Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Περιφέρεια (γεωμετρία)

[[Αρχείο:Circle-withsegments.svg|μικρογραφία|{{legend-line|black solid 3px|περιφέρεια ''C''}}{{legend-line|blue solid 2px|διάμετρος ''D''}}{{legend-line|red solid 2px|ακτίνα ''R''}}{{legend-line|green solid 2px|κέντρο ή αρχή ''O''}}Περιφέρεια = {{Pi}} × διάμετρος = 2{{Pi}} × ακτίνα.]]
Στη [[γεωμετρία]], η '''περιφέρεια''' είναι η [[περίμετρος]] ενός [[Κύκλος|κύκλου]] ή [[Έλλειψη (γεωμετρία)|μιας έλλειψης]].<ref>{{Cite web|url=http://www-rohan.sdsu.edu/~pwbrock/files/UNIT9.3.pdf|title=Perimeter, Area and Circumference|last=San Diego State University|authorlink=San Diego State University|year=2004|publisher=[[Addison-Wesley]]|archiveurl=https://web.archive.org/web/20141006153741/http://www-rohan.sdsu.edu/~pwbrock/files/UNIT9.3.pdf|archivedate=6 October 2014}}</ref> Δηλαδή, η περιφέρεια είναι το [[Μήκος τόξου|μήκος του τόξου]] ενός κύκλου, αν αυτό πάρει το σχήμα ενός [[Ευθύγραμμο τμήμα|ευθύγραμμου τμήματος]].<ref>{{Citation|first=Jeffrey|last=Bennett|first2=William|last2=Briggs|title=Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach|edition=3rd|publisher=Addison-Wesley|year=2005|isbn=978-0-321-22773-7|page=580}}</ref> Γενικότερα, η περίμετρος είναι το μήκος της καμπύλης γύρω από κάθε κλειστό σχήμα. Η περιφέρεια μπορεί επίσης να αναφέρεται στον ίδιο τον κύκλο, δηλαδή στον [[Γεωμετρικός τόπος|γεωμετρικό τόπο]] των σημείων που ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο.

== Κύκλος ==
Η περιφέρεια ενός κύκλου είναι η απόσταση γύρω από αυτόν, αλλά εάν η απόσταση οριστεί με όρους ευθειών, αυτό δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ορισμός. Υπό αυτές τις συνθήκες, η περιφέρεια ενός κύκλου μπορεί να οριστεί ως το [[Όριο (μαθηματικά)|όριο]] των περιμέτρων των εγγεγραμμένων [[Κανονικό πολύγωνο|κανονικών πολυγώνων]] όσο ο αριθμός των πλευρών αυξάνεται χωρίς περιορισμό.<ref>{{Citation|first=Harold R.|last=Jacobs|title=Geometry|year=1974|publisher=W. H. Freeman and Co.|isbn=0-7167-0456-0|page=565}}</ref> Ο όρος περιφέρεια χρησιμοποιείται για τη μέτρηση φυσικών αντικειμένων, καθώς και για την μελέτη αφηρημένων γεωμετρικών μορφών.
[[Αρχείο:Pi-unrolled-720.gif|μικρογραφία|240x240εσ| Όταν η [[διάμετρος]] ενός κύκλου είναι 1, η περιφέρειά του είναι <math>\pi.</math>]]
[[Αρχείο:2pi-unrolled.gif|μικρογραφία|240x240εσ| Όταν η [[Ακτίνα (γεωμετρία)|ακτίνα]] ενός κύκλου είναι 1, ο οποίος ονομάζεται [[μοναδιαίος κύκλος]], η περιφέρειά του είναι <math>2\pi.</math>]]

=== Σχέση με το {{Pi}} ===
Η περιφέρεια ενός [[Κύκλος|κύκλου]] σχετίζεται με μια από τις σημαντικότερες [[Μαθηματική σταθερά|μαθηματικές σταθερές]], το [[Π (μαθηματική σταθερά)|π]]. Τα πρώτα δεκαδικά ψηφία της αριθμητικής τιμής του <math>\pi</math> είναι 3,141592653589793... Το <math>\pi</math> ορίζεται ως ο [[Λόγος (μαθηματικά)|λόγος]] της περιφέρειας ενός κύκλου <math>C</math> προς τη [[Διάμετρος|διάμετρό]] του <math>d</math>:
:<math>\pi =\frac{C}{d}</math>.
Ή, ισοδύναμα, ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς το διπλάσιο της [[Ακτίνα (γεωμετρία)|ακτίνας]] του. Ο παραπάνω τύπος μπορεί να αναδιαταχθεί για να λυθεί ως προς την περιφέρεια:
:<math>C =\pi \cdot d = 2\pi \cdot r</math>.
Ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς την ακτίνα του ονομάζεται σταθερά κύκλου και είναι ισοδύναμος με <math>2\pi</math> . Η αξία <math>2\pi</math> είναι επίσης η ποσότητα των [[Ακτίνιο (μονάδα μέτρησης)|ακτίνων]] σε μια [[Στροφή (μαθηματικά)|στροφή]] . Η χρήση της μαθηματικής σταθεράς {{Pi}} είναι πανταχού παρούσα στα μαθηματικά, τη μηχανική και την επιστήμη.

Στο βιβλίο ''[[Κύκλου μέτρησις]]'' που γράφτηκε γύρω στο 250 π.Χ., ο [[Αρχιμήδης]] έδειξε ότι αυτή η αναλογία (<math>C/d,</math> αφού δεν χρησιμοποιούσε το όνομα {{Pi}}) ήταν μεγαλύτερη από 3{{Sfrac|10|71}} αλλά μικρότερη από 3{{Sfrac|1|7}} υπολογίζοντας τις περιμέτρους ενός εγγεγραμμένου και ενός περιγεγραμμένου κανονικού πολυγώνου με 96 πλευρές.<ref>{{Citation|first=Victor J.|last=Katz|title=A History of Mathematics / An Introduction|edition=2nd|year=1998|publisher=Addison-Wesley Longman|isbn=978-0-321-01618-8|page=[https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109 109]|url=https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109}}</ref> Αυτή η μέθοδος για την προσέγγιση του {{Pi}} χρησιμοποιήθηκε για αιώνες, αποκτώντας μεγαλύτερη ακρίβεια χρησιμοποιώντας πολύγωνα με όλο και μεγαλύτερο αριθμό πλευρών. Ο τελευταίος τέτοιος υπολογισμός έγινε το 1630 από τον Christoph Grienberger ο οποίος χρησιμοποίησε πολύγωνα με 10<sup>40</sup> πλευρές.

== Έλλειψη ==
Η περιφέρεια χρησιμοποιείται από ορισμένους συγγραφείς για να υποδηλώσει την περίμετρο μιας έλλειψης. Δεν υπάρχει γενικός τύπος για την περιφέρεια μιας έλλειψης ως προς τον μεγάλο και τον μικρό άξονά της που να χρησιμοποιεί μόνο στοιχειώδεις συναρτήσεις. Ωστόσο, υπάρχουν κατά προσέγγιση τύποι όσον αφορά αυτές τις παραμέτρους. Μια τέτοια προσέγγιση, η οποία ανακαλύφθηκε από τον [[Λέοναρντ Όιλερ]] (1773), για την [[Κανονική μορφή|κανονική]] έλλειψη,
:<math>\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1</math>,
είναι
:<math>C_{\rm{\epsilon\lambda\lambda\epsilon\iota\psi\eta\varsigma}}\sim \pi \sqrt{2\left(a^2 + b^2\right)} </math>.
Μερικά κάτω και άνω όρια στην περιφέρεια της κανονικής έλλειψης με <math>a\geq b</math> είναι:<ref>{{Cite journal|last=Jameson|first=G.J.O.|title=Inequalities for the perimeter of an ellipse|journal=Mathematical Gazette|volume=98|issue=499|year=2014|pages=227–234|doi=10.2307/3621497|jstor=3621497}}</ref>
:<math>2\pi b\leq C\leq 2\pi a</math>.
Εδώ, το άνω όριο <math>2\pi a</math> είναι η περιφέρεια ενός περιγεγραμμένου ομόκεντρου κύκλου που διέρχεται από τις [[κορυφή|κορυφές]] του κύριου άξονα της έλλειψης και το κάτω όριο <math>4\sqrt{a^2+b^2}</math> είναι η [[περίμετρος]] ενός εγγεγραμμένου [[Ρόμβος|ρόμβου]] με κορυφές τα σημεία του μεγάλου και του μικρού άξονα.

Η περιφέρεια μιας έλλειψης μπορεί να εκφραστεί ακριβώς ως προς το πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα δεύτερου είδους.<ref>{{Citation|first=Gert|last=Almkvist|first2=Bruce|last2=Berndt|title=Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, ellipses, {{pi}}, and the Ladies Diary|journal=American Mathematical Monthly|year=1988|pages=585–608|volume=95|number=7|mr=966232|doi=10.2307/2323302|jstor=2323302}}</ref> Συγκεκριμένα,
:<math>C_{\rm{\epsilon\lambda\lambda\epsilon\iota\psi\eta\varsigma}}= 4a \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta</math>,
όπου <math>a</math> είναι το μήκος του μεγάλου άξονα και <math>e</math> είναι η [[εκκεντρότητα]] της έλλειψης, που ισούται με <math>\sqrt{1 - b^2/a^2}.</math>

== Δείτε επίσης ==

* [[Μήκος τόξου]] – Απόσταση κατά μήκος μιας καμπύλης
* [[Εμβαδόν]] – Μέγεθος μέτρησης επιφανειών
* [[Ισοπεριμετρική ανισότητα]] – Γεωμετρική ανισότητα που θέτει ένα χαμηλότερο όριο στην επιφάνεια ενός συνόλου με δεδομένο τον όγκο του

== Bιβλιογραφικές αναφορές ==
<references />

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
{{Βικιβιβλία|Geometry|Circles/Arcs|Arcs}}
{{Βικιλεξικό|circumference}}

{{κύκλος}}
{{Authority control}} 
{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{DEFAULTSORT:Περιφέρεια (γεωμετρία) }}

* [http://www.numericana.com/answer/ellipse.htm#elliptic Numericana - Περιφέρεια έλλειψης]
[[Κατηγορία:Κύκλος]]
[[Κατηγορία:Κωνικές τομές]]