Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Περί επιπέδων ισορροπιών

{{italic title}}
{{Infobox book
| name              = Περί επιπέδων ισορροπιών
| author            = [[Αρχιμήδης]]
| image             = [[File:On the Equilibrium of Planes.jpg|250px]]
| language          = [[Αρχαία ελληνική γλώσσα]]
| genre             = [[Φυσική]], [[Γεωμετρία]]
}}

Το έργο '''Περί επιπέδων ισορροπιών''' είναι μια πραγματεία του [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]] σε δύο βιβλία. Το πρώτο βιβλίο περιέχει την απόδειξη του νόμου του [[Μοχλός|μοχλού]] και κορυφώνεται με προτάσεις για το [[κέντρο βάρους]] του [[Τρίγωνο|τριγώνου]] και του [[Τραπέζιο|τραπεζίου]] <ref name="Heath1">{{cite web |author =Heath, T.L.|url = https://archive.org/details/worksofarchimede029517mbp|title = The Works of Archimedes (1897). The unabridged work in PDF form (19&nbsp;MB)| year=1897 | publisher=Cambridge University Press. |access-date = 2013-01-06| archive-url= https://web.archive.org/web/20071006033058/https://archive.org/details/worksofarchimede029517mbp| archive-date= 6 October 2007 | url-status= live}}</ref><ref name="Berggren">{{cite journal |last=Berggren |first=J. L. |date=1976 |title=Spurious Theorems in Archimedes' Equilibrium of Planes Book I |journal=Archive for History of Exact Sciences |volume=16 |issue=2 |pages=87–103 |doi=10.1007/BF00349632 |s2cid=119741769 |issn=1432-0657}}</ref> Το δεύτερο βιβλίο, που περιέχει δέκα προτάσεις, εξετάζει τα κέντρα βάρους των παραβολικών τμημάτων<ref name="Heath1" />. 

Σύμφωνα με τον [[Πάππος|Πάππο της Αλεξάνδρειας]], η εργασία του [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]] πάνω στους μοχλούς και η κατανόηση του μηχανικού πλεονεκτήματος τον οδήγησαν να πει: «Δώστε μου ένα σημείο στήριξης και θα κινήσω τη Γη» (Δωρική φωνή Συρακουσία: Πᾷ βῶ καὶ χαριστίωνι τὰν γᾶν κινήσω πᾶσαν<ref>{{Cite book|title=Megalē Hellēnikē enkyklopaideia|publisher=Ekdot. Organismos "Ho phoinix"|date=1956|url=https://books.google.gr/books?id=t_3744NqHggC&pg=PA741&dq=%CE%A0%E1%BE%B7+%CE%B2%E1%BF%B6+%CE%BA%CE%B1%E1%BD%B6+%CF%87%CE%B1%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%AF%CF%89%CE%BD%CE%B9+%CF%84%E1%BD%B0%CE%BD+%CE%B3%E1%BE%B6%CE%BD+%CE%BA%CE%B9%CE%BD%CE%AE%CF%83%CF%89+%CF%80%E1%BE%B6%CF%83%CE%B1%CE%BD&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwixrs3IipuJAxXeSfEDHclOJdQ4ChDoAXoECAYQAg#v=onepage&q=%CE%A0%E1%BE%B7%20%CE%B2%E1%BF%B6%20%CE%BA%CE%B1%E1%BD%B6%20%CF%87%CE%B1%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%AF%CF%89%CE%BD%CE%B9%20%CF%84%E1%BD%B0%CE%BD%20%CE%B3%E1%BE%B6%CE%BD%20%CE%BA%CE%B9%CE%BD%CE%AE%CF%83%CF%89%20%CF%80%E1%BE%B6%CF%83%CE%B1%CE%BD&f=false}}</ref>), αν και άλλες αρχαίες μαρτυρίες δεν είναι ξεκάθαρες ως προς το περιεχόμενο της ρήσης<ref>Quoted by [[:en:Pappus of Alexandria|Pappus of Alexandria]] in ''Synagoge'', Book VIII, p. 1060 in ed. [[:en:Friedrich Hultsch|Hultsch]]</ref><ref>{{Cite journal |last=Berryman |first=S. |date=2020 |title=How Archimedes Proposed to Move the Earth |url=https://www.journals.uchicago.edu/doi/abs/10.1086/710317 |journal=Isis |volume=111 |issue=3 |pages=562–567 |doi=10.1086/710317 |s2cid=224841008 |issn=0021-1753}}</ref>.

==Γενικά==

Ο [[Μοχλός|μοχλό]]ς και οι ιδιότητές του ήταν ήδη γνωστά πριν από την εποχή του [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]], και δεν ήταν ο πρώτος που παρείχε μια ανάλυση της σχετικής αρχής <ref name=":0">{{Cite journal |last=Goe |first=G. |date=1972 |title=Archimedes' theory of the lever and Mach's critique |url=https://dx.doi.org/10.1016/0039-3681%2872%2990002-7 |journal=Studies in History and Philosophy of Science Part A |language=en |volume=2 |issue=4 |pages=329–345 |doi=10.1016/0039-3681(72)90002-7 |bibcode=1972SHPSA...2..329G |issn=0039-3681}}</ref>.Τα παλαιότερα Μηχανικά Προβλήματα, που κάποτε αποδόθηκαν στον [[Αριστοτέλης|Αριστοτέλη]], αλλά πιθανότατα γράφτηκαν από έναν από τους διαδόχους του, περιέχουν μια πρόχειρη απόδειξη του νόμου του μοχλού χωρίς να χρησιμοποιούν την έννοια του [[Κέντρο μάζας|κέντρου μάζας]]. Υπάρχει ένα άλλο σύντομο έργο που αποδίδεται στον [[Ευκλείδης|Ευκλείδη]] με τίτλο Περί ισορροπίας, το οποίο επίσης περιέχει μια μαθηματική απόδειξη του νόμου, και πάλι χωρίς προσφυγή στο [[Κέντρο μάζας]]<ref>Renn, J., Damerow, P., & McLaughlin, P. (2003). Aristotle, Archimedes, Euclid, and the origin of mechanics: The perspective of historical epistemology. In J. L. Montesinos Sirera (Ed.), ''Symposium Arquímedes Fundación Canaria Orotava de Historia de la Ciencia'' (pp. 43–59). [http://www.mpiwg-berlin.mpg.de/Preprints/P239.PDF. http://www.mpiwg-berlin.mpg.de/Preprints/P239.PDF.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230405030446/https://www.mpiwg-berlin.mpg.de/Preprints/P239.PDF. |date=2023-04-05 }}</ref> . 

Αντίθετα, στο έργο του [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]] η έννοια του [[Κέντρο μάζας|κέντρου μάζας]] παίζει καθοριστικό ρόλο <ref name=":1">{{Cite journal |last1=Magnaghi |first1=C. P. |last2=Assis |first2=A. K. T. |date=2012-05-07 |title=Calculation of the centre of gravity of the cone utilizing the method of Archimedes |url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0143-0807/33/3/637 |journal=European Journal of Physics |volume=33 |issue=3 |pages=637–646 |doi=10.1088/0143-0807/33/3/637 |bibcode=2012EJPh...33..637M |s2cid=54012592 |issn=0143-0807|hdl=20.500.12733/1666778 |hdl-access=free }}</ref>. Το βιβλίο Περί επιπέδων ισορροπιών Ι, το οποίο περιέχει επτά αξιώματα και δεκαπέντε προτάσεις, χρησιμοποιεί το [[κέντρο μάζας]] τόσο για τα συγκρίσιμα όσο και για τα ασυμβίβαστα μεγέθη για να δικαιολογήσει το νόμο του [[Μοχλός|μοχλού]], αν και ορισμένοι υποστηρίζουν ότι δεν είναι ικανοποιητικό<ref name="Berggren" />. ο [[Αρχιμήδης]] στη συνέχεια προχωρά στον εντοπισμό του κέντρου μάζας του [[Παραλληλόγραμμο|παραλληλογράμμου]] και του [[Τρίγωνο|τριγώνου]], και τελειώνει το πρώτο βιβλίο με μια απόδειξη για το [[κέντρο μάζας]] του [[Τραπέζιο|τραπεζίου]].

Το Περί επιπέδων ισορροπιών ΙΙ έχει το ίδιο θέμα με το πρώτο βιβλίο, αλλά πιθανότατα γράφτηκε μετέπειτα. Περιέχει δέκα προτάσεις σχετικά με το [[κέντρο μάζας]] που αφορούν αποκλειστικά τα παραβολικά τμήματα και εξετάζει τα τμήματα αυτά αντικαθιστώντας τα με ορθογώνια ίσου εμβαδού. Η ανταλλαγή αυτή καθίσταται δυνατή χάρη στα αποτελέσματα που προέκυψαν από το [[Τετραγωνισμός παραβολής|τετραγωνισμό της παραβολής]], μια πραγματεία που πιστεύεται ότι δημοσιεύθηκε μετά το πρώτο βιβλίο του Περί επιπέδων ισορροπιών <ref name="Heath1" /><ref name="Berggren" />.

==Περιεχόμενο==
===Πρώτο βιβλίο===

Το πρώτο μισό του πρώτου βιβλίου ασχολείται με τις ιδιότητες της ζυγαριάς και τον νόμο του μοχλού, ενώ το δεύτερο μισό επικεντρώνεται στο [[κέντρο μάζας]] των βασικών επίπεδων σχημάτων. Το επιχείρημα που επιτρέπει στον [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]] να θεμελιώσει το νόμο του [[Μοχλός|μοχλού]] και να εντοπίσει το [[κέντρο μάζας]] πολλών σχημάτων είναι το έκτο αξίωμα, δηλαδή, «εάν τα μεγέθη σε ορισμένες αποστάσεις βρίσκονται σε ισορροπία, άλλα (μεγέθη) ίσα με αυτά θα βρίσκονται επίσης σε ισορροπία στις ίδιες αποστάσεις.<ref name=":2" /> Στις προτάσεις 4 και 5, ο Αρχιμήδης αποδεικνύει ότι το κέντρο μάζας οποιουδήποτε συστήματος που αποτελείται από [[Άρτιος αριθμός|άρτιο αριθμό]] ίσων βαρών, ισομερώς κατανεμημένων, θα βρίσκεται στο μέσο μεταξύ των δύο κεντρικών βαρών. Στη συνέχεια, ο [[Αρχιμήδης]] χρησιμοποιεί αυτά τα θεωρήματα για να αποδείξει το νόμο του μοχλού στην Πρόταση 6 (για τις ανάλογες περιπτώσεις) και στην Πρόταση 7

'''Θεώρημα'''
[[File:Equilibrium Planes Weights Line.svg|thumb|210px|Βάρη και μοχλός σε αναλογία 4:3.]]
Με σύγχρονους όρους, δεδομένων δύο άνισων, αλλά συγκρίσιμων, βαρών και ενός μοχλοβραχίονα χωρισμένου σε δύο άνισα, αλλά συγκρίσιμα, τμήματα (βλέπε διπλανό σκίτσο), αν τα μεγέθη ''Α'' και ''Β'' εφαρμοστούν στα σημεία ''Ε'' και ''D'', αντίστοιχα, το σύστημα θα βρίσκεται σε ισορροπία στο σημείο ''C'' αν τα βάρη είναι αντιστρόφως ανάλογα των μηκών:

:<math>A : B = CD : EC\,</math>
'''Απόδειξη'''

Ας υποθέσουμε ότι οι γραμμές και τα βάρη κατασκευάζονται για να υπακούουν στον κανόνα χρησιμοποιώντας ένα κοινό μέτρο (ή μονάδα) n και σε αναλογία 4:3. Τώρα, διπλασιάζουμε το μήκος του ED διπλασιάζοντας τον μακρύτερο βραχίονα στα αριστερά, και τον κοντύτερο βραχίονα στα δεξιά. 

[[File:Equilibrium Planes Extended Line.svg|270px]]

Για να γίνει αντιληπτό, αναδιατάξτε τις γραμμές έτσι ώστε το CD να είναι δίπλα στο LE (οι δύο κόκκινες γραμμές μαζί) και αντιπαραβάλλετε τις με το πρωτότυπο (όπως παρακάτω): 

[[File:Equilibrium Planes Compared Lines.svg|271px]]

Είναι σαφές ότι και οι δύο γραμμές έχουν διπλάσιο μήκος από την αρχική γραμμή ''ED'', ότι η ''LH'' έχει το κέντρο της στο ''E'' και ότι η ''HK'' έχει το κέντρο της στο ''D''. Σημειώστε, επιπλέον, ότι η ''EH'' (η οποία είναι ίση με την ''CD'') μεταφέρει το κοινό μέτρο (ή μονάδα) ''n'' έναν ακριβή αριθμό φορών, όπως και η ''EC'' και, κατ' επέκτασιν, η ''CH''. Μένει λοιπόν να αποδείξουμε ότι το '' Α'' που εφαρμόζεται στο ''Ε'', και το '' Β'' που εφαρμόζεται στο ''D'', θα έχουν το κέντρο βάρους τους στο ''C''.

Επομένως, καθώς ο λόγος ''LH'' προς ''HK'' έχει διπλασιάσει τις αρχικές αποστάσεις ''CD'' και ''EC'', ομοίως διαιρούμε τα μεγέθη ''A'' και ''B'' σε αναλογία 8:6 (ένας μετασχηματισμός που διατηρεί την αρχική τους αναλογία 4:3), και τα ευθυγραμμίζουμε έτσι ώστε οι μονάδες ''A'' (κόκκινες) να βρίσκονται στο κέντρο του ''E'', ενώ οι μονάδες ''B'' (μπλε) στο κέντρο του ''D''.

[[File:Equilibrium Planes Applied Weights.svg|271px]]

Τώρα, δεδομένου ότι ένας άρτιος αριθμός ίσων βαρών, σε ίσες αποστάσεις, έχουν το κέντρο μάζας τους μεταξύ των δύο μεσαίων βαρών, το ''Α'' εφαρμόζεται στην πραγματικότητα στο ''Ε'' και το ''Β'' στο ''D'', όπως απαιτεί η πρόταση. Περαιτέρω, το συνολικό σύστημα αποτελείται από άρτιο αριθμό ίσων βαρών που είναι ισομερώς κατανεμημένα και, επομένως, ακολουθώντας τον ίδιο νόμο, το ''C'' πρέπει να είναι το κέντρο μάζας του πλήρους συστήματος. Έτσι, το σύστημα δεν έχει κλίση αλλά βρίσκεται σε ισορροπία.<ref name="Heath1" />

===Δεύτερο βιβλίο===

Ο κύριος στόχος του δεύτερου βιβλίου του βιβλίου Περί επιπέδων ισορροπιών είναι ο προσδιορισμός του [[Κέντρο μάζας|κέντρου μάζας]] οποιουδήποτε τμήματος ενός παραβολικού τμήματος, όπως φαίνεται στην Πρόταση 8.

Το βιβλίο αρχίζει με μια απλούστερη απόδειξη του νόμου του [[Μοχλός|μοχλού]] στην Πρόταση 1, κάνοντας αναφορά σε αποτελέσματα που βρέθηκαν στο [[Τετραγωνισμός παραβολής|Τετραγωνισμό της Παραβολής]]. Ο [[Αρχιμήδης]] αποδεικνύει τις επόμενες επτά προτάσεις συνδυάζοντας την έννοια του κέντρου βάρους και τις ιδιότητες της παραβολής με τα αποτελέσματα που βρέθηκαν προηγουμένως στο Περί επιπέδων ισορροπιών Ι. Συγκεκριμένα, συμπεραίνει ότι δύο παραβολές που έχουν ίσο εμβαδόν έχουν το [[κέντρο μάζας]] τους σε ίση απόσταση από κάποιο σημείο και αργότερα αντικαθιστά τα εμβαδά τους με ορθογώνια ίσου εμβαδού<ref name="Heath1" />.

Οι δύο τελευταίες προτάσεις, οι προτάσεις 9 και 10, είναι μάλλον αόριστες, αλλά επικεντρώνονται στον προσδιορισμό του κέντρου μάζας ενός σχήματος που αποκόπτεται από οποιοδήποτε παραβολικό τμήμα με ένα κόλουρο κώνο <ref name="Dijk">{{cite book |last=Dijksterhuis, E.J. |title=Archimedes |publisher=Princeton University Press, Princeton |year=1987 |isbn=0-691-08421-1 |author-link=:en:Eduard Jan Dijksterhuis}} Republished translation of the 1938 study of Archimedes and his works by an historian of science.</ref>.

==Κληρονομιά==

Τα μηχανολογικά έργα του Αρχιμήδη, μεταξύ των οποίων και το Περί επιπέδων ισορροπιών, ήταν γνωστά αλλά ελάχιστα διαβασμένα στην αρχαιότητα. Τόσο ο [[Ήρων ο Αλεξανδρεύς]] όσο και ο [[Πάππος ο Αλεξανδρεύς|Πάππος]] κάνουν αναφορές στον [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]] στο έργο τους για τη μηχανική, κυρίως στις συζητήσεις τους σχετικά με το κέντρο βάρους και το μηχανικό πλεονέκτημα. Λίγοι Ρωμαίοι συγγραφείς, όπως ο [[Βιτρούβιος]], προφανώς είχαν επίσης κάποια γνώση του έργου του [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]]<ref>{{Cite journal |last=Drachmann |first=A. G. |author-link=:en:A. G. Drachmann |date=1968 |title=Archimedes and the Science of Physics |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1600-0498.1968.tb00074.x |journal=Centaurus |language=en |volume=12 |issue=1 |pages=1–11 |doi=10.1111/j.1600-0498.1968.tb00074.x |bibcode=1968Cent...12....1D |issn=0008-8994}}</ref><ref name=":2">{{Cite book |last=Assis |first=A.K.T. |title=Archimedes, the Center of Gravity, and the First Law of Mechanics |publisher=C. Roy Keys Incorporated |year=2010 |isbn=9780986492648 |edition=2nd}}</ref>. 

Κατά τον [[Μεσαίωνας|Μεσαίωνα]], ορισμένοι Άραβες συγγραφείς γνώριζαν και επέκτειναν το έργο του [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]] σχετικά με τις ισορροπίες και το [[κέντρο μάζας]] - στη Λατινική Δύση, ωστόσο, οι ιδέες αυτές ήταν ουσιαστικά άγνωστες, εκτός από μια χούφτα περιορισμένων περιπτώσεων<ref>{{Cite journal |last=Clagett |first=M. |date=1959 |title=The Impact of Archimedes on Medieval Science |url=https://www.jstor.org/stable/226426 |journal=Isis |volume=50 |issue=4 |pages=419–429 |doi=10.1086/348797 |jstor=226426 |s2cid=145737269 |issn=0021-1753}}</ref><ref>{{Citation |last=Høyrup |first=J. |title=(Article I.16.) Archimedes – Knowledge and Lore from Latin Antiquity to the Outgoing European Renaissance |date=2019 |url=https://doi.org/10.1007/978-3-030-19258-7_17 |work=Selected Essays on Pre- and Early Modern Mathematical Practice |pages=459–477 |editor-last=Høyrup |editor-first=J. |place=Cham |publisher=Springer International Publishing |language=en |doi=10.1007/978-3-030-19258-7_17 |isbn=978-3-030-19258-7 |s2cid=193706291 |access-date=}}</ref>. μόνο κατά την ύστερη Αναγέννηση τα αποτελέσματα που βρέθηκαν στο Περί επιπέδων ισορροπιών άρχισαν να διαδίδονται ευρέως. Ειδικά η [[Μαθηματικά|μαθηματική]] προσέγγιση του [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]] στη φυσική έγινε πρότυπο για μεταγενέστερους επιστήμονες όπως ο Γκουιντομπάλντο ντελ Μόντε, ο Μπερναρντίνο Μπάλντι, ο Σιμόν Στέβιν και ο [[Γαλιλαίος Γαλιλέι]]<ref>{{Cite journal |last=Palmieri |first=P. |date=2008 |title=Breaking the circle: the emergence of Archimedean mechanics in the late Renaissance |url=https://doi.org/10.1007/s00407-007-0012-8 |journal=Archive for History of Exact Sciences |language=en |volume=62 |issue=3 |pages=301–346 |doi=10.1007/s00407-007-0012-8 |s2cid=121698785 |issn=1432-0657}}</ref><ref>{{Cite book |last=Meli |first=D. |chapter-url=https://books.google.com/books?id=ar7RK8xtJgYC&dq=axiomatic+tradition+seventeenth+century&pg=PA23 |title=Discourse on a New Method: Reinvigorating the Marriage of History and Philosophy of Science |date=2010 |publisher= Open Court|isbn=978-0-8126-9662-2 |pages=23–41 |language=en |chapter=The axiomatic tradition in seventeenth-century mechanics}}</ref>.

Η έννοια του [[Κέντρο μάζας|κέντρου μάζας]] έφτασε σε υψηλό επίπεδο εξειδίκευσης στο πρώτο μισό του 17ου αιώνα, ιδιαίτερα στα έργα του [[Ευαντζελίστα Τοριτσέλι|Ευαγγελίστα Τοριτσέλι]] και του Κρίστιαν Χόιγκενς, και έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη της ορθολογικής μηχανικής<ref>{{Cite journal |last1=Pisano |first1=R. |last2=Bussotti |first2=P. |last3=Bussotti |first3=Paolo |last4=Bussotti |first4=Paolo |date=2014 |title=Notes on mechanics and mathematics in Torricelli as physics mathematics relationships in the history of science. |url=http://www.scientiasocialis.lt/pec/node/922 |journal=Problems of Education in the 21st Century |volume=61 |pages=88–97 |doi=10.33225/pec/14.61.88 |issn=1822-7864|doi-access=free }}</ref><ref>{{Citation |last=Van Dyck |first=M. |title=Mechanical philosophy : science of mechanics |date=2020 |url=http://hdl.handle.net/1854/LU-8678741 |encyclopedia=Encyclopedia of early modern philosophy and the sciences |pages=1–11 |publisher=Springer |hdl=1854/LU-8678741 |isbn=978-3-319-20791-9 |access-date=}}</ref>.

=== Κριτική ===

Πολλοί ερευνητές υπογράμμισαν ασυνέπειες στο πρώτο βιβλίο του Περί επιπέδων ισορροπιών<ref name="Berggren"/><ref name="Mach">{{cite book |last=Mach, E. |author-link=:en:Ernst Mach |title=The science of Mechanics a Critical and Historical Account of its Development |url=https://archive.org/details/scienceofmechani00machuoft|year=1907 |publisher= Open Court, Chicago}} Republished translation of the 1883 original by [[:en:Thomas J. McCormack|Thomas J. McCormack]]. Ed. 3, rev.</ref> Ο Μπέργκρεν αμφισβητεί τη γνησιότητα σχεδόν του μισού πρώτου βιβλίου, για παράδειγμα τον περιττό χαρακτήρα των προτάσεων 1-3 και 11-12. Ωστόσο, ακολουθεί τον Ντίκστερχουις στην απόρριψη της κριτικής του Μαχ για την Πρόταση 6, η οποία πράγματι αποδεικνύει ότι «αν ένα σύστημα βαρών που αναρτώνται σε μια δοκό ισορροπίας βρίσκεται σε ισορροπία όταν στηρίζεται σε ένα συγκεκριμένο σημείο, τότε οποιαδήποτε ανακατανομή αυτών των βαρών, που διατηρεί το κοινό κέντρο μάζας τους, διατηρεί επίσης την ισορροπία»<ref name="Berggren"/><ref name="Dijk"/> .

Επιπλέον, η Πρόταση 7 του πρώτου βιβλίου εμφανίζεται ελλιπής στην τρέχουσα μορφή της, έτσι ώστε, για την ακρίβεια, ο Αρχιμήδης στο πρώτο βιβλίο καταδεικνύει το νόμο του μοχλού μόνο για συγκρίσιμα μεγέθη<ref name="Heath1" /><ref name="Berggren" />. Το δεύτερο βιβλίο του Περί επιπέδων ισορροπιών δεν επηρεάζεται από αυτές τις παραλείψεις, διότι, με εξαίρεση την πρώτη πρόταση, ο μοχλός δεν εξετάζεται καθόλου.<ref name="Dijk" /> Δεν υπάρχει επίσης κανένας ορισμός του κέντρου μάζας πουθενά στα σωζόμενα έργα του Αρχιμήδη, γεγονός που, σύμφωνα με ορισμένους μελετητές, καθιστά δύσκολη την παρακολούθηση (ή την αιτιολόγηση) της λογικής δομής ορισμένων επιχειρημάτων του στο Περί επιπέδων ισορροπιών<ref name=":0" /><ref name=":1" />.

== Δημοσιεύσεις ==

* {{Cite book |last=Bell |first=John L. |url=http://publish.uwo.ca/~jbell/ |title=The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development |publisher=Kluwer |year=1999 |isbn=0-7923-5972-0 }}
* {{Cite book |last=Euclid |title= The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary |translator-last=Heath | translator-first=Thomas L. |publisher=Dover |edition=Reprint of 2nd (1925) |year= 1956 |volume= 1 (Books I and II)}} On-line text at [https://archive.org/details/euclid_heath_2nd_ed archive.org]
* {{ cite web | url = http://paulbourke.net/geometry/polygonmesh | last = Bourke | first = Paul | title = Calculating the area and centroid of a polygon | date = July 1997 }}
* {{ citation | first = Roger A. | last1 = Johnson | title = Advanced Euclidean Geometry | publisher = [[:en:Dover|Dover]] | year = 2007 }}
* {{ citation | first1 = David C. | last1 = Kay | year = 1969 | lccn = 69012075 | title = College Geometry | publisher = [[:en:Holt, Rinehart and Winston|Holt, Rinehart and Winston]] | location = New York }}

* {{cite web |title=A history of calculus |author1=O'Connor, J.J. |author2=Robertson, E.F. |publisher=[[:en:University of St Andrews|University of St Andrews]] |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html |date=February 1996 |access-date=7 August 2007}}
* Harary, G., Tal, A., 2011. ''The natural 3D spiral''. Computer Graphics Forum 30 (2), 237 – 246 [http://webee.technion.ac.il/~ayellet/Ps/11-HararyTal.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151122013249/http://webee.technion.ac.il/~ayellet/Ps/11-HararyTal.pdf |date=2015-11-22 }}.
* {{cite journal |last=Daykin |first=D. E. |title=Rational Triangles and Parallelograms |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1965-01_38_1/page/46 |journal=Mathematics Magazine |date=Ιανουαρίου 1965 |volume=38 |issue=1 |pages=46–47 |doi=10.1080/0025570X.1965.11975584}}
* {{cite journal |last=Crain |first=Karleton W. |title=Two Families of Parallelograms |journal=National Mathematics Magazine |date=Απριλίου 1937 |volume=11 |issue=7 |pages=304 |doi=10.2307/3028786}}
* {{cite journal |last=Mayor |first=F |title=1499. Eighteen parallelograms |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1941-02_25_263/page/46 |journal=The Mathematical Gazette |date=Φεβρουαρίου 1941 |volume=25 |issue=263 |pages=46–47 |doi=10.2307/3606482}}<
*[[:en:Clifford A. Pickover|Pickover, Clifford A.]] 2008. ''Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them''. [[Oxford University Press]]. ISBN 978-0-19-533611-5.

== Δείτε επίσης ==
* [[Πραγματικό προβολικό επίπεδο]]
* [[Στοιχεία|Στοιχεία του Ευκλείδη]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]
* [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων]]
* [[Μιγαδικός αριθμός]]
* [[Ομοιομορφισμός|τοπολογικος ισομορφισμός]]
* [[Παραβολή (γεωμετρία)]]
* [[Προβολή (γραμμική άλγεβρα)]]
* [[Πάππος|Πάππος ο Αλεξανδρεύς]]
* [[Κέντρο μάζας]]
* [[Τετραγωνισμός παραβολής]]
* [[Διαβήτης (όργανο)]]
* [[Περί σφαίρας και κυλίνδρου]]
* [[Αρχή του Αρχιμήδη]]
* [[Αρχιμήδεια ιδιότητα]]
* [[Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου]]
* [[Σπείρα του Αρχιμήδη]]
* [[Παραλληλόγραμμο]]
* [[Διανυσματική προβολή]]

== Παραπομπές ==
<references />

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885)] Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
* [https://thesis.ekt.gr/thesisBookReader/id/22833?lang=el#page/1/mode/2up  Τα οπτικά του Ευκλείδη] Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
* [https://www.openbook.gr/archimidous-vivlio-limmatwn “Αρχιμήδους Βιβλίο Λημμάτων” – Πραγματεία του Νικολάου Λ. Κεχρή ]  Ανοιχτή βιβλιοθήκη 
* [https://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/contents.html Virtual book about Archimedes] Chris Rorres - Drexel University
* [https://books.google.gr/books?id=bifEAgAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=A+History+of+Greek+Mathematics,+%CE%A4%CF%8C%CE%BC%CE%BF%CF%82+1&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false A History of Greek Mathematics, Τόμος 1]
* [https://books.google.gr/books?id=sl0bUVtZbpEC&printsec=frontcover&dq=A+History+of+Greek+Mathematics,+Sir+Thomas+Heath&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=A%20History%20of%20Greek%20Mathematics%2C%20Sir%20Thomas%20Heath&f=false A History of Greek Mathematics: Τόμος 2]
* [https://books.google.gr/books?id=559e2AVvrvYC&printsec=frontcover&dq=Euclidean+geometry&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Euclidean%20geometry&f=false Advanced Euclidean Geometry]
* [https://books.google.gr/books?id=PfH3DwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Euclidean+geometry&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Euclidean%20geometry&f=false Methods for Euclidean Geometry.]
* [https://books.google.gr/books?id=M93q1XYZU0UC&pg=PR3&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false The Works of Archimedes]
* [https://books.google.gr/books?id=My19IcewAnoC&pg=PA222&dq=%22%CE%85Work%22+Archimedes&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjeubz0-5yJAxXlBtsEHWxMFds4KBDoAXoECAYQAg#v=onepage&q=%22%CE%85Work%22%20Archimedes&f=false The Mathematical Career of Pierre de Fermat,  Archimedes, page 222.]
* [https://books.google.gr/books?id=CW04AAAAIAAJ&pg=PA6&dq=%22%CE%85Work%22+Archimedes&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjeubz0-5yJAxXlBtsEHWxMFds4KBDoAXoECAsQAg#v=onepage&q=%22%CE%85Work%22%20Archimedes&f=false the method of archimedes recently discovered by heiberg a supplement to the ..., page 6]
* [https://books.google.gr/books?id=fjLyDwAAQBAJ&pg=PA23&dq=Work+Archimedes&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj27syW_ZyJAxUZS_EDHeJjE2Q4MhDoAXoECA4QAg#v=onepage&q=Work%20Archimedes&f=false Pioneers of Progress , Men of Science-  Archimedes" ]
* [https://books.google.gr/books?id=LKWyluiQn-oC&pg=PA2068&dq=%22%CE%85Work%22+Archimedes&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjKxLyJ-ZyJAxXgQfEDHdlUEyM4FBDoAXoECAUQAg#v=onepage&q=%22%CE%85Work%22%20Archimedes&f=false Illustrated Encylopedia of World History... .."Work" Archimedess. page 73...]
* [https://books.google.gr/books?id=_WdhDwAAQBAJ&pg=PT348&dq=%22The+Law+of+lever%22+Archimedes&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiGqJ2D-JyJAxUqVfEDHUWUE1w4ChDoAXoECA0QAg#v=onepage&q=%22The%20Law%20of%20lever%22%20Archimedes&f=false Essential Classical Mechanics ......]
* [https://books.google.gr/books?id=XZq8AQAAQBAJ&pg=PA10&dq=%22The+Law+of+lever%22+Archimedes&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjorKuB95yJAxUEVfEDHdnPBU4Q6AF6BAgOEAI#v=onepage&q=%22The%20Law%20of%20lever%22%20Archimedes&f=false The Great Physicists from Galileo to Einstein .."The Law of lever" Archimedes...  page 10....]
* [https://books.google.gr/books?id=Th-CAwAAQBAJ&pg=PA44&dq=unipotent&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjYgauQsNmIAxWzSfEDHSLtNnQQ6AF6BAgHEAI#v=onepage&q=unipotent&f=false Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..]

== Πηγές ==
* {{Cite book|title=The Works of Archimedes|last=Archimedes|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-15439-8|date=2013-05-09|url=https://books.google.gr/books?id=8cjCAgAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=%22The+Works+of+Archimedes%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiJ6fKSqJmJAxWLAhAIHdtHH10Q6AF6BAgGEAI#v=onepage&q=%22The%20Works%20of%20Archimedes%22&f=false}}
* {{Cite book|title=An Introduction to the History of Structural Mechanics: Part I: Statics and Resistance of Solids|first=Edoardo|last=Benvenuto|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4612-2982-7|date=2012-12-06|url=https://books.google.gr/books?id=gfn2BwAAQBAJ&pg=PA45&dq=On+the+Equilibrium+of+Planes&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj--Zz_85yJAxUGSPEDHeeRB5AQ6AF6BAgFEAI#v=onepage&q=On%20the%20Equilibrium%20of%20Planes&f=false}}
* {{Cite book|title=From Summetria to Symmetry: The Making of a Revolutionary Scientific Concept|first=Giora|last=Hon|first2=Bernard R.|last2=Goldstein|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4020-8448-5|date=2008-07-09|url=https://books.google.gr/books?id=cVCCvN48MmIC&pg=PA75&dq=On+the+Equilibrium+of+Planes+Archimedes&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjKls709JyJAxWXSfEDHQJQLdUQ6AF6BAgKEAI#v=onepage&q=On%20the%20Equilibrium%20of%20Planes%20Archimedes&f=false}}
* http://planetmath.org/ArchimedesCalculus

{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:Περί επιπέδων ισορροπιών}}

[[Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία]] 
[[Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία]] 
[[Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών]] 
[[Κατηγορία:Μαθηματικά θεωρήματα]] 
[[Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα]] 
[[Κατηγορία:Αρχιμήδης]] 
[[Κατηγορία:Στοιχειώδης γεωμετρία]]