Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Πίνακας Χίλμπερτ

Στη [[γραμμική άλγεβρα]], ένας '''πίνακας Χίλμπερτ'''<ref>{{Cite journal|title=Exact essential norm of generalized Hilbert matrix operators on classical analytic function spaces|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870822004157|journal=Advances in Mathematics|date=2022-10-29|issn=0001-8708|pages=108598|volume=408|doi=10.1016/j.aim.2022.108598|first=M.|last=Lindström|first2=S.|last2=Miihkinen|first3=D.|last3=Norrbo}}</ref>, που εισήχθη από τον [[Ντάβιντ Χίλμπερτ|Χίλμπερτ]]  ({{harvs|txt|last=Hilbert|year=1894|authorlink=David Hilbert}}), είναι ένας [[τετραγωνικός πίνακας]] με καταχωρήσεις τα μοναδιαία κλάσματα<ref>{{Cite web|url=https://www.turito.com/learn/math/unit-fraction|title=Unit Fractions: Definition, Examples And Properties - Turito|last=Turito|ημερομηνία=2022-03-08|website=US Learn|language=en|accessdate=2024-08-05}}</ref>

: <math> H_{ij} = \frac{1}{i+j-1}. </math>

Παραδείγματος χάριν, αυτός είναι ο πίνακας Χίλμπερτ 5 × 5:

: <math>H = \begin{bmatrix} 
 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\
 \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\
 \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\
 \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\
 \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9}
\end{bmatrix}.</math>

Οι καταχωρήσεις μπορούν επίσης να οριστούν από το ολοκλήρωμα

: <math> H_{ij} = \int_0^1 x^{i+j-2} \, dx, </math>

δηλαδή, ως [[Πίνακας Γκραμ|γκραμιανός πίνακας]] για τις δυνάμεις του ''x''. Εμφανίζεται στην προσέγγιση των ελαχίστων τετραγώνων αυθαίρετων συναρτήσεων με πολυώνυμα.

Οι πίνακες Χίλμπερτ είναι τα κανονικά παραδείγματα κακώς εξαρτημένων πινάκων, οι οποίοι είναι γνωστό ότι είναι δύσκολο να χρησιμοποιηθούν στην [[Αριθμητική ανάλυση]].  Παραδείγματος χάριν, ο αριθμός συνθήκης 2-norm του παραπάνω πίνακα είναι περίπου 4.8{{e|5}}.

==Ιστορική σημείωση==

Ο {{harvtxt|Hilbert|1894}} εισήγαγε τον πίνακα Χίλμπερτ για να μελετήσει το ακόλουθο ερώτημα στη θεωρία προσέγγισης: "Έστω ότι {{nowrap|''I''' {{=}} [''a'', ''b'']}}, είναι ένα πραγματικό διάστημα.  Είναι τότε δυνατόν να βρεθεί ένα μη μηδενικό πολυώνυμο ''P'' με ακέραιους συντελεστές, τέτοιο ώστε το ολοκλήρωμα

:<math>\int_{a}^b P(x)^2 dx</math>

είναι μικρότερη από οποιοδήποτε δεδομένο όριο ''&epsilon;''&nbsp;> 0, που λαμβάνεται αυθαίρετα μικρό;" Για να απαντηθεί αυτό το ερώτημα, ο Χίλμπερτ εξάγει έναν ακριβή τύπο για την [[ορίζουσα]] των πινάκων Χίλμπερτ και διερευνά την ασυμπτωτική τους. Καταλήγει στο συμπέρασμα ότι η απάντηση στο ερώτημά του είναι θετική αν το μήκος {{nowrap|''b'' &minus; ''a''}} του διαστήματος είναι μικρότερο από&nbsp;4.

==Ιδιότητες==

Ο πίνακας Χίλμπερτ είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Ο πίνακας Χίλμπερτ είναι επίσης ολικά θετικός (που σημαίνει ότι η [[ορίζουσα]] κάθε υποπίνακα είναι θετική).

Ο πίνακας Χίλμπερτ αποτελεί παράδειγμα πίνακα Χάνκελ. Είναι επίσης ένα ειδικό παράδειγμα ενός [[Πίνακας Κωσύ|πίνακα Κωσύ]] (Cauchy).

Η [[ορίζουσα]] μπορεί να εκφραστεί σε κλειστή μορφή, ως ειδική περίπτωση της [[Πίνακας Κωσύ#Ορίζουσα Κωσύ|ορίζουσας Κωσύ]] (Cauchy). Η ορίζουσα δύναμη του πίνακα Χίλμπερτ ''n'' × ''n'' είναι

: <math>\det(H) = \frac{c_n^4}{c_{2n}},</math>

όπου

: <math>c_n = \prod_{i=1}^{n-1} i^{n-i} = \prod_{i=1}^{n-1} i!.</math>

Ο Χίλμπερτ είχε ήδη αναφέρει το παράξενο γεγονός ότι η ορίζουσα του πίνακα Χίλμπερτ είναι το αντίστροφο ενός ακέραιου αριθμού (βλ. ακολουθία {{OEIS2C|A005249}} στο [[OEIS]]), το οποίο προκύπτει επίσης από την ταυτότητα

: <math>\frac{1}{\det(H)} = \frac{c_{2n}}{c_n^4} = n! \cdot \prod_{i=1}^{2n-1} \binom{i}{[i/2]}.
</math>

Χρησιμοποιώντας την προσέγγιση του Στίρλινγκ του παραγοντικού, μπορεί κανείς να καθορίσει το ακόλουθο ασυμπτωτικό αποτέλεσμα:

: <math>\det(H) \sim a_n\, n^{-1/4}(2\pi)^n \,4^{-n^2},</math>

όπου ''a''<sub>''n''</sub> συγκλίνει στη σταθερά <math>e^{1/4}\, 2^{1/12}\, A^{-3} \approx 0.6450</math> καθώς <math>n \to \infty</math>, όπου ''A'' είναι η σταθερά Γκλάισερ-Κίνκελιν.

Ο αντίστροφος του πίνακα Χίλμπερτ μπορεί να εκφραστεί σε κλειστή μορφή χρησιμοποιώντας [[Διωνυμικός συντελεστής|διωνυμικούς συντελεστές]]- οι καταχωρήσεις του είναι

: <math>(H^{-1})_{ij} = (-1)^{i+j}(i + j - 1) \binom{n + i - 1}{n - j} \binom{n + j - 1}{n - i} \binom{i + j - 2}{i - 1}^2,</math>

όπου ''n'' είναι η τάξη του πίνακα.<ref>{{Cite journal |last=Choi |first=Man-Duen |date= 1983|title=Tricks or Treats with the Hilbert Matrix |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1983-05_90_5/page/301 |jstor=2975779 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=90 |issue=5 |pages=301–312 |doi=10.2307/2975779}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://nhigham.com/2020/06/30/what-is-the-hilbert-matrix/|title=What Is the Hilbert Matrix?|last=Higham|first=Nick|ημερομηνία=2020-06-30|website=Nick Higham|language=en|accessdate=2024-08-05}}</ref> Προκύπτει ότι οι καταχωρήσεις του αντίστροφου πίνακα είναι όλες ακέραιες και ότι τα πρόσημα σχηματίζουν ένα μοτίβο σκακιέρας, όντας θετικά στην κύρια διαγώνιο. Παραδείγματος χάριν,

: <math>\begin{bmatrix} 
 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\
 \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\
 \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\
 \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\
 \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9}
\end{bmatrix}^{-1} =
\left[\begin{array}{rrrrr}
 25 & -300 & 1050 & -1400 & 630 \\
 -300 & 4800 & -18900 & 26880 & -12600 \\
 1050 & -18900 & 79380 & -117600 & 56700 \\
 -1400 & 26880 & -117600 & 179200 & -88200 \\
 630 & -12600 & 56700 & -88200 & 44100
\end{array}\right].</math>

Ο αριθμός κατάστασης του ''n'' × ''n'' πίνακα Χίλμπερτ αυξάνεται ως <math>O\left(\left(1 + \sqrt{2}\right)^{4n}/\sqrt{n}\right)</math>.

==Εφαρμογές==
Η μέθοδος των ροπών εφαρμοσμένη σε πολυωνυμικές κατανομές οδηγεί σε έναν πίνακα Χάνκελ, που στην ειδική περίπτωση της προσέγγισης μιας κατανομής πιθανότητας στο διάστημα [0,&nbsp;1] οδηγεί σε έναν πίνακα Χίλμπερτ. Αυτός ο πίνακας πρέπει να αντιστραφεί για να ληφθούν οι παράμετροι βάρους της προσέγγισης της πολυωνυμικής κατανομής.<ref name="PolyD2">{{cite journal | doi=10.1371/journal.pone.0174573 | doi-access=free | title=Polynomial probability distribution estimation using the method of moments | date=2017 | last1=Munkhammar | first1=Joakim | last2=Mattsson | first2=Lars | last3=Rydén | first3=Jesper | journal=PLOS ONE | volume=12 | issue=4 | pages=e0174573 | bibcode=2017PLoSO..1274573M | pmc=5386244 }}</ref><ref>{{Cite web|url=https://blogs.mathworks.com/cleve/2017/06/07/hilbert-matrices-2/|title=Hilbert Matrices|ημερομηνία=2017-06-07|website=Cleve’s Corner: Cleve Moler on Mathematics and Computing|language=en|accessdate=2024-08-05}}</ref>

==Δείτε επίσης==

* [https://books.google.gr/books?id=UBVH2Vpf6LYC&printsec=frontcover&dq=Algebraic+function+field&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Algebraic%20function%20field&f=false Field Arithmetic]
* [[Πραγματικό προβολικό επίπεδο]]
* [[Εσωτερικό γινόμενο]] 
* [[Αντιερμιτιανός πίνακας]]
* [[Πίνακας (μαθηματικά)]]
* [[Τριγωνικός πίνακας]]
* [[Πραγματικός αριθμός]]
* [[Προβολή (γραμμική άλγεβρα)]]
* [[Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ]]
* [[Ντάβιντ Χίλμπερτ]]
* [[Διωνυμικός συντελεστής]]
* [http://www.cs.utexas.edu/users/flame/pubs/flawn53.pdf High performance algorithms] for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
* [https://www.cs.cornell.edu/~bindel/class/cs6210-f16/lec/2016-10-21.pdf Algorithm overview]

==Εξωτερικοί σύνδεσμοι  ==

*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
*[https://matrixcalc.org/#determinant%28%7B%7B3,6,0%7D,%7B8,2,2%7D,%7B5,4,8%7D%7D%29 Matrix calculator]
* [https://books.google.gr/books?id=F4hRy1F1M6QC&pg=PA20&dq=Gram+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjPquKekY6HAxWRX_EDHWA-DZkQ6AF6BAgFEAI#v=onepage&q=Gram%20matrix&f=false Matrix Analysis]
* [https://books.google.gr/books?id=8abnhvLAyNAC&pg=PA13&dq=Commutation+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwi5i-Dw07-HAxXaSfEDHSm1CXcQ6AF6BAgIEAI#v=onepage&q=Commutation%20matrix&f=false Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...]
* [https://books.google.gr/books?id=jEKFYutSGGYC&pg=PA12&dq=Unimodular+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiThtTWstaHAxWYB9sEHWLdItkQ6AF6BAgKEAI#v=onepage&q=Unimodular%20matrix&f=false Integral Matrices]
* [https://books.google.gr/books?id=W9nWcVjMydQC&pg=PA146&dq=Hessenberg+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwi7i9CFyc2HAxVkLRAIHYHfCjQ4ChDoAXoECAkQAg#v=onepage&q=Hessenberg%20matrix&f=false An Introduction to Computational Physics]
* [https://books.google.gr/books?id=lyqKDgAAQBAJ&pg=PA166&dq=Hilbert+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiv7Ii9oN6HAxWsVPEDHTNMIbQ4ChDoAXoECAoQAg#v=onepage&q=Hilbert%20matrix&f=false Elements of Hilbert Spaces and Operator Theory]
* [https://books.google.gr/books?id=MK_aBwAAQBAJ&pg=PA25&dq=Hilbert+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiv7Ii9oN6HAxWsVPEDHTNMIbQ4ChDoAXoECAsQAg#v=onepage&q=Hilbert%20matrix&f=false Applications of Computational Algebraic Geometry]
* [https://books.google.gr/books?id=ZEP1CAAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Hilbert+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Hilbert%20matrix&f=false A Hilbert Space Problem Book]
* [https://books.google.gr/books?id=vlPVAwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Hilbert+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Hilbert%20matrix&f=false Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices]

==Δημοσιεύσεις ==

* {{cite journal |last=Μαυρογιάννης |first=Ν. Σ. |title=Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς |journal=Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας |year=2016 |month=Μαΐου |issue=16 |pages=1-8 |url=http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf}}
* {{Cite book|title=Handbook of Mathematics|first=I. N.|last=Bronshtein|first2=K. A.|last2=Semendyayev|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-662-21982-9|date=2013-06-29|url=https://books.google.gr/books?id=yojoCAAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Bronshtein+and+Semendyayev&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Bronshtein%20and%20Semendyayev&f=false}}
* {{citation |last1=Gray |first1=Lawrence F. |last2=Flanigan |first2=Francis J. |last3=Kazdan |first3=Jerry L. |last4=Frank |first4=David H. |last5=Fristedt |first5=Bert |title=Calculus two: linear and nonlinear functions |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=1990 |page=[https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 375] |isbn=0-387-97388-5 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 }}
* {{cite journal |first=J. |last=Sylvester |title=Sur l'equations en matrices <math>px = xq</math> |journal=[[:en:C. R. Acad. Sci. Paris|:C. R. Acad. Sci. Paris]] |volume=99 |year=1884 |issue=2 |pages=67–71, 115–116 }}
* {{Citation|last=Harris|first=Frank E.|year=2014|title=Mathematics for Physical Science and Engineering|publisher=Elsevier|isbn=9780128010495}}
* {{Citation|last=Kleiner|first=Israel|editor1-first=Israel|editor1-last=Kleiner|title=A history of abstract algebra|year=2007|publisher=Birkhäuser|isbn=978-0-8176-4684-4|mr=2347309|doi=10.1007/978-0-8176-4685-1}}
*{{Citation | last1=Hilbert | first1=David | author1-link=David Hilbert | title=Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms | doi=10.1007/BF02418278 | jfm=25.0817.02 | year=1894 | journal=[[:en:Acta Mathematica|Acta Mathematica]] | issn=0001-5962 | volume=18 | pages=155–159| doi-access=free }}. Reprinted in  {{cite book|first=David|last= Hilbert|title=Collected papers|volume= II|chapter= article 21}}
* {{cite journal|doi=10.1007/PL00005392|last=Beckermann|first=Bernhard|title=The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices|url=https://archive.org/details/sim_numerische-mathematik_2000-06_85_4/page/553|journal= Numerische Mathematik|volume=85|issue=4|pages= 553–577|year= 2000|citeseerx=10.1.1.23.5979|s2cid=17777214}}
* {{cite journal|doi=10.2307/2975779|last=Choi|first= M.-D.|title= Tricks or Treats with the Hilbert Matrix|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1983-05_90_5/page/301|journal=American Mathematical Monthly|volume=90|issue=5|pages=301–312|year= 1983|jstor=2975779}}
* {{cite journal|last=Todd|first= John|title=The Condition of the Finite Segments of the Hilbert Matrix|journal=National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series|volume=39|pages= 109–116|year=1954}}
* {{Cite book|last=Wilf|first=H. S.|title=Finite Sections of Some Classical Inequalities|location= Heidelberg|publisher= Springer|year= 1970|isbn=978-3-540-04809-1}}

==Παραπομπές==
<references/>

*[[:en:Jean van Heijenoort|Jean van Heijenoort]], 1967. ''From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931''. Harvard Univ. Press.
* {{cite book | title = Geometry and Imagination | last1 = Hilbert | first1 = David |last2=Cohn-Vossen |first2=Stephan | year = 1999 | publisher = American Mathematical Society | isbn = 0-8218-1998-4}} - an accessible set of lectures originally for the citizens of Göttingen.
*{{cite book | title = David Hilbert's Lectures on the foundations of Mathematics and Physics, 1891–1933 | author = David Hilbert |editor= Michael Hallett and Ulrich Majer| year = 2004 | publisher = Springer-Verlag Berlin Heidelberg| isbn = 3-540-64373-7}}

{{Authority control}} 
{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{DEFAULTSORT:πίνακας Χίλμπερτ}}

[[Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα]] 
[[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα]] 
[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)]] 
[[Κατηγορία:Θεωρία πινάκων]] 
[[Κατηγορία:Πολυώνυμα]]