Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Πολλαπλασιασμός

{{πηγές|21|12|2016}}
{{μορφοποίηση}}
[[Αρχείο:Multiplication as scaling integers.gif|μικρογραφία|δεξιά|Ο πολλαπλασιασμός μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως κλιμάκωση. Στο παραπάνω κινούμενο σχέδιο, βλέπουμε το 2 που πολλαπλασιάζεται με το 3, δίνοντας το 6 ως αποτέλεσμα.]]
[[Αρχείο:Multiplication scheme 4 by 5.jpg|μικρογραφία|δεξιά|4 × 5 = 20, το ορθογώνιο αποτελείται από 20 τετράγωνα, που έχουν διαστάσεις 4 και 5.]]
[[Αρχείο:Multiply field fract.svg|μικρογραφία|δεξιά|Το εμβαδόν μιας περιοχής 4.5μ&nbsp;×&nbsp;2.5μ&nbsp;= 11.25μ<sup>2</sup> (4½&nbsp;×&nbsp;2½ =&nbsp;11¼)]]

Ο '''πολλαπλασιασμός''' (συχνά συμβολίζεται με το εγκάρσιο σύμβολο "'''×'''") είναι η [[Πράξη (μαθηματικά)|μαθηματική πράξη]] της κλιμάκωσης ενός [[Αριθμός|αριθμού]] από έναν άλλο. Είναι μία από τις τέσσερις βασικές πράξεις στη στοιχειώδη [[αριθμητική]] (οι άλλες είναι η [[πρόσθεση]], η [[αφαίρεση]] και η [[διαίρεση]]).

Επειδή το αποτέλεσμα της κλιμάκωσης από [[Ακέραιοι αριθμοί|ακέραιους αριθμούς]] μπορεί να θεωρηθεί ως αποτέλεσμα πρόσθεσης κάποιου αριθμού αντιγράφων του αρχικού, το [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιο]] [[γινόμενο]] που είναι μεγαλύτερο από 1 μπορεί να υπολογιστεί από επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Για παράδειγμα το 3 πολλαπλασιασμένο με το 4 (συχνά λέμε και "4 φορές το 3") μπορεί να υπολογιστεί προσθέτοντας 4 αντίγραφα του 3:

:<math>3 \times 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.\!\,</math>

Εδώ το 3 και το 4 είναι οι "παράγοντες" και το 12 είναι το "γινόμενο".

Οι εκπαιδευτικοί διαφωνούν ως προς το ποιος αριθμός θα πρέπει κανονικά να θεωρηθεί ως ο αριθμός των αντιγράφων, και κατά πόσον ο πολλαπλασιασμός πρέπει ακόμη να παρουσιαστεί ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση.<ref>{{cite web |url=http://www.globaledresources.com/resources/assets/042309_Multiplication_v2.pdf |title=Is Multiplication Just Repeated Addition? |author=Makoto Yoshida |year=2009 |accessdate=2013-05-23 |archive-date=2013-04-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130418030057/http://www.globaledresources.com/resources/assets/042309_Multiplication_v2.pdf |url-status=dead }}</ref> Για παράδειγμα το 3 πολλαπλασιασμένο με το 4, μπορεί επίσης να υπολογιστεί προσθέτοντας 3 αντίγραφα του 4:

:<math>3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12.\!\,</math>

Ο πολλαπλασιασμός των [[Ρητοί αριθμοί|ρητών αριθμών]] (κλάσματα) και των [[Πραγματικοί αριθμοί|πραγματικών αριθμών]] ορίζεται από συστηματική γενίκευση αυτής της βασικής ιδέας.

Ο πολλαπλασιασμός μπορεί επίσης να απεικονιστεί ως καταμέτρηση αντικείμενων τοποθετημένων σε ένα [[ορθογώνιο]] (για [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιους αριθμούς]]) είτε υπολογίζοντας το [[εμβαδόν]] ενός ορθογωνίου, του οποίου τα [[Μήκος|μήκη]] έχουν δοθεί (για τους αριθμούς γενικά). Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου δεν εξαρτάται από το ποια πλευρά θα μετρηθεί πρώτη, το οποίο καταδεικνύει ότι οι ομόσημοι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται μαζί έχουν θετικό αποτέλεσμα.

Σε γενικές γραμμές το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο μετρήσεων δίνει ένα αποτέλεσμα ενός νέου τύπου, ανάλογα με τις μετρήσεις. Για παράδειγμα:

:<math>2.5 \mbox{ μέτρα} \times 4.5 \mbox{ μέτρα} = 11.25 \mbox{ τετραγωνικά μέτρα},\!\,</math>
:<math>11 \mbox{ μέτρα ανά δευτερόλεπτο} \times 9 \mbox{ δευτερόλεπτα} = 99 \mbox{ μέτρα}.\!\,</math>

Η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού είναι η διαίρεση. Για παράδειγμα, 4 επί 3, ισούται με 12. Στη συνέχεια, 12 δια 3 ισούται με 4. Ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού με το 3 δίνει ένα γινόμενο, όταν ακολούθως γίνει διαίρεση του γινομένου με το 3, αυτή δίνει και πάλι τον αρχικό αριθμό.

Ο πολλαπλασιασμός ορίζεται επίσης για άλλους τύπους αριθμών (όπως [[Μιγαδικοί αριθμοί|μιγαδικούς αριθμούς]]), και για πιο αφηρημένα κατασκευάσματα όπως οι [[Πίνακας (μαθηματικά)|πίνακες]]. Για αυτές τις πιο αφηρημένες έννοιες, η σειρά που οι [[Τελεστής|τελεστές]] πολλαπλασιάζονται σε ορισμένες περιπτώσεις, έχει σημασία.

== Συμβολισμοί και ορολογία ==
[[Αρχείο:Multiplication Sign.svg|220px|μικρογραφία|δεξιά|Το σύμβολο του πολλαπλασιασμού<br /> (για τον φορέα HTML είναι <tt>&amp;times;</tt>)]]
{{Αποτελέσματα υπολογισμών}}

Ο πολλαπλασιασμός συχνά αναφέρεται με το σύμβολο του πολλαπλασιασμού "'''×'''" μεταξύ των όρων. Το αποτέλεσμα εκφράζεται με ένα [[Σύμβολο ισότητας (μαθηματικά)|ίσον]]. Για παράδειγμα:
:<math>2\times 3 = 6</math>&nbsp;&nbsp; (προφορικά, "δύο φορές το τρία ισοδυναμεί με το έξι")
:<math>3\times 4 = 12</math>
:<math>2\times 3\times 5 = 6\times  5 = 30</math>
:<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math>

Υπάρχουν αρκετές άλλες κοινές παραστάσεις για τον πολλαπλασιασμό. Πολλές από αυτές έχουν ως στόχο να μειωθεί η σύγχυση μεταξύ του "'''×'''" σύμβολου του πολλαπλασιασμού και την κοινώς χρησιμοποιούμενη μεταβλητή "x":

*Ο πολλαπλασιασμός μερικές φορές συμβολίζεται είτε με μία ''μεσαία τελεία'' ή με μία ''κάτω τελεία'':
:<math>5 \cdot 2 \quad</math>&nbsp; ή&nbsp; <math>\quad 5\,.\,2</math>
:Η μεσαία τελεία είναι καθιερωμένη στις [[Ηνωμένες Πολιτείες]], στο [[Ηνωμένο Βασίλειο]] και γενικά σε χώρες όπου η κάτω τελεία χρησιμοποιείται ως [[υποδιαστολή]]. Σε άλλες χώρες που χρησιμοποιούν το [[Κόμμα (στίξη)|κόμμα]] ως υποδιαστολή, είτε η τελεία, είτε μια τελεία μεσαία, χρησιμοποιείται για τον πολλαπλασιασμό.{{citation needed|date=August 2011}} Σε διεθνές επίπεδο, η μεσαία τελεία συχνά έχει μία πιο προηγμένη ή επιστημονική χρήση.{{citation needed|date=March 2013}}

*Ο ''αστερίσκος'' (όπως στο <code>5*2</code>) συχνά χρησιμοποιείται στις [[γλώσσες προγραμματισμού]] επειδή υπάρχει σε κάθε πληκτρολόγιο. Αυτή η χρήση προέρχεται από την γλώσσα προγραμματισμού [[FORTRAN]].

*Στην [[άλγεβρα]], ο πολλαπλασιασμός που αφορά [[Μεταβλητή (Μαθηματικά)|μεταβλητές]] γράφεται συχνά ως ''αντιπαράθεση'' (π.χ., ''xy'' για ''x'' επί ''y'' ή 5''x'' για πέντε επί ''x''). Αυτή η σημειογραφία μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τις ποσότητες που περιβάλλονται από παρενθέσεις (π.χ., 5(2) ή (5)(2) για πέντε επί δύο).

*Στον πολλαπλασιασμό των ''πινάκων'', υπάρχει πράγματι μια διάκριση μεταξύ των συμβόλων του σταυρού και της τελείας. Το σύμβολο του σταυρού δηλώνει γενικά το διανυσματικό γινόμενο, ενώ η τελεία σημαίνει ένα κλιμακωτό πολλαπλασιασμό. Μία παρόμοια σύμβαση διακρίνει ανάμεσα στο εξωτερικό και το [[εσωτερικό γινόμενο]] δύο [[Διάνυσμα|διανυσμάτων]].

Οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται καλούνται γενικά "παράγοντες" ή "πολλαπλασιαστέοι". Όταν σκεφτόμαστε τον πολλαπλασιασμό ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση, ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται καλείται "πολλαπλασιαστέος", ενώ ο αριθμός των πολλαπλασίων ονομάζεται  "πολλαπλασιαστής". Στην άλγεβρα, ένας αριθμός που είναι ο πολλαπλασιαστής μιας μεταβλητής ή έκφρασης (π.χ. στο 3''xy''<sup>2</sup>, το 3) ονομάζεται "[[συντελεστής]]".

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ονομάζεται "γινόμενο", και αποτελεί [[Πολλαπλάσιο (Μαθηματικά)|πολλαπλάσιο]] του κάθε παράγοντα, εάν ο άλλος παράγοντας είναι ένας ακέραιος. Για παράδειγμα, το 15 είναι το γινόμενο του 3 με το 5, και είναι ακόμα ένα πολλαπλάσιο του 3 και ένα πολλαπλάσιο του 5.

== Υπολογισμός ==
Οι κοινές μέθοδοι για τον πολλαπλασιασμό αριθμών χρησιμοποιώντας μολύβι και χαρτί απαιτούν ένα [[Πίνακας πολλαπλασιασμού|πίνακα πολλαπλασιασμού]] απομνημονευμένων ή υπολογισμένων γινομένων μικρών αριθμών (συνήθως κάθε δύο αριθμούς από 0-9), αλλά η μέθοδος, του αρχαίου [[Πολλαπλασιασμός αλά ρωσικά|Αιγυπτιακού πολλαπλασιαστικού]] αλγορίθμου, δεν τον απαιτεί. <!--Many mathematics curricula developed according to the 1989 standards of the [[NCTM]] do not teach standard arithmetic methods, instead guiding students to invent their own methods of computation. Though widely adopted by many school districts in nations such as the United States, they have encountered resistance from some parents and mathematicians, and some districts have since abandoned such curricula in favor of [[traditional mathematics]].-->

Πολλαπλασιάζοντας "με το χέρι" αριθμούς, με περισσότερα από ένα ζεύγη δεκαδικών ψηφίων, είναι κουραστικό και επιρρεπές σε λάθη. Οι [[Δεκαδικός λογάριθμος|κοινοί λογάριθμοι]] εφευρέθηκαν για να απλοποιήσουν τους υπολογισμούς αυτούς. Ο [[λογαριθμικός κανόνας]] επιτρέπει στους αριθμούς να πολλαπλασιάζονται ταχύτατα με ακρίβεια περίπου τριών δεκαδικών ψηφίων. Στις αρχές του 20ού αιώνα, υπολογιστικές μηχανές, όπως η ''Marchant Calculator'', καθίστισαν ικανό τον αυτόματο πολλαπλασιασμό έως και 10 ψηφίων. Σύγχρονες ηλεκτρονικές υπολογιστικές μηχανές και αριθμομηχανές έχουν μειώσει σημαντικά την ανάγκη για τον πολλαπλασιασμό "με το χέρι".

=== Ιστορικοί αλγόριθμοι ===
Μέθοδοι πολλαπλασιασμού καταγράφηκαν από πολλούς [[Πολιτισμός (αρχαιολογία)|αρχαίους πολιτισμούς]], όπως ο Αιγυπτιακός, ο Ελληνικός, ο Ινδικός και ο Κινεζικός.

Το οστό ''Ishango'', που χρονολογείται περίπου το 18.000 με 20.000 π.Χ., παραπέμπει στη γνώση του πολλαπλασιασμού κατά την Ανώτερη Παλαιολιθική εποχή στην Κεντρική Αφρική.

==== Αιγύπτιοι ====
{{Main|Αρχαίος Αιγυπτιακός πολλαπλασιασμός}}
Η αιγυπτιακή μέθοδος πολλαπλασιασμού των ακεραίων και των κλασμάτων, που τεκμηριώνεται στον Πάπυρο του Αχμόζη (''Ahmes Papyrus''), ήταν με διαδοχικές προσθήκες και διπλασιασμό. Για παράδειγμα, για να βρει το γινόμενο του 13 και 21 κάποιος έπρεπε να διπλασιάσει το 21 τρεις φορές, κάνοντας δηλαδή 1 × 21 = 21, 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 84, 8 × 21 = 168. Το πλήρες γινόμενο στη συνέχεια θα μπορούσε να βρεθεί με την προσθήκη των κατάλληλων όρων που βρέθηκαν στην αλληλουχία διπλασιασμού:
:13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

==== Βαβυλώνιοι ====
Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν το [[εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης]], με τρόπο ανάλογο με το [[δεκαδικό σύστημα]] της σύγχρονης εποχής. Έτσι, ο Βαβυλώνιος πολλαπλασιασμός ήταν κατά πολύ παρόμοιος με τον σύγχρονο δεκαδικό πολλαπλασιασμό. Λόγω της σχετικής δυσκολίας του να θυμόμαστε 60 × 60 διαφορετικά γινόμενα, οι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί εφήυραν τους [[Πίνακας πολλαπλασιασμού|πολλαπλασιαστικούς πίνακες]]. Οι πίνακες αυτοί αποτελούνταν από έναν κατάλογο των πρώτων είκοσι πολλαπλάσιων ενός ορισμένου αριθμού ''ν'' (π.χ. ''ν'', 2''ν'', ..., 20''ν''), ακολουθούμενοι από τα πολλαπλάσιά του 10''ν'' (π.χ. 30''ν'' 40''ν'', και 50''ν''). Έπειτα για να υπολογίσεις οποιοδήποτε εξηνταδικό γινόμενο, π.χ. 53''ν'', χρειάζεται μόνο να προσθέσεις το 50''ν'' και το 3''ν'' που είναι υπολογισμένα στον πίνακα.

==== Κινέζοι ====
[[Αρχείο:Multiplication algorithm.GIF|μικρογραφία|δεξιά|250px|38&nbsp;'''×'''&nbsp;76&nbsp;=&nbsp;2888]]
Στο μαθηματικό κείμενο ''Zhou Bi Suan Jing'', που χρονολογείται πριν από το 300 π.Χ., και τα ''Εννέα κεφάλαια σχετικά με την Μαθηματική Τέχνη'', πολλαπλασιαστικοί υπολογισμοί γράφτηκαν με λόγια, παρόλο που οι αρχαίοι Κινέζοι μαθηματικοί ασχολούνταν με τον [[Ολοκληρωτικός λογισμός|Ολοκληρωτικό λογισμό]] που αφορά μέρος προστιθέμενης αξίας, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Αυτός ο δεκαδικός αριθμητικός αλγόριθμος εισήχθη στις αραβικές χώρες από τον ''Al Khwarizmi'' κατά τις αρχές του 9ου αιώνα.

=== Σύγχρονη μέθοδος ===
[[Αρχείο:Gelosia multiplication 45 256.png|250px|μικρογραφία|δεξιά|Το γινόμενο του 45 και 256. Σημειώστε ότι η ανάλυση του 45 σε αριθμούς αντιστρέφεται στην αριστερή στήλη. Το στάδιο μεταφοράς του πολλαπλασιασμού μπορεί να πραγματοποιηθεί στο τελικό στάδιο του υπολογισμού (με έντονους χαρακτήρες), επιστρέφοντας το τελικό γινόμενο των 45&nbsp;'''×'''&nbsp;256&nbsp;=&nbsp;11520.]]
Η σύγχρονη μέθοδος του πολλαπλασιασμού με βάση το ινδουιστικό-αραβικό σύστημα αρίθμησης περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Brahmagupta. Ο Brahmagupta έδωσε κανόνες για την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Ο ''Henry Burchard Fine'', μετέπειτα καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Πρίνσετον, έγραψε τα ακόλουθα:

:''Οι Ινδοί είναι οι εφευρέτες όχι μόνο του μεταθετικού δεκαδικού συστήματος, αλλά και των περισσότερων διαδικασιών που αφορούν τον κύριο υπολογισμό του συστήματος. Η πρόσθεση και η αφαίρεση που εκτέλεσαν είναι παρόμοιες με αυτές που εκτελούνται στις μέρες μας. Ο πολλαπλασιασμός επηρέασε πολλούς τρόπους, μεταξύ αυτών και τον δικό μας, αλλά η διαίρεση τους ήταν πολύ περίπλοκη.''<ref>Henry B. Fine. ''The Number System of Algebra'' – [http://www.archive.org/download/numbersystemofal00fineuoft/numbersystemofal00fineuoft.pdf Treated Theoretically and Historically], (2η έκδοση, με διορθώσεις, 1907), σελ. 90.</ref>

=== Υπολογιστικοί Αλγόριθμοι ===
{{Main|Αλγοριθμικός πολλαπλασιασμός}}
Η μέθοδος του πολλαπλασιασμού δύο  ''ν''-ψηφίων αριθμών απαιτεί ''ν''<sup>2</sup> απλούς πολλαπλασιασμούς. Αλγόριθμοι πολλαπλασιασμού έχουν σχεδιαστεί ώστε να μειώσουν σημαντικά το χρόνο υπολογισμού κατά τον πολλαπλασιασμό μεγάλων αριθμών. Ειδικότερα για πολύ μεγάλες αριθμητικές μεθόδους στηριζόμενες στον [[Διακριτός Μετασχηματισμός Φουριέ|διακριτό μετασχηματισμό Φουριέ]] μπορούν να μειώσουν τον αριθμό των απλών πολλαπλασιασμών με τη σειρά του  ''ν'' λογ<sub>2</sub>(''ν'').

== Γινόμενα αποστάσεων ==
Όταν δύο μονάδες μέτρησης πολλαπλασιάζονται η μονάδα μέτρησης του γινομένου τους είναι εξαρτώμενη από τις ίδιες τις μονάδες μέτρησης. Η γενική θεωρία δίνεται από την [[διαστατική ανάλυση]]. Η ανάλυση αυτή συνήθως εφαρμόζεται στη φυσική, αλλά έχει βρει και εφαρμογές στον τομέα των οικονομικών. Η θεωρία στην ουσία υποστηρίζει, ότι εξ ορισμού κάποιος μπορεί να προσθέσει ή να αφαιρέσει ποσότητες μόνο του ιδίου είδους, αλλά μπορεί να πολλαπλασιάσει ή να διαιρέσει ποσότητες ακόμα και διαφορετικών ειδών, παρότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι στην πραγματικότητα ένα σύνολο από προσθέσεις και αφαιρέσεις.

Ένα κοινό παράδειγμα είναι ότι πολλαπλασιάζοντας την ταχύτητα με το χρόνο έχεις μία απόσταση, έτσι:

:50 χιλιόμετρα ανά ώρα × 3 ώρες = 150 χιλιόμετρα.

== Γινόμενα ακολουθιών ==
<!-- linked from below -->
=== Σημειογραφία Π κεφαλαίου ===
Το γινόμενο των όρων μιας ακολουθίας μπορεί να γραφτεί με το σύμβολο του γινομένου, το οποίο προέρχεται από το κεφαλαίο γράμμα Π στο [[ελληνικό αλφάβητο]]. Η έννοια αυτής της σημειογραφίας δίνεται ως:
: <math> \prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n. </math>

Ο δείκτης παρουσιάζει το σύμβολο μιας [[Μεταβλητή (Μαθηματικά)|ψευδομεταβλητή]]ς (''i'' σε αυτή την περίπτωση), ο οποίος ονομάζεται «δείκτης του πολλαπλασιασμού» γράφεται μαζί με το κατώτερο όριο (m), ενώ ο εκθέτης (n) παρέχει το ανώτερο όριο. Το κατώτερο και το ανώτερο όριο είναι εκφράσεις που δηλώνουν ακέραιοι αριθμοί. Οι παράγοντες του γινομένου που λαμβάνονται με τη λήψη της μαθηματικής έκφρασης που ακολουθεί τον φορέα του γινομένου (Π), εφαρμόζοντας τις διαδοχικές ακέραιες τιμές που ακολουθούν τον δείκτη του πολλαπλασιασμού στην μαθηματική έκφραση, ξεκινώντας από το κατώτερο όριο και αυξάνοντας κατά 1 έως και το ανώτερο όριο. Έτσι, για παράδειγμα:

: <math> \prod_{i=2}^6 \left(1 + {1\over i}\right) = \left(1 + {1\over 2}\right) \cdot \left(1 + {1\over 3}\right) \cdot \left(1 + {1\over 4}\right) \cdot \left(1 + {1\over 5}\right) \cdot \left(1 + {1\over 6}\right) = {7\over 2}. </math>

Στην περίπτωση που  ''m'' = ''n'', το γινόμενο ισούται με την αξία του ''x''<sub>''m''</sub>. Εάν ''m''&nbsp;>&nbsp;''n'', το γινόμενο είναι το ίσο με το&nbsp;1.

=== Άπειρο Γινόμενο ===
Κάποιος μπορεί επίσης να εξετάσει τα γινόμενα άπειρων όρων, τα οποία ονομάζονται άπειρα γινόμενα. Για αυτό, θα αντικαταστήσουμε το ''n'' πάνω από το Π με το σύμβολο του [[Άπειρο|απείρου]] (∞). Το γινόμενο μιας τέτοιας σειράς ορίζεται ως το [[Όριο (μαθηματικά)|όριο]] του γινομένου των πρώτων ''n'' όρων, καθώς το ''n'' μεγαλώνει χωρίς να δεσμεύεται. Δηλαδή, εξ ορισμού:

: <math> \prod_{i=m}^{\infty} x_{i} = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^{n} x_{i}</math>

Κάποιος μπορεί να αντικαταστήσει ομοίως το m με το αρνητικό άπειρο (–∞), και εφόσον υπάρχουν και τα δύο όρια, έχουμε:

:<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^n x_i\right)</math>

== Ιδιότητες ==
[[Αρχείο:Multiplication chart.png|μικρογραφία|δεξιά|Πολλαπλασιασμός των αριθμών 0-10. Ετικέτες γραμμής = πολλαπλασιαστέοι. Άξονα Χ = πολλαπλασιαστής. Άξονας Υ = γινόμενο.]]

Για τους φυσικούς αριθμούς, τους ακέραιους αριθμούς, τα κλάσματα, τους πραγματικούς και τους μιγαδικούς αριθμούς, ο πολλαπλασιασμός έχει ορισμένες ιδιότητες:

;[[Αντιμεταθετική ιδιότητα]]
: Η σειρά με την οποία πολλαπλασιάζονται δύο αριθμoί δεν έχει σημασία:
::<math>x\cdot y = y\cdot x</math>.

;[[Προσεταιριστική ιδιότητα]]
: Εκφράσεις που αφορούν αποκλειστικά τον πολλαπλασιασμό ή την πρόσθεση είναι αμετάβλητες σε σχέση με την σειρά των πράξεων:
::<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math>

;[[Επιμεριστική ιδιότητα]]
: Διατηρείται στον πολλαπλασιασμό με άθροισμα. Αυτή η ταυτότητα είναι πρωταρχικής σημασίας για την απλούστευση αλγεβρικών εκφράσεων:
::<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math>

;[[Ουδέτερο στοιχείο]]
: Η πολλαπλασιαστική ταυτότητα είναι 1. Οτιδήποτε πολλαπλασιάζεται με το ένα παραμένει ίδιο. Αυτό είναι γνωστό ως η ταυτοτική ιδιότητα:
::<math>x\cdot 1 = x</math>

;[[Απορροφητικό στοιχείο]] ή Μηδενικό στοιχείο
: Οποιοσδήποτε αριθμός που πολλαπλασιάζεται με το μηδέν γίνεται μηδέν. Αυτό είναι γνωστό ως η μηδενική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.
::<math>x\cdot  0 = 0</math>
: Το μηδέν μερικές φορές δεν περιλαμβάνεται μεταξύ των φυσικών αριθμών.

Υπάρχουν πολλές περαιτέρω ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, οι οποίες όμως δεν ικανοποιούνται από όλα τα είδη των αριθμών.

;Άρνηση
:Το μείον ένα επί οποιονδήποτε αριθμό ισούται με τον αντίθετο του εν λόγω αριθμού.
::<math>(-1)\cdot x = (-x)</math>
:Το μείον ένα επί το μείον ένα είναι θετικός αριθμός.
::<math>(-1)\cdot (-1) = 1</math>
:Οι φυσικοί αριθμοί δεν περιλαμβάνουν αρνητικούς αριθμούς.

;[[Αντίστροφος]] (ως προς τον πολλαπλασιασμό)
: Κάθε αριθμός ''x'', εκτός από το μηδέν, έχει και έναν αντίστροφό του αριθμό, ίσο με <math>\frac{1}{x}</math>, έτσι ώστε <math>x\cdot\left(\frac{1}{x}\right) = 1</math>.

;Διατήρηση της τάξης
: Ο πολλαπλασιασμός με ένα θετικό αριθμό διατηρεί την τάξη, δηλαδή την ανισότητα:
::εάν ισχύει ''a''&nbsp;>&nbsp;0 και ''b''&nbsp;>&nbsp;''c'' τότε ''ab''&nbsp;>&nbsp;''ac''.
: Ο πολλαπλασιασμός με έναν αρνητικό αριθμό αντιστρέφει την τάξη, και έτσι:
::εάν ισχύει ''a''&nbsp;<&nbsp;0 και ''b''&nbsp;>&nbsp;''c'' τότε ''ab''&nbsp;<&nbsp;''ac''.
: Οι μιγαδικοί αριθμοί δεν έχουν σταθερή τάξη.

Άλλα μαθηματικά συστήματα, που έχουν την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού μπορεί να μην έχουν όλες αυτές τις ιδιότητες. Για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός δεν είναι, σε γενικές γραμμές, αντιμεταθετικός για τους [[Πίνακας (μαθηματικά)|πίνακες]] και τα [[Τετραδόνιο|τετραδόνια]].

== Αξιώματα ==
{{Κύριο άρθρο|Αξιώματα Πεάνο}}
Στο βιβλίο ''Arithmetices principia, nova methodo exposita'', ο [[Τζουζέπε Πεάνο]] προτείνει διάφορα αξιώματα για την αριθμητική, με βάση τα αξιώματα για τους φυσικούς αριθμούς.<ref>{{MathWorld | urlname=PeanosAxioms | title=Peano's Axioms}}</ref> Η [[Αριθμητική Πεάνο]] έχει δύο αξιώματα για τον πολλαπλασιασμό:<ref>PlanetMath: [http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html Peano arithmetic] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070819031025/http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html |date=2007-08-19 }}</ref> 

:<math>x \times 0 = 0</math>
:<math>x \times S(y) = (x \times y) + x</math>

Εδώ το ''S''(''y'') αντιπροσωπεύει τον διάδοχο της τάξεως του ''y'', ή τον φυσικό αριθμό που ακολουθεί τον ''y''. Οι διάφορες ιδιότητες, όπως η συσχέτιση μπορεί να αποδειχθεί από αυτά και τα υπόλοιπα αξιώματα της αριθμητικής Πεάνο συμπεριλαμβανομένης της  [[Μαθηματική επαγωγή|επαγωγής]]. Για παράδειγμα το ''S''(0), που συμβολίζεται με 1, είναι μια πολλαπλασιαστική ταυτότητα επειδή:

:<math>x \times 1 = x \times S(0) = (x \times 0) + x = 0 + x = x </math>

Τα αξιώματα για τους [[Ακέραιος αριθμός|ακεραίους]] συνήθως καθορίζουν τις κλάσεις ισοδυναμίας για διατεταγμένα ζεύγη φυσικών αριθμών. Το μοντέλο βασίζεται στη αντιμετώπιση του (''x'',''y'') ως ισοδύναμο με το ''x''−''y'' όταν ''x'' και ''y'' αντιμετωπίζονται ως ακέραιοι. Έτσι, και τα δύο (0,1) και (1,2) είναι ισοδύναμα με το −1. Το αξίωμα του πολλαπλασιασμού για ακέραιους αριθμούς που ορίζονται με αυτόν τον τρόπο είναι:

:<math>(x_p,\, x_m) \times (y_p,\, y_m) = (x_p \times y_p + x_m \times y_m,\; x_p \times y_m + x_m \times y_p)</math>

Η ιδιότητα του ότι το −1 × −1 = 1 μπορεί στη συνέχεια να συναχθεί από:

:<math>(0, 1) \times (0, 1) = (0 \times 0 + 1 \times 1,\, 0 \times 1 + 1 \times 0) = (1,0)</math>

Ο πολλαπλασιασμός επεκτείνεται με παρόμοιο τρόπο στους [[Ρητοί αριθμοί|ρητούς αριθμούς]] και μετά στους [[Πραγματικοί αριθμοί|πραγματικούς αριθμούς]].

== Πολλαπλασιασμός με την θεωρία των συνόλων ==
Είναι δυνατόν, αν και αρκετά δύσκολο όμως, να δημιουργήσετε ένα αναδρομικό ορισμό του πολλαπλασιασμού με τη θεωρία των συνόλων. Ένα τέτοιο σύστημα βασίζεται συνήθως στον [[Αριθμητική Πεάνο|ορισμό πολλαπλασιασμού του Πεάνο]].

=== Καρτεσιανό γινόμενο ===
Ο ορισμός του πολλαπλασιασμού ως επαναλαμβανόμενη [[πρόσθεση]] παρέχει έναν τρόπο για να καταλήξουμε σε μια σύνολο-θεωρητική ερμηνεία του πολλαπλασιασμού των [[Καρδινάλιος αριθμός|καρδινάλιων αριθμών]]. Στην έκφραση:

: <math>\displaystyle n \cdot a = \underbrace{a + \cdots + a}_{n},</math>

εάν πάρουμε την ξένη ένωση των ''n'' αντιγράφων του ''a'' τότε σαφώς θα πρέπει να διασπαστούν, ένας προφανής τρόπος για να γίνει αυτό είναι να χρησιμοποιήσουμε ένα ''a'' ή ένα ''n'' έτσι ώστε το ένα να είναι ενδεικτικό για το άλλο. Στη συνέχεια, τα μέλη της <math>n \cdot a\,</math> είναι ακριβώς εκείνα του [[Καρτεσιανό γινόμενο|Καρτεσιανού γινομένου]] <math>n  \times a\,</math>. Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού όπως αυτές εφαρμόζονται στους φυσικούς αριθμούς, εφαρμόζονται αντίστοιχα και στο καρτεσιανό γινόμενο.

== Πολλαπλασιασμός στην Θεωρία Ομάδων ==
<!-- linked from below -->
Υπάρχουν πολλά σύνολα που, στα πλαίσια της πράξης του πολλαπλασιασμού, ικανοποιούν τα αξιώματα που καθορίζουν την δομή μιας ομάδας. Αυτά τα αξιώματα είναι: το σύνολο να είναι κλειστό ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού, η συσχέτιση, και η ύπαρξη ενός ουδέτερου στοιχείου και ενός αντίστροφου.

Ένα απλό παράδειγμα είναι το σύνολο των μη μηδενικών ρητών αριθμών. Εδώ έχουμε ουδέτερο στοιχείο το&nbsp;1, σε αντίθεση με τις προσθετικές ομάδες, όπου το ουδέτερο στοιχείο είναι τυπικά το&nbsp;0. Σημειώστε ότι με τους ρητούς, θα πρέπει να αποκλείεται το μηδέν, επειδή, στον πολλαπλασιασμό, δεν έχει αντίστροφο: δεν υπάρχει ρητός αριθμός που μπορεί να πολλαπλασιάζεται με το μηδέν και να καταλήξει σε&nbsp;1. Σε αυτό το παράδειγμα, έχουμε μια [[αβελιανή ομάδα]], αλλά αυτό δεν ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις.

Για να το δούμε αυτό, ας δούμε το σύνολο των τετραγωνικών αναστρέψιμων πινάκων δοθείσας διάστασης, πάνω από ένα συγκεκριμένο [[Πεδίο (μαθηματικά)|πεδίο]]. Τώρα είναι εύκολο να εξακριβωθεί το κλείσιμο, η συσχέτιση, και η ένταξη του [[Μοναδιαίος πίνακας|μοναδιαίου]] και του αντίστροφου. Ωστόσο, ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός και ως εκ τούτου αυτή η ομάδα δεν είναι αβελιανή.

Ο πολλαπλασιασμός ακεραίων δεν είναι μια ομάδα, ακόμα και αν εξαιρέσουμε το μηδέν. Αυτό φαίνεται εύκολα από την ανυπαρξία ενός αντίστροφου για όλα τα στοιχεία πλην των 1 και -1.

Ο Πολλαπλασιασμός στην θεωρία ομάδων συνήθως συμβολίζεται είτε από μια τελεία, ή με αντιπαράθεση (η παράλειψη ενός συμβόλου της πράξης μεταξύ των στοιχείων). Έτσι, πολλαπλασιάζοντας το στοιχείο '''a''' από το στοιχείο  '''b''' θα μπορούσε να συμβολιστεί ως  '''a''' <math>\cdot</math> '''b''' ή '''ab'''. Όταν αναφερόμαστε σε μια ομάδα με την ένδειξη του συνόλου και της πράξης, τότε η τελεία χρησιμοποιείται για τον πολλαπλασιασμό, π.χ., το πρώτο παράδειγμα μας θα μπορούσε να υποδεικνύεται από το <math>\left( \mathbb{Q}\smallsetminus \{ 0 \} ,\cdot \right) </math>

== Πολλαπλασιασμός των διαφόρων ειδών των αριθμών ==
<!-- linked from above -->
Με τους αριθμούς μπορούμε να αριθμήσουμε (3 μήλα), να διατάξουμε (το 3ο μήλο), ή να μετρήσουμε (3,5 μέτρα ύψος). Όσο η ιστορία των μαθηματικών έχει προχωρήσει από το μέτρημα στα δάχτυλά μας στην κβαντομηχανική μοντελοποίηση, ο πολλαπλασιασμός έχει γενικευτεί σε πιο πολύπλοκες και αφηρημένες μορφές των αριθμών, και σε πράγματα που δεν είναι αριθμοί (όπως οι πίνακες) ή δεν φαίνονται σαν αριθμούς (όπως τα τετραδόνια).

;[[Ακέραιοι αριθμοί]]
:<math>N\times M</math> είναι το άθροισμα των ''M'' αντιγράφων του ''N'' όταν το ''N'' και το ''M'' είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Αυτό δίνει τον αριθμό των πραγμάτων σε ένα πίνακα ''N'' πλάτους και ''M'' ύψους. Γενίκευση σε αρνητικούς αριθμούς μπορεί να γίνει από  <math>N\times (-M) = (-N)\times M = - (N\times M)</math>&nbsp; και&nbsp; <math>(-N)\times (-M) = N\times M</math>. Οι ίδιοι προσημικοί κανόνες ισχύουν και για τους ρητούς και τους πραγματικούς αριθμούς.

;[[Ρητοί αριθμοί]]
:Η γενίκευση σε κλάσματα (fractions) <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D}</math> προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των αριθμητών και των παρονομαστών αντίστοιχα: <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D} = \frac{(A\times C)}{(B\times D)}</math>. Αυτό δίνει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου <math>\frac{A}{B}</math> σε ύψος και <math>\frac{C}{D}</math> σε εύρος, και είναι το ίδιο με τον αριθμό των πραγμάτων σε ένα πίνακα όταν οι ρητοί αριθμοί τυχαίνει να είναι ακέραιοι αριθμοί.

;[[Πραγματικοί αριθμοί]]
:<math>(x)(y)</math> είναι το όριο των γινομένων των αντίστοιχων όρων σε ορισμένες ακολουθίες ρητών που συγκλίνουν προς ''x'' και ''y'', αντίστοιχα, και είναι σημαντικό στον [[λογισμό]]. Αυτό δίνει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου με ''x'' ύψος και ''y'' εύρος (βλέπε [[πολλαπλασιασμός#Γινόμενα ακολουθιών|Γινόμενα ακολουθιών]], ανωτέρω).

;[[Μιγαδικός αριθμός|Μιγαδικοί Αριθμοί]]
:Λαμβάνοντας υπόψη ως μιγαδικούς αριθμούς τους <math>z_1</math> και <math>z_2</math> σαν διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών <math>(a_1, b_1)</math>&nbsp; και&nbsp; <math>(a_2, b_2)</math>, το γινόμενο <math>z_1\times z_2</math> είναι <math>(a_1\times a_2 - b_1\times b_2, a_1\times b_2 + a_2\times b_1)</math>. Όμοια και για τους πραγματικούς αριθμούς <math>a_1\times a_2</math>, όταν τα "φανταστικά" μέρη <math>b_1</math> και <math>b_2</math> είναι μηδενικά.

;Περαιτέρω γενικεύσεις
:Βλέπε παραπάνω, [[Πολλαπλασιασμός#Πολλαπλασιασμός στην Θεωρία Ομάδων|Πολλαπλασιασμός στην Θεωρία Ομάδων]], και τις [[Πολλαπλασιαστικές Ομάδες]], όπου για παράδειγμα, περιλαμβάνουν τον πολλαπλασιασμό των πινάκων. Μια πολύ γενική και αφηρημένη, έννοια του πολλαπλασιασμού παρουσιάζεται σαν την δυαδική λειτουργία "πολλαπλασιαστικά συμβολισμένη" σε ένα δακτύλιο. Ένα παράδειγμα ενός δακτυλίου που δεν είναι σε οποιαδήποτε από τα ανωτέρω συστήματα αριθμών είναι ένας [[δακτύλιος πολυώνυμο]] (μπορείτε να προσθέσετε και να πολλαπλασιάσετε πολυώνυμα, αλλά τα πολυώνυμα δεν είναι αριθμοί με την συνηθισμένη έννοια).

;[[Διαίρεση]]
:Συχνά η διαίρεση <math>\frac{x}{y}</math>, είναι το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό επί έναν αντίστροφο <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math>. Ο πολλαπλασιασμός για ορισμένους τύπους αριθμών μπορεί να έχει και αντίστοιχη διαίρεση, χωρίς αντίστροφα. Ένας αριθμός με "ακέραιο μέρος" <math>x</math> μπορεί να μην έχει αντίστροφο <math>\frac{1}{x}</math>, αλλά ο <math>\frac{x}{y}</math> μπορεί να ορίζεται. Σε ένα δακτύλιο διαίρεσης, υπάρχουν αντίστροφοι, αλλά δεν ισχύει η αντιμεταθετικότητα (δεδομένου ότι&nbsp; <math>\left(\frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{y}\right)</math>&nbsp; δεν είναι το ίδιο με το&nbsp; <math>\left(\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}\right)</math>, το&nbsp; <math>\frac{x}{y}</math>&nbsp; μπορεί να είναι διφορούμενο).
[[Αρχείο:Multiply 4 bags 3 marbles.svg|μικρογραφία|δεξιά|Τέσσερις σάκοι των τριών [[σβόλοι(παιχνίδι)|σβόλων]] δίνουν δώδεκα σβόλους (4 × 3 = 12)]]
== Ύψωση σε δύναμη ==
{{Κύριο άρθρο|Ύψωση σε δύναμη}}
Όταν ο πολλαπλασιασμός επαναλαμβάνεται, το αποτέλεσμα είναι γνωστό ως ύψωση σε δύναμη. Για παράδειγμα, το γινόμενο των τριών παραγόντων του δύο (2 × 2 × 2) είναι "το δύο υψωμένο στην τρίτη [[Δύναμη (μαθηματικά)|δύναμη]]", και συμβολίζεται με 2<sup>3</sup>, "δύο με [[Εκθέτης|εκθέτη]] τρία". Σε αυτό το παράδειγμα, ο αριθμός δύο είναι η βάση, και ο αριθμός τρια είναι ο εκθέτης. Σε γενικές γραμμές, ο εκθέτης δείχνει πόσες φορές πρέπει να πολλαπλασιαστεί η βάση με τον εαυτό της, ομοίως η έκφραση:

:<math>a^x = \underbrace{a\times a \times \cdots \times a}_x</math>

υποδεικνύει ότι η βάση&nbsp; <math>a</math>&nbsp; πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό της&nbsp; <math>x</math>&nbsp; φορές.

== Περαιτέρω ανάγνωση ==
{{col-begin}}
{{col-break|width=50%}}
* [[Πίνακας πολλαπλασιασμού]]
* [[Αλγόριθμος πολλαπλασιασμού]]
** [[Αλγόριθμος Karatsuba]], για μεγάλους αριθμούς
** [[Πολλαπλασιασμός Toom–Cook]], για πολύ μεγάλους αριθμούς
** [[Αλγόριθμος Schönhage–Strassen]], για τεράστιους αριθμούς
* [[Λογαριθμικός κανόνας]]
* [[Αντίστροφος|Πολλαπλασιασμός με αντίστροφη]]
* [[Παραγοντικό]]
* [[Διαστατική ανάλυση]]
{{col-break}}
* [[Πολλαπλασιασμός των χωρικών]], peasant multiplication
* [[Διαδικός πολλαπλασιασμός|Πολλαπλασιασμός με ALU]], για ηλεκτρονικούς υπολογιστές
** [[Αλγόριθμος πολλαπλασιασμού του Booth]]
** [[Κινητή υποδιαστολή]], Floating point
** [[Συντετηγμένη προσθήκη πολλαπλασιασμού]], Fused multiply–add
** [[Πολλαπλασιασμός με συσσώρευση]], Multiply–accumulate
** [[Δένδρο Wallace]]
* [[Ράβδοι του Genaille]], Genaille–Lucas rulers
* [[Κόκαλα του Νάπιερ]]
{{col-end}}

== Σημειώσεις ==
<references />

== Αναφορές ==
* {{cite book |author = Boyer, Carl B. (revised by Merzbach, Uta C.) |title = History of Mathematics |publisher = John Wiley and Sons, Inc. |year = 1991 |isbn = 0-471-54397-7 |url-access = registration |url = https://archive.org/details/historyofmathema00boye }}

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
{{βικιλεξικό}}
{{commonscat}}
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/multiplication.shtml Multiplication] and [http://www.cut-the-knot.org/blue/SysTable.shtml Arithmetic Operations In Various Number Systems]
* [https://web.archive.org/web/20120719043305/http://webhome.idirect.com/~totton/suanpan/mod_mult/ Modern Chinese Multiplication Techniques on an Abacus]
* MathStudies Blog Αλγόριθμοι Πολλαπλασιασμού ([https://www.mathstudies.eu/single-post/multiplication01 μέρος Ι] και [https://www.mathstudies.eu/single-post/multiplication02 μέρος ΙΙ])
* [https://play.google.com/store/apps/details?id=calculator.division.multiplication.schoolcalc Long Multiplication Calculator]


{{Στοιχειώδης αριθμητική}}
{{Authority control}}
{{Portal bar|Μαθηματικά}}

[[Κατηγορία:Στοιχειώδης αριθμητική]]
[[Κατηγορία:Λογική για Υπολογιστές]]
[[Κατηγορία:Δυαδικές πράξεις]]