Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Περιοχή κυρίων ιδεωδών

{{χωρίς παραπομπές}}

{{ορφανό|ημερομηνία=Φεβρουαρίου 2010}}
Μια [[ακεραία περιοχή]] <math>R </math> καλείται '''περιοχή κυρίων ιδεωδών''' ('''principal ideal domain''') αν κάθε [[Ιδεώδες (μαθηματικά)|ιδεώδες]] του <math>R</math> είναι κύριο.

==Παραδείγματα==

*Γνωρίζουμε ότι αν <math> R </math> [[σώμα (άλγεβρα)|σώμα]] ,τα μόνα ιδεώδη αυτού είναι το ίδιο το <math>R=<1> </math> και το μηδενικό ιδεώδες <math>\{0_R\}=<0_R> </math> και επομένως κάθε σώμα είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.

*Ο <math>\mathbb{Z}[x]</math> είναι [[ακεραία περιοχή]] όχι όμως περιοχή κυρίων ιδεωδών.Πράγματι υποθέτοντας ότι για το ιδεώδες <math><2,x></math> υπάρχει <math>h(x) \in \mathbb{Z}[x]</math> τέτοιο ώστε <math><2,x>=<h(x)></math> προκύπτει  ότι <math>h(x)=\pm 1</math> ή<math>h(x)=\pm x</math>. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε <math>\pm 1=2k(x)+x</math>, άτοπο, ενώ στη δεύτερη περίπτωση έχουμε ότι <math>2 \in <2,x>=<h(x)>=<x></math> και άρα <math> 2=x k(x)</math> ,άτοπο.

*Κάθε [[Ευκλείδεια περιοχή]] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει.Ένα παράδειγμα περιοχής κυρίων ιδεωδών που δεν είναι Ευκλείδεια είναι ο δακτύλιος <math>\{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\sqrt{-19};a,b \in \mathbb{Z} ,a\equiv b \pmod{2} \}</math>.

[[Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα]]
[[Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων]]