Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Π (μαθηματική σταθερά)

{{DISPLAYTITLE:{{mvar|π}} (μαθηματική σταθερά)}}
{{Πλαίσιο π (μαθηματική σταθερά)}}

Ο '''αριθμός''' '''{{pi}}''' είναι μια [[μαθηματική σταθερά]] οριζόμενη ως ο [[Αναλογία (Μαθηματικά)|λόγος]] της [[Περιφέρεια (γεωμετρία)|περιφέρειας]] <math>P</math> προς τη [[διάμετρος|διάμετρο]] <math>\delta</math> ενός [[κύκλος|κύκλου]], δηλαδή <math>\pi = P/\delta</math>. Είναι σταθερά με την έννοια ότι η τιμή του είναι η ίδια σε όλους τους κύκλους και με ακρίβεια δεκατεσσάρων δεκαδικών ψηφίων είναι ίση με <math>3,14159265358979...</math> Εκφράζεται με το ελληνικό γράμμα {{pi}} από τα μέσα του 18ου αιώνα.

Ο {{pi}} είναι ένας [[άρρητος αριθμός]], που σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς ως ο [[Αναλογία (Μαθηματικά)|λόγος]] δύο [[ακέραιος|ακεραίων]] (όπως 22/7 ή άλλα κλάσματα που χρησιμοποιούνται συνήθως για την προσέγγιση του {{pi}}). Κατά συνέπεια, η [[Δεκαδικό σύστημα|δεκαδική του αναπαράσταση]] δεν τελειώνει ποτέ και ποτέ δεν καθίσταται μια μόνιμη και επαναλαμβανόμενη ακολουθία ψηφίων. Ο {{pi}} είναι επίσης ένας [[υπερβατικός αριθμός]], δηλαδή δεν αποτελεί ρίζα ενός μη-μηδενικού [[πολυώνυμο|πολυωνύμου]] με [[ρητός αριθμός|ρητούς]] συντελεστές. Αυτό έχει ως συνέπεια ότι δεν είναι δυνατόν να [[τετραγωνισμός του κύκλου]] με [[Κανόνας (γεωμετρία)|κανόνα]] (χάρακα) και [[Διαβήτης (όργανο)|διαβήτη]], ένα πρόβλημα που απασχόλησε τους μαθηματικούς από την αρχαιότητα.

Για χιλιάδες χρόνια, μαθηματικοί προσπάθησαν να επεκτείνουν την κατανόησή τους πάνω στο {{pi}}, κάποιες φορές με τον υπολογισμό της τιμής του σε υψηλό βαθμό ακρίβειας. Πριν τον 15ο αιώνα, μαθηματικοί όπως ο [[Αρχιμήδης]] και ο [[Λιου Χούι]] χρησιμοποίησαν γεωμετρικές τεχνικές βασιζόμενες σε [[πολύγωνο|πολύγωνα]], για να υπολογίσουν την τιμή του {{pi}}. Περί τον 15ο αιώνα νέοι [[αλγόριθμος|αλγόριθμοι]] βασιζόμενοι σε [[Σειρά|άπειρες σειρές]] υπολογίζουν τον αριθμό {{pi}} με μεγαλύτερη ακρίβεια και χρησιμοποιούνται από μαθηματικούς όπως ο [[Μαντχάβα της Σανγκαμάγκραμα]], ο [[Ισαάκ Νεύτων|Ισαάκ Νιούτον]], ο [[Λέοναρντ Όιλερ]], ο [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους]], και ο [[Σρινιβάσα Ραμανούτζαν]].

Τον 20ό και τον 21ο αιώνα, [[μαθηματικός|μαθηματικοί]] και [[Πληροφορική|πληροφορικοί]] ανακάλυψαν νέες μεθόδους προσέγγισης που, συνδυαζόμενοι με την αυξημένη υπολογιστική ισχύ, επέκτειναν τα γνωστά δεκαδικά ψηφία του {{pi}} σε πάνω από 10 τρισεκατομμύρια 10<sup>13</sup>. Στις πιο πολλές επιστημονικές εφαρμογές δεν απαιτούνται περισσότερα από 40 ψηφία του {{pi}} και έτσι το πρωταρχικό κίνητρο για αυτούς τους υπολογισμούς είναι η ανθρώπινη επιθυμία να σπάει ρεκόρ. Οι πολύπλοκοι υπολογισμοί που εμπλέκονται στον υπολογισμό των ψηφίων του {{pi}} έχουν χρησιμοποιηθεί για τη δοκιμή [[Υπερυπολογιστής|υπερυπολογιστών]], καθώς και [[αλγόριθμος|αλγορίθμων]] πολλαπλασιασμού υψηλής ακρίβειας.

Το {{pi}} εμφανίζεται σε πολλούς τύπους της [[τριγωνομετρία]]ς και της [[γεωμετρία]]ς, ειδικά όσον αφορά [[κύκλος|κύκλους]], [[έλλειψη (γεωμετρία)|ελλείψεις]] ή [[σφαίρα|σφαίρες]]. Εμφανίζεται επίσης και σε διάφορους τύπους από άλλους κλάδους της επιστήμης, όπως η [[κοσμολογία]], η [[θεωρία αριθμών]], η [[στατιστική]], τα [[φράκταλ]], η [[θερμοδυναμική]], η [[μηχανική]], και ο [[ηλεκτρομαγνητισμός]]. Ο καθολικός χαρακτήρας του {{pi}} τον καθιστά μια από τις πιο ευρέως γνωστές μαθηματικές σταθερές, τόσο εντός όσο και εκτός της επιστημονικής κοινότητας και έχει αποτελέσει θέμα λογοτεχνικών βιβλίων. Ο αριθμός γιορτάζεται την «[[ημέρα του π]]» και ρεκόρ υπολογισμού των ψηφίων του {{pi}} συχνά αναφέρονται σε τίτλους ειδήσεων.

== Βασικές αρχές ==
=== Ορισμός ===
[[Αρχείο:Pi eq C over d (el).svg|εναλλ.=Ένα διάγραμμα ενός κύκλου, με το πλάτος του που είναι χαρακτηρισμένο ως η διάμετρος, και την περίμετρο χαρακτηρισμένη ως περιφέρεια|μικρογραφία|Η περιφέρεια του κύκλου είναι ελαφρώς περισσότερη από τρεις φορές όσο η διάμετρός του. Η ακριβής αναλογία ονομάζεται {{Pi}}.]]
Ως {{pi}} συχνά ορίζεται το [[πηλίκο]] της [[Περιφέρεια (γεωμετρία)|περιφέρειας]] <math>C</math> ενός [[κύκλος|κύκλου]] προς την [[διάμετρος|διάμετρό]] του <math>d</math>:<ref name="Arndt">Arndt Haenel, 2006, p.8</ref>
:<math> \pi = \frac{C}{d}</math>.
Ο λόγος <math>\tfrac{C}{d} </math> είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το μέγεθος του κύκλου. Για παράδειγμα, αν ένας κύκλος έχει διπλάσια διάμετρο, αυτός θα έχει και διπλάσια περιφέρεια, διατηρώντας το λόγο <math>\tfrac{C}{d} </math> σταθερό. Αυτός ο ορισμός του {{pi}} είναι έγκυρος μόνο στην επίπεδη [[Ευκλείδεια Γεωμετρία|(Ευκλείδεια) Γεωμετρία]], ενώ αν επεκταθεί σε [[Ευκλείδεια γεωμετρία|κυρτές (Μη-Ευκλείδειες) Γεωμετρίες]] ο λόγος δεν παραμένει σταθερός.<ref name="Arndt" /> Υπάρχουν άλλοι ορισμοί του {{pi}} με βάση τον [[Λογισμός|απειροστικό λογισμό]] ή την [[τριγωνομετρία]] που δεν βασίζονται σε κύκλο. Ένας τέτοιος ορισμός είναι: Το {{pi}} είναι το διπλάσιο του μικρότερο θετικού <math>x</math> για [[Συνημίτονο|συν(x)]] ισούται με 0.<ref name="Arndt" /><ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Principles of Mathematical Analysis|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=0-07-054235-X|ref=harv}}, σελ. 183.</ref>

=== Όνομα ===
[[Αρχείο:Leonhard Euler.jpg|thumb|upright|Ο [[Λέοναρντ Όιλερ]] διέδωσε τη χρήση του ελληνικού γράμματος {{pi}} στα έργα που δημοσίευσε το 1736 και το 1748.]]
Το σύμβολο που χρησιμοποιείται από τους μαθηματικούς για την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς την διάμετρό του είναι το [[Ελληνική γλώσσα|ελληνικό γράμμα]] {{pi}}. Αυτό το γράμμα (και ως εκ τούτου ο ίδιος ο αριθμός {{pi}}) μπορεί να σημανθεί με τη Λατινική λέξη ''pi''.<ref>{{cite document|last=Holton|first=David|last2=Mackridge|first2=Peter|title=Greek: an Essential Grammar of the Modern Language|publisher=Routledge|year=2004 |isbn=0-415-23210-4|ref=harv}}, p. xi.</ref> Το πεζό {{pi}} δεν πρέπει να συγχέεται με το κεφαλαίο γράμμα <math display="inline">\prod</math>, που χρησιμοποιείται για το [[Ακολουθία|γινόμενο όρων μιας ακολουθίας]].

Η πρώτη γνωστή χρήση του ελληνικού γράμματος {{pi}} για να αντιπροσωπεύσει την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του ήταν από τον μαθηματικό [[Γουίλιαμ Τζόουνς]] στο έργο του, το 1706, ''Synopsis Palmariorum Matheseos'' (''Μια Νέα Εισαγωγή στα Μαθηματικά'').<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=165}}. A facsimile of Jones' text is in {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=108–109}}</ref> Το ελληνικό γράμμα πρωτοεμφανίζεται σε αυτό το έργο στην φράση «<math>\tfrac{1}{2}</math> περιφέρειας ({{pi}})» σε παράγραφο σχετικά με έναν κύκλο με ακτίνα ένα. Ο Τζόουνς μπορεί να επέλεξε το {{pi}} επειδή ήταν το πρώτο γράμμα στην ελληνική ορθογραφία της λέξης ''[[d:περιφέρεια|περιφέρεια]]''.<ref>Δείτε {{harvnb|Schepler|p=220|1950}}: Ο [[William Oughtred]] χρησιμοποίησε το γράμμα {{pi}} για να αναπαραστήσει την περιφέρεια ενός κύκλου.</ref> Ωστόσο, γράφει ότι οι εξισώσεις του {{pi}} είναι από την «έτοιμη πένα του πραγματικά έξυπνου κ. John Machin», οδηγώντας σε εικασίες ότι ο [[Τζον Μέτσιν|Μέτσιν]] μπορεί να χρησιμοποίησε το ελληνικό γράμμα πριν τον Τζόουνς.<ref name="Arndt_a">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=166}}</ref> Αυτό πράγματι είχε χρησιμοποιηθεί νωρίτερα για τις γεωμετρικές ερμηνείες.<ref name="Arndt_a" /> Ο [[Γουίλιαμ Τράουτεντ]] χρησιμοποιεί τα ελληνικά γράμματα {{pi}} και ''δ'', για να εκφράσει αναλογίες της περιφέρειας και της διαμέτρου το 1647. Το ίδιο συμβαίνει και σε μεταγενέστερες εκδόσεις του ''Clavis Mathematicae''.

Μετά την εισαγωγή του ελληνικού γράμματος από τον Τζόουνς το 1706, δεν υιοθετήθηκε από άλλους μαθηματικούς μέχρι ο [[Λέοναρντ Όιλερ]] να αρχίσει να το χρησιμοποιεί, ξεκινώντας με το έργο του ''Μηχανική'' το 1736. Έως τότε, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν μερικές φορές γράμματα όπως το ''c'' ή το ''p''.<ref name="Arndt_a" /> Ο Όιλερ συνεργαζόταν σε μεγάλο βαθμό και με άλλους μαθηματικούς στην [[Ευρώπη]] και έτσι η χρήση του {{pi}} εξαπλώθηκε γρήγορα.<ref name="Arndt_a" /> Το 1748, ο Όιλερ χρησιμοποίησε το {{pi}} στο ευρέως διαβασμένο έργο του ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' (έγραψε: «για λόγους συντομίας θα γράφουμε τον αριθμό {{pi}}· έτσι το {{pi}} είναι ίσο με το μισό της περιφέρειας ενός κύκλου ακτίνας 1») και η πρακτική του εγκρίθηκε παγκοσμίως στη συνέχεια σε ολόκληρο τον [[Δυτικός κόσμος|Δυτικό Κόσμο]].<ref name="Arndt_a" />

=== Ιδιότητες ===
Το {{pi}} είναι ένας [[άρρητος αριθμός]], που σημαίνει ότι αυτός δεν μπορεί να γραφεί ως πηλίκο δύο ακεραίων, όπως <math>\tfrac{22}{7}</math> ή άλλα κλάσματα που χρησιμοποιούνται συνήθως για την προσέγγισή του.<ref name="Arndt_i">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=5}}</ref> Δεδομένου ότι το {{pi}} είναι άρρητος, έχει έναν άπειρο αριθμό ψηφίων στην [[δεκαδική αναπαράσταση|δεκαδική του αναπαράσταση]], και αυτό δεν τελειώνει με μια απείρως [[σειρά|επαναλαμβανόμενη σειρά]] ψηφίων. Υπάρχουν αρκετές αποδείξεις ότι το {{pi}} είναι άρρητος αριθμός, οι οποίες γενικά απαιτούν [[λογισμός|λογισμό]] και επικαλούνται την [[εις άτοπον απαγωγή]]. Ο βαθμός στον οποίο μπορεί το {{pi}} να είναι προσεγγιστικά [[ρητός αριθμός]] (που ονομάζεται το [[Άρρητος αριθμός|μέτρο της αρρητότητας]]) δεν είναι ακριβώς γνωστό· εκτιμήσεις καθόρισαν ότι το μέτρο της αρρητότητας είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του <math>e</math> ή <math>\ln(2)</math>, αλλά μικρότερο από το μέτρο των [[αριθμός Λιουβίλ|αριθμών Λιουβίλ]].<ref>{{cite journal|last1=Salikhov|first1=V.|year=2008|title=On the Irrationality Measure of pi|journal=Russian Mathematical Survey|volume=53|issue=3|page=570|ref=harv|doi=10.1070/RM2008v063n03ABEH004543|bibcode = 2008RuMaS..63..570S | issn = 0036-0279}}</ref>
[[Αρχείο:Squaring the circle.svg|thumb|alt=Ένα διάγραμμα ενός τετραγώνου και ενός κύκλου με το ίδιο εμβαδόν. Το μήκος της πλευράς του τετραγώνου είναι ίσο με την ρίζα του π. |Επειδή ο {{pi}} είναι [[υπερβατικός αριθμός]], ο [[Τετραγωνισμός του κύκλου|Τετραγωνισμός]] του [[κύκλος|κύκλου]] δεν είναι δυνατός σε ένα πεπερασμένο πλήθος βημάτων χρησιμοποιώντας τα κλασικά εργαλεία του [[Κανόνας (μαθηματικά)|κανόνα]] και [[Διαβήτης (όργανο)|διαβήτη]].]]

Ο {{pi}} είναι ένας [[υπερβατικός αριθμός]], πράγμα που σημαίνει πως δεν είναι λύση κάποιου μη-σταθερού [[Πολυώνυμο|πολυωνύμου]] με [[Ρητός αριθμός|ρητούς συντελεστές]], όπως <math>\scriptstyle \frac{x^5}{120}\,-\,\frac{x^3}{6}\,+\,x\,=\,0.</math><ref name="ttop">{{cite web|first=Steve|last=Mayer|url=http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|title=The Transcendence of π|accessdate=4 November 2007|archiveurl=https://web.archive.org/web/20000929033317/http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|archivedate=2000-09-29|url-status=dead}}</ref><ref>Το πολυώνυμο αυτό είναι οι πρώτοι όροι της [[Σειρά Τέιλορ|σειράς Τέιλορ]] για την [[συνάρτηση]] του [[Ημίτονο|ημιτόνου]].</ref> Η υπερβατικότητα του {{pi}} έχει δύο σημαντικές επιπτώσεις: Πρώτον, ο {{pi}} δεν μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε συνδυασμό ρητών και τετραγωνικών αριθμών ή [[ρίζα (μαθηματικά)|''ν''-ιοστων ριζών]] όπως <math>\scriptstyle \sqrt[3]{31}</math> ή <math>\scriptstyle \sqrt[2]{10}.</math> Δεύτερον, δεδομένου ότι δεν μπορεί να κατασκευαστεί κάποιος [[υπερβατικός αριθμός|υπερβατικός]] αριθμός με [[Κανόνας (μαθηματικά)|κανόνα]] και [[Διαβήτης (όργανο)|διαβήτη]], δεν είναι δυνατόν να «[[Τετραγωνισμός του κύκλου|τετραγωνιστεί ο κύκλος]]». Με άλλα λόγια, είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε, χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη, ένα τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο προς το εμβαδόν ενός δεδομένου κύκλου.<ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=25}}</ref> Ο τετραγωνισμός του κύκλου ήταν ένα από τα σημαντικότερα γεωμετρικά προβλήματα της [[Κλασική αρχαιότητα|κλασικής αρχαιότητας]].<ref>{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|p=129}}</ref> Ερασιτέχνες μαθηματικοί στη σύγχρονη εποχή μερικές φορές προσπάθησαν να τετραγωνίσουν τον κύκλο, και μερικές φορές ισχυρίζονταν επιτυχία, παρά το γεγονός ότι στην πραγματικότητα είναι αδύνατο.<ref>{{harvnb|Beckmann|1989|p=37}}<br />{{cite book|last=Schlager|first=Neil|last2=Lauer|first2=Josh|title=Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery|publisher=Gale Group|year=2001|isbn=0-7876-3933-8|ref=harv}}, p 185.</ref>

Τα ψηφία του {{pi}} δεν έχουν κάποιο προφανές μοτίβο και έχουν περάσει διάφορους [[στατιστική|στατιστικούς ελέγχους]] για τυχαιότητα, συμπεριλαμβανομένων δοκιμών για [[Ομαλοί αριθμοί|ομαλότητα]]· ένας αριθμός απείρου μήκους ονομάζεται ομαλός όταν όλες οι πιθανές ακολουθίες ψηφίων (από κάθε συγκεκριμένο μήκος) εμφανίζονται εξίσου συχνά.<ref name="random" /> Αυτή η υπόθεση ότι το {{pi}} είναι κανονικός δεν έχει αποδειχθεί ή διαψευσθεί.<ref name="random">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22–23}}<br />{{cite news|url=http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|title=Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key|first=Paul|last=Preuss|authorlink=Paul Preuss|publisher=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]]|date=23 July 2001|accessdate=10 November 2007|archive-date=2007-10-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20071020010208/http://lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|dead-url=}}</ref> Μετά την έλευση των υπολογιστών, ένα μεγάλος αριθμός ψηφίων του {{pi}} ήταν διαθέσιμος για να εκτελέσουμε στατιστικές αναλύσεις. Ο [[Γιασουμάσα Κανάντα]] έχει εκτελέσει λεπτομερειακώς στατιστικές αναλύσεις για τα δεκαδικά ψηφία του {{pi}}· για παράδειγμα, η συχνότητα των δέκα ψηφίων 0 έως 9 υποβλήθηκαν σε [[Στατιστική|στατιστικούς ελέγχους]], και δεν βρέθηκε κάποια ένδειξη για ένα μοτίβο.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22, 28–30}}</ref> Παρά το γεγονός ότι τα ψηφία του {{pi}} πέρασαν από στατιστικούς ελέγχους για την τυχαιότητα, ο {{pi}} περιέχει ορισμένες ακολουθίες ψηφίων που ενδέχεται να μοιάζουν μη-τυχαίες στους μη-μαθηματικούς, όπως το [[σημείο Φάινμαν]], που ξεκινά από το 762ο δεκαδικό ψηφίο της δεκαδικής απεικόνισης του {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=3}}</ref>

=== Συνεχή κλάσματα ===
[[Αρχείο:Matheon2.jpg|thumb|alt=Μια φωτογραφία του ελληνικού γράμματος π, δημιουργήθηκε ως ένα μεγάλο πέτρινο μωσαϊκό τοποθετημένο στο έδαφος.|Η σταθερά {{pi}} αντιπροσωπεύεται σε αυτό το [[μωσαϊκό]] έξω από το μαθηματικό κτίριο στο ''[[Πανεπιστήμιο Βερολίνου|Technische Universität Berlin]]''.]]
Όπως όλους τους άρρητους αριθμούς, ο {{pi}} δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως απλό κλάσμα. Αλλά κάθε άρρητος αριθμός, συμπεριλαμβανομένου του {{pi}}, μπορεί να εκφραστεί από μια άπειρη σειρά ένθετων κλασμάτων, που ονομάζεται [[συνεχές κλάσμα]]:

:<math>
\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}</math> ({{OEIS2C|id=A001203}}).

Αν σταματήσουμε ένα συνεχές κλάσμα σε οποιοδήποτε σημείο, τότε δημιουργεί ένα κλάσμα, που δίνει μια προσέγγιση για το {{pi}}· δύο τέτοια κλάσματα, το <math>\tfrac{22}{7}</math> και το <math>\tfrac{355}{113}</math>, έχουν χρησιμοποιηθεί ιστορικά για την προσέγγιση της σταθεράς. Κάθε προσέγγιση που δημιουργείται με αυτόν τον τρόπο είναι η καλύτερη προσέγγιση, με την έννοια ότι είναι πιο κοντά στο {{pi}} από οποιοδήποτε άλλο κλάσμα με τον ίδιο ή μικρότερο παρονομαστή.<ref name="Eymard 1999 78">{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|p=78}}</ref> Αν και το απλό συνεχές κλάσμα για το {{pi}} που δόθηκε παραπάνω δεν εμφανίζει κάποιο ένα μοτίβο,<ref name="ReferenceA">
{{Cite OEIS|sequencenumber=A001203|name=Continued fraction for Pi}} Retrieved 12 April 2012.</ref> οι μαθηματικοί έχουν ανακαλύψει αρκετές [[συνεχές κλάσμα|γενικεύσεις συνεχών κλασμάτων]] που έχουν μοτίβα, όπως:<ref>{{cite journal|title=An Elegant Continued Fraction for π|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1999-05_106_5/page/456|first=L. J.|last=Lange|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=106|issue=5|month=May|year=1999|pages=456–458|jstor=2589152|doi=10.2307/2589152|ref=harv}}</ref>
:<math>\pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\ddots}}}}}
=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\ddots}}}}}</math>.

=== Κατά προσέγγιση τιμή ===
Ορισμένες προσεγγίσεις του {{pi}} δίνονται παρακάτω:

* '''Κλάσματα''': Κατά προσέγγιση κλάσματα (με αυξανόμενη ακρίβεια) <math>\frac{22}{7}</math>, <math>\frac{333}{106}</math>, <math>\frac{355}{113}</math>, <math>\frac{52163}{16604}</math>, και <math>\frac{103993}{33102}</math>.<ref name="Eymard 1999 78" />
* '''[[Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης|Δεκαδικό]]''': τα πρώτα 100 δεκαδικά ψηφία είναι 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ....<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=240}}</ref> {{OEIS2C|id=A000796}}
* '''[[Δυαδικό σύστημα|Δυαδικό]]''': <math>11.0010,0100,0011,1111,0110,1010,1000,1000,1000,0101,1010,0011, ....</math>
* '''[[Δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης|Δεκαεξαδικό]]''':  Μια βάση προσέγγισης από 16 έως 20 ψηφία είναι <math>3.243F,6A88,85A3,08D3,1319 ....</math><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=242}}</ref>
* '''[[Εξηκονταδικό σύστημα αρίθμησης|Εξηκονταδικό]]''': Μια βάση 60 προσέγγιση είναι 3:8:29:44:1

== Ιστορία του π ==
=== Αρχαιότητα ===
Η [[Πυραμίδες της Γκίζας|μεγάλη πυραμίδα]] στην Γκίζα, κατασκευασμένη το διάστημα 2589–2566 π.Χ., χτίστηκε με περίμετρο περίπου 1.760 [[Πήχυς|πήχεις]] και ύψος περίπου 280 πήχεις· η αναλογία <math>\frac{1760}{280}\approx 6.2857</math> είναι περίπου ίση με <math>2\pi \approx 6.2832</math>. Με βάση αυτή την αναλογία, κάποιοι [[Αιγυπτιολογία|Αιγυπτιολόγοι]] κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι οι οικοδόμοι της πυραμίδας είχαν γνώση του {{pi}} και σκόπιμα σχεδίασαν την πυραμίδα για να ενσωματώσουν τις αναλογίες του κύκλου.<ref>"Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι παρόλου που οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν μπορούσαν να ορίσουν με ακρίβεια την τιμή του π, στην πράξη την χρησιμοποιούσαν". {{cite document|last=Verner|first=M.|title=The Pyramids: Their Archaeology and History|url=https://archive.org/details/pyramidstheirarc0000vern|year=2003|ref=harv}}, σελ. 70.<br />{{cite document|last=Petrie|first=|title=Wisdom of the Egyptians|url=https://archive.org/details/wisdomofegyptian0000petr|year=1940|ref=harv}}, σελ. 30.<br />Δείτε επίσης {{cite journal|last=Legon|first=J. A. R.|title=On Pyramid Dimensions and Proportions|year=1991|journal=Discussions in Egyptology|volume=20|issue=|pages=25–34|url=http://www.legon.demon.co.uk/pyrprop/propde.htm|ref=harv|date=|accessdate=2013-05-31|archivedate=2011-07-18|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110718144356/http://www.legon.demon.co.uk/pyrprop/propde.htm|deadurl=dead}}.<br />Δείτε επίσης {{cite journal|last=Petrie|first=W. M. F.|year=1925|title=Surveys of the Great Pyramids|journal=Nature Journal|volume= 116|issue= 2930|pages=942–942|ref=harv|doi=10.1038/116942a0|bibcode = 1925Natur.116..942P }}</ref>  Άλλοι ισχυρίζονται πως η προτεινόμενη πρόταση είναι απλώς μια σύμπτωση, επειδή δεν υπάρχει κάποια απόδειξη ότι οι οικοδόμοι της πυραμίδας γνώριζαν το π, και επειδή οι διαστάσεις της πυραμίδας βασίζονται σε άλλους παράγοντες.<ref>Αιγυπτιολόγος: {{ cite book |author=Rossi, Corinna |title=Architecture and Mathematics in Ancient Egypt |publisher=Cambridge University Press |year=2004 |pages=60–70, 200 |ISBN=9780521829540}}<br />
Σκεπτικιστές:   {{cite book |author=Michael Shermer |title=The Skeptic Encyclopedia of Pseudoscience |publisher=ABC-CLIO |year=2002 |pages=407–408 |ISBN=9781576076538}}.<br />
Δείτε επίσης {{cite book |author=Fagan, Garrett G. |title=Archaeological Fantasies: How Pseudoarchaeology Misrepresents The Past and Misleads the Public |publisher=Routledge |year=2006 |ISBN=9780415305938}}.<br />
Για μία λίστα από εξηγήσεις για το σχήμα που δεν εμπλέκει το π, δείτε {{Cite book|title=The Shape of the Great Pyramid|author=Roger Herz-Fischler|publisher=Wilfrid Laurier University Press|isbn=9780889203242|year=2000|pages=67–77,  165–166|url=http://books.google.co.uk/books?id=066T3YLuhA0C&pg=67,|ref=harv}}</ref>

Οι παλαιότερες γραπτές προσεγγίσεις του {{pi}} βρίσκονται στην Αίγυπτο και τη [[Βαβυλώνα]], απέχουν μόλις ένα τοις εκατό από την πραγματική αξία. Στη Βαβυλώνα, ένας [[Δίσκος (γεωμετρία)|δίσκος]] της που χρονολογείται το 1900–1600&nbsp;π.Χ. έχει μια γεωμετρική δήλωση που, κατ' επέκταση, αντιμετωπίζει τον {{pi}} ως 25/8&nbsp;=&nbsp;3.1250.<ref name="Arndt_d">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=167}}</ref> Στην Αίγυπτο, ο [[Πάπυρος Rhind]], χρονολογείται γύρω στο 1650&nbsp;π.Χ., αλλά έχει αντιγραφεί από ένα έγγραφο που χρονολογείται το 1850&nbsp;π.Χ. έχει ένα τύπο που την αντιμετωπίζει την σταθερά {{pi}} ως (16/9)<sup>2</sup>&nbsp;≈&nbsp;3.1605.<ref name="Arndt_d" />

Στην Ινδία γύρω στο 600&nbsp;π.Χ., το [[Shulba Sutras]] ([[σανσκριτικά]] κείμενα που είναι πλούσια σε μαθηματικό περιεχόμενο) εξομοιώνει τον {{pi}} με (9785/5568)<sup>2</sup>&nbsp;≈&nbsp;3.088.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=168–169}}</ref> Το 150&nbsp;π.Χ., ή ίσως νωρίτερα, ινδικές πηγές θεωρούν τον {{pi}} ως <math>\scriptstyle \sqrt{10}</math>&nbsp;≈&nbsp;3.1622.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=169}}</ref>

Δύο στίχοι της [[Εβραϊκή Βίβλος|Εβραϊκής Βίβλου]] (γράφτηκε περίπου στον 8ο και 3ο αιώνα π.Χ.) περιγράφει μια τελετουργική λεκάνη στο [[Ναός του Σολομώντα|Ναό του Σολομώντα]] με διάμετρο δέκα [[Πήχυς|πήχεις]] και η περίμετρός του τριάκοντα πήχεις· Οι στίχοι υποδηλώνουν ότι ο {{pi}} είναι περίπου τρία αν η λεκάνη είναι κυκλική.<ref>The verses are {{bibleverse|1|Kings|7:23|NKJV}} and {{bibleverse|2|Chronicles|4:2|NKJV}}; see {{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=169}}, {{harvnb|Schepler|1950|p=165}}, and {{harvnb|Beckmann|1989|pp=14–16}}.</ref><ref>Suggestions that the pool had a hexagonal shape or an outward curving rim have been offered to explain the disparity. See {{cite book|last=Borwein|first=Jonathan M.|last2=Bailey|first2=David H.|title=Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st century|url=https://archive.org/details/mathematicsbyexp0000borw|edition=revised 2nd|publisher=A. K. Peters|year=2008|isbn=978-1-56881-442-1|ref=harv}}, pp. 103, 136, 137.</ref> Ο [[Rabbi Nehemiah]] εξήγησε τη διαφορά ως λόγω του πάχους του σκάφους. Το πρώιμο έργο της γεωμετρίας, ''[[Mishnat ha-Middot]]'', γράφτηκε γύρω στο 150 μ.Χ. και παίρνει την τιμή του {{pi}} για να είναι τρία και ένα έβδομο.<ref>{{Cite book|pages=9–10|title=The Scientific & the Divine|author=James A. Arieti, Patrick A. Wilson|publisher=Rowman & Littlefield|year=2003|isbn=9780742513976|url=http://books.google.co.uk/books?id=q2MHZTL_s64C&pg=PA9|ref=harv}}</ref>

==== Μνημονικός κανόνας ====

{{quote|Αεί (ο) Θεός (ο μέγας) γεωμετρεί|Πλάτων}}

Ο [[Πλούταρχος]] αναφέρει στο έργο του ''Ερωτήσεις'' "Πῶς Πλάτων ἔλεγε τὸν θεὸν ἀεὶ γεωμετρεῖν."<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:text:2008.01.0311:book=8:chapter=2 Plutarch, Quaestiones Convivales, βοοκ 8, Πῶς Πλάτων ἔλεγε τὸν θεὸν ἀεὶ γεωμετρεῖν<!-- Bot generated title -->]</ref> Από αυτή τη φράση προκύπτει ο [[μνημονικός κανόνας]] «''<span lang="grc" dir="ltr">Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί</span>''» όπου ο αριθμός των γραμμάτων δείχνει το αντίστοιχο ψηφίο του αριθμού π, με προσέγγιση 5 δεκαδικών ψηφίων (3,14159265358979...).
* Αεί = 3
* ο = 1
* Θεός = 4
* ο =1
* μέγας = 5
* γεωμετρεί = 9

Σε νεότερους χρόνους, έχει χρησιμοποιηθεί μεγαλύτερη πρόταση για περισσότερα ψηφία ''«<span lang="grc" dir="ltr">Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φευ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι</span>»''.

=== Εποχή προσέγγισης με πολύγωνα ===
[[Αρχείο:Archimedes pi.svg|350px|right|thumb|alt=διάγραμμα ενός εξαγώνου και ενός πενταγώνου περιγεγραμμένου ενός κύκλου|Το {{pi}} μπορεί να υπολογιστεί με τον υπολογισμό της περιμέτρου του περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου πολυγώνου.]]
Ο πρώτος καταγεγραμμένος [[αλγόριθμος]] για τον αυστηρό υπολογισμό της τιμής του {{pi}} ήταν μια γεωμετρική προσέγγιση χρησιμοποιώντας πολύγωνα, που μελετήθηκε γύρω στο 250&nbsp;π.Χ. από τον Έλληνα μαθηματικό [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=170}}</ref> Αυτός ο πολυγωνικός αλγόριθμος κυριάρχησε για πάνω από 1.000 χρόνια, και ως εκ τούτου το {{pi}} μερικές φορές αναφέρεται ως «''σταθερά του Αρχιμήδη''».<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=175, 205}}</ref> Ο Αρχιμήδης υπολόγισε τα ανώτερα και κατώτερα όρια του {{pi}} σχεδιάζοντας ένα [[κανονικό πολύγωνο|κανονικό]] [[εξάγωνο]] εσωτερικά και εξωτερικά ενός κύκλου και διαδοχικά διπλασιάζοντας το πλήθος των πλευρών, έως ότου έφτασε κανονικού 96-γωνο. Υπολογίζοντας την περίμετρο αυτών πολυγώνων, απέδειξε ότι <math>\tfrac{223}{71} < \pi < \tfrac{22}{7}</math> (<math>3.1408 < \pi < 3.1429</math>).<ref>{{cite web|url=http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29504-the-computation-of-pi-by-archimedes/content/html/ComputationOfPiByArchimedes.html#37 |title=The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by Archimedes – File Exchange – MATLAB Central |publisher=Mathworks.com |date= |accessdate=2013-03-12}}</ref> Το άνω όριο του Αρχιμήδη, το <math>\tfrac{22}{7}</math> μπορεί να οδήγησε σε μια ευρέως διαδεδομένη δημοφιλή πεποίθηση ότι το {{pi}} είναι ίσο με <math>\tfrac{22}{7}</math>.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=171}}</ref> Περίπου το 150 μ.Χ., ο Έλληνας-Ρωμαίος επιστήμονας [[Κλαύδιος Πτολεμαίος|Πτολεμαίος]], στην [[Αλμαγέστη]], έδωσε μια τιμή για το {{pi}} το 3.1416, που αυτή μπορεί να αποκτηθεί από τον [[Απολλώνιος ο Περγαίος|Απολλώνιο του Περγαίου]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=176}}<br />{{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=168}}<!--may be suspect--></ref> Οι πολυγωνικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιήθηκα για να υπολογίσουν 39 ψηφία του {{pi}} το 1630, ένα ρεκόρ που έσπασε το 1699 όταν άπειρες σειρές χρησιμοποιήθηκαν για τον υπολογισμό 71 ψηφίων.<ref name="ArPI">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–16, 175, 184–186, 205}}. Ο Grienberger πέτυχε 39 ψηφία το 1630; Ο Sharp 71 ψηφία το 1699.</ref>
[[Αρχείο:Domenico-Fetti Archimedes 1620.jpg|thumb|upright|alt=Ένας πίνακας ανθρώπου που μελετά|Ο [[Αρχιμήδης]] έδωσε μια πολυγωνική προσέγγιση για την τιμή του {{pi}}.]]
Στην [[Αρχαία Κίνα]], οι τιμές για το {{pi}} περιλαμβάνονται 3.1547 (γύρω στο 1 μ.Χ.),<math>\scriptstyle \sqrt{10}</math> (100 μ.Χ, περίπου 3.1623), και <math>\frac{142}{45}</math> (3ο αιώνα, περίπου 3.1556).<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=176–177}}</ref> Περίπου το 265 μ.Χ., στο [[Δυτικό Βασίλειο]] ο μαθηματικός Liu Hui δημιούργησε ένα [[πολύγωνο]] με βάση τον επαναληπτικό αλγόριθμο και το χρησιμοποίησε με ένα πολύγωνο 3,072-διπλής όψης, για να πάρει μια τιμή του {{pi}} την&nbsp;3.1416.<ref name="autogenerated202">{{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=202}}</ref><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=177}}</ref> Αργότερα ο Liu ανακάλυψε μια ταχύτερη μέθοδο υπολογισμού του {{pi}} και λαμβάνεται η τιμή 3.14 με ένα πολύγωνο 96-διπλής όψης, αξιοποιώντας το γεγονός ότι οι διάφορες τιμές στην περιοχή των διαδοχικών πολυγώνων αποτελούν μια [[γεωμετρική πρόοδος|γεωμετρική σειρά]] με συντελεστή &nbsp;4.<ref name="autogenerated202" /> Ο Κινέζος μαθηματικός [[Zu Chongzhi]], γύρω στο 480 μ.Χ., υπολόγισε ότι π&nbsp;≈&nbsp;355/113 (ένα κλάσμα που πηγαίνει από το όνομα [[Milü]] στα Κινέζικα), χρησιμοποιώντας τον [[αλγόριθμος του Liu Hui|αλγόριθμο του Liu Hui]] εφαρμόζεται σε ένα πολύγωνο 12,288-πλευρών. Με μια σωστή τιμή για τα επτά πρώτα δεκαδικά ψηφία, αυτή η τιμή 3.141592920... παραμένει η πιο ακριβής προσέγγιση του {{pi}} διαθέσιμη για τα επόμενα 800 χρόνια.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=178}}</ref>

Ο Ινδός αστρονόμος [[Αριαμπάτα]] χρησιμοποίησε την τιμή 3.1416 σε [[Āryabhaṭīya]] (499 μ.Χ.).<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=179}}</ref> Ο [[Φιμπονάτσι]] το &nbsp;1220 υπολόγισε 3.1418 χρησιμοποιώντας μια πολυγωνική μέθοδο, ανεξάρτητη του Αρχιμήδη.<ref name="Arndt_e">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=180}}</ref> Ο Ιταλός συγγραφέας [[Δάντης Αλιγκέρι]] ασχολήθηκε όπως φαίνεται με την τιμή <math>3+\frac{\sqrt{2}}{10}\approx 3.14142</math>.<ref name="Arndt_e" />

Ο Πέρσης αστρονόμος [[Jamshīd al-Kāshī]] παρήγαγε 16 ψηφία το 1424 χρησιμοποιώντας ένα πολύγωνο με 3×2<sup>28</sup> πλευρές,<ref>{{cite journal | first1=Mohammad K. | last1=Azarian | title=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary | journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences | volume=22 | issue=2 | year=2010 | pages=64–85 | url=<!-- http://www.xs4all.nl/~nirmala/Azarian2.pdf -->[http://nirmala.home.xs4all.nl/Azarian2.pdf]{{dead link|date=June 2015}} | format=PDF | ref=harv }}{{Dead link|date=Οκτώβριος 2019 }}</ref><ref>{{cite web|author1=O’Connor, John J. |author2=Robertson, Edmund F. | year=1999 | title=Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi | work=[[MacTutor History of Mathematics archive]] | url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Al-Kashi.html | accessdate= 2012-08-11 }}</ref> το οποίο παραμένει το παγκόσμιο ρεκόρ για 180 περίπου χρόνια.<ref name="Arndt_f">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=182}}</ref> Ο Γάλλος μαθηματικός [[Φραγκίσκος Βιετά]] το 1579 κατόρθωσε να παράγει 9 ψηφία με ένα πολύγωνο με 3×2<sup>17</sup> πλευρές.<ref name="Arndt_f" /> Ο Φλαμανδός μαθηματικός [[Άντριαν φαν Ρόομεν]] έφτασε στα 15 δεκαδικά ψηφία το 1593.<ref name="Arndt_f" /> Το 1596, ο Ολλανδός μαθηματικός [[Ludolph van Ceulen]] έφτασε τα 20 ψηφία, ένα ρεκόρ που αργότερα αυξήθηκε στα 35 ψηφία (ως εκ τούτου, το {{pi}} ονομαζόταν "αριθμός Ludolph" στη [[Γερμανία]] μέχρι τις αρχές του 20ού αιώνα).<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=182–183}}</ref> Ο Ολλανδός μαθηματικός [[Willebrord Snellius]] έφτασε τα 34 ψηφία το 1621,<ref name="Arndt_g">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=183}}</ref> και ο Αυστριακός μαθηματικός [[Christoph Grienberger]] έφτασε τα 38 ψηφία το 1630,<ref>{{cite book | first=Christophorus | last=Grienbergerus | authorlink=Christoph Grienberger | language=la | year=1630 | title=Elementa Trigonometrica | url=http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf | format=PDF | location= | page= | accessdate=2013-05-31 | archiveurl=https://web.archive.org/web/20140201234124/http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf | archivedate=2014-02-01 | url-status=dead }}  Ο υπολογισμός του ήταν 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < {{pi}} < 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref> τα οποία παραμένουν η ακριβέστερη προσέγγιση με μη αυτόματο τρόπο να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας τον πολυγωνικό αλγόριθμο.<ref name="Arndt_g" />

=== Απειροσειρές ===
Η ανάπτυξη τεχνικών των [[σειρά|απειροσειρών]] έφεραν επανάσταση στον υπολογισμό του {{pi}}, τον 16ο και τον 17ο αιώνα. Μια άπειρη σειρά είναι το άθροισμα των όρων της άπειρης ακολουθίας.<ref name="Ais">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–191}}</ref> Μια άπειρη σειρά επιτρέπει στους μαθηματικούς να υπολογίσουν το {{pi}} με μεγαλύτερη ακρίβεια από τον [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]] και άλλους που χρησιμοποίησαν μαθηματικές τεχνικές.<ref name="Ais" /> Αν και άπειρες σειρές εκμεταλλεύτηκαν για τον {{pi}} κυρίως Ευρωπαίοι μαθηματικοί, όπως ο [[Τζέιμς Γκρέγκορι]] και [[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς]], η προσέγγιση πρώτα ανακαλύφθηκε στην [[Ινδία]] κάποια στιγμή μεταξύ 1400 και 1500 μ.Χ>.<ref>{{harvnb|Roy|1990|pp=101–102}}<br />{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–186}}</ref>  Η πρώτη γραπτή περιγραφή μιας άπειρης σειράς που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του {{pi}} τέθηκε σε σανσκριτικό στίχο από τον Ινδό αστρονόμο [[Nilakantha Somayaji]] στο ''[[Tantrasamgraha]]'', γύρω στο 1500 μ.Χ.<ref name="Roypp">{{harvnb|Roy|1990|pp=101–102}}</ref> Οι σειρές παρουσιάζονται χωρίς απόδειξη, αλλά οι αποδείξεις παρουσιάζονται σε μεταγενέστερο ινδικό έργο, [[Yuktibhāṣā]], από το 1530 μ.Χ. περίπου. Ο Nilakantha αποδίδει τη σειρά σε έναν προηγούμενο μαθηματικό Ινδό, τον [[Madhava της Sangamagrama]], που έζησε το &nbsp;1350&nbsp;– &nbsp;1425 μ.Χ.<ref name="Roypp" /> Πολλές σειρές που περιγράφονται, συμπεριλαμβανομένων τη σειρά για το [[ημίτονο]], [[εφαπτομένη]], και [[συνημίτονο]], που τώρα αναφέρονται ως σειρά Madhava ή σειρά Gregory–Leibniz.<ref name="Roypp" /> Ο Madhava χρησιμοποίησε άπειρη σειρά για να προσεγγίσει το {{pi}} σε 11 δεκαδικά ψηφία περίπου το 1400, αλλά αυτή την εγγραφή νίκησε γύρω στο 1430 ο Πέρσης μαθηματικός [[Jamshīd al-Kāshī]], χρησιμοποιώντας έναν πολυγωνικό αλγόριθμο.<ref>{{harvnb|Joseph|1991|p=264}}</ref>
[[Αρχείο:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|thumb|upright|alt=Ένα επίσημο πορτραίτο ενός άνδρα με μακριά μαλλιά|Ο [[Νεύτων]] χρησιμοποίησε την [[σειρά|άπειρη σειρά]] για τον υπολογισμό του {{pi}} σε 15 ψηφία, αργότερα έγραψε «Ντρέπομαι να σου πω πόσα κρατούμενα είχα σε αυτούς τους υπολογισμούς».<ref name="Newton" />]]

Η πρώτη άπειρη ακολουθία που ανακαλύφθηκε στην [[Ευρώπη]] ήταν ένα [[Άπειρο|άπειρο γινόμενο]] (και όχι τόσο ένα [[Άπειρο|άπειρο άθροισμα]], το οποίο χρησιμοποιείται πιο τυπικά στους υπολογισμούς του {{pi}}) και βρέθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό [[Φρανσουά Βιετά]] το 1593:<ref name="Arndt_h">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=187}}</ref>
: <math> \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots</math>. {{OEIS2C|id=A060294}}

Τη δεύτερη άπειρη ακολουθία που βρέθηκε στην Ευρώπη, από τον [[John Wallis]] το 1655, ήταν επίσης ένα άπειρο προϊόν.<ref name="Arndt_h" /> Η ανακάλυψη του [[Λογισμός|λογισμού]], από τον Άγγλο επιστήμονα [[Ισαάκ Νεύτων|Isaac Newton]] και τον Γερμανό μαθηματικό [[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς|Gottfried Wilhelm Leibniz]] το  1660, οδήγησε στην ανάπτυξη πολλών άπειρων σειρών για την προσέγγιση του π. Ο ίδιος ο Newton χρησιμοποιεί μια σειρά arcsin για τον υπολογισμό 15 ψηφίων του {{pi}} το 1665 ή 1666, αργότερα έγραψε "Ντρέπομαι να σου πω πόσα κρατούμενα είχα σε αυτούς τους υπολογισμούς, αφού καμία άλλη χρήση δεν έχουν αυτή την στιγμή."<ref name="Newton">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=188}}. Όπως αναφέρει ο Arndt.</ref>

Στην [[Ευρώπη]], ο τύπος του Madhava ανακαλύφθηκε από τον Σκοτσέζο μαθηματικό [[James Gregory (μαθηματικός)|James Gregory]] το 1671, και από τον Λάιμπνιτς το 1674:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=188–189}}</ref><ref name="LS" />
: <math>
\arctan z = z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots </math>.

Αυτός ο τύπος, η σειρά του Gregory–Λάιμπνιτς, ισούται με <math>\scriptstyle \pi/4</math> όταν υπολογιστεί με <math>z=1</math>.<ref name="LS">{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|pp=53–54}}</ref> Το 1699, ο Άγγλος μαθηματικός [[Abraham Sharp]] χρησιμοποίησε τη σειρά Gregory–Λάιμπνιτς για τον υπολογισμό του {{pi}} σε 71 ψηφία, σπάζοντας το προηγούμενο ρεκόρ των 39 ψηφίων, που βρέθηκε με έναν πολυγωνικό αλγόριθμο.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=189}}</ref> Η σειρά Gregory–Λάιμπνιτς είναι απλή, αλλά [[συγκλίνουσες σειρές|συγκλίνει]] πολύ αργά (δηλαδή πλησιάζει την απάντηση σταδιακά), έτσι δεν χρησιμοποιείται στους σύγχρονους υπολογισμούς για το {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=156}}</ref>

Το 1706 ο [[John Machin]] χρησιμοποίησε τη σειρά Gregory–Λάιμπνιτς για τον σχεδιασμό ενός αλγορίθμου που συγκλίνει πολύ πιο γρήγορα:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=192–193}}</ref>
:<math> \frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}</math>.
Ο Machin έφτασε τα 100 ψηφία του {{pi}} με αυτό τον τύπο.<ref name="A72n4">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=72–74}}</ref> Άλλοι μαθηματικοί δημιούργησαν παραλλαγές, γνωστοί ως [[Machin|αλγόριθμοι τύπου Machin]], που χρησιμοποιήθηκαν για να θέσουν πολλά διαδοχικά ρεκόρ για τον υπολογισμό των ψηφίων του {{pi}}.<ref name="A72n4" /> Ο τύπος Machin-παρέμεινε ως η πιο γνωστή μέθοδος υπολογισμού του {{pi}} μέχρι και την αρχή της εποχής της πληροφορικής, και χρησιμοποιήθηκαν για να ορίσουν τις εγγραφές για 250 χρόνια, με αποκορύφωμα μια των 620-ψηφίων προσέγγιση του 1946 από τον Daniel Ferguson&nbsp;– την καλύτερη προσέγγιση που επιτεύχθηκε χωρίς τη βοήθεια υπολογιστής μηχανής.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=192–196, 205}}</ref>

Αξιόλογο ρεκόρ ορίστηκε από τον υπολογισμό θαύμα του [[Zacharias Dase]], ο οποίος το 1844 απασχολήθηκε με έναν αλγόριθμο τύπου Machin-όπως τύπο για τον υπολογισμό 200 δεκαδικών ψηφίων του {{pi}} στο κεφάλι του, μετά από εντολή του Γερμανού μαθηματικού [[Καρλ Φρίντριχτ Γκάους]].<ref name="A194" /> Ο Βρετανός μαθηματικός [[William Shanks]] περίφημα πήρε 15 χρόνια για τον υπολογισμό {{pi}} σε 707 ψηφία, αλλά έκανε ένα λάθος στο 528ο ψηφίο του, καθιστώντας όλα τα επόμενα ψηφία λανθασμένα.<ref name="A194">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=194–196}}</ref>

=== Αρρητότητα ===
Κάποιες άπειρες σειρές για το {{pi}} [[σειρά|συγκλίνουν]] γρηγορότερα από άλλες. Με δεδομένη την επιλογή των δύο σειρών για το {{pi}}, οι μαθηματικοί θα χρησιμοποιούν γενικά αυτή που συγκλίνει πιο γρήγορα επειδή η ταχύτητα '''σύγκλισης μειώνει''' την υπολογιστική ισχύ που απαιτείται για τον υπολογισμό του {{pi}} σε οποιαδήποτε δεδομένη ακρίβεια.<ref name="Aconverge">{{cite journal|last=Borwein|first=J. M.|last2=Borwein|first2=P. B.|title=Ramanujan and Pi|year=1988|journal=Scientific American|volume=256|issue=2|pages=112–117|ref=harv|bibcode=1988SciAm.258b.112B|doi=10.1038/scientificamerican0288-112}}<br />{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202}}</ref> Μια απλή άπειρη σειρά για {{pi}} είναι η [[σειρά|σειρά Gregory–Leibniz]]:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=69–72}}</ref>
:<math> \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots</math>.
Καθώς οι επιμέρους όροι αυτής της άπειρης σειράς προστίθενται στο σύνολο, το σύνολο σταδιακά προσεγγίζει το {{pi}}, και&nbsp;– με επαρκή αριθμό όρων&nbsp;– μπορεί να πλησιάσει περισσότερο το {{pi}} όπως επιθυμείται. Συγκλίνει αρκετά αργά, αν και&nbsp;– μετά από 500.000 όρους, παράγει μόνο πέντε σωστά δεκαδικά ψηφία του {{pi}}.<ref>{{cite journal|last=Borwein|first=J. M.|last2=Borwein|first2=P. B.|last3=Dilcher|first3=K.|year=1989|title=Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1989-10_96_8/page/681|journal=American Mathematical Monthly|volume=96|issue=8|pages=681–687|doi=10.2307/2324715|ref=harv }}</ref>

Μια άπειρη σειρά για το {{pi}} (δημοσιεύθηκε από τον Nilakantha τον 15ο αιώνα) που συγκλίνει πιο γρήγορα από τη σειρά Gregory–Leibniz είναι:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=223}}, (τύπος 16.10). Παρατηρήστε ότι (''n''&nbsp;−&nbsp;1)''n''(''n''&nbsp;+&nbsp;1) = ''n''<sup>3</sup>&nbsp;−&nbsp;''n''.<br />{{cite book|last=Wells|first=David|page=[https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1/page/35 35]|title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers|url=https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1|edition=revised|publisher=Penguin|year=1997|isbn=978-0-140-26149-3|ref=harv}}</ref>

: <math> \pi = 3 + \frac{4}{2\times3\times4} - \frac{4}{4\times5\times6} + \frac{4}{6\times7\times8} - \frac{4}{8\times9\times10} + \cdots </math>.

Ο ακόλουθος πίνακας συγκρίνει τα ποσοστά σύγκλισης από αυτές τις δύο σειρές:
<center>
{|class="wikitable" style="text-align: center; "
|-
! Άπειρη σειρά για {{pi}} !! Μετά τον 1ο όρο !! Μετά τον 2ο όρο !! Μετά τον 3ο όρο !! Μετά τον 4ο όρο !! Μετά τον 5ο όρο !! Συγκλίνει/Προσεγγίζει το:
|-
| <math>\scriptstyle \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} \cdots.</math>
||4.0000||2.6666...||3.4666...||2.8952...||3.3396...||rowspan=2| {{pi}} = 3.1415...
|-
| <math>\scriptstyle \pi = {{3}} + \frac{{4}}{2\times3\times4} - \frac{{4}}{4\times5\times6} + \frac{{4}}{6\times7\times8} \cdots. </math>
||3.0000||3.1666...||3.1333...||3.1452...||3.1396...
|}
</center>
Μετά από πέντε όρους, το άθροισμα της σειράς του Gregory–Leibniz είναι εντός 0.2 της σωστής τιμής του {{pi}}, ενώ το ποσό της σειράς του Nilakantha είναι εντός 0.002 της σωστής τιμής του {{pi}}. Η σειρά του Nilakantha συγκλίνει γρηγορότερα και είναι πιο χρήσιμη για τον υπολογισμό των ψηφίων του {{pi}}. Μια σειρά που συγκλίνει ακόμη πιο γρήγορα περιλαμβάνει τη σειρά [[σειρά|σειρά Machin]] και [[σειρά|σειρά Chudnovsky]], που αργότερα παρήγαγε 14 σωστά δεκαδικά ψηφία ανά όρο.<ref name="Aconverge" />

=== Αρρητότητα και υπερβατικότητα ===
Δεν στόχευαν όλες οι μαθηματικές πρόοδοι που αφορούν τον {{pi}} στην αύξηση της ακρίβειας των προσεγγίσεων. Όταν ο [[Λέοναρντ Όιλερ|Όιλερ]] έλυσε το [[πρόβλημα της Βασιλείας]] το [[1735]], βρίσκοντας την ακριβή τιμή του αθροίσματος των αμφότερων τετραγώνων, καθιέρωσε μια σχέση μεταξύ του {{pi}} και των [[Πρώτοι αριθμοί|πρώτων αριθμών]] που αργότερα συνέβαλαν στην ανάπτυξη και τη μελέτη της [[ζήτα συνάρτηση|συνάρτησης ζήτα]] του [[Μπέρναρντ Ρίμαν|Ρίμαν]]:<ref name="Posamentier">{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|pp=284}}</ref>
:<math> \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots</math>.

Ο Ελβετός επιστήμονας [[Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ|Λάμπερτ]] το 1761 απέδειξε ότι ο {{pi}} είναι [[Άρρητος αριθμός|άρρητος]], που σημαίνει ότι δεν είναι ίσος με το πηλίκο δύο ακεραίων αριθμών.<ref name="Arndt_i" /> Η [[απόδειξη ότι π άρρητος|απόδειξη του Λάμπερτ]] χρησιμοποιεί μία αναπαράσταση συνεχών κλασμάτων της συνάρτησης εφαπτομένης.<ref>Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", ανατύπωση στο {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=129–140}}</ref> Ο Γάλλος μαθηματικός [[Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ|Λεζάντρ]] απέδειξε το [[1794]] ότι ο <math>\pi^2</math> είναι επίσης άρρητος. Το [[1882]], ο Γερμανός μαθηματικός [[Φέρντιναντ φον Λίντεμαν|φον Λίντεμαν]] απέδειξε ότι ο {{pi}} είναι [[Υπερβατικός αριθμός|υπερβατικός]], επιβεβαιώνοντας την εικασία που έκαναν αμφότεροι ο Λεζάντρ και ο Όιλερ.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=196}}</ref>

=== Εποχή υπολογιστών και επαναληπτικοί αλγόριθμοι ===
[[Αρχείο:JohnvonNeumann-LosAlamos.gif|thumb|upright|alt=Formal photo of a balding man wearing a suit|Ο [[Τζον φον Νόιμαν]] ήταν μέλος της ομάδας που πρώτη χρησιμοποίησε ψηφιακό υπολογιστή, τον [[ENIAC]], για να υπολογίσει το {{pi}}.]]

{{quote box|fontsize=90%|qalign=left|quote=
Ο [[αλγόριθμος Γκάους–Λεζάντρ|επαναληπτικός αλγόριθμος Γκάους–Λεζάντρ]]:<br />Προετοιμασία
:<math>\scriptstyle a_0 = 1 \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad p_0 = 1</math>
Εύρεση
:<math>\scriptstyle a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}</math>
:<math>\scriptstyle t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n</math>
Στη συνέχεια μια εκτίμηση για το {{pi}} δίνεται από
:<math>\scriptstyle \pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}</math>
}}

Η ανακάλυψη των υπολογιστών στα μέσα του 20ού αιώνα αναζωπύρωσαν το κυνήγι για τα ψηφία του {{pi}}. Οι Αμερικανοί μαθηματικοί [[Τζων Ρεντς]] και Levi Smith έφτασαν τα 1.120 ψηφία το 1949 χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή γραφείου.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=205}}</ref> Χρησιμοποιώντας μια άπειρη σειρά της [[Αντίστροφη εφαπτομένη|αντίστροφης εφαπτομένης]] (<math>\arctan</math>), μια ομάδα με επικεφαλής τους [[George Reitwiesner]] και [[Τζον φον Νόιμαν]]  την ίδια χρονιά ανακάλυψαν 2.037 ψηφία με τον υπολογισμό που έκανε  ο υπολογιστής [[ENIAC]] σε 70 ώρες του χρόνου του υπολογιστή.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=197}}. Δείτε επίσης {{harvnb|Reitwiesner|1950}}.</ref> Την ιστορία του, επικαλείται πάντα μια σειρά <math>\arctan</math>, που έσπαγε επανειλημμένα τα προηγούμενα ρεκόρ (7.480 ψηφία το 1957, 10.000 ψηφία το 1958, 100.000 ψηφία το 1961) μέχρι 1 εκατομμύριο ψηφία το 1973.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=197}}</ref>

Δύο επιπλέον εξελίξεις γύρω στο 1980 επιτάχυναν εκ νέου τη δυνατότητα υπολογισμού του {{pi}}. Πρώτον, η ανακάλυψη νέων [[επαναληπτικοί αλγόριθμοι|επαναληπτικών αλγορίθμων]] για τον υπολογισμό του {{pi}}, που ήταν πολύ πιο γρήγοροι από την άπειρη σειρά, και δεύτερον, η εφεύρεση γρήγορου πολλαπλασιασμού αλγορίθμων που θα μπορούσε να πολλαπλασιάσει μεγάλους αριθμούς πολύ γρήγορα.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17}}</ref> Τέτοιοι αλγόριθμοι είναι ιδιαίτερα σημαντικοί στους σύγχρονους υπολογισμούς του {{pi}}, επειδή το μεγαλύτερο μέρος του χρόνου που ξοδεύει ο υπολογιστής είναι αφιερωμένο στους πολλαπλασιασμούς.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=131}}</ref> Αλγόριθμοι για τον πολλαπλασιασμό περιλαμβάνουν τον [[αλγόριθμο Karatsuba]], τον [[Πολλαπλασιασμός Toom–Cook|πολλαπλασιασμό Toom–Cook]] και [[FFT multiplication#Fourier transform methods|μεθόδους του μετασχηματισμού Φουριέ]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=132, 140}}</ref>

Οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι δημοσιεύθηκαν ανεξάρτητα το 1975–1976 από τον Αμερικάνο φυσικό [[Eugene Salamin (μαθηματικός)|Eugene Salamin]] και Αυστραλιανό επιστήμονα [[Richard Brent (επιστήμονας)|Richard Brent]].<ref name="Arndt_j">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=87}}</ref> Αυτοί απέφευγαν την εξάρτηση από τις άπειρες σειρές. Ένας επαναληπτικός αλγόριθμος επαναλαμβάνει έναν συγκεκριμένο υπολογισμό, όπου σε κάθε επανάληψη η είσοδος είναι η έξοδος από το προηφούμενο βήμα, και παράγει ένα αποτέλεσμα με κάθε βήμα, προσεγγίζοντας την επιθυμητή τιμή. Η προσέγγιση ανακαλύφθηκε στην πραγματικότητα πάνω από 160 χρόνια νωρίτερα από τον [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους]], σε αυτό που αποκαλείται τώρα [[αριθμητική-γεωμετρική σημασιακή μέθοδος]] (μέθοδος AGM) ή [[αλγόριθμος Γκάους–Λεζάντρ]].<ref name="Arndt_j" /> Καθώς τροποποιήθηκε από τους Salamin και Brent, επίσης αναφέρεται και ως αλγόριθμος Brent-Salamin.

Οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιήθηκαν ευρέως μετά το 1980, επειδή είναι πιο γρήγοροι από  τους αλγορίθμους που βασίζονται σε άπειρες σειρές: ενώ οι άπειρες σειρές συνήθως αυξάνουν τον αριθμό των σωστών ψηφίων αθροιστικά σε διαδοχικούς όρους, οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι γενικά ''πολλαπλασιάζουν'' τον αριθμό των σωστών ψηφίων σε κάθε βήμα. Για παράδειγμα, ο αλγόριθμος Brent-Salamin διπλασιάζει τον αριθμό των σωστών ψηφίων σε κάθε επανάληψη. Το 1984, τα αδέρφια [[Jonathan Borwein|John]] και [[Peter Borwein]] από τον Καναδά παρήγαγαν έναν επαναληπτικό αλγόριθμο που τετραπλασιάζει τον αριθμό των ψηφίων σε κάθε βήμα; και το 1987, ένας που αυξάνει τον αριθμό των ψηφίων πέντε φορές σε κάθε βήμα.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=111 (5 times); pp. 113–114 (4 times)}}.<br />Δείτε {{harvnb|Borwein|Borwein|1987}} για τις λεπτομέρειες των αλγορίθμων.</ref> Επαναληπτικές μέθοδοι χρησιμοποιήθηκαν από τον Ιάπωνα μαθηματικό [[Γιασουμάσα Κανάντα]] για να καθορίσουν πολλά ρεκορ για τον υπολογισμό του {{pi}} μεταξύ 1995 και 2002.<ref name="Background" /> Αυτή η ταχεία σύγκλιση έρχεται με ένα κόστος: οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι απαιτούν σημαντικά περισσότερη μνήμη από τις άπειρες σειρές.<ref name="Background">{{cite web|last=Bailey|first=David H.|url=http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/dhb-kanada.pdf|title=Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation|date=16 May 2003|accessdate=12 April 2012}}</ref>

=== Κίνητρα για υπολογισμό του π ===
[[Αρχείο:Record pi approximations.svg|thumb|400px|right|Καθώς οι μαθηματικοί ανακάλυψαν νέους αλγόριθμους, και οι υπολογιστές έγιναν διαθέσιμοι, το πλήθος των γνωστών δεκαδικών ψηφίων του {{pi}} αυξήθηκαν δραματικά.]]
Για τους περισσότερους αριθμητικούς υπολογισμούς που χρειάζονται το {{pi}}, ένα μικρό πλήθος ψηφίων συνήθως παρέχουν επαρκή ακρίβεια. Σύμφωνα με τους Jörg Arndt και Christoph Haenel, τριάντα εννέα ψηφία είναι επαρκή να εκτελέσουν τους περισσότερους υπολογισμούς στην [[κοσμολογία]], γιατί αυτή η ακρίβεια είναι απαραίτητη για τον υπολογισμό του όγκου του γνωστού σύμπαντος με ακρίβεια ενός ατόμου.<ref name="Arndt_b">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=17}}. <!--quote from p. 17:-->"39 ψηφία του {{pi}} είναι αρκετά για να υπολογίσουμε τον όγκο του σύμπαντος στο πλησιέστερο άτομο."<br /> Συνυπολογίζοντας τα επιπλέον ψηφία που χρειάζονται για να εξαληφθούν τα λάθη λόγω στρογγυλοποίησης, ο Arndt συμπεραίνει ότι μερικά εκατοντάδες ψηφία θα ήταν αρκετά για κάθε επιστημονική εφαρμογή.</ref> Παρά το γεγονός αυτό, οι άνθρωποι έχουν εργαστεί έντονα για τον υπολογισμό του {{pi}} σε χιλιάδες και χιλιάδες ψηφία.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=17–19}}</ref> Αυτή η προσπάθεια μπορεί να αποδοθεί εν μέρει στην ανθρώπινη μανία να σπάει ρεκόρ, και ότι ειδήσεις για τέτοια επιτεύγματα σχετικά με το {{pi}} συχνά γίνονται πρωτοσέλιδα σε όλο τον κόσμο.<ref name="msnbc.msn.com">{{cite news|title=John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi|first=Matt|last=Schudel|newspaper=The Washington Post|date=25 March 2009|page=B5}}</ref><ref name="independent.co.uk">{{cite news|title=The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?|url=http://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html|newspaper=The Independent|date=8 January 2010|accessdate=14 April 2012}}</ref> Υπάρχουν όμως επίσης κάποια πρακτικά οφέλη, όπως σε δοκιμές [[Υπερυπολογιστής|υπερυπολογιστών]], δοκιμές αλγορίθμων για αριθμητικές πράξεις (συμπεριλαμβανομένων αλγορίθμων για τον πολλαπλασιασμό υψηλής ακρίβειας αριθμών); και εντός των καθαρών μαθηματικών, παρέχουν στοιχεία για την αξιολόγηση της τυχαιότητας των ψηφίων του {{pi}}.<ref name="Arndt_c">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=18}}</ref>

=== Γρήγορα συγκλίνουσες σειρές ===
[[Αρχείο:Srinivasa Ramanujan - OPC - 1.jpg|thumb|upright|alt=Φωτογραφικό προτραίτο ενός άντρα.| Ο [[Σρινιβάσα Ραμανούτζαν]], εργαζόμενος μόνος του στην Ινδία, παρήγαγε πολλές καινοτόμες σειρές για τον υπολογισμό του {{pi}}.]]
Οι σύγχρονοι αλγόριθμοι για το {{pi}} δεν χρησιμοποιούν αποκλειστικά τους επαναληπτικούς αλγόριθμους. Νέες [[Άπειρη σειρά|απειροσειρές]] ανακαλύφθηκαν στις δεκαετίες του 1980 και του 1990 που είναι τόσο γρήγορες όσο και οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι, όμως είναι απλούστερες και απαιτούν λιγότερη μνήμη.<ref name="Background" /> Οι γρήγοροι επαναληπτικοί αλγόριθμοι εμφανίστηκαν το 1914, όταν ο Ινδός μαθηματικός [[Σρινιβάσα Ραμανούτζαν]] δημοσίευσε δεκάδες καινούργιους τύπους για το {{pi}}, που ήταν αξιοπρόσεκτοι για την κομψότητά τους, το μαθηματικό βάθος, και την ταχεία τους σύγκλιση.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=103–104}}</ref> Ένας από τους τύπους, είναι ο εξής:
:<math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}</math>.
Αυτή η σειρά συγκλίνει γρηγορότερα από τη σειρά <math>\arctan</math>, συμπεριλαμβανομένου του τύπου Machin.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=104}}</ref> Ο Bill Gosper ήταν ο πρώτος που τον χρησιμοποίησε για τον υπολογισμό του {{pi}}, θέτοντας ένα ρεκόρ των 17 εκατομμυρίων ψηφίων το 1985.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=104, 206}}</ref> Ο τύπος του Ramanujan έστρωσε τον δρόμο για τους σύγχρονους αλγορίθμους που αναπτύχθηκαν από τους αδερφούς Borwein και τους αδερφούς Chudnovsky.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=110–111}}</ref> Ο [[Chudnovsky algorithm|τύπος των Chudnovsky]] που αναπτύχθηκε το 1987 είναι
:<math>\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}</math>.
Παράγει περίπου 14 ψηφία του {{pi}} ανά όρο,<ref>{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|p=254}}</ref> και έχει χρησιμοποιηθεί για αρκετά ρεκόρ για τον υπολογισμό ψηφίων του {{pi}}, συμπεριλαμβανομένου του πρώτου που ξεπέρασε τα 10<sup>9</sup> ψηφία το 1989 από τα αδέλφια Chudnovsky, 2.7 τρισεκατομμύρια (2.7×10<sup>12</sup>) ψηφία από τον Fabrice Bellard το 2009, και 10 τρισεκατομμύρια (10<sup>13</sup>) ψηφία το 2011 από τους Alexander Yee και Shigeru Kondo.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=110–111, 206}}<br />Bellard, Fabrice, [http://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf "Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer"], 11 Feb 2010.</ref><ref name="NW">[http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html "Round 2... 10 Trillion Digits of Pi"], NumberWorld.org, 17 Oct 2011. Retrieved 30 May 2012.</ref>

Το 2006, ο Καναδός μαθηματικός [[Simon Plouffe]] χρησιμοποίησε τον [[αλγόριθμο ακεραίων σχέσεων PSLQ]]<ref>Τα αρχικά PSLQ αντιστοιχούν στα Partial Sum of Least Squares, που σημαίνει μερικό άθροισμα ελαχίστων τετραγώνων.</ref> για να παράγει αρκετές νέες μορφές τύπων για το {{pi}}, που έχουν την εξής μορφή:
:<math>\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right)</math>,
όπου <math>q</math> είναι η [[σταθερά Gelfond|<math>e^{\pi}</math>]], <math>k</math> είναι ένας [[περιττός αριθμός]], και <math>a, b, c</math> είναι ορισμένοι ρηττοί αριθμοί που υπολόγισε ο Plouffe .<ref>{{cite web|first=Simon|last=Plouffe|authorlink=Simon Plouffe|title=Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2)|date=April 2006|url=<!-- http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf -->http://plouffe.fr/simon/inspired2.pdf|accessdate=10 April 2009}}</ref>

=== Αλγόριθμοι βρύσης ===
Δύο αλγόριθμοι που επινοήθηκαν το 1995 άνοιξαν νέους δρόμους στην έρευνα του π. Καλούνται [[αλγόριθμοι βρύσης]] (tap/spigot) επειδή, όπως το νερό που στάζει από μια [[βρύση]], παράγουν μονά ψηφία του {{pi}} που δεν ξαναχρησιμοποιούνται όταν αυτά υπολογιστούν.<ref name="Arndtpp" /><ref name="Gibbons">Gibbons, Jeremy, [http://www.cs.ox.ac.uk/jeremy.gibbons/publications/spigot.pdf "Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi"], 2005. Ο Gibbons δημοσίευεσε μία βελτιωμένη έκδοση του αλγόριθμου του Wagon.</ref> Αυτό είναι σε αντίθεση με τις άπειρες σειρές ή τους επαναληπτικούς αλγόριθμους, που θα διατηρήσουν και θα χρησιμοποιήσουν όλα τα ενδιάμεσα ψηφία μέχρι να παραχθεί το τελικό αποτέλεσμα.<ref name="Arndtpp">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=77–84}}</ref>

Οι Αμερικανοί μαθηματικοί [[Stan Wagon]] και [[Stanley Rabinowitz]] παρήγαγαν ένα αλγόριθμο βρύσης το 1995.<ref name="Gibbons" /><ref name="Arndt_k">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=77}}</ref><ref>{{cite journal|first1=Stanley|last1=Rabinowitz|last2=Wagon|first2=Stan|year=1995|month=March|title=A spigot algorithm for the digits of Pi|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1995-03_102_3/page/195|journal=American Mathematical Monthly|volume=102|issue=3|pages=195–203|doi=10.2307/2975006|ref=harv}} Ο κώδικας για το πρόγραμμα που υλοποιεί τον αλγόριθμο βρύσης του Wagon χρησιμοποιεί μόνο 120 χαρακτήρες.</ref> Η ταχύτητά του συγκρίνεται με αλγόριθμους <math>\arctan</math>, αλλά δεν είναι τόσο γρήγορος όσο ο επαναληπτικός αλγόριθμος.<ref name="Arndt_k" />

Άλλος αλγόριθμος βρύσης, ο [[Bailey–Borwein–Plouffe formula|αλγόριθμος BBP]], ανακαλύφθηκε το 1995 από τον Simon Plouffe:<ref name="Arndtpp_a">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=117, 126–128}}</ref><ref name="bbpf">{{cite journal|author=[[David H. Bailey|Bailey, David H.]]; [[Peter Borwein|Borwein, Peter B.]]; and [[Simon Plouffe|Plouffe, Simon]]|year=1997| month=April|title=On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants|journal=Mathematics of Computation|volume=66| issue=218|pages=903–913|url=<!-- http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf -->http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf|format=PDF|doi=10.1090/S0025-5718-97-00856-9|ref=harv}}</ref>
:<math> \pi = \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{16^i} \left( \frac{4}{8i + 1} - \frac{2}{8i + 4} - \frac{1}{8i + 5} - \frac{1}{8i + 6}\right)</math>.
Αυτός ο τύπος, σε αντίθεση με άλλους προγενέστερους από αυτόν, μπορεί να παράγει κάθε [[Δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης|δεκαεξαδικό]] ψηφίο του {{pi}} χωρίς τον υπολογισμό όλων των προηγούμενων ψηφίων του.<ref name="Arndtpp_a" /> Κάθε [[Οκταδικό σύστημα αρίθμησης|οκταδικό]] ή δυαδικό ψηφίο μπορεί να υπολογιστεί από ένα δεκαεξαδικό ψηφίο. Παραλλαγές του αλγορίθμου που έχουν ανακαλυφθεί, αλλά δεν έχει ακόμα ανακαλυφθεί ο αλγόριθμος εξόρυξης ψηφίων που θα παράγει γρήγορα τα δεκαδικά ψηφία .<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=128}}. Ο Plouffe δημοσίευσε έναν αλγόριθμο που υπολογίζει τα δεκαδικά ψηγία του {{pi}}, αλλά είναι πιο αργός από τον ακριβή υπολογισμό όλων των προηγούμενων ψηφίων.</ref> Μια σημαντική εφαρμογή των αλγορίθμων εξόρυξης ψηφίων είναι να επικυρώσει τις νέες απαιτήσεις των υπολογιστικών ρεκόρ {{pi}}: μετά από μια νέα εγγραφή που ζητήθηκε, το δεκαδικό αποτέλεσμα μετατρέπεται σε δεκαεξαδικό, και στη συνέχεια ένας αλγόριθμος εξόρυξης ψηφίων χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό αρκετών τυχαίων δεκαδικών ψηφίων κοντά στο τέλος; Αν ταιριάζουν, αυτό παρέχει ένα μέτρο της εμπιστοσύνης ότι ολόκληρος ο υπολογισμός είναι σωστός.<ref name="NW" />

Ανάμεσα στο 1998 και 2000, το [[Υπολογιστής|κατανεμημένο υπολογιστικό]] έργο [[PiHex]] χρησιμοποιεί τον [[τύπο Bellard]] (μια τροποποίηση του αλγορίθμου BBP) για τον υπολογισμό του πρώτου τετράκις εκατομμυριοστού (10<sup>15</sup>ο) δυαδικού ψηφίου του {{pi}}, το οποίο αποδείχτηκε ότι ήταν 0.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=20}}<br />Bellards formula in: {{cite web|url=http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html|title=A new formula to compute the n<sup>th</sup> binary digit of pi|first=Fabrice|last=Bellard|authorlink=Fabrice Bellard|accessdate=27 October 2007|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070912084453/http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html|archivedate=2007-09-12|url-status=dead}}</ref> Το Σεπτέμβριο του 2010, ένας υπάλληλος του [[Yahoo!]] χρησιμοποίησε τις το σύστημα [[Apache Hadoop|Hadoop]] της εταιρείας σε χίλιους υπολογιστές για διάστημα πάνω από 23 μέρες για τον υπολογισμό 256 [[Δυαδικό ψηφίο|δυαδικών ψηφίων]] του {{pi}} με το δεύτερο τετράκις εκατομμυριοστό (2×10<sup>15</sup>ο) δυαδικό ψηφίο, το οποίο επίσης συμβαίνει να είναι μηδέν.<ref>{{cite news|title= Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit|author=Palmer, Jason|newspaper=BBC News|date=16 September 2010|url=http://www.bbc.co.uk/news/technology-11313194|accessdate=26 March 2011}}</ref>

=== Μέθοδοι Μόντε Κάρλο ===

{{multiple image
| direction         = horizontal
| image1            = Buffon needle.svg
| caption1          = Η [[Βελόνα του Buffon]]. Οι βελόνες ''a'' και ''b'' ρίχνονται τυχαία.
| alt1              = Βελόνες μήκους ''ℓ'' ρίχνονται σε λωρίδες με μήκος ''t''
| image2            = Pi 30K.gif
| caption2          = Διαλέγουμε τυχαία σημεία σε ένα τετράγωνο με έναν εγγεγραμμένο κύκλο.
| alt2              = Χιλιάδες πλήθος από τυχαία σημεία μέσα σε ένα τετράγωνο που έχει ένα εγγεγραμμένο κύκλο.
| align             = left
| total_width       = 225
}}
Οι [[μέθοδος Μόντε Κάρλο|μέθοδοι Μόντε Κάρλο]], οι οποίες χρησιμοποιούν πολλές τυχαίες δοκιμές για να υπολογίσουν ένα αποτέλεσμα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να δώσουν προσεγγίσεις για το {{pi}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=39}}</ref> Η [[βελόνα του Buffon]] είναι μία τέτοια δοκιμή: Αν μία βελόνα με μήκος {{math|''ℓ''}} ριχτεί {{math|''n''}} φορές σε μία επιφάνεια στην οποία είναι ζωγραφισμένες παράλληλες ευθείες σε απόσταση {{math|''t''}} μεταξύ τους, και αν {{math|''x''}} (με {{math|''x''}}&nbsp;>&nbsp;0) από αυτές τις φορές η βελόνα κατασταλάξει έτσι ώστε να τέμνεται με μία ευθεία, τότε μπορούμε να προσεγγίσουμε το {{pi}} με βάση αυτό το πλήθος:<ref name="bn">{{cite journal |last=Ramaley |first=J.F. |title=Buffon's Noodle Problem |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1969-10_76_8/page/916 |jstor=2317945 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=76 |issue=8 |date=October 1969 |pages=916–918 |doi=10.2307/2317945}}</ref>
:<math>\pi \approx \frac{2n\ell}{xt}</math>.

Μία άλλη, πιο απλή, μέθοδος Μόντε Κάρλο για τον υπολογισμό του {{pi}} είναι να χαράξουμε έναν κύκλο εγγεγραμμένο σε ένα τετράγωνο, και τυχαία να διαλέξουμε σημεία μέσα στο τετράγωνο. Η αναλογία των σημείων που είναι μέσα στο τετράγωνο προς το συνολικό πλήθος των σημείων έχει αναμενόμενη τιμή το {{math|π/4}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=39–40}}<br />{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=105}}</ref>

[[File:Five random walks.png|thumb|Πέντε τυχαίοι περίπατοι με 200 βήματα. Ο μέσος όρος του δείγματος <math>|W_{200}|</math> είναι {{math|''μ'' {{=}} 56/5}}, και επομένως {{math|2(200)''μ''<sup>−2</sup> ≈ 3.19}} που έχει απόκλιση {{math|0.05}} από το&nbsp;{{pi}}.|left]]
Ένας άλλος τρόπος για να υπολογίσουμε το {{pi}} με την χρήση πιθανότητας είναι να ξεκινήσουμε με έναν [[τυχαίος περίπατος|τυχαίο περίπατο]], που καθορίζεται από μία ακολουθία δίκαιων ρίψεων νομίσματος, δηλαδή τις [[τυχαία μεταβλητή|τυχαίες μεταβλητές]] {{math|''X<sub>k</sub>''}} τέτοιες ώστε {{math|''X<sub>k</sub>'' ∈ {{mset|−1,1}}}} με ίση πιθανότητα.  Ο τυχαίος περίπατος ορίζεται ως
:<math>W_n = \sum_{k=1}^n X_k</math>,
έτσι ώστε, για κάθε {{mvar|n}}, το {{math|''W<sub>n</sub>''}} έχει μία [[διωνυμική κατανομή]].  Από τις ιδιότητες της διωνυμικής κατανομής προκύπτει ότι<ref>{{cite journal |last=Grünbaum |first=B. |author-link=Branko Grünbaum |title=Projection Constants |journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |volume=95 |issue=3 |pages=451–465 |year=1960 |doi=10.1090/s0002-9947-1960-0114110-9|doi-access=free}}</ref>
<math display=block>\pi = \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{E[|W_n|]^2}.</math>

Αυτή η μέθοδος Μόντε Κάρλο είναι ανεξάρτητη της σχέσης του {{pi}} με τους κύκλους, και είναι αποτέλεσμα του  [[Θεώρημα κεντρικού ορίου|θεωρήματος κεντρικού ορίου]].

Αυτές οι μέθοδοι Μόντε Κάρλο για τον υπολογισμό του {{pi}} είναι πολύ αργές σε σχέση με άλλες μεθόδους, και δεν δίνουν κάποια πληροφορία για το πόσα ψηφία έχουν υπολογιστεί ανά πάσα στιγμή. Επομένως δεν χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του {{pi}} όταν χρειάζονται πολλά ψηφία γρήγορα.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=43}}<br />{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|pp=105–108}}</ref>

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
* [https://www.geogebra.org/m/Hu22PSvf Υπολογισμός του π με την μέθοδο του Αρχιμήδη]
* [https://www.geogebra.org/m/m9yNrAVy Μέθοδος Μόντε Κάρλο για τον υπολογισμό του π]
* [https://www.geogebra.org/m/kd3hkqht#material/TWXBTmdR Η βελόνα του Buffon]
* [https://www.geogebra.org/m/kd3hkqht#material/zsfbxef6 Προσέγγιση π με βάση τα σημεία που φαίνονται σε ένα πλέγμα]
{{commonscat}}

== Δείτε επίσης ==
* [[Ευκλείδεια Γεωμετρία]]
* [[Μαθηματική σταθερά]]

== Παραπομπές ==
<references />

{{Αριθμοί}}
{{Authority control}}
{{Portal bar|Μαθηματικά}}

[[Κατηγορία:Πι| ]]
[[Κατηγορία:Μαθηματικές σταθερές|Π]]
[[Κατηγορία:Υπερβατικοί αριθμοί|Π]]
[[Κατηγορία:Μιγαδική ανάλυση|Π]]