραίων]] <math>\mathbb Z</math> το οποίο αποτελείται από τα στοιχεία
:<math>\dots, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 \dots, </math>μαζί με την [[πρόσθεση]].
Οι ακόλουθες ιδιότητες της πρόσθεσης ακεραίων χρησιμεύουν ως ένα υπόδειγμα για τα θεωρητικά [[Αξίωμα|αξιώματα]] που ορίζονται παρακάτω.

# Για οποιουσδήποτε δύο ακεραίους <math>a</math> και <math>b</math>, το άθροισμα <math>a+b</math> είναι επίσης ακέραιος. Έτσι, η πρόσθεση δύο ακεραίων ποτέ δεν δίνει κάποιο άλλο είδος αριθμού. Αυτή η ιδιότητα είναι γνωστή ως [[κλειστότητα]] ως προς την πρόσθεση.
# Για οποιουσδήποτε ακεραίους <math>a</math>, <math>b</math> και <math>c</math>, <math>(a+b)+c=a+(b+c)</math>. Με άλλα λόγια, η σειρά με την οποία προσθέτουμε τρεις ή περισσότερους αριθμούς δεν έχει σημασία, αφού το αποτέλεσμα είναι ίδιο. Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως [[προσεταιριστική ιδιότητα]].
# Εάν <math>a</math> είναι ένας οποιοσδήποτε ακέραιος, τότε <math>0 + a = a + 0 = a</math>. Το [[μηδέν]] ονομάζεται το [[ουδέτερο στοιχείο|ουδέτερο (ή ταυτοτικό) στοιχείο]] της πρόσθεσης γιατί προσθέτοντας το με οποιονδήποτε ακέραιο το αποτέλεσμά του δίνει τον ίδιο ακέραιο.
# Για κάθε ακέραιο <math>a</math>, υπάρχει ένας ακέραιος <math>b</math> τέτοιος ώστε <math>a + b = b + a = 0</math>. Ο ακέραιος <math>b</math> ονομάζεται [[αντίστροφος]] του ακεραίου <math>a</math> και συμβολίζεται <math>-a</math>.

Οι ακέραιοι, μαζί με την πράξη +, συγκροτούν ένα μαθηματικό αντικείμενο που ανήκει σε μία πιο μεγάλη κατηγορία αντικειμένων που μοιράζονται παρόμοιες δομικές αρχές. Για να κατανοηθούν κατάλληλα ως ένα σύνολο, δίνεται ο ακόλουθος θεωρητικός ορισμός:

===Ορισμός ===
Ομάδα είναι ένα σύνολο, <math>G</math>, μαζί με μία πράξη <math>\bullet</math> (δηλαδή, μία [[συνάρτηση]] <math>\bullet:G\times G\to G</math>) η οποία συνδυάζει οποιαδήποτε δύο στοιχεία ''a'' και ''b'' για να σχηματίσει ένα άλλο στοιχείο που συμβολίζεται με <math>a\bullet b</math> ή απλά <math>ab</math>. Για να είναι ομάδα, το σύνολο και η πράξη, <math>(G,\bullet)</math>, πρέπει να ικανοποιούν τέσσερις ιδιότητες γνωστές ως αξιώματα των ομάδων:<ref>{{Harvard citations|last = Herstein|year = 1975|loc = §2.1, p. 27|nb = yes}}</ref>

* [[Κλειστότητα]]: Για όλα τα <math>a</math>, <math>b</math> που ανήκουν στο <math>G</math>, το αποτέλεσμα της πράξης, <math>a \bullet b</math>, ανήκει επίσης στο <math>G</math>
* Προσεταιριστική ιδιότητα: Για όλα τα <math>a</math>, <math>b</math> και <math>c</math> που ανήκουν στο <math>G</math>, ισχύει <math>(a \bullet b) \bullet c = a \bullet (b \bullet c)</math>
* Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει ένα στοιχείο e στο <math>G</math>, τέτοιο ώστε για κάθε στοιχείο <math>a</math> στο <math>G</math>, η εξίσωση <math>e\bullet a=a\bullet e=a</math> να επαληθεύεται. Αυτό το στοιχείο είναι μοναδικό, και ως εκ τούτου όταν αναφερόμαστε σε αυτό θα λέμε ''το'' [[ουδέτερο στοιχείο]]
* Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε <math>a</math> στη <math>G</math>, υπάρχει ένα στοιχείο <math>b</math> στη <math>G</math> τέτοιο ώστε <math>a\bullet b=b\bullet a=e</math>.

Το αποτέλεσμα της πράξης αυτής μπορεί να εξαρτάται από τους [[Τελεστής (μαθηματικά)|τελεστές]]. Με άλλα λόγια, το αποτέλεσμα του συνδυασμού του στοιχείου <math>a</math> με το στοιχείο <math>b</math> δεν είναι απαραίτητο να δώσει το ίδιο αποτέλεσμα όπως συνδυάζοντας το στοιχείο <math>b</math> με το στοιχείο <math>a</math> η εξίσωση <math>a \bullet b = b \bullet a</math> μπορεί να μην είναι πάντοτε αληθής. Αυτή η εξίσωση ισχύει πάντοτε στην προσθετική ομάδα των ακεραίων, γιατί <math>a + b = b + a</math> για οποιουσδήποτε δύο ακεραίους αντιμεταθεση ως προς την πρόσθεση). Ομάδες στις οποίες η αντιμεταθετική εξίσωση <math>a \bullet b = b \bullet a</math> ισχύει πάντοτε ονομάζονται [[αβελιανή ομάδα|αβελιανές ομάδες]] (προς τιμήν του [[Νιλς Χένρικ Άμπελ]]). Η συμμετρική ομάδα που περιγράφεται στην παρακάτω παράγραφο είναι ένα παράδειγμα ομάδας η οποία δεν είναι αβελιανή.

Το ουδέτερο στοιχείο μιας ομάδας <math>G</math> συχνά γράφεται <math>1</math> ή <math>1_G</math>,<ref>{{MathWorld |title=Identity Element |urlname=IdentityElement}}</ref> μια σημειογραφία που κληρονομήθηκε από την πολλαπλασιαστική γραφή. Το ουδέτερο στοιχείο μπορεί επίσης να γραφεί ως <math>0</math>, ειδικότερα εάν η πράξη της ομάδας συμβολίζεται με +, στην περίπτωση αυτή η ομάδα ονομάζεται προσθετική ομάδα. Το ουδέτερο στοιχείο μπορεί επίσης να γραφεί ως ''id''.

Το σύνολο <math>G</math> καλείται το ''σύνολο των στοιχείων'' <math>(G,\bullet)</math>. Συχνά γράφουμε απλώς <math>G</math> αντί για <math>(G,\bullet)</math>, εφόσον η πράξη είναι προφανής. Παρομοίως, σύντομες εκφράσεις όπως "ένα [[υποσύνολο]] της ομάδας <math>G</math>" η "ένα στοιχείο της ομάδας <math>G</math>" χρησιμοποιούνται όταν θέλουμε να αναφερθούμε σε "ένα υποσύνολο του συνόλου των στοιχείων <math>G</math> της ομάδας <math>(G,\bullet)</math>" ή "ένα στοιχείο του συνόλου των στοιχείων <math>G</math> της ομάδας <math>(G,\bullet)</math>". Συνήθως είναι ξεκάθαρο από το περιεχόμενο αν ο συμβολισμός <math>G</math> αναφέρεται στην ομάδα ή στο σύνολο των στοιχείων της.

== Δεύτερο παράδειγμα: Μια συμμετρική ομάδα ==
Δύο [[Γεωμετρικό σχήμα|σχήματα]] στο [[επίπεδο]] είναι ισοδύναμα αν το ένα μπορεί να μετασχηματιστεί στο άλλο με έναν συνδυασμό [[περιστροφή|περιστροφών]], [[αντικατοπτρισμός|αντικατοπτρισμών]], και μεταφορών. Οποιοδήποτε σχήμα είναι ισοδύναμο με τον εαυτό του. Κάποια σχήματα όμως είναι ισοδύναμα με τον εαυτό τους με παραπάνω από έναν τρόπους και αυτές οι επιπλέον ισοδυναμίες ονομάζονται [[συμμετρία|συμμετρίες]]. Ένα [[τετράγωνο]] έχει οχτώ συμμετρίες. Αυτές είναι:

{| class="wikitable" border="1" style="text-align:center; margin:0 auto .5em auto;"
|-
| [[Image:group D8 id.svg|140px]] <br /> id (καμία αλλαγή) || [[Image:group D8 90.svg|140px]] <br /> r<sub>1</sub> (στροφή 90° δεξιά) || [[Image:group D8 180.svg|140px]] <br /> r<sub>2</sub> (στροφή 180° δεξιά) || [[Image:group D8 270.svg|140px]] <br /> r<sub>3</sub> (στροφή 270° δεξιά)
|-
| [[Image:group D8 fv.svg|140px]] <br /> f<sub>v</sub> (οριζόντια ανάκλαση) || [[Image:group D8 fh.svg|140px]] <br /> f<sub>h</sub> (κάθετη ανάκλαση)|| [[Image:group D8 f13.svg|140px]] <br /> f<sub>d</sub> (διαγώνια ανάκλαση) || [[Image:group D8 f24.svg|140px]] <br /> f<sub>c</sub> (αντιδιαγώνια ανάκλαση)
|-
| colspan="4" style="text-align:left" | Τα στοιχεία της ομάδας των [[Συμμετρία (γεωμετρία)|συμμετριών]] του [[Τετράγωνο|τετραγώνου]] (D<sub>4</sub>). Οι κορυφές και οι ακμές έχουν αριθμηθεί για να ξεχωρίζουν.
|}

Αυτές οι συμμετρίες αναπαριστώνται από [[Συνάρτηση|συναρτήσεις]]. Καθεμιά από αυτές τις συναρτήσεις στέλνει ένα σημείο του τετραγώνου στο συμμετρικό του. Για παράδειγμα, η r<sub>1</sub> περιστρέφει ένα σημείο κατά 90[[Μοίρα (γεωμετρία)|°]] δεξιά γύρω από το κέντρο του τετραγώνου, και η f<sub>h</sub> αντικατοπτρίζει ένα σημείο κατά την ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των πλευρών του τετραγώνου. Συνθέτοντας δύο τέτοιες συναρτήσεις συμμετρίας παίρνουμε μια τρίτη συνάρτηση συμμετρίας. Αυτές οι συμμετρίες ορίζουν μία ομάδα που ονομάζεται [[διεδρική ομάδα]] τάξης τέσσερα και συμβολίζεται D<sub>4</sub>. Το σύνολο των στοιχείων της ομάδας είναι το παραπάνω σύνολο συναρτήσεων συμμετρίας, και η πράξη της ομάδας είναι η [[Σύνθεση συνάρτησης|σύνθεση συναρτήσεων]].<ref>{{Harvard citations|last = Herstein|year = 1975|loc = §2.6, p. 54|nb = yes}}</ref> Δύο συμμετρίες συνδυάζονται όταν τις συνθέτουμε σαν συναρτήσεις. Εφαρμόζουμε την πρώτη σε ένα τετράγωνο και στο αποτέλεσμα αυτής εφαρμόζουμε τη δεύτερη. Το αποτέλεσμα της εκτέλεσης πρώτα του <math>a</math> και μετά του <math>b</math> γράφεται συμβολικά από δεξιά προς τα αριστερά ως <math>b \bullet a</math> ("εφάρμοσε τη συμμετρία <math>b</math> αφού εκτελέσεις τη συμμετρία <math>a</math>").

Ο από δεξιά προς τα αριστερά συμβολισμός είναι ο ίδιος που χρησιμοποιείται στη σύνθεση συναρτήσεων.

Ο πίνακας της ομάδας στα δεξιά παρουσιάζει όλους αυτούς του δυνατούς συνδυασμούς. Για παράδειγμα, περιστροφή κατά 270° δεξιά (r<sub>3</sub>) και μετά οριζόντια αναστροφή (f<sub>h</sub>) είναι το ίδιο σαν να εφαρμόζαμε αντικατοπτρισμό κατά μήκος της διαγωνίου (f<sub>d</sub>). Χρησιμοποιούμε τα παραπάνω σύμβολα γραμμένα με μπλε στον πίνακα της ομάδας:

:{{nowrap begin}}f<sub>h</sub> • r<sub>3</sub> = f<sub>d</sub>.{{nowrap end}}

{| class="wikitable" border="1" style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em; width:40ex; height:40ex;"
|+ Πίνακας στοιχείων του τετραγώνου D4
|-
!width="12%" style="background:#FDD; border-top:solid black 2px; border-left:solid black 2px;"| •
!style="background:#FDD; border-top:solid black 2px;" width="11%"| id
!style="background:#FDD; border-top:solid black 2px;" width="11%"| r<sub>1</sub>
!style="background:#FDD; border-top:solid black 2px;" width="11%"| r<sub>2</sub>
!style="background:#FDD; border-right:solid black 2px; border-top:solid black 2px;" width="11%"| r<sub>3</sub>
! width="11%"| f<sub>v</sub> !!width="11%"| f<sub>h</sub> !!width="11%"| f<sub>d</sub> !!width="11%"| f<sub>c</sub>
|-
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | id
|style="background:#FDD;"| id
|style="background:#FDD;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;" | r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| r<sub>3</sub> || f<sub>v</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>d</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-top:solid black 2px;"| f<sub>c</sub>
|-
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| id || f<sub>c</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>v</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| f<sub>h</sub>
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD;"| id
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| r<sub>1</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>v</sub> || f<sub>c</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| f<sub>d</sub>
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px; border-left:solid black 2px;" | r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| id
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>2</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>c</sub>
|| f<sub>h</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| f<sub>v</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>v</sub>
| f<sub>v</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub>|| id || r<sub>2</sub> || r<sub>1</sub> || r<sub>3</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>h</sub>
| f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub> || f<sub>v</sub> ||style="background:#DDF;border:solid black 2px;"| f<sub>d</sub> || r<sub>2</sub> || id || r<sub>3</sub> || r<sub>1</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>d</sub>
| f<sub>d</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub> || f<sub>v</sub> || r<sub>3</sub> || r<sub>1</sub> || id || r<sub>2</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>c</sub>
|style="background:#9DFF93; border-left: solid black 2px; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>c</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>v</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>d</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom:solid black 2px; border-top:solid black 2px; border-right:solid black 2px;" | f<sub>h</sub> || r<sub>1</sub> || r<sub>3</sub> || r<sub>2</sub> || id
|-
| colspan="9" style="text-align:left"| Τα στοιχεία id, r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, και r<sub>3</sub> αποτελούν μια [[υποομάδα]], σημειωμένη με κόκκινο (άνω αριστερή περιοχή). Ένα αριστερό και ένα δεξί [[σύμπλοκο]] αυτής της υποομάδας σημειώνεται με πράσινο (στην τελευταία γραμμή) και κίτρινο (τελευταία στήλη), αντίστοιχα.
|}

Δοθέντος του συνόλου των συμμετριών και την ανωτέρω πράξης, τα αξιώματα της ομάδας γράφονται ως εξής:

<ol>
<li> Το αξίωμα της κλειστότητας απαιτεί η σύνθεση <math>b \bullet a</math> οποιωνδήποτε δύο συμμετριών <math>a</math> και <math>b</math> να είναι επίσης συμμετρία. Ένα άλλο παράδειγμα για την πράξη της ομάδας είναι {{nowrap begin}}r<sub>3</sub> • f<sub>h</sub> = f<sub>c</sub>,{{nowrap end}} δηλαδή περιστροφή κατά 270° δεξιά έπειτα από οριζόντια αναστροφή ισοδυναμεί με αναστροφή κατά μήκος της διαγωνίου (f<sub>c</sub>). Πράγματι οποιαδήποτε άλλη σύνθεση δύο συμμετριών δίνει συμμετρία όπως μπορεί να ελεγχθεί και στον πίνακα της ομάδας.

<li> Η προσεταιριστικότητα δεν περιορίζεται μόνο σε δύο συμμετρίες: Ξεκινούμε με τρία στοιχεία ''a'', ''b'' και ''c'' του D<sub>4</sub>, υπάρχουν δύο δυνατοί τρόποι να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις τρεις συμμετρίες με αυτή τη σειρά για να ορίσουμε μια συμμετρία του τετραγώνου. Ένας από αυτούς τους τρόπους είναι να συνθέσουμε πρώτα το ''a'' και το ''b'' σε μία συμμετρία, και μετά να την συνθέσουμε με το ''c''. Ο άλλος τρόπος είναι να συνθέσουμε πρώτα τα ''b'' και ''c'', και μετά το αποτέλεσμα με το ''a''. Η επιμεριστική ιδιότητα <math>(a \bullet b) \bullet c = a \bullet (b \bullet c)</math> μας δείχνει ότι αυτοί οι δύο τρόποι είναι ίδιοι, δηλαδή, ένα γινόμενο πολλών στοιχείων μιας ομάδας μπορεί να γραφεί με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, {{nowrap begin}} (f<sub>d</sub> • f<sub>v</sub>) • r<sub>2</sub> = f<sub>d</sub> • (f<sub>v</sub> • r<sub>2</sub>){{nowrap end}} μπορεί να ελεγχθεί από τον διπλανό πίνακα:
:{| class="wikitable" style="text-align:center" |
|(f<sub>d</sub> • f<sub>v</sub>) • r<sub>2</sub>||&nbsp;=&nbsp;||r<sub>3</sub> • r<sub>2</sub>||&nbsp;=&nbsp;||r<sub>1</sub>, το οποίο ισούται με
|-
|f<sub>d</sub> • (f<sub>v</sub> • r<sub>2</sub>)||&nbsp;=&nbsp;||f<sub>d</sub> • f<sub>h</sub>||&nbsp;=&nbsp;||r<sub>1</sub>.
|}
Παρότι η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει για τις συμμετρίες του τετραγώνου   και την πρόσθεση των αριθμών , δεν ισχύει για κάθε πράξη. Για παράδειγμα, η [[αφαίρεση]] αριθμών δεν είναι προσεταιριστική: {{nowrap begin}}(7 &minus; 3) &minus; 2 = 2{{nowrap end}} δεν είναι το ίδιο με {{nowrap begin}}7 &minus; (3 &minus; 2) = 6.{{nowrap end}}

<li> Το [[ουδέτερο στοιχείο]] id αφήνει τα πάντα αναλλοίωτα: αν για κάθε συμμετρία <math>a</math>, εφαρμόζουμε το id μετά το <math>a</math> (η το <math>a</math> μετά το <math>\mathrm{id}</math>) τότε το αποτέλεσμα ισούται με <math>a</math>, συμβολικά, <math>\mathrm{id} \bullet a = a</math>, <math>a \bullet \mathrm{id} = a</math>.</li>

<li> Ένα αντίστροφο στοιχείο ανατρέπει τον μετασχηματισμό κάποιου άλλου στοιχείου. Κάθε συμμετρία μπορεί να ανατραπεί: καθένας από τους παρακάτω μετασχηματισμούς—ταυτότητα id, οι αναστροφές f<sub>h</sub>, f<sub>v</sub>, f<sub>d</sub>, f<sub>c</sub> και η περιστροφή κατά 180° r<sub>2</sub>—είναι τα αντίστροφα του εαυτού τους, διότι εφαρμόζοντάς τα δύο φορές το τετράγωνο επανέρχεται στον αρχικό του προσανατολισμό. Οι περιστροφές r<sub>3</sub> και r<sub>1</sub> είναι η μία αντίστροφη της άλλης, διότι περιστροφή κατά 90° και μετά περιστροφή κατά 270° (ή αντίστροφα) παράγει περιστροφή κατά 360° η οποία αφήνει το τετράγωνο αναλλοίωτο. Συμβολικά: {{nowrap begin}}f<sub>h</sub> • f<sub>h</sub> = id,{{nowrap end}} {{nowrap begin}}r<sub>3</sub> • r<sub>1</sub> = r<sub>1</sub> • r<sub>3</sub> = id.{{nowrap end}}</li></ol>

Σε αντίθεση με την ομάδα των ακεραίων παραπάνω, όπου η σειρά εκτέλεσης των πράξεων δεν μετράει, στην D<sub>4</sub> έχει σημασία: {{nowrap begin}}f<sub>h</sub> • r<sub>1</sub> = f<sub>c</sub>{{nowrap end}} αλλά{{nowrap begin}}r<sub>1</sub> • f<sub>h</sub> = f<sub>d</sub>.{{nowrap end}} Με άλλα λόγια, η D<sub>4</sub> δεν είναι [[αβελιανή ομάδα|αβελιανή]], γεγονός που κάνει τη δομή αυτής της ομάδας πιο πολύπλοκη από την προαναφερθείσα παραπάνω ομάδα των ακεραίων.

== Ιστορία ==
Ένα παράδειγμα ομάδας αποτελούν οι [[συμμετρία|συμμετρίες]] ενός [[γεωμετρικό σχήμα|γεωμετρικού σχήματος]]. Ενώ όμως εκτενή μελέτη των συμμετριών έχουν πραγματοποιήσει τόσο οι [[αρχαία Αίγυπτος|αρχαίοι Αιγύπτιοι]] όσο και ο [[Ευκλείδης]], οι ομάδες αρχίζουν να αναγνωρίζονται ως μαθηματικά συστήματα μετά τον 18ο αιώνα.

Η σύγχρονη έννοια της αφηρημένης ομάδας αναπτύχθηκε από διάφορους τομείς των μαθηματικών.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Wussing|year = 2007}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Kleiner|year = 1986|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Smith|year = 1906|nb = yes}}</ref> Το αρχικό κίνητρο για τη θεωρία ομάδων ήταν η αναζήτηση λύσεων [[Πολυωνυμική εξίσωση|πολυωνυμικών εξισώσεων]] βαθμού μεγαλύτερου του 4. Το 19ο αιώνα ο μαθηματικός [[Εβαρίστ Γκαλουά]], επεκτείνοντας προηγούμενη δουλειά των [[Πάολο Ρουφίνι]] και [[Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ]], έδωσε ένα κριτήριο για την επιλυσιμότητα μιας συγκεκριμένης πολυωνυμικής εξίσωσης με χρήση της [[Ομάδα συμμετριών|ομάδας συμμετριών]] των [[Ρίζα (μαθηματικά)|ριζών]] της. Τα στοιχεία μιας τέτοιας [[Ομάδα Galois|ομάδας Galois]] αντιστοιχούν σε συγκεκριμένες μεταθέσεις των ριζών. Αρχικά, οι ιδέες του Γκαλουά απορρίφθηκαν από τους συγχρόνους του και δεν δημοσιεύθηκαν παρά μόνο μετά θάνατον.<ref>{{Harvard citations|last = Galois|year = 1908|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Kleiner|year = 1986|loc = p. 202|nb = yes}}</ref> Οι [[ομάδες μεταθέσεων]] ερευνήθηκαν στη γενική τους μορφή από τον [[Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ|Ογκιστέν-Λουί Κοσί]]. Στο έργο του [[Άρθουρ Κέιλεϊ]] ''On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1'' (1854) δίνεται ένας πρώτος αφηρημένος ορισμός της [[Πεπερασμένη ομάδα|πεπερασμένης ομάδας]].<ref>{{Harvard citations|last=Cayley|year=1889|nb=yes}}</ref>

Η [[γεωμετρία]] ήταν το δεύτερο πεδίο στο οποίο οι ομάδες χρησιμοποιήθηκαν συστηματικά, ειδικά οι ομάδες συμμετρίας ως μέρος του [[πρόγραμμα Erlangen|προγράμματος Erlangen]] του [[Φέλιξ Κλάιν]] το 1872.<ref>{{Harvard citations|last = Wussing|year = 2007|loc = §III.2|nb = yes}}</ref> Μετά την εμφάνιση νέων γεωμετριών, όπως της [[Υπερβολική γεωμετρία|υπερβολικής]] και της [[Προβολική γεωμετρία|προβολικής]], ο Κλάιν χρησιμοποίησε τη θεωρία ομάδων για να τις οργανώσει πιο συνεκτικά. Επεικτείνοτας περεταίρω τις ιδέες αυτές, ο [[Σόφους Λι]] καθιέρωσε τη μελέτη των [[Ομάδες Lie|ομάδων Lie]] το 1884.<ref>{{Harvard citations|last=Lie|year=1973|nb=yes}}</ref>

Το τρίτο πεδίο που συνέβαλε στη θεωρία ομάδων ήταν η [[θεωρία αριθμών]]. Ορισμένες δομές [[Αβελιανή ομάδα|αβελιανών ομάδων]] χρησιμοποιήθηκαν σιωπηρά στο αριθμοθεωρητικό έργο του [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους]], ''Disquisitiones Arithmeticae'' (1798), και σαφἐστερα από τον [[Λέοπολντ Κρόνεκερ]].<ref>{{Harvard citations|last = Kleiner|year = 1986|loc = p. 204|nb = yes}}</ref> Το 1847, ο [[Ερνστ Κάμερ]] έκανε κάποιες πρώτες προσπάθειες να αποδείξει το [[τελευταίο θεώρημα του Φερμά]] αναπτύσσοντας ομάδες που περιγράφουν την παραγοντοποίηση σε [[Πρώτος αριθμός|πρώτους αριθμούς]].<ref>{{Harvard citations|last = Wussing|year = 2007|loc = §I.3.4|nb = yes}}</ref>

Η συνένωση αυτών των ποικίλων αποτελεσμάτων σε μια ενιαία θεωρία άρχισε με το ''Traité des substitutions et des équations algébriques'' (1870) του [[Καμίλ Ζορντάν]].<ref>{{Harvard citations|last=Jordan|year=1870|nb=yes}}</ref> Ο [[Βάλτερ φον Ντικ]] (1882) έδωσε μια πρώτη μορφή του σύγχρονου ορισμού μιας αφηρημένης ομάδας.<ref>{{Harvard citations|last=von Dyck|year=1882|nb=yes}}</ref> Μέχρι τον 20ό αιώνα, οι ομάδες είχαν τύχει ευρείας αναγνώρισης μέσω του επαναστατικού έργου των [[Φέρντιναντ Γκέοργκ Φρομπένιους]] και [[Ουίλιαμ Μπέρνσαϊντ]], οι οποίοι εργάστηκαν πάνω στη [[θεωρία αναπαραστάσεων]] πεπερασμένων ομάδων, την [[modular θεωρία αναπαραστάσεων]] του [[Ρίτσαρντ Μπράουερ]] και τις εργασίες του [[Ισάι Σουρ]].<ref>{{Harvard citations|last = Curtis |year = 2003|nb = yes}}</ref> Η θεωρία των ομάδων Lie, και γενικότερα των τοπικά συμπαγών ομάδων προωθήθηκε από τους [[Χέρμαν Βάυλ|Χέρμαν Βάιλ]], [[Ελ Κάρταν]] και πολλούς άλλους.<ref>{{Harvard citations|last=Mackey|year=1976|nb=yes}}</ref> Το αλγεβρικό αντίστοιχό της, η [[θεωρία αλγεβρικών ομάδων]], σχηματίστηκε αρχικά από τον [[Κλοντ Σεβαλέι]] (στα τέλη του 1930) και αργότερα από το καίριο έργο των [[Αρμάν Μπορέλ|Armand Borel]] και [[Ζακ Τιτς]].<ref>{{Harvard citations|last=Borel|year=2001|nb=yes}}</ref>

Το Έτος Θεωρίας Ομάδων 1960-61 του [[Πανεπιστήμιο του Σικάγου|Πανεπιστημίου του Σικάγου]] μάζεψε ειδικούς της θεωρίας ομάδων, όπως οι [[Ντάνιελ Γκορστάιν]], [[Τζον Τόμσον]] και [[Γουόλτερ Φάιτ]], θέτοντας τα θεμέλια μιας συνεργασίας η οποία, με τη συμβολή πολλών άλλων [[Μαθηματικός|μαθηματικών]], ταξινόμησε όλες τις πεπερασμένες ομάδες το 1982. Αυτό το πρόγραμμα υπερέβη όλες τις προηγούμενες προσπάθειες λόγω του μεγέθους της, τόσο ως προς το μήκος των αποδείξεων, όσο και ως προς τον αριθμό των ερευνητών. Η έρευνα συνεχίζεται με σκοπό την απλοποίηση της απόδειξης της ταξινόμησης αυτής.<ref>{{Harvard citations|last = Aschbacher|year = 2004|nb = yes}}</ref> Στις μέρες μας, η θεωρία ομάδων είναι ακόμη ένας ιδιαίτερα ενεργός κλάδος των μαθηματικών με αποφασιστική επιρροή σε πολλά άλλα πεδία.{{cref|a}}

== Χαρακτηρισμοί ομάδων ==
Έστω <math>A</math> ένα σύνολο διάφορο του κενού και εφοδιασμένο με μία εσωτερική πράξη <math>\bullet</math>, δηλαδή <math>\bullet : A\times A \to A</math>

Tότε η δομή <math>(A,\bullet )</math> καλείται:

*[[ημιομάδα]], αν η πράξη είναι προσεταιριστική, δηλαδή αν ισχύει: <math>a \bullet (b \bullet c) = (a \bullet b) \bullet c, \qquad \forall a,b,c \in A</math>
*[[μονοειδές]], αν είναι ημιομάδα και επιπλέον η πράξη έχει ουδέτερο στοιχείο, δηλαδή αν ισχύουν οι εξής δύο συνθήκες:
**<math>a \bullet (b \bullet c) = (a \bullet b) \bullet c, \qquad \forall a,b,c \in A</math>
**υπάρχει στοιχείο του <math>A</math>, το οποίο συμβολίζουμε με <math>e</math> και καλούμε ουδέτερο στοιχείο, τέτοιο ώστε: <math>a \bullet e = e \bullet a=a, \qquad \forall a\in A</math>
*ομάδα, αν είναι μονοειδές και κάθε στοιχείο <math>a\in A</math> έχει αντίστροφο, δηλαδή αν ισχύουν οι ακόλουθες συνθήκες:
**<math>a \bullet (b \bullet c) = (a \bullet b) \bullet c, \qquad \forall a,b,c \in A</math>
**υπάρχει στοιχείο του <math>A</math>, το οποίο συμβολίζουμε με <math>e</math> και καλούμε ουδέτερο στοιχείο, τέτοιο ώστε: <math>a \bullet e = e \bullet a=a, \qquad \forall a\in A</math>
**για κάθε <math>a\in A</math> υπάρχει στοιχείο του <math>A</math>, το οποίο συμβολίζουμε με <math>a^{-1}</math> και καλούμε αντίστροφο του <math>a</math>, τέτοιο ώστε: <math> a^{-1} \bullet a = a \bullet a^{-1} = e, \qquad \forall a \in A</math>

Επιπλέον μια ομάδα καλείται [[Αβελιανή ομάδα|αβελιανή]] ή αντιμεταθετική, αν επιπλέον ισχύει η εξής ιδιότητα:

*<math>a \bullet b = b \bullet a, \qquad \forall a,b \in A</math>

==Στοιχειώδη πορίσματα από τις ιδιότητες των ομάδων ==
Τα βασικά στοιχεία για όλες τις ομάδες που προκύπτουν απευθείας από τις τρεις ιδιότητες των ομάδων υπόκεινται συνήθως στη στοιχειώδη [[θεωρία ομάδων]].<ref>{{Harvard citations|last = Ledermann|year = 1953|loc = §1.2, pp. 4–5|nb = yes}}</ref> Για παράδειγμα, η επαναλαμβανόμενη εφαρμογή της προσεταιριστικής ιδιότητας δείχνει ότι η παρακάτω ιδιότητα
:''a'' • ''b'' • ''c'' = (''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c'')
γενικεύεται σε περισσότερους από τρεις παράγοντες. Και επειδή απ’ αυτό φαίνεται ότι οι παρενθέσεις μπορούν να εισαχθούν οπουδήποτε μέσα σε μια τέτοια σειρά από όρους, συνήθως παραλείπονται.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Ledermann|year = 1973|loc = §I.1, p. 3}}</ref>

Πολλές φορές οι ιδιότητες μπορούν να περιοριστούν στην ύπαρξη μόνο του αριστερού μοναδιαίου και αντίστροφου στοιχείου. Ωστόσο, και στις δύο περιπτώσεις μπορεί να αποδειχθεί ότι οι ιδιότητες ισχύουν και από τις δύο πλευρές, οπότε είναι ισοδύναμες με τις παραπάνω.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = §I.2, p. 7}}</ref>

===Μοναδικότητα του μοναδιαίου και του αντίστροφου στοιχείου===
Δύο πολύ σημαντικές συνέπειες των ιδιοτήτων των ομάδων είναι η μοναδικότητα του αντίστροφου και του μοναδιαίο στοιχείου. Μπορεί να υπάρχει μόνο ένα μοναδιαίο στοιχείο σε μία ομάδα και κάθε στοιχείο της ομάδας έχει ακριβώς ένα αντίστροφο στοιχείο. Γι’ αυτό αναφερόμαστε σ’ αυτά μιλώντας για ''το'' μοναδιαίο στοιχείο και ''το'' αντίστροφο στοιχείο.<ref name="lang2005">{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.1, p. 17}}</ref>

Για να αποδείξουμε τη μοναδικότητα του αντίστροφου στοιχείου ενός ''a'', υποθέτουμε ότι το ''a'' έχει δύο [[Αντίστροφος|αντίστροφους]], έστω ''b'' και ''c'', σε μία ομάδα (''G'', •). Τότε:

:{| class="wikitable"
|''b'' ||=||''b'' • ''e'' ||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||αφού το ''e'' είναι το μοναδιαίο στοιχείο
|-
| ||=||''b'' • (''a'' • ''c'') ||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||επειδή το ''c'' είναι το αντίστροφο του ''a'', ισχύει ότι ''e'' = ''a'' • ''c''
|-
| ||=||(''b'' • ''a'') • ''c'' ||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||από την προσεταιριστική ιδιότητα
|-
| ||=||''e'' • ''c''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||αφού το ''b'' είναι αντίστροφο του ''a'', δηλ. ''b'' • ''a'' = ''e''
|-
| ||=||''c''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;|| επειδή το ''e'' είναι το μοναδιαίο στοιχείο
|}

Προκύπτει ότι το ''b'' είναι ίσο με το ''c''. Με άλλα λόγια, υπάρχει μόνο ένα αντίστροφο στοιχείο για κάθε ''a''. Όμοια, για να αποδείξουμε ότι το μοναδιαίο στοιχείο μιας ομάδας είναι μοναδικό, υποθέτουμε ότι η ομάδα ''G'' έχει δύο μοναδιαία στοιχεία, τα ''e'' και ''f''. Τότε ''e'' = ''e'' • ''f'' = ''f'', αφού ''e'' και ''f'' είναι ίσα.

===Διαίρεση===
Στις ομάδες μπορούμε να κάνουμε [[διαίρεση]]: δοθέντων στοιχείων ''a'' και ''b'' μιας ομάδας ''G'', υπάρχει ακριβώς μία λύση ''x'' στην ''G'' που ικανοποιεί την [[εξίσωση]] ''x'' • ''a'' = ''b''{{nowrap end}}. Για την ακρίβεια, πολλαπλασιάζοντας από τα δεξιά με ''a''<sup>&minus;1</sup> προκύπτει ότι {{nowrap begin}}''x'' = ''x'' • ''a'' • ''a''<sup>&minus;1</sup> = ''b'' • ''a''<sup>&minus;1</sup>{{nowrap end}}. Όμοια, υπάρχει ακριβώς μία λύση ''y'' στην ''G'' που ικανοποιεί την εξίσωση {{nowrap begin}}''a'' • ''y'' = ''b''{{nowrap end}}, και προκύπτει ότι{{nowrap begin}}''y'' = ''a''<sup>&minus;1</sup> • ''b''{{nowrap end}}. Γενικά, τα ''x'' και ''y'' δεν είναι απαραίτητο να είναι ίσα.

Άμεση συνέπεια αυτού είναι ότι ο πολλαπλασιασμός μιας ομάδας με ένα στοιχείο ''g'' είναι [[ισομορφισμός]]. Πιο συγκεκριμένα, αν το ''g'' είναι στοιχείο της ομάδας ''G'', τότε υπάρχει ένας ισομορφισμός από την ''G'' στον εαυτό της που ονομάζεται αριστερή κλάση κατά ''g'' και στέλνει το ''h''&nbsp;∈&nbsp;''G'' στο ''g''&nbsp;•&nbsp;''h''. Όμοια, η δεξιά κλάση κατά ''g'' είναι ισομορφισμός της ''G'' στον εαυτό της που στέλνει το ''h'' στο ''h''&nbsp;•&nbsp;''g''. Αν η ''G'' είναι [[αβελιανή ομάδα]], η αριστερή και δεξιά κλάση ενός στοιχείου ταυτίζονται.

== Βασικές έννοιες ==
<div class="dablink"> Οι ενότητες που ακολουθούν χρησιμοποιούν μαθηματικά σύμβολα, όπως το X = ''{''x'', ''y'', ''z''}'' το οποίο υποδηλώνει ένα [[σύνολο]] X που περιέχει στοιχεία x, y, και z, ή εναλλακτικά, το x ''∈'' X το οποίο υποδηλώνει ότι το x είναι ένα στοιχείο του X. Ο συμβολισμός {{nowrap|f : X ''→'' Y}} σημαίνει η f είναι μια [[συνάρτηση]] που στέλνει κάθε στοιχείο του X σε ένα στοιχείο του Υ.</div>

Για να κατανοήσουμε τις ομάδες, πέρα από τα σύμβολα όπως τα παραπάνω, πρέπει να εισάγουμε έννοιες που αφορούν τη δομή τους.{{cref|c}} Υπάρχει μια εννοιολογική αρχή που διέπει όλες τις ακόλουθες έννοιες: για να επωφεληθούμε από τη δομή των ομάδων, οι κατασκευές που σχετίζονται με τις ομάδες πρέπει να είναι συμβατές με την πράξη της ομάδας. Η συμβατότητα αυτή εκδηλώνεται στις ακόλουθες έννοιες με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, οι ομάδες μπορούν να συνδέονται μεταξύ τους μέσω συναρτήσεων που ονομάζονται [[Ομομορφισμός|ομομορφισμοί]] ομάδων. Σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, οι ομομορφισμοί οφείλουν να τηρούν τις δομές της ομάδας. Επίσης, μπορούμε να μελετήσουμε τη δομή των ομάδων χωρίζοντάς τες σε υποομάδες και ομάδες πηλίκου. Η αρχή της «διατήρηση της δομής» - ένα σύνηθες πρόβλημα στα [[μαθηματικά]] - είναι ένα παράδειγμα του να εργάζεσαι σε μία κατηγορία, στην προκειμένη περίπτωση, στην κατηγορία των ομάδων.

=== Ομομορφισμοί ομάδων===
{{Main|Ομομορφισμοί Ομάδων}}
Οι ''ομομορφισμοί ομάδων''{{cref|g}} είναι [[Συνάρτηση|συναρτήσεις]] που διατηρούν τη δομή των ομάδων. Μία συνάρτηση {{nowrap begin}}''a'': ''G'' → ''H''{{nowrap end}} ανάμεσα σε δύο ομάδες (''G'',•) και (''H'',*) ονομάζεται [[ομομορφισμός]], αν η [[εξίσωση]]
:{{nowrap begin}}''a''(''g'' • ''k'') = ''a''(''g'') * ''a''(''k''){{nowrap end}}
ισχύει για όλα τα στοιχεία ''g'', ''k'' της ''G''. Με άλλα λόγια, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο αν εφαρμόσουμε την πράξη της ομάδας, είτε πριν είτε μετά τη συνάρτηση ''a''. Έτσι εξασφαλίζεται ότι {{nowrap begin}}''a''(1<sub>''G''</sub>) = 1<sub>''H''</sub>{{nowrap end}}, και επιπλέον {{nowrap begin}}''a''(''g'')<sup>&minus;1</sup> = ''a''(''g''<sup>&minus;1</sup>){{nowrap end}} για κάθε ''g'' της ''G''. Έτσι, ένας ομομορφισμός ομάδων τηρεί τη δομή της ''G'' που προκύπτει από τις ιδιότητες των ομάδων.

Δύο ομάδες ''G'' και ''H'' λέγονται ισόμορφες, αν υπάρχουν ομομορφισμοί {{nowrap begin}}''a'': ''G'' → ''H''{{nowrap end}} και {{nowrap begin}}''b'': ''H'' → ''G''{{nowrap end}}, έτσι ώστε εφαρμόζοντας τις δύο αυτές απεικονίσεις τη μία μετά την άλλη με οποιαδήποτε σειρά, να προκύπτουν οι ταυτοτικές απεικονίσεις της ''G'' και της ''H''. Δηλαδή, {{nowrap begin}}''a''(''b''(''h'')) = ''h''{{nowrap end}} και {{nowrap begin}}''b''(''a''(''g'')) = ''g''{{nowrap end}} για κάθε ''g'' της ''G'' και ''h'' της ''H''. Κατά μία έννοια, οι ισόμορφες ομάδες μεταφέρουν την ίδια πληροφορία. Για παράδειγμα, το να αποδείξουμε ότι {{nowrap begin}}''g'' • ''g'' = 1<sub>''G''</sub>{{nowrap end}} για κάποιο στοιχείο ''g'' της ''G'' είναι το ίδιο με το να αποδείξουμε ότι {{nowrap begin}}''a''(''g'') * ''a''(''g'') = 1<sub>''H''</sub>,{{nowrap end}} γιατί εφαρμόζοντας την ''a'' στην πρώτη εξίσωση, προκύπτει η δεύτερη και αντίστοιχα εφαρμόζοντας την ''b'' στη δεύτερη εξίσωση, προκύπτει η πρώτη.
=== Υποομάδες===
{{Main|Υποομάδες}}
Ανεπίσημα, μία υποομάδα είναι μια ομάδα ''H'' που εμπεριέχεται σε μία μεγαλύτερη ομάδα ''G''. Συγκεκριμένα, το μοναδιαίο στοιχείο της ''G'' ανήκει και στην ''H'' και για οποιαδήποτε ''h''<sub>1</sub> και ''h''<sub>2</sub> στοιχεία της ''H'', υπάρχουν επίσης τα {{nowrap|''h''<sub>1</sub> •  ''h''<sub>2</sub>}} και ''h''<sub>1</sub><sup>&minus;1</sup>, έτσι ώστε η ''H'', εφοδιασμένη με την πράξη της ''G'', να αποτελεί ομάδα.

Στο παραπάνω παράδειγμα, το ταυτοτικό στοιχείο και οι στροφές αποτελούν την υποομάδα {{nowrap begin}}''R'' = {id, r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, r<sub>3</sub>}{{nowrap end}}, που είναι σκιασμένη με κόκκινο χρώμα στον παραπάνω πίνακα: οποιεσδήποτε δύο στροφές αποτελούν στροφή και επιπλέον, μία στροφή μπορεί να αναιρεθεί (δηλ. να αντιστραφεί) με τις συμπληρωματικές στροφές 270° για τις 90°, 180° για τις 180°, και 90° για τις 270° (εδώ να σημειώσουμε ότι η [[περιστροφή]] προς την αντίθετη κατεύθυνση δεν μπορεί να οριστεί). Η παρακάτω συνθήκη είναι ικανή και αναγκαία για να ελέγχουμε αν ένα υποσύνολο ''H'' της ''G'' είναι υποομάδα της ''G'': αρκεί να ελέγξουμε αν {{nowrap|''g''<sup>−1</sup>''h'' ∈ ''H''}} για κάθε στοιχείο {{nowrap begin}}''g'', ''h'' ∈ ''H''{{nowrap end}}. Είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε τις υποομάδες για να καταλάβουμε τις ομάδες ως δομές.{{cref|d}}

Για οποιοδήποτε υποσύνολο ''S'' της ομάδας ''G'', η υποομάδα που παράγεται από το ''S'' αποτελείται από τα στοιχεία του ''S'' και τα αντίστροφά τους. Αυτή είναι η μικρότερη δυνατή υποομάδα της ''G'' που να περιέχει το ''S''. Στο εισαγωγικό παράδειγμα παραπάνω, η υποομάδα που παράγεται από τα r<sub>2</sub> και f<sub>v</sub> αποτελείται από αυτά τα δύο στοιχεία, το ταυτοτικό στοιχείο id και από τα {{nowrap begin}}f<sub>h</sub> = f<sub>v</sub> • r<sub>2</sub>{{nowrap end}}. Όπως ήδη είπαμε, αυτό είναι υποομάδα, επειδή ο συνδυασμός οποιωνδήποτε δύο εκ των τεσσάρων αυτών στοιχείων, ή των [[Αντίστροφος|αντίστροφών]] τους (που στην προκειμένη περίπτωση τυγχάνει να ταυτίζονται) παράγει ένα στοιχείο της υποομάδας.

=== Σύμπλοκα ===
{{Main|Σύμπλοκο (μαθηματικά)}}

Σε ορισμένες περιπτώσεις, θεωρούμε ότι δύο στοιχεία μιας ομάδας είναι το ίδιο, αν διαφέρουν κατά κάποιο στοιχείο μιας δοθείσας υποομάδας. Για παράδειγμα, στην D<sub>4</sub> παραπάνω, μόλις πραγματοποιήσουμε μετατόπιση, το τετράγωνο δεν επιστρέφει στη θέση r<sub>2</sub> με απλή εφαρμογή στροφής, δηλαδή η πράξη της στροφής δεν σχετίζεται με τον αν έχει πραγματοποιηθεί μετατόπιση. Τα σύμπλοκα χρησιμοποιούνται για να λυθεί αυτό το πρόβλημα: μια υποομάδα ''H'' ορίζει το δεξιό και αριστερό σύμπλοκο, τα οποία μπορούν να θεωρηθούν ως μετατοπίσεις της ''H'' από κάποιο τυχαίο στοιχείο ''g''. Το αριστερό και δεξιό σύμπλοκο της ''H'' που περιέχουν το ''g'' συμβολίζονται ως

:{{nowrap begin}}''gH'' = {''g • h'':''h'' ∈ ''H''}{{nowrap end}} και{{nowrap begin}}''Hg'' = {''h • g'':''h'' ∈ ''H''}{{nowrap end}}, αντίστοιχα.

Τα σύμπλοκα οποιασδήποτε υποομάδας ''H'' σχηματίζουν μία διαμέριση της ''G''. Δηλαδή, η ένωση όλων των αριστερών συμπλόκων σχηματίζει την ''G'' και δύο αριστερά σύμπλοκα είτε ταυτίζονται είτε η τομή τους είναι το κενό. Στην πρώτη περίπτωση, το ''g''<sub>1</sub>''H'' = ''g''<sub>2</sub>''H''{{nowrap end}} ισχύει όταν και μόνο όταν {{nowrap|''g''<sub>1</sub><sup>&minus;1</sup> • ''g''<sub>2</sub> ∈ ''H''}}, δηλαδή όταν δύο στοιχεία διαφέρουν κατά ένα στοιχείο της ''H''. Όμοια και για το δεξιό σύμπλοκο. Τα αριστερά και δεξιά σύμπλοκα της ''H'' δεν είναι κατ’ ανάγκη ίσα. Αν είναι ίσα, δηλαδή αν για κάθε ''g'' της ''G'', ισχύει ''gH''&nbsp;=&nbsp;''Hg'', τότε η ''H'' ονομάζεται κανονική υποομάδα της ''G''.

Στην D<sub>4</sub>, την εισαγωγική ομάδα [[Συμμετρία στα μαθηματικά|συμμετρίας]], τα αριστερά σύμπλοκα ''gR'' της υποομάδας ''R'' που αποτελείται από τις περιστροφές, είναι είτε ίσα με ''R'', αν το ''g'' ανήκει στο ίδιο το ''R'' είτε ίσα με {{nowrap begin}}''U'' = f<sub>c</sub>''R'' = {f<sub>c</sub>, f<sub>v</sub>, f<sub>d</sub>, f<sub>h</sub>}{{nowrap end}} (που είναι σκιασμένο με πράσινο). Η υποομάδα ''R'' είναι κι αυτή κανονική, επειδή {{nowrap begin}}f<sub>c</sub>''R'' = ''U'' = ''R''f<sub>c</sub>{{nowrap end}} και το ίδιο ισχύει για κάθε άλλο στοιχείο πέρα απ’ το f<sub>c</sub>.

=== Σύνολο πηλίκο===
{{Main| Σύνολο πηλίκο }}
Κάποιες φορές, το σύνολο των υποσυνόλων μιας υποομάδας διέπεται από τις ιδιότητες της ομάδας, και προκύπτει έτσι το σύνολο πηλίκο. Για να γίνει αυτό, μια υποομάδα πρέπει να είναι κανονική. Για οποιαδήποτε υποομάδα N, το σύνολο πηλίκο ορίζεται ως
:''G'' / ''N'' = {''gN'', ''g'' ∈ ''G''}, "''G'' modulo ''N''".
Αυτό το σύνολο υιοθετεί την πράξη (που πολλές φορές την ονομάζουμε [[Πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμό]] ή [[πρόσθεση]]) της ομάδας ''G'': {{nowrap begin}}(''gN'') • (''hN'') = (''gh'')''N''{{nowrap end}} για κάθε g και h της G. Αυτός ο ορισμός προκύπτει ξέροντας ότι η απεικόνιση {{nowrap|''G'' → ''G'' / ''N''}} που στέλνει κάθε στοιχείο g στο σύμπλοκο gN, είναι [[ομομορφισμός]] ομάδων. Το υποσύνολο eN=N είναι το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας και το αντίστροφο του gN στο σύνολο πηλίκο είναι το στοιχείο {{nowrap begin}}(''gN'')<sup>&minus;1</sup> = (''g''<sup>&minus;1</sup>)''N''.{{nowrap end}}{{cref|e}}

{| class="wikitable" border="1" style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em;"
|-
!width="30px"| •
!width="33%"| R
!width="33%"| U
|-
! ''R''
| ''R'' || ''U''
|-
! ''U''
| ''U'' || ''R''
|-
|colspan=3 style="text-align:left"|Πίνακας του σύνολου πηλίκου {{nowrap|D<sub>4</sub> / ''R''}}
|}
Τα στοιχεία του σύνολου πηλίκου {{nowrap|D<sub>4</sub> / ''R''}} είναι το ίδιο το R, που είναι το μοναδιαίο στοιχείο, καθώς και το {{nowrap begin}}''U'' = f<sub>v</sub>''R''{{nowrap end}}. Η πράξη του σύνολου πηλίκου αναπαριστάται στον διπλανό πίνακα. Για παράδειγμα, {{nowrap begin}}''U'' • ''U'' = f<sub>v</sub>''R'' • f<sub>v</sub>''R'' = (f<sub>v</sub> • f<sub>v</sub>)''R'' = ''R''{{nowrap end}}. Η υποομάδα {{nowrap begin}}''R'' = {id, r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, r<sub>3</sub>}{{nowrap end}}, καθώς και το αντίστοιχο σύνολο πηλίκο, είναι αβελιανές ομάδες, ενώ το D<sub>4</sub> δεν είναι [[αβελιανή ομάδα]]. Ο σχηματισμός μεγαλύτερων ομάδων από την ένωση μικρότερων, όπως για παράδειγμα η ομάδα D<sub>4</sub> που σχηματίζεται από την υποομάδα ''R'' και το σύνολο πηλίκο {{nowrap|D<sub>4</sub> / ''R''}} προκύπτει από ως ημιευθύ [[γινόμενο]].

Τα σύνολα πηλίκα και οι υποομάδες μπορούν να περιγράψουν μια ομάδα ως εξής: κάθε ομάδα είναι το πηλίκο της ελεύθερης ομάδας προς τους γεννήτορες της ομάδας, διαιρούμενοι από την υποομάδα των σχέσεων. Η διεδρική ομάδα D<sub>4</sub>, για παράδειγμα, παράγεται από δύο στοιχεία ''r'' και ''f'' (π.χ., ''r''&nbsp;=&nbsp;r<sub>1</sub>, η δεξιά στροφή και ''f''&nbsp;=&nbsp;f<sub>v</sub> η κάθετη (ή οποιαδήποτε άλλη) μετατόπιση), που σημαίνει ότι κάθε συμμετρία του τετραγώνου είναι πεπερασμένη σύνθεση αυτών των δύο συμμετριών ή των αντιστρόφων τους. Μαζί με τις σχέσεις
:''r ''<sup>4</sup>&nbsp;=&nbsp;''f ''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;(''r'' • ''f'')<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1, η ομάδα περιγράφεται πλήρως. Κάτι τέτοιο μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή του γραφήματος Cayley, που είναι ένας μηχανισμός για τη γραφική απεικόνιση διακριτών ομάδων.

Οι υποομάδες και τα σύνολα πηλίκα σχετίζονται ως εξής: ένα υποσύνολο Η της G μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση ένα προς ένα {{nowrap|''H'' → ''G''}}, δηλαδή κάθε όρισμα αντιστοιχίζεται σε αποκλειστικά δική του τιμή. Αντίστοιχα με τις ένα προς ένα, υπάρχουν και οι επί συναρτήσεις (κάθε στοιχείο του G είναι εικόνα κάποιου στοιχείου στο H), όπως για παράδειγμα η κανονική συνάρτηση {{nowrap|''G'' → ''G'' / ''N''}}.{{cref|y}} Η ερμηνεία των υποομάδων και των συνόλων πηλίκων υπό το πρίσμα των ομομορφισμών, δίνει έμφαση στις δομές αυτών των ορισμών που αναφέρθηκαν στην εισαγωγή. Γενικά, οι ομομορφισμοί δεν είναι ούτε ένα προς ένα [[Συνάρτηση|συναρτήσεις]], ούτε επί. Ο πυρήνας και η εικόνα μιας ομάδας ομομορφισμών, καθώς και το πρώτο θεώρημα του [[Ισομορφισμός|ισομορφισμού]] το αποδεικνύουν.

==Παραδείγματα και εφαρμογές==
{{multiple image
| align     = right
| direction = vertical
| width     = 180
| image1    = Wallpaper group-cm-6.jpg
| width1    = 150
| caption1  = Ταπετσαρία με περιοδικό μοτίβο που δημιουργεί μια ομάδα από ταπετσαρίες.
| image2    = Fundamental group.svg
| width2    = 180
| caption2  = Η θεμελιώδης ομάδα ενός επιπέδου, εξαιρουμένου ενός σημείου (αυτό που είναι έντονο) που περιλαμβάνει βρόχους γύρω από το σημείο αυτό. Αυτή η ομάδα είναι ισόμορφη με τους ακεραίους.
}}
Υπάρχουν αμέτρητα παραδείγματα και εφαρμογές για τις ομάδες. Πρώτα απ’ όλα, το σύνολο Z των [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιων]] εφοδιασμένο με την πράξη της [[πρόσθεση]]ς, που περιγράφεται παραπάνω. Αν αντί για την πρόσθεση χρησιμοποιήσουμε τον [[Πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμό]], προκύπτουν πολλαπλασιαστικές ομάδες. Αυτές οι ομάδες είναι προκάτοχοι σημαντικών κατασκευών της αφηρημένης άλγεβρας. Οι ομάδες χρησιμοποιούνται επίσης και σε άλλους τομείς των [[Μαθηματικά|μαθηματικών]].

Διάφορα μαθηματικά αντικείμενα εξετάζονται συνήθως ταξινομώντας τα σε ομάδες και μελετώντας τις ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, ο [[Ανρί Πουανκαρέ]] δημιούργησε αυτό που λέμε σήμερα [[αλγεβρική τοπολογία]], ορίζοντας τη θεμελιώδη ομάδα. Μέσω αυτής της σύνδεσης, τοπολογικές ιδιότητες όπως η ανοιχτή περιοχή και η συνέχεια προκύπτουν ως ιδιότητες των ομάδων. Για παράδειγμα, στοιχεία της θεμελιώδους ομάδας αναπαριστώνται από βρόχους. Η δεύτερη εικόνα στα δεξιά δείχνει βρόχους στον χώρο, γύρω από ένα σημείο που δεν ανήκει στον βρόχο. Ο μπλε βρόχος θεωρείται μη [[Ομοτοπία|ομοτοπικός]] (γι’ αυτό και άσχετος), επειδή μπορεί να μικραίνει συνεχώς, μέχρι ένα σημείο. Η ύπαρξη της τρύπας εμποδίζει τον πορτοκαλί βρόχο να μικραίνει μέχρι ένα σημείο. Η θεμελιώδης ομάδα του επιπέδου που δεν περιλαμβάνει ένα σημείο, προκύπτει ως ένας άπειρος κύκλος, που παράγεται από τον πορτοκαλί βρόχο (ή οποιονδήποτε άλλον βρόχο που περιστρέφεται γύρω από την τρύπα). Με αυτόν τον τρόπο, η θεμελιώδης ομάδα ανιχνεύει την τρύπα.

Σε πιο πρόσφατες εφαρμογές, η επίδραση έχει επίσης αντιστραφεί για να παρακινήσει γεωμετρικές κατασκευές στη θεωρία ομάδων. Με παρόμοιο τρόπο, η [[γεωμετρική θεωρία ομάδων]] ασχολείται με γεωμετρικές έννοιες, όπως για παράδειγμα, τη μελέτη των υπερβολικών ομάδων. Άλλοι τομείς στους οποίους χρησιμοποιείται η θεωρία ομάδων είναι η [[αλγεβρική γεωμετρία]] και η [[θεωρία αριθμών]]. Εκτός από τις παραπάνω θεωρητικές εφαρμογές, υπάρχουν πολλές πρακτικές εφαρμογές των ομάδων. Η [[κρυπτογραφία]] βασίζεται στο συνδυασμό της αφηρημένης προσέγγισης της θεωρίας ομάδων και στις γνώσεις πάνω στους [[Αλγόριθμος|αλγορίθμους]] που αποκτήθηκαν στην υπολογιστική θεωρία ομάδων, ιδίως όταν εφαρμόζεται για πεπερασμένες ομάδες. Οι εφαρμογές της θεωρίας ομάδων δεν περιορίζονται στα μαθηματικά. Επιστήμες όπως η [[φυσική]], η [[χημεία]] και η [[επιστήμη υπολογιστών]] ωφελούνται σε μεγάλο βαθμό από την θεωρία ομάδων.

=== Αριθμοί ===
Πολλά αριθμητικά συστήματα, όπως οι [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιοι]] και οι [[Ρητός αριθμός|ρητοί]], ανήκουν εκ φυσικού σε [[Σύνολο|σύνολα]] που συμπεριφέρονται ως ομάδες. Σε μερικές περιπτώσεις, όπως συμβαίνει με τους ρητούς, και η [[πρόσθεση]] και ο [[πολλαπλασιασμός]] δημιουργούν ομάδες. Τέτοια αριθμητικά συστήματα είναι προκάτοχοι κάποιων άλλων γενικών αλγεβρικών εννοιών, γνωστοί ως [[Δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιοι]] και [[Σώμα (άλγεβρα)|σώματα]]. Άλλες έννοιες της [[Αφηρημένη άλγεβρα|αφηρημένης άλγεβρας]], όπως τα [[Πρότυπο (άλγεβρα)|πρότυπα]], οι [[Διανυσματικός χώρος|διανυσματικοί χώροι]] και οι άλγεβρες, σχηματίζουν επίσης ομάδες.

==== Ακέραιοι ====
Το σύνολο των [[Ακέραιος αριθμός|ακεραίων]] '''Z''' εφοδιασμένο με την [[πρόσθεση]], συμβολίζεται ως ('''Z''', +), και αναφέρθηκε παραπάνω. Οι ακέραιοι, με την πράξη του [[Πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμού]] αντί για την πρόσθεση, δηλαδή το ('''Z''',&nbsp;·) δεν αποτελούν ομάδα. Ενώ πληρούνται όλες οι ιδιότητες της ομάδας, δεν υπάρχει το αντίστροφο στοιχείο: για παράδειγμα, το {{nowrap begin}}''a'' = 2{{nowrap end}} είναι ένας ακέραιος, αλλά η μόνη λύση της εξίσωσης {{nowrap begin}}''a · b'' = 1{{nowrap end}} είναι το ''b'' = 1/2, που ανήκει στους ρητούς και όχι στους ακέραιους. Οπότε, δεν υπάρχει το (πολλαπλασιαστικό) αντίστροφο στοιχείο για κάθε στοιχείο του '''Z'''.{{cref|k}}

==== Ρητοί ====
Η ανάγκη ύπαρξης αντιστρόφων στον [[Πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμό]] μας οδηγεί στη χρήση κλασμάτων
:<math alt="a/b">\frac{a}{b}.</math>
Τα κλάσματα ακεραίων (με ''b''διάφορο του [[0 (αριθμός)|μηδενός]]) ονομάζονται [[Ρητός αριθμός|ρητοί αριθμοί]]. Το σύνολο όλων αυτών των [[Κλάσμα|κλασμάτων]] συμβολίζεται ως '''Q'''. Υπάρχει ακόμα ένα μικρό εμπόδιο για να αποτελέσει ομάδα το {{nowrap|('''Q''', ·),}} το σύνολο των ρητών με τον πολλαπλασιασμών. Ο ρητός αριθμός [[0 (αριθμός)|0]] δεν έχει αντίστροφο (δηλαδή δεν υπάρχει ''x'' τέτοιο ώστε {{nowrap begin}}''x'' · 0 = 1{{nowrap end}}), οπότε το ('''Q''',&nbsp;·) δεν είναι ομάδα.

Ωστόσο, το σύνολο όλων των μη μηδενικών ρητών αριθμών {{nowrap begin}}'''Q''' \ {0} = {''q'' ∈ '''Q''', ''q'' ≠ 0}{{nowrap end}} είναι [[αβελιανή ομάδα]] με πράξη τον πολλαπλασιασμό και συμβολίζεται ως {{nowrap|('''Q''' \ {0}, ·)}}.{{cref|m}} Η προσεταιριστικότητα και το μοναδιαίο στοιχείο είναι επακόλουθα των ιδιοτήτων των ακεραίων. Η [[κλειστότητα]] όμως δεν ισχύει, εφόσον το γινόμενο δύο μη μηδενικών ρητών δεν είναι ποτέ μηδέν. Τέλος, ο αντίστροφος του ''a''/''b'' είναι ο ''b''/''a'', οπότε ικανοποιείται η ιδιότητα του αντίστροφου στοιχείου.

Οι ρητοί αριθμοί (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός) σχηματίζουν ομάδα με την πράξη της [[πρόσθεση]]ς. Συνδέοντας την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμού, προκύπτουν πιο περίπλοκες δομές που ονομάζονται δακτύλιοι και - αν μπορούμε να κάνουμε διαίρεση, όπως στο '''Q'''— προκύπτουν τα σώματα, που καταλαμβάνουν κεντρική θέση στην αφηρημένη άλγεβρα. Οπότε πολλά επιχειρήματα της θεωρίας ομάδων αποτελούν τη βάση για δομές σαν αυτές.{{cref|n}}

===Αριθμητική μέτρου===
[[File:Clock group.svg|thumb|right|Οι ώρες στο ρολόι σχηματίζουν μια ομάδα που χρησιμοποιεί πρόσθεση modulo 12. Εδώ, 9+4=1]]
Στην αριθμητική μέτρου, δύο [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιοι]] προστίθενται, και μετά το [[Άθροιση|άθροισμά]] τους διαιρείται από τον [[Θετικός αριθμός|θετικό]] ακέραιο που ονομάζεται ''modulus.'' Το αποτέλεσμα της αριθμητικής μέτρου είναι το υπόλοιπο αυτής της [[διαίρεση]]ς. Για κάθε modulus, το ''n'', το σύνολο των ακεραίων από 0 μέχρι ''n''&minus;1 σχηματίζει ομάδα υπό την αριθμητική μέτρου: το αντίστροφο ενός στοιχείου ''a'' είναι το ''n''&minus;''a'', και το 0 είναι το μοναδιαίο στοιχείο. Αυτό θυμίζει τις ώρες των [[Ρολόι|ρολογιών]]: αν ο δείκτης του ρολογιού είναι στο 9 και προχωρήσει κατά 4 ώρες, θα καταλήξει στο 1, όπως φαίνεται στα δεξιά. Μπορούμε δηλαδή να πούμε ότι 9 + 4 ίσον 1 "modulo 12" ή συμβολίζοντάς το έτσι:
:9 + 4 ≡ 1 modulo 12.
Η ομάδα των ακεραίων modulo ''n'' γράφεται Z<sub>''n''</sub> or Z/''n''Z.

Για κάθε πρώτο αριθμό ''p'', υπάρχει επίσης η πολλαπλασιαστική ομάδα ακεραίων modulo ''p''. Τα στοιχεία του είναι οι ακέραιοι 1 έως ''p''&minus;1. Η πράξη της ομάδας είναι ο [[πολλαπλασιασμός]] modulo ''p''. Δηλαδή, το σύνηθες γινόμενο διαιρείται με ''p'' και το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού κατά modulo. Για παράδειγμα, αν {{nowrap begin}}''p'' = 5{{nowrap end}}, υπάρχουν τέσσερα στοιχεία της ομάδας 1, 2, 3, 4. Σε αυτήν την ομάδα, {{nowrap begin}}4 · 4 = 1{{nowrap end}}, επειδή το σύνηθες γινόμενο 16 είναι ισοδύναμο με 1, αφού όταν διαιρεθεί με το 5 δίνει υπόλοιπο 1. Αυτό συμβολίζεται ως:
:16 ≡ 1 (mod 5).
Το ότι ο ''p'' είναι πρώτος διασφαλίζει ότι το [[γινόμενο]] των δύο ακεραίων, απ’ τους οποίους κανείς δεν διαιρείται από το ''p'' δεν θα είναι επίσης [[Πολλαπλάσιο (μαθηματικά)|πολλαπλάσιο]] του ''p'', οπότε το σύνολο των κλάσεων θα είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό. Το μοναδιαίο στοιχείο είναι το 1, όπως συνηθίζεται στις πολλαπλασιαστικές ομάδες, και η προσεταιριστικότητα προκύπτει από την αντίστοιχη ιδιότητα των ακεραίων. Τέλος, το αντίστροφο στοιχείο προϋποθέτει ότι αν δίνεται ένας ακέραιος ''a'' που δεν διαιρείται με το ''p'', υπάρχει ένας ακέραιος ''b'' τέτοιος ώστε
:''a''&nbsp;·&nbsp;''b''&nbsp;≡&nbsp;1 (mod ''p''), δηλαδή ο ''p'' διαιρεί τη διαφορά {{nowrap|''a'' · ''b'' &minus; 1}}.
Ο αντίστροφος ''b'' μπορεί να βρεθεί με τη χρήση της [[Ταυτότητα του Μπεζού|ταυτότητας του Μπεζού]] και το γεγονός ότι ο [[μέγιστος κοινός διαιρέτης]] μ.κ.δ{{nowrap|gcd(''a'', ''p'')}} ισούται με 1. Στην περίπτωση παραπάνω όπου {{nowrap begin}}''p'' = 5{{nowrap end}}, το αντίστροφο του 4 είναι 4, και το αντίστροφο του 3 είναι 2, αφού {{nowrap begin}}3 · 2 = 6 ≡ 1 (mod 5).{{nowrap end}} Ως εκ τούτου, πληρούνται όλες οι ιδιότητες της ομάδας. Στην πραγματικότητα, αυτό το παράδειγμα είναι παρόμοιο με το (Q\{0}, ·) που αναφέρθηκε παραπάνω: αποτελείται από τα στοιχεία του Z/''p''Z που έχουν μια αντίστροφο με πράξη τον πολλαπλασιασμό. Οι ομάδες αυτές συμβολίζονται ως F<sub>''p''</sub><sup>×</sup>. Είναι ζωτικής σημασίας για την [[κρυπτογράφηση]] κωδίκων.{{cref|p}}

===Κυκλικές ομάδες===
{{Main|Κυκλική ομάδα}}
[[Image:Cyclic group.svg|right|thumb|upright|Η έκτες μιγαδικές ρίζες της [[1 (αριθμός)|μονάδας]] σχηματίζουν μια κυκλική ομάδα. Το ''z'' είναι το πρωτεύον στοιχείο, αλλά το''z''<sup>2</sup> δεν είναι, επειδή οι άρτιες δυνάμεις του ''z'' δεν είναι δύναμη του ''z''<sup>2</sup>.]]
Μια κυκλική ομάδα είναι η ομάδα της οποίας όλα τα στοιχεία προκύπτουν από δυνάμεις ενός συγκεκριμένου στοιχείου ''a''. Με πολλαπλασιαστικό συμβολισμό, τα στοιχεία της ομάδας θα είναι:
:..., ''a''<sup>&minus;3</sup>, ''a''<sup>&minus;2</sup>, ''a''<sup>&minus;1</sup>, ''a''<sup>0</sup> = ''e'', ''a'', ''a''<sup>2</sup>, ''a''<sup>3</sup>, ...,
όπου ''a''<sup>2</sup> σημαίνει ''a'' • ''a'', και ''a<sup>&minus;3</sup>'' σημαίνει ''a''<sup>&minus;1</sup> • ''a''<sup>&minus;1</sup> • ''a''<sup>&minus;1</sup>=(''a'' • ''a'' • ''a'')<sup>&minus;1</sup> κτλ.{{cref|h}} Ένα τέτοιο στοιχείο ''a'' ονομάζεται γεννήτορας ή αρχικό στοιχείο της ομάδας. Στην πρόσθεση, ένα στοιχείο είναι γεννήτορας όταν όλα τα υπόλοιπα στοιχεία μπορούν να γραφτούν ως
: ..., &minus;''a''&minus;''a'', &minus;''a'', 0, ''a'', ''a''+''a'', ...

Στις ομάδες Z/''n''Z που αναφέρθηκαν παραπάνω, το στοιχείο 1 είναι γεννήτορας, οπότε αυτές οι ομάδες είναι κυκλικές. Πράγματι, κάθε στοιχείο εκφράζεται ως ένα [[Άθροιση|άθροισμα]] του οποίου όλοι οι όροι ισούνται με 1. Κάθε κυκλική ομάδα με ''n'' στοιχεία είναι [[Ισομορφισμός|ισόμορφη]] αυτής της ομάδας. Ένα δεύτερο παράδειγμα για τις κυκλικές ομάδες είναι η ομάδα των ''n''-οστών μιγαδικών ριζών της μονάδας, που προκύπτουν από τους [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικούς αριθμούς]] ''z'' που ικανοποιούν την [[εξίσωση]] {{nowrap begin}}''z''<sup>''n''</sup> = 1{{nowrap end}}. Αυτοί οι αριθμοί μπορούν να παρασταθούν ως οι κορυφές ενός [[Κανονικό πολύγωνο|κανονικού]] ''n''-γώνου, όπως φαίνεται στα δεξιά με μπλε χρώμα για {{nowrap begin}}''n'' = 6{{nowrap end}}. Η πράξη της ομάδας είναι ο [[πολλαπλασιασμός]] των μιγαδικών αριθμών. Στην εικόνα, πολλαπλασιάζοντας με το ''z'' αντιστοιχεί σε μια αριστερόστροφη [[περιστροφή]] κατά 60°. Χρησιμοποιώντας τη θεωρία σωμάτων, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ομάδα F<sub>''p''</sub><sup>×</sup> είναι κυκλική: για παράδειγμα, αν {{nowrap begin}}''p'' = 5,{{nowrap end}} το 3 είναι γεννήτορας, δεδομένου ότι {{nowrap begin}}3<sup>1</sup> = 3,{{nowrap end}} {{nowrap begin}}3<sup>2</sup> = 9 ≡ 4,{{nowrap end}} {{nowrap begin}}3<sup>3</sup> ≡ 2,{{nowrap end}} and {{nowrap begin}}3<sup>4</sup> ≡ 1.{{nowrap end}}

Ορισμένες κυκλικές ομάδες έχουν άπειρο αριθμό στοιχείων. Σε αυτές τις ομάδες, για κάθε μη μηδενικό στοιχείο ''a'', όλες οι δυνάμεις του ''a'' είναι διαφορετικές. Παρά την ονομασία "κυκλική ομάδα", οι δυνάμεις των στοιχείων δεν δημιουργούν [[Κύκλος|κύκλο]]. Μια άπειρη κυκλική ομάδα είναι ισόμορφη με την (Z, +), την ομάδα των ακέραιων υπό την πράξη της πρόσθεσης που αναφέρθηκε παραπάνω. Όπως και αυτές οι δύο είναι [[Αβελιανή ομάδα|αβελιανές]], έτσι και όλες οι κυκλικές ομάδες είναι αβελιανές.

Η μελέτη των πεπερασμένων αβελιανών ομάδων έχει προχωρήσει αρκετά, συμπεριλαμβανομένου και του θεμελιώδους θεωρήματος των πεπερασμένων παραγόμενων αβελιανών ομάδων. Έτσι, πολλές θεωρίες που σχετίζονται με τις ομάδες, όπως το κέντρο και ο αντιμεταθέτης, περιγράφουν πότε μια ομάδα δεν είναι αβελιανή.

===Ομάδες συμμετρίας===
{{Main|Ομάδα συμμετρίας}}
Οι ομάδες συμμετρίας είναι ομάδες που αποτελούνται από συμμετρίες δοθέντων μαθηματικών αντικειμένων – είτε γεωμετρικής φύσης, όπως η εισαγωγική συμμετρική ομάδα του τετραγώνου, ή αλγεβρικής φύσης, όπως οι πολυωνυμικές εξισώσεις και οι λύσεις τους. Από εννοιολογικής άποψης, η θεωρία ομάδων μπορεί να θεωρηθεί ως η μελέτη της [[Συμμετρία στα μαθηματικά|συμμετρίας]].{{cref|t}} Οι συμμετρίες στα μαθηματικά απλοποιούν σημαντικά τη μελέτη των γεωμετρικών ή αναλυτικών αντικείμενων. Μια ομάδα λέγεται ότι δρα σε ένα άλλο μαθηματικό αντικείμενο ''X'' εάν κάθε στοιχείο της ομάδας εκτελεί κάποια λειτουργία στο ''X'' και είναι συμβατή με τους κανόνες της ομάδας. Στο παρακάτω παράδειγμα δεξιά, ένα στοιχείο τάξης 7 της (2,3,7) τριγωνικής ομάδας δρα με μετάθεση των επισκιασμένων πλαγίων τρίγωνων. Από μια ομάδα δράσης, το μοτίβο της ομάδας είναι συνδεδεμένο με τη δομή του αντικειμένου που ενήργησε.

[[Image:Sixteenth stellation of icosahedron.png|right|thumb|200px|[[Περιστροφή|Περιστροφές]] και μετατοπίσεις αποτελούν την ομάδα συμμετρίας ενός μεγάλου [[εικοσάεδρο]]υ.]]
Σε τομείς χημικών προϊόντων, όπως η [[κρυσταλλογραφία]], ομάδες χώρων και ομάδες σημείων περιγράφουν τη μοριακή συμμετρία και τις κρυσταλλικές συμμετρίες. Αυτές οι συμμετρίες διέπουν τη χημική και φυσική συμπεριφορά των συστημάτων αυτών και της [[Θεωρία ομάδων|θεωρίας ομάδων]] επιτρέπει την απλούστευση της κβαντικής μηχανικής ανάλυσης των ιδιοτήτων αυτών. Για παράδειγμα, η θεωρία ομάδων χρησιμοποιείται για να δείξει κανείς ότι οι οπτικές μεταβάσεις μεταξύ ορισμένων κβαντικών επιπέδων δεν μπορεί να γίνει εξαιτίας της εμπλεκόμενης συμμετρίας των κανόνων.

Δεν είναι μόνο οι ομάδες χρήσιμες για την εκτίμηση των επιπτώσεων των συμμετριών στα [[Μόριο|μόρια]], αλλά εκπληκτικά αυτά προβλέπουν επίσης ότι τα μόρια μερικές φορές μπορεί να αλλάξουν συμμετρία. Η επίδραση Τζιάν-Τέλερ (Jahn-Teller effect) είναι μια στρέβλωση του ενός μορίου της υψηλής συμμετρίας, όταν υιοθετεί μια συγκεκριμένη κατάσταση του εδάφους της συμμετρίας κάτω από ένα σύνολο των πιθανών καταστάσεων του εδάφους που σχετίζονται με κάθε άλλη από τις πράξεις συμμετρίας του μορίου.

Ομοίως, η θεωρία ομάδων βοηθά στην πρόβλεψη των αλλαγών στις [[Φυσική ιδιότητα|φυσικές ιδιότητες]] που συμβαίνουν όταν ένα υλικό υποβάλλεται σε μια μεταβατική φάση, για παράδειγμα, ένα κυβικό σε μια τετραεδρική κρυσταλλική μορφή. Ένα παράδειγμα είναι σιδηροηλεκτρικά υλικά, όπου η αλλαγή από παραηλεκτρική σε ένα σιδεροηλεκτρική κατάσταση λαμβάνει χώρα στη [[Θερμοκρασία Κιρί]] και σχετίζεται με μια αλλαγή από την κατάσταση υψηλής συμμετρίας παραηλεκτρικής κατάστασης χαμηλότερης σιδηροηλεκτρικής συμμετρίας, που συνοδεύεται από μια λεγόμενη μαλακή λειτουργία, μια παλμική λειτουργία πλέγματος που πηγαίνει στο μηδέν συχνότητα κατά τη μετάβαση.

Τέτοιο αυθόρμητο σπάσιμο της συμμετρίας βρίσκει εφαρμογή στην φυσική των στοιχειωδών σωματιδίων, όπου η εμφάνισή της σχετίζεται με την εμφάνιση των μποζονίων Γκολντστόουν.

{| class="wikitable" border="1" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
|width=15%| [[Image:C60a.png|125px]]
|width=20%| [[Image:Ammonia-3D-balls-A.png|125px]]
|width=14%| [[Image:Cubane-3D-balls.png|125px]]
|width=36%| [[Image:Hexaaquacopper(II)-3D-balls.png|125px]]
|width=15%| [[Image:Uniform tiling 73-t2 colored.png|125px]]
|-
| Το Buckminsterfullerene δείχνει<br /> την ισοεδρική συμμετρία.
|[[Αμμωνία]], NH<sub>3</sub>. Η ομάδα συμμετρίας της είναι τάξης 6 και δημιουργείται από στροφή 120° και αντικατοπτρισμό.
|Τα κυβάνια C<sub>8</sub>H<sub>8</sub> έχουν <br />οκταεδρική συμμετρία.
|Hexaaquacopper(II) περίπλοκο [[ιόν]], [Cu(OH<sub>2</sub>)<sub>6</sub>]<sup>2+</sup>. Σε σύγκριση με ένα τέλεια συμμετρικό σχήμα, το [[μόριο]] είναι κάθετα διεσταλμένο κατά 22% (επίδραση Τζιάν-Τέλερ).
|Η τριγωνική ομάδα (2,3,7), μια υπερβολική ομάδα.
|}

Οι πεπερασμένες ομάδες συμμετρίας, όπως οι ομάδες Μάθιου (Mathieu), χρησιμοποιούνται στη θεωρία κωδικοποίησης, η οποία με τη σειρά της εφαρμόζεται στην διόρθωση σφαλμάτων των μεταδιδόμενων δεδομένων και σε συσκευές αναπαραγωγής CD. Μια άλλη εφαρμογή είναι η διαφορική [[θεωρία Γκαλουά]], η οποία χαρακτηρίζει τις συναρτήσεις που έχουν αντιπαράγωγου της προκαθορισμένης μορφής , δίνοντας κριτήρια θεωρίας ομάδων για το πότε οι λύσεις ορισμένων [[Διαφορική εξίσωση|διαφορικών εξισώσεων]] είναι καλά ορισμένες. Οι γεωμετρικές ιδιότητες που παραμένουν σταθερές στο πλαίσιο των δράσεων της ομάδας μελετώνται στη θεωρία (γεωμετρικής) μεταβλητότητας.

===Γενική γραμμική ομάδα και θεωρία εκπροσώπησης===
[[Image:Matrix multiplication.svg|right|thumb|250px|Δύο [[Διάνυσμα|διανύσματα]] (η αριστερή εικόνα) πολλαπλασιαζόμενα με πίνακες (τα μεσαία και η δεξιά εικόνα). Η μεσαία εικόνα αντιπροσωπεύει μια δεξιόστροφη [[περιστροφή]] κατά 90[[Μοίρα (γεωμετρία)|°]], ενώ οι πιο δεξιά ένα τεντώνει το x-συντεταγμένη κατά ένα παράγοντα 2.]]
Οι ομάδες πινάκων αποτελούνται από [[Πίνακας (μαθηματικά)|πίνακες]] με πράξη τον [[Πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμό]] πινάκων. Η γενική γραμμική ομάδα <math>GL_n(\R)</math> αποτελείται από όλους τους [[αντιστρέψιμος πίνακας|αντιστρέψιμους]] <math>n \times n</math> πίνακες με πραγματικά στοιχεία. Οι υποομάδες της αναφέρονται ως ομάδες πινάκων ή γραμμικές ομάδες. Το παράδειγμα της διεδρικής ομάδας που αναφέρθηκε παραπάνω μπορεί να θεωρηθεί ως μια (πολύ μικρή) ομάδα πινάκων. Μια άλλη σημαντική ομάδα πινάκων είναι η [[ειδική ορθογώνια ομάδα]] <math>SO_n</math>. Περιγράφει όλες τις πιθανές περιστροφές σε <math>n</math> διαστάσεις. Μέσω [[Γωνία Όιλερ|γωνιών Όιλερ]], οι πίνακες περιστροφής χρησιμοποιούνται σε [[γραφικά υπολογιστών]].

Η θεωρία εκπροσώπησης είναι εφαρμογή της έννοιας της ομάδας και σημαντική για μια βαθύτερη κατανόηση των ομάδων. Μελετά την ομάδα από τις ενέργειες του [[Διανυσματικός χώρος|διανυσματικού χώρου]] σε άλλους χώρους. Μια ευρεία κατηγορία των αναπαραστάσεων της ομάδας είναι γραμμικές αναπαραστάσεις, δηλαδή η ομάδα που δρα σε ένα χώρο φορέα, όπως ο τρισδιάστατος [[ευκλείδειος χώρος]] <math>\R^3</math>. Μια αναπαράσταση του <math>G</math> σε ένα <math>n</math>-διάστατο [[διάνυσμα]] πραγματικού χώρου είναι απλά μια ομάδα ομομορφισμού
:<math>\rho : G \to GL_n(\R)</math>
από την ομάδα στη γενική γραμμική ομάδα. Με αυτόν τον τρόπο, η λειτουργία της ομάδας, η οποία μπορεί να δοθεί αφηρημένα, μεταφράζεται στον [[Πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμό]] των πινάκων καθιστώντας προσιτό στους ρητούς υπολογισμούς. Λαμβάνοντας υπόψη μια ομάδα δράσης, αυτό δίνει περαιτέρω μέσα για να μελετήσουν το αντικείμενο που μελετάται. Από την άλλη πλευρά, δίνει επίσης πληροφορίες σχετικά με την ομάδα. Αναπαραστάσεις ομάδας είναι μια οργανωτική αρχή στη θεωρία των πεπερασμένων ομάδων, ομάδες Λι, αλγεβρικές ομάδες και τοπολογικές ομάδες, ειδικά (τοπικά) συμπαγείς ομάδες.

=== Ομάδες Γκαλουά (Galois) ===
{{Main|Ομάδες Γκαλουά}}
Οι ομάδες Γκαλουά αναπτύχθηκαν για να βοηθήσουν στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων, αναπαριστώντας αποδοτικά τα χαρακτηριστικά [[Συμμετρία στα μαθηματικά|συμμετρίας]] τους. Για παράδειγμα, οι λύσεις της [[εξίσωση]]ς <math>ax^2 + bx + c = 0</math> δίνονται από
:<math>x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.</math>
Ανταλλάσσοντας τα "+" και "-" στην έκφραση (δηλαδή μετατίθοντας τις δύο λύσεις της εξίσωσης) μπορεί να θεωρηθεί ως μια (πολύ απλή) πράξη ομάδας. Παρόμοιοι τύποι είναι γνωστοί για εξισώσεις 3ου κ 4ου βαθμού, αλλά δεν υπάρχουν σε γενικές γραμμές για 5ου βαθμού και άνω. Αφηρημένες ιδιότητες των ομάδων Γκαλουά που συνδέονται με [[Πολυώνυμο|πολυώνυμα]] (ιδίως στην επιλυσιμότητά τους) μπορούν να δώσουν ένα κριτήριο για πολυώνυμα που έχουν όλες τις λύσεις τους, και να εκφραστεί μόνο από [[πρόσθεση]], [[Πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμό]] και [[Νιοστή ρίζα|ρίζες]] ομοίως με τον κανόνα που είδαμε παραπάνω.

Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί με τη μετατόπιση της θεωρίας σωμάτων και λαμβάνοντας υπόψη τη διάσπαση σώματος ενός πολυωνύμου. Η σύγχρονη [[θεωρία Γκαλουά]] γενικεύει τον παραπάνω τύπο ομάδων Γκαλουά για τις επεκτάσεις τομέα και καθορίζει, μέσω του θεμελιώδους θεωρήματος της θεωρίας Γκαλουά, μια ακριβής σχέση ανάμεσα στα πεδία και τις ομάδες, υπογραμμίζοντας για άλλη μια φορά την πανταχού παρουσία των ομάδων στα μαθηματικά.

== Πεπερασμένες ομάδες ==
{{Main|Πεπερασμένες ομάδες}}
Μια ομάδα ονομάζεται πεπερασμένη αν έχει έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων. Ο αριθμός των στοιχείων ονομάζεται τάξη της ομάδας. Μια σημαντική κατηγορία είναι η συμμετρικές ομάδες <math>S_N</math>, δηλαδή οι ομάδες των μεταθέσεων <math>N</math> γραμμάτων. Για παράδειγμα, η συμμετρική ομάδα για 3 γράμματα <math>S_3</math> είναι η ομάδα που αποτελείται από όλες τις πιθανές διατάξεις από τα τρία γράμματα ABC, δηλαδή περιλαμβάνει τα στοιχεία ABC, ACB, ..., μέχρι CBA, στο σύνολο 6 (ή 3 [[παραγοντικό]]) στοιχεία. Αυτή η κατηγορία είναι θεμελιώδης στο βαθμό που οποιαδήποτε ομάδα πεπερασμένη μπορεί να εκφραστεί ως μια υποομάδα μιας συμμετρικής ομάδας <math>S_N</math> για έναν κατάλληλο [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιο]] <math>N</math> (θεώρημα του Κέιλεϊ). Όπως με την ομάδα των συμμετριών του τετραγώνου παραπάνω, η <math>S_3</math> μπορεί επίσης να ερμηνευθεί ως η ομάδα των συμμετριών ενός ισοσκελούς τριγώνου.

Η τάξη ενός στοιχείου <math>a</math> σε μια ομάδα <math>G</math> είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος <math>n</math>tέτοιος ώστε <math>a^n = e</math>, όπου
:<math>a^n = \underbrace{a \cdots a}_{n \text{ όροι}},</math>
δηλαδή η εφαρμογή της πράξης <math>\bullet</math> σε <math>n</math> αντίγραφα του στοιχείου <math>a</math>. (Αν το <math>\bullet</math> αντιπροσωπεύει [[Πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμό]], τότε αντιστοιχεί στην <math>n</math>-ιοστή δύναμη του <math>a</math>.) Στις άπειρες ομάδες, μπορεί να μην υπάρχει τέτοιο <math>n</math>, οπότε λέμε ότι η τάξη του <math>a</math> είναι άπειρη. Η τάξη ενός στοιχείου ισούται με την τάξη της κυκλικής υποομάδας που παράγεται από αυτό το στοιχείο.

Πιο εξελιγμένες τεχνικές μέτρησης, για παράδειγμα, μετρώντας πλευρικές τάξεις ομάδας αποδίδει πιο ακριβείς προτάσεις σχετικά με πεπερασμένες ομάδες: το θεώρημα Λαγκράνζ (Lagrange) δηλώνει ότι για μια πεπερασμένη ομάδα ''G'' η τάξη της κάθε πεπερασμένη υποομάδας ''H'' χωρίζει την τάξη του ''G''. Τα θεωρήματα Sylow δίνουν [[Αντίστροφος|αντίστροφο]].

Η διεδρική ομάδα (που συζητείται ανωτέρω) είναι μια πεπερασμένη ομάδα τάξης 8. Η τάξη του r<sub>1</sub> είναι 4, όπως είναι η σειρά της υποομάδας ''R'' που παράγει (βλέπε παραπάνω). Η σειρά του προβληματισμού f<sub>v</sub> στοιχείων κλπ. είναι 2. Και οι δύο εντολές διαιρούν το 8, όπως προβλέπεται από το Θεώρημα του Λαγκράνζ. Οι ομάδες '''F'''<sub>''p''</sub><sup>×</sup> παραπάνω έχουν τάξη {{nowrap|''p'' − 1}}.

=== Η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων ===
Οι μαθηματικοί συχνά προσπαθούν για μια πλήρη ταξινόμηση μιας μαθηματικής έννοιας. Στο πλαίσιο των πεπερασμένων ομάδων, ο στόχος αυτός οδηγεί γρήγορα σε δύσκολα και βαθιά [[μαθηματικά]]. Σύμφωνα με το θεώρημα του Λαγκράνζ, πεπερασμένες ομάδες τάξης <math>p</math>, είναι κατ' ανάγκην κυκλικές ([[Αβελιανή ομάδα|αβελιανές]]) '''Z'''<sub>''p''</sub> ομάδες. Ομάδες ''p''<sup>2</sup> τάξης μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι είναι αβελιανή, μια πρόταση η οποία δεν γενικεύεται για τάξη ''p''<sup>3</sup>, ως μη αβελιανή ομάδα D<sub>4</sub> τάξης 8 = 2<sup>3</sup> όπως φαίνεται παραπάνω. Το σύστημα άλγεβρας υπολογιστών μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη λίστα μικρών ομάδων, αλλά δεν υπάρχει κατάταξη όλων των πεπερασμένων ομάδων. Ένα ενδιάμεσο βήμα είναι η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων.{{cref|r}} Μια ομάδα ονομάζεται [[Απλή ομάδα|απλή]], αν οι μόνες κανονικές της [[Υποομάδα|υποομάδες]] είναι η [[τετριμμένη ομάδα]] και η ίδια η ομάδα.{{cref|s}} Το θεώρημα Jordan-Hölder παρουσιάζει πεπερασμένες απλές ομάδες, όπως τα δομικά στοιχεία για όλες τις πεπερασμένες ομάδες. περί του καταλόγου όλων των πεπερασμένων απλών ομάδων ήταν ένα σημαντικό επίτευγμα στη σύγχρονη [[θεωρία ομάδων]]. Ο νικητής του μεταλλίου Fields του 1998 Borcherds Richard κατάφερε να αποδείξει την τερατώδη εικασία, μια εκπληκτική και βαθιά σχέση της μεγαλύτερης πεπερασμένης απλής σποραδικής ομάδας -η «ομάδα τέρας»- με ορισμένες σπονδυλωτές λειτουργίες, ένα κομμάτι της [[Μιγαδική ανάλυση|μιγαδικής ανάλυσης]] και η [[θεωρία μέτρου]], μια θεωρία υποτίθεται ότι θα ενοποιήσει την περιγραφή πολλών [[Φυσικό φαινόμενο|φυσικών φαινομένων]].

==Προσθετικές ομάδες==

Πολλές ομάδες είναι ταυτόχρονα ομάδες και παραδείγματα άλλων μαθηματικών δομών. Στη γλώσσα της [[Θεωρία κατηγοριών|θεωρίας κατηγοριών]], είναι τα αντικείμενα της ομάδας σε μια κατηγορία, που σημαίνει ότι είναι αντικείμενα (δηλαδή, παραδείγματα άλλη μαθηματική δομή) τα οποία έρχονται με μετασχηματισμούς (που ονομάζονται πολυμορφισμοί) που μιμούνται τα αξιώματα της ομάδας. Για παράδειγμα, κάθε ομάδα (όπως ορίζεται παραπάνω) είναι, επίσης, ένα [[σύνολο]], έτσι ώστε μια ομάδα είναι ένα αντικείμενο της ομάδας στην κατηγορία των συνόλων.

===Τοπολογικές ομάδες===
[[Image:Circle as Lie group2.svg|right|thumb|Ο μοναδιαίος κύκλος στο μιγαδικό επίπεδο υπό μιγαδικό πολλαπλασιασμό είναι μια ομάδα Lie και, ως εκ τούτου, μια τοπολογική ομάδα. Είναι τοπολογικές από το σύνθετο πολλαπλασιασμό και διαίρεση είναι συνεχείς. Είναι μια πολλαπλή και έτσι μια ομάδα Lie, επειδή κάθε μικρό κομμάτι, όπως είναι το κόκκινο τόξου στην εικόνα, μοιάζει με ένα μέρος της πραγματική γραμμή (που φαίνεται στο κάτω μέρος).]]

Μερικοί τοπολογικοί χώροι μπορούν να τροφοδοτούνται με τον νόμο της ομάδας. Σύμφωνα με τον νόμο της ομάδας και την τοπολογία για να διαπλέξει καλά, οι πράξεις της ομάδας πρέπει να είναι συνεχείς [[Συνάρτηση|συναρτήσεις]], δηλαδή, {{nowrap|''g'' • ''h'',}} και ''g''<sup>&minus;1</sup> δεν πρέπει να διαφέρουν εξωφρενικά, αν g και h διαφέρουν μόνο λίγο. Τέτοιες ομάδες που ονομάζονται τοπολογικές ομάδες, και είναι τα αντικείμενα της ομάδας στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων. Τα πιο βασικά παραδείγματα είναι ο R των πραγματικών με την πρόσθεση {{nowrap|(R \ {0}, ·)}}, και παρόμοιο με οποιαδήποτε άλλο τοπολογικό τομέα, όπως τους μιγαδικούς αριθμούς ή ''p''-αδικους αριθμούς. Όλες αυτές οι ομάδες είναι τοπικά συμπαγής, έτσι ώστε να έχουν Haar μέτρα και μπορεί να μελετηθεί μέσω της αρμονικής ανάλυσης. Ο πρώην προσφέρει έναν αφηρημένο φορμαλισμό αμετάβλητων [[Ολοκλήρωμα|ολοκληρωμάτων]]. Αναλλοίωτο σημαίνει, στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών, για παράδειγμα:
: <math>\int f(x)\,dx = \int f(x+c)\,dx</math>
για κάθε [[Μαθηματική σταθερά|σταθερά]] ''c''. Ομάδες πινάκων πάνω από αυτούς τους τομείς εμπίπτουν σε αυτό το καθεστώς, όπως και οι αβελιανοί δακτύλιοι και αβελιανές αλγεβρικές ομάδες, οι οποίες είναι βασικές για τη [[θεωρία αριθμών]], ομάδες Γκαλουά του άπειρου επέκταση του πεδίου, όπως η απόλυτη ομάδα Γκαλουά μπορεί επίσης να εξοπλιστεί με μια τοπολογία, η λεγόμενη τοπολογία Κρουλ (Krull), η οποία με τη σειρά της είναι κεντρικής σημασίας για τη γενίκευση της παραπάνω σκιαγραφούμενης σύνδεσης των πεδίων και των ομάδων σε άπειρες επεκτάσεις τομέων. Μια προηγμένη γενίκευση αυτής της ιδέας, προσαρμοσμένη στις ανάγκες της [[Αλγεβρική γεωμετρία|αλγεβρικής γεωμετρίας]], είναι η βασική ομάδα Etale.

===Ομάδες Λι (Lie)===
Οι [[Ομάδα Λι|ομάδες Λι]] (προς τιμήν του [[Σόφους Λι]]) είναι ομάδες οι οποίες έχουν επίσης μια πολλαπλή δομή, δηλαδή οι χώροι που τοπικά μοιάζουν με έναν [[Ευκλείδειος χώρος|ευκλείδειο χώρο]] κατάλληλης διάστασης. Και πάλι, ο ορισμός χρειάζεται επιπλέον δομή, εδώ η πολλαπλή δομή, πρέπει να είναι συμβατή, δηλαδή οι [[Συνάρτηση|συναρτήσεις]] που αντιστοιχούν σε [[Πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμό]] και η αντίστροφη συνάρτηση πρέπει να είναι λεία. Ένα πρότυπο παράδειγμα είναι η γενική γραμμική ομάδα που εισάγεται παραπάνω: είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του χώρου όλων των Ν-με-Ν μήτρες, επειδή αυτή δίνεται από την [[Ανισότητα (μαθηματικά)|ανισότητα]]

:det (''A'') ≠ 0,
όπου το ''A'' συμβολίζει έναν πίνακα ''n''x''n''.

Οι ομάδες Λι είναι θεμελιώδους σημασίας στη σύγχρονη [[φυσική]]: συνδέσεις του θεωρήματος Noether είναι συνεχείς [[Συμμετρία στα μαθηματικά|συμμετρίες]] σε διατηρούμενες ποσότητες, [[περιστροφή]], καθώς και μεταφράσεις στο χώρο και το χρόνο είναι βασικές συμμετρίες των νόμων της [[μηχανική]]ς. Μπορούν, για παράδειγμα, να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή απλών μοντέλων-επιβολή, ας πούμε, αξονική συμμετρία σε μία κατάσταση τυπικά θα οδηγήσει σε σημαντική απλούστευση στις [[Εξίσωση|εξισώσεις]] πρέπει κανείς να λύσει για να παρέχει μια φυσική περιγραφή. Ένα άλλο παράδειγμα είναι οι [[μετασχηματισμοί Λόρεντς]], οι οποίοι αφορούν τις μετρήσεις του χρόνου και της ταχύτητας των δύο παρατηρητών σε κίνηση σε σχέση με τον άλλο. Μπορούν να προκύψουν με έναν αμιγώς φτωχό θεωρητικό τρόπο ομάδας, εκφράζοντας τους μετασχηματισμούς ως περιστροφική συμμετρία του χώρου Minkowski. Ο τελευταίος εξυπηρετεί-στην απουσία σημαντικής [[βαρύτητα]]ς-ως μοντέλο του [[Χωροχρόνος|χωροχρόνου]] στην [[Ειδική σχετικότητα|ειδική θεωρία της σχετικότητας]]. Η πλήρης ομάδα συμμετρίας χώρου Minkowski, δηλαδή συμπεριλαμβανομένων των μεταφράσεων, που είναι γνωστό ως ομάδα Πουανκαρέ. Από τα παραπάνω, διαδραματίζει σημαντικότατο ρόλο στην ειδική θεωρία της σχετικότητας και, κατά συνέπεια, για την [[κβαντική θεωρία πεδίου]]. συμμετρίες που ποικίλουν ανάλογα με την τοποθεσία είναι κεντρικής σημασίας για τη σύγχρονη περιγραφή των φυσικών αλληλεπιδράσεων με τη βοήθεια της [[Θεωρία βαθμίδας|θεωρίας βαθμίδας]].

==Γενικεύσεις==
Στην [[αφηρημένη άλγεβρα]], πιο γενικές δομές ορίζονται με την απλούστευση ορισμένων από τα [[Αξίωμα|αξιώματα]] των ομάδων. Για παράδειγμα, η αλγεβρική δομή των [[μονοειδές|μονοειδών]] δεν απαιτεί ότι κάθε στοιχείο έχει έναν [[αντίστροφος|αντίστροφο]]. Οι [[Φυσικός αριθμός|φυσικοί αριθμοί]] <math>\N</math> (συμπεριλαμβανομένου του [[0 (αριθμός)|0]]) με την πράξη της [[πρόσθεση]]ς σχηματίζουν ένα μονοειδές, όπως και οι μη μηδενικοί [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιοι]] με [[Πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμό]] <math>\Z \setminus \{ 0 \}</math>. Υπάρχει μια γενική μέθοδος ώστε να προστεθούν αντίστροφοι στα στοιχεία κάθε αβελιανού μονοειδούς, με παρόμοιο τρόπο όπως το <math>(\Q \setminus \{ 0 \}, \cdot)</math> προέρχεται από <math>(\Z \setminus \{ 0 \}, \cdot )</math>, λαμβάνοντας μία ομάδα γνωστή ως ομάδα Grothendieck. Τα [[ομαδοειδές|ομαδοειδή]] είναι παρόμοια με τις ομάδες εκτός από το ότι η σύνθεση <math>a \bullet b </math> δεν χρειάζεται να οριστεί για όλες τα στοιχεία <math>a</math> και <math>b</math>. Τέτοιες δομές μπορούν να προκύψουν από μελέτη περίπλοκων μορφών συμμετρίας, συχνά σε τοπολογικές και αναλυτικές δομές, όπως το [[θεμελιώδες ομαδοειδές]] ή στοίβες. Τέλος, είναι δυνατό να γενικεύσουμε οποιαδήποτε από αυτές τις έννοιες, αντικαθιστώντας την δυαδική λειτουργία με αυθαίρετη <math>n</math>-οστή (δηλαδή μια πράξη λαμβάνοντας <math>n</math> παραμέτρους). Με την κατάλληλη γενίκευση των αξιωμάτων της ομάδας μπορεί να δημιουργήσει μια <math>n</math>-αδική ομάδα.

==Παραπομπές==
<references />

== Βιβλιογραφία ==

=== Γενική βιβλιογραφία ===

* {{Citation|last1=Artin|first1=Michael|author-link1=Michael Artin|title=Algebra|publisher=[[Prentice Hall]]|isbn=978-0-13-468960-9|year=2018}}, Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
* {{Citation|last=Cook|first=Mariana R.|year=2009|title=Mathematicians: An Outer View of the Inner World|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, N.J.|isbn=978-0-691-13951-7|url=https://books.google.com/books?id=06h8NT77OgMC&q=Richard+Ewen+Borcherds&pg=PA24}}
* {{Citation|author-link=George G. Hall|last=Hall|first=G. G.|title=Applied Group Theory|publisher=American Elsevier Publishing Co., Inc., New York|mr=0219593|year=1967}}, an elementary introduction.
* {{Citation|last1=Herstein|first1=Israel Nathan|author-link1=Israel Nathan Herstein|title=Abstract Algebra|publisher=Prentice Hall Inc.|location=Upper Saddle River, NJ|edition=3rd|isbn=978-0-13-374562-7|mr=1375019|year=1996}}.
* {{Citation|last1=Herstein|first1=Israel Nathan|title=Topics in Algebra|publisher=Xerox College Publishing|location=Lexington, Mass.|edition=2nd|mr=0356988|year=1975}}.
* {{Citation|last1=Lang|first1=Serge|title=Undergraduate Algebra|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=3rd|isbn=978-0-387-22025-3|year=2005}}.
* {{Citation|last1=Ledermann|first1=Walter|title=Introduction to the Theory of Finite Groups|publisher=Oliver and Boyd, Edinburgh and London|mr=0054593|year=1953}}.
* {{Citation|last1=Ledermann|first1=Walter|title=Introduction to Group Theory|publisher=Barnes and Noble|location=New York|oclc=795613|year=1973}}.
* {{Citation|last1=Robinson|first1=Derek John Scott|title=A Course in the Theory of Groups|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-94461-6|year=1996}}.

=== Ειδική βιβλιογραφία ===

* {{Citation|last1=Artin|first1=Emil|author1-link=Emil Artin|title=Galois Theory|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|isbn=978-0-486-62342-9|year=1998}}.
* {{Citation|last1=Aschbacher|first1=Michael|author1-link=Michael Aschbacher|title=The status of the classification of the finite simple groups|url=https://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf|year=2004|journal=[[Notices of the American Mathematical Society]]|volume=51|issue=7|pages=736–740}}.
* {{Citation|title=Category Theory|last=Awodey|first=Steve|isbn=978-0-19-958736-0|year=2010|publisher=Oxford University Press}}
* {{Citation|title=Biphenyl and bimesityl tetrasulfonic acid – new linker molecules for coordination polymers|first1=Florian|last1=Behler|first2=Mathias S.|last2=Wickleder|first3=Jens|last3=Christoffers|doi=10.3998/ark.5550190.p008.911|journal=Arkivoc|year=2014|volume=2015|issue=2|pages=64–75|doi-access=free}}
* {{citation|title=The Jahn–Teller Effect|first=Isaac|last=Bersuker|isbn=0-521-82212-2|publisher=Cambridge University Press|year=2006|url=https://archive.org/details/jahntellereffect0000bers/page/2}}.
* {{Citation|last1=Besche|first1=Hans Ulrich|last2=Eick|first2=Bettina|last3=O'Brien|first3=E. A.|title=The groups of order at most 2000|url=https://www.ams.org/era/2001-07-01/S1079-6762-01-00087-7/home.html|mr=1826989|year=2001|journal=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society|volume=7|pages=1–4|doi=10.1090/S1079-6762-01-00087-7|doi-access=free}}.
* {{Citation|last1=Bishop|first1=David H. L.|title=Group Theory and Chemistry|publisher=Dover Publications|location=New York|isbn=978-0-486-67355-4|year=1993}}.
* {{Citation|last1=Borel|first1=Armand|author1-link=Armand Borel|title=Linear Algebraic Groups|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|isbn=978-0-387-97370-8|mr=1102012|year=1991|volume=126}}.
* {{Citation|last1=Carter|first1=Roger W.|author1-link=Roger Carter (mathematician)|title=Simple Groups of Lie Type|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|isbn=978-0-471-50683-6|year=1989}}.
* {{Citation|title=The Jahn–Teller Effect in C60 and Other Icosahedral Complexes|first1=C. C.|last1=Chancey|first2=M. C. M.|last2=O'Brien|year=2021|isbn=978-0-691-22534-0|publisher=Princeton University Press}}
* {{Citation|last1=Conway|first1=John Horton|author1-link=John Horton Conway|last2=Delgado Friedrichs|first2=Olaf|last3=Huson|first3=Daniel H.|last4=Thurston|first4=William P.|author4-link=William Thurston|title=On three-dimensional space groups|arxiv=math.MG/9911185|mr=1865535|year=2001|journal=Beiträge zur Algebra und Geometrie|volume=42|issue=2|pages=475–507}}.
* {{Citation|last1=Coornaert|first1=M.|last2=Delzant|first2=T.|last3=Papadopoulos|first3=A.|title=Géométrie et théorie des groupes [Geometry and Group Theory]|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|series=Lecture Notes in Mathematics|isbn=978-3-540-52977-4|mr=1075994|year=1990|volume=1441|language=fr}}.
* {{Citation|last1=Denecke|first1=Klaus|last2=Wismath|first2=Shelly L.|title=Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science|publisher=[[CRC Press]]|location=London|isbn=978-1-58488-254-1|year=2002}}.
* {{citation|title=Structure and Dynamics: An Atomic View of Materials|first=Martin T|last=Dove|page=265|isbn=0-19-850678-3|publisher=Oxford University Press|year=2003}}.
* {{Citation|last=Dudek|first=Wiesław A.|title=On some old and new problems in {{mvar|n}}<!-- not math so it appears correctly colored in the linked title -->-ary groups|journal=Quasigroups and Related Systems|year=2001|volume=8|pages=15–36|mr=1876783|url=https://ibn.idsi.md/sites/default/files/imag_file/15-36_On%20some%20old%20and%20new%20problems%20in%20n-ary%20groups.pdf}}.
* {{Citation|title=Stereochemistry of Organic Compounds|last1=Eliel|first1=Ernest|last2=Wilen|first2=Samuel|last3=Mander|first3=Lewis|year=1994|isbn=978-0-471-01670-0|publisher=Wiley}}
* {{citation|last=Ellis|first=Graham|contribution=6.4 Triangle groups|doi=10.1093/oso/9780198832973.001.0001|isbn=978-0-19-883298-0|mr=3971587|pages=441–444|publisher=Oxford University Press|title=An Invitation to Computational Homotopy|year=2019}}.
* {{Citation|author-link=Robert Frucht|last1=Frucht|first1=R.|title=Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Construction of graphs with prescribed group]|url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0|year=1939|journal=Compositio Mathematica|volume=6|pages=239–50|language=de|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20081201083831/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0|archive-date=2008-12-01|accessdate=2023-06-04|archivedate=2008-12-01|archiveurl=https://web.archive.org/web/20081201083831/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0|deadurl=}}.
* {{Citation|last1=Fulton|first1=William|author1-link=William Fulton (mathematician)|last2=Harris|first2=Joe|author2-link=Joe Harris (mathematician)|year=1991|title=Representation Theory: A First Course|publisher=Springer-Verlag|location=New York|series=[[Graduate Texts in Mathematics]], Readings in Mathematics|volume=129|isbn=978-0-387-97495-8|mr=1153249}}
* {{Citation|last=Goldstein|first=Herbert|author-link=Herbert Goldstein|year=1980|title=[[Classical Mechanics (textbook)|Classical Mechanics]]|edition=2nd|publisher=Addison-Wesley Publishing|location=Reading, MA|isbn=0-201-02918-9|pages=588–596}}.
* {{citation|last1=Gollmann|first1=Dieter|title=Computer Security|year=2011|edition=2nd|publisher=John Wiley & Sons, Ltd.|location=West Sussex, England|isbn=978-0-470-74115-3}}
* {{Citation|last1=Hatcher|first1=Allen|author-link=Allen Hatcher|title=Algebraic Topology|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-79540-1|year=2002}}.
* {{Citation|last1=Husain|first1=Taqdir|title=Introduction to Topological Groups|publisher=W.B. Saunders Company|location=Philadelphia|isbn=978-0-89874-193-3|year=1966}}
* {{Citation|last1=Jahn|first1=H.|author1-link=Hermann Arthur Jahn|last2=Teller|first2=E.|author2-link=Edward Teller|title=Stability of polyatomic molecules in degenerate electronic states. I. Orbital degeneracy|year=1937|journal=[[Proceedings of the Royal Society A]]|volume=161|issue=905|pages=220–235|doi=10.1098/rspa.1937.0142|bibcode=1937RSPSA.161..220J|doi-access=free}}.
* {{Citation|last1=Kuipers|first1=Jack B.|title=Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-05872-6|mr=1670862|year=1999|bibcode=1999qrsp.book.....K}}.
* {{Citation|last1=Kuga|first1=Michio|author-link=Michio Kuga|title=Galois' Dream: Group Theory and Differential Equations|publisher=Birkhäuser Boston|location=Boston, MA|isbn=978-0-8176-3688-3|mr=1199112|year=1993|url-access=registration|url=https://archive.org/details/galoisdreamgroup0000kuga}}.
* {{Citation|last1=Kurzweil|first1=Hans|last2=Stellmacher|first2=Bernd|title=The Theory of Finite Groups|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|series=Universitext|isbn=978-0-387-40510-0|mr=2014408|year=2004}}.
* {{Citation|last1=Lay|first1=David|title=Linear Algebra and Its Applications|publisher=[[Addison-Wesley]]|isbn=978-0-201-70970-4|year=2003}}.
* {{Citation|last1=Mac Lane|first1=Saunders|author1-link=Saunders Mac Lane|title=[[Categories for the Working Mathematician]]|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|edition=2nd|isbn=978-0-387-98403-2|year=1998}}.
* {{citation|author-link=Wilhelm Magnus|first1=Wilhelm|last1=Magnus|first2=Abraham|last2=Karrass|first3=Donald|last3=Solitar|title=Combinatorial Group Theory: Presentations of Groups in Terms of Generators and Relations|url=https://books.google.com/books?id=1LW4s1RDRHQC&pg=PR2|year=2004|orig-year=1966|publisher=Courier|isbn=978-0-486-43830-6}}
* {{Citation|url=https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=20&co6=AND&pg7=ALLF&s7=&co7=AND&dr=pubyear&yrop=eq&arg3=2020&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&review_format=html&Submit=Suche|title=List of papers reviewed on MathSciNet on "Group theory and its generalizations" (MSC code 20), published in 2020|url-access=registration|access-date=14 May 2021|last=MathSciNet|year=2021}}
* {{Citation|last1=Michler|first1=Gerhard|title=Theory of Finite Simple Groups|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-86625-5|year=2006}}.
* {{Citation|last1=Milne|first1=James S.|title=Étale Cohomology|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-08238-7|year=1980|url=https://archive.org/details/etalecohomology00miln}}
* {{Citation|last1=Mumford|first1=David|author1-link=David Mumford|last2=Fogarty|first2=J.|last3=Kirwan|first3=F.|title=Geometric Invariant Theory|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|edition=3rd|isbn=978-3-540-56963-3|mr=1304906|year=1994|volume=34}}.
* {{Citation|last1=Naber|first1=Gregory L.|title=The Geometry of Minkowski Spacetime|publisher=Dover Publications|location=New York|isbn=978-0-486-43235-9|mr=2044239|year=2003}}.
* {{Citation|last=Neukirch|first=Jürgen|author-link=Jürgen Neukirch|title=Algebraic Number Theory|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin|series={{lang|de|Grundlehren der mathematischen Wissenschaften}}|isbn=978-3-540-65399-8|mr=1697859|zbl=0956.11021|year=1999|volume=322}}
* {{Citation|last1=Romanowska|first1=A. B.|author1-link=Anna Romanowska|last2=Smith|first2=J. D. H.|title=Modes|publisher=[[World Scientific]]|isbn=978-981-02-4942-7|year=2002}}.
* {{Citation|last1=Ronan|first1=Mark|author1-link=Mark Ronan|title=Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematics|publisher=[[Oxford University Press]]|isbn=978-0-19-280723-6|year=2007}}.
* {{Citation|last1=Rosen|first1=Kenneth H.|title=Elementary Number Theory and its Applications|publisher=Addison-Wesley|edition=4th|isbn=978-0-201-87073-2|mr=1739433|year=2000}}.
* {{Citation|last=Rudin|first=Walter|author-link=Walter Rudin|title=Fourier Analysis on Groups|publisher=Wiley-Blackwell|series=Wiley Classics|year=1990|isbn=0-471-52364-X}}.
* {{Citation|last1=Seress|first1=Ákos|title=An Introduction to Computational Group Theory|url=https://www.ams.org/notices/199706/seress.pdf|mr=1452069|year=1997|journal=Notices of the American Mathematical Society|volume=44|issue=6|pages=671–679}}.
* {{Citation|last1=Serre|first1=Jean-Pierre|author1-link=Jean-Pierre Serre|title=Linear Representations of Finite Groups|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-90190-9|mr=0450380|year=1977|url-access=registration|url=https://archive.org/details/linearrepresenta1977serr}}.
* {{Citation|last=Schwartzman|first=Steven|year=1994|title=The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English|publisher=Mathematical Association of America|isbn=978-0-88385-511-9}}.
* {{Citation|last1=Shatz|first1=Stephen S.|title=Profinite Groups, Arithmetic, and Geometry|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-08017-8|mr=0347778|year=1972}}
* {{Citation|title=An Introduction to Theoretical Chemistry|last1=Simons|first1=Jack|isbn=978-0-521-53047-7|year=2003|publisher=Cambridge University Press}}
* {{Citation|last1=Solomon|first1=Ronald|title=The classification of finite simple groups: A progress report|journal=Notices of the AMS|year=2018|volume=65|issue=6|page=1|doi=10.1090/noti1689|doi-access=free}}
* {{Citation|last=Stewart|first=Ian|author-link=Ian Stewart (mathematician)|title=Galois Theory|edition=4th|publisher=CRC Press|year=2015|isbn=978-1-4822-4582-0}}
* {{Citation|last=Suzuki|first=Michio|author-link=Michio Suzuki (mathematician)|title=On the lattice of subgroups of finite groups|journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]]|volume=70|issue=2|year=1951|pages=345–371|doi=10.2307/1990375|jstor=1990375|doi-access=free}}.
* {{Citation|last1=Warner|first1=Frank|title=Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-90894-6|year=1983}}.
* {{Weibel IHA|mode=cs2}}
* {{Citation|last1=Weinberg|first1=Steven|author1-link=Steven Weinberg|title=Gravitation and Cosmology|publisher=John Wiley & Sons|location=New York|year=1972|isbn=0-471-92567-5|url=https://archive.org/details/gravitationcosmo00stev_0}}.
* {{Citation|last1=Welsh|first1=Dominic|title=Codes and Cryptography|publisher=Clarendon Press|location=Oxford|isbn=978-0-19-853287-3|year=1989}}.
* {{Citation|last1=Weyl|first1=Hermann|author1-link=Hermann Weyl|title=Symmetry|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-02374-8|year=1952}}.
* {{Citation|title=Quantum Field Theory in a Nutshell|title-link=Quantum Field Theory in a Nutshell|first=A.|last=Zee|author-link=Anthony Zee|date=2010|edition=second|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-14034-6|location=Princeton, N.J.|oclc=768477138}}

=== Ιστορική βιβλιογραφία ===
{{βικιλεξικό}}
* {{Citation|last1=Borel|first1=Armand|author1-link=Armand Borel|title=Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-0288-5|year=2001}}
* {{Citation|last1=Cayley|first1=Arthur|author1-link=Arthur Cayley|title=The Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley|url=http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1889|volume=II (1851–1860)}}.
* {{MacTutor|id=Development_group_theory|class=HistTopics|title=The development of group theory}}
* {{Citation|last1=Curtis|first1=Charles W.|author-link=Charles W. Curtis|title=Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I.|series=History of Mathematics|isbn=978-0-8218-2677-5|year=2003}}.
* {{Citation|last1=von Dyck|year=1882|first1=Walther|author1-link=Walther von Dyck|title=Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical studies)|doi=10.1007/BF01443322|journal=[[Mathematische Annalen]]|volume=20|issue=1|pages=1–44|s2cid=179178038|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0007&L=1|language=de|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20140222213905/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0007&L=1|archive-date=2014-02-22|accessdate=2023-06-04|archivedate=2014-02-22|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140222213905/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0007&L=1|deadurl=}}.
* {{Citation|last1=Galois|first1=Évariste|author1-link=Évariste Galois|editor1-last=Tannery|editor1-first=Jules|title=Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts]|url=http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAN9280|publisher=Gauthier-Villars|location=Paris|year=1908|language=fr}} (Galois work was first published by [[Joseph Liouville]] in 1843).
* {{Citation|last1=Jordan|first1=Camille|author-link=Camille Jordan|title=Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations]|url=https://archive.org/details/traitdessubstit00jordgoog|publisher=Gauthier-Villars|location=Paris|year=1870|language=fr}}.
* {{Citation|doi=10.2307/2690312|last1=Kleiner|first1=Israel|author-link=Israel Kleiner (mathematician)|title=The evolution of group theory: A brief survey|mr=863090|year=1986|journal=[[Mathematics Magazine]]|volume=59|issue=4|pages=195–215|jstor=2690312}}.
* {{Citation|last1=Lie|first1=Sophus|author1-link=Sophus Lie|title=Gesammelte Abhandlungen. Band 1 [Collected papers. Volume 1]|publisher=Johnson Reprint Corp.|location=New York|mr=0392459|year=1973|language=de}}.
* {{Citation|last1=Mackey|first1=George Whitelaw|author1-link=George Mackey|title=The Theory of Unitary Group Representations|publisher=[[University of Chicago Press]]|mr=0396826|year=1976}}
* {{Citation|last1=Smith|first1=David Eugene|author1-link=David Eugene Smith|title=History of Modern Mathematics|url=https://www.gutenberg.org/ebooks/8746|series=Mathematical Monographs, No. 1|year=1906}}.
* {{Citation|last=Weyl|first=Hermann|author-link=Hermann Weyl|title=The Theory of Groups and Quantum Mechanics|publisher=Dover|orig-year=1931|year=1950|translator-first=H. P.|translator-last=Robertson|isbn=978-0-486-60269-1}}.
* {{Citation|last1=Wussing|first1=Hans|author-link=Hans Wussing|title=The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|isbn=978-0-486-45868-7|year=2007}}.

[[Κατηγορία:Θεωρία ομάδων]]
[[Κατηγορία:Συμμετρία]]
[[Κατηγορία:Αλγεβρικές δομές]]