Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Ριζικός άξονας δύο κύκλων

[[File:Radical axis el.svg|thumb|300px|Ριζικός άξονας δύο εξωτερικών κύκλων.]]
Στην [[γεωμετρία]], ο '''ριζικός άξονας δύο κύκλων''' είναι η [[ευθεία]] της οποίας τα σημεία έχουν ίσες [[δύναμη σημείου ως προς κύκλο|δυνάμεις]] προς τους δύο κύκλους.

Συγκεκριμένα, έστω <math>C(\mathrm{O},\rho)</math> και <math>C'(\mathrm{O'},\rho')</math> δύο κύκλοι του ίδιου επιπέδου με <math>\rho>\rho'</math>. Το σύνολο των σημείων του επιπέδου των κύκλων, των οποίων οι δυνάμεις ως προς τους δύο κύκλους είναι ίσες, είναι μία ευθεία <math>\delta</math> κάθετη στην <math>\rm OO'</math>.<ref>{{cite book |last=Ταβανλής |first=Χρήστος |title=Επίπεδος Γεωμετρία |publisher=Ι. Χιωτέλης |location=Αθήνα |pages=216-219}}</ref><ref>{{cite book |last=Παπανικολάου |first=Γεώργιος |title=Θεωρητική Γεωμετρία |year=1966 |publisher=Ι. Μακρής |location=Αθήνα |pages=295-297}}</ref><ref>{{cite book |last=Coxeter |first=Harold Scott Macdonald |title=Geometry revisited |year=1967 |publisher=the Mathematical association of America |location=Washington (D.C.) |isbn=0-88385-619-0 |pages=31-34 |edition=4th printing }}</ref>

{{clear}}

== Απόδειξη ==
{{Μαθηματική απόδειξη|τίτλος=Με χρήση της Δύναμης σημείου ως προς κύκλο|
[[File:Radical axis proof el.svg|thumb|300px|Σχήμα απόδειξης.]]
Υποθέτουμε ότι οι κύκλοι  <math>C(\mathrm{O},\rho)</math> και <math>C'(\mathrm{O'},\rho')</math> δεν έχουν κανένα κοινό σημείο και βρίσκονται ο ένας εκτός του άλλου και έστω <math>\Mu</math> ένα σημείο με ίσες δυνάμεις ως προς τους δύο κύκλους. Το σημείο <math>\Mu</math> δεν μπορεί να είναι να είναι εσωτερικό ούτε σημείο ενός από τους κύκλους διότι τότε δεν θα μπορούσε να ισχύσει η ισότητα των δυνάμεων. Έχουμε λοιπόν:

:<math>\rm MO^2-\rho^2=MO'^2-\rho'^2</math> και με αναδιάταξη έχουμε:
{{NumBlk|:|<math>\rm MO^2-MO'^2=\rho^2-\rho' ^2</math>|{{EquationRef|1}}}} 

Στο τρίγωνο <math>\rm\Mu OO'</math> θεωρούμε <math>\rm I</math> το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος <math>\rm OO'</math> και <math>\rm H</math> την προβολή του <math>\Mu</math> επί της <math>\rm OO'</math>. Σύμφωνα με το  δεύτερο [[Διάμεσος (γεωμετρία)|θεώρημα των διαμέσων]] στο τρίγωνο <math>\rm\Mu O O'</math> ισχύει ότι:{{NumBlk|:|<math>\rm MO^2-MO'^2=2 \cdot OO'\cdot IH</math>|{{EquationRef|2}}}}

Εξισώνουμε τα δεύτερα μέλη των (1) και (2) βρίσκουμε ότι:

{{NumBlk|:|<math>\rm IH=\frac{\rho^2-\rho' ^2}{2 \cdot OO'}</math>|{{EquationRef|3}}}}

Από την σχέση (3) προκύπτει ότι το σημείο <math>\rm H</math> (προβολή του <math>\Mu</math> επί της <math>\rm OO'</math>) είναι σταθερό αφού απέχει από το σταθερό σημείο  <math>\rm I</math> (το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος <math>\rm O O'</math>) σταθερή απόσταση.
{{Οεδ|inline=true|Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος του σημείου <math>\Mu</math> είναι μία ευθεία  <math>\delta</math> κάθετη στην <math>\rm OO'</math> στο σταθερό σημείο <math>\rm H</math>.}}}}

{{Μαθηματική απόδειξη|τίτλος=Με την χρήση Καρτεσιανών συντεταγμένων|
Το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ δύο σημείων με συντεταγμένες <math>{\rm M}(x,y)</math> και <math>\rm O(\alpha,\beta)</math> ισούται με 

:<math>\delta^2=(x-\alpha)^2+ (y-\beta)^2</math>.

Κατά συνέπεια η δύναμη του σημείου <math>{\rm M}(x,y)</math> ως προς έναν κύκλο <math>C(\mathrm{O},\rho)</math> με κέντρο το σημείο <math>\rm O(\alpha,\beta)</math> είναι ίση με

:<math>\Delta_C^M=\delta^2-\rho^2=(x-\alpha)^2+ (y-\beta)^2-\rho^2
</math> και αν αναπτύξουμε τα τετράγωνα έχουμε τη μορφή

:<math> \Delta_C^M= x^2 + y^2-2\alpha\cdot x-2\beta\cdot y+\alpha^2+\beta^2 -\rho^2</math> ή

{{NumBlk|:| <math> \Delta_C^M= x^2 + y^2-2\alpha\cdot x-2\beta\cdot y+c</math> όπου <math>c=\alpha^2+\beta^2 -\rho^2</math>. |{{EquationRef|1}}}}

Έστω τώρα και ένας δεύτερος κύκλος <math>C'(\mathrm{O'},\rho')</math> με κέντρο το σημείο <math>\rm O'(\alpha',\beta')</math> με <math>\alpha\neq\alpha'</math> ή <math>\beta\neq\beta'</math> ή και τα δύο. Η δύναμη του σημείου  <math>{\rm M}(x,y)</math> ως προς τον κύκλο αυτόν μπορεί να γραφεί
{{NumBlk|:|<math> \Delta_{C'}^M= x^2 + y^2-2\alpha'\cdot x-2\beta'\cdot y+c'</math> όπου <math>c' =\alpha'^2+\beta'^2 -\rho'^2</math> |{{EquationRef|2}}}}

Οι δυνάμεις του σημείου <math>\rm M</math> ως προς του δύο κύκλους είναι ίσες άρα ισχύει:

:<math>\Delta_C^M=\Delta_{C'}^M</math>

:<math>x^2 + y^2-2\alpha\cdot x-2\beta\cdot y+c=x^2 + y^2-2\alpha'\cdot x-2\beta'\cdot y+c'</math>

{{NumBlk|:|<math>-2\alpha\cdot x-2\beta\cdot y+c=-2\alpha'\cdot x-2\beta'\cdot y+c'</math>|{{EquationRef|3}}}}

Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οι δύο κύκλοι έχουν τα κέντρα τους στον άξονα <math>x'x</math> δηλαδή είναι <math>\beta=\beta'=0</math> οπότε η σχέση {{EquationRef|(3)}} γράφεται

:<math>-2\alpha\cdot x+c=-2\alpha'\cdot x+c'</math> και επειδή είναι <math>\alpha\neq\alpha'</math> έχουμε

:<math>x=\frac{c'- c}{2(\alpha'-\alpha)}</math>.
Η ευθεία αυτή, είναι κάθετη στον άξονα <math>x'x</math> και είναι σταθερή.
{{Οεδ||Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος του σημείου <math>\Mu</math> είναι ευθεία  <math>\delta</math> κάθετη στην <math>\rm OO'</math>.}}}}

== Ειδικές περιπτώσεις ==
# Αν οι δύο [[Εφαπτόμενοι κύκλοι|κύκλοι εφάπτονται]], τότε ο ριζικός άξονας τους είναι η κοινή τους εφαπτομένη.
# Αν οι δύο [[Τεμνόμενοι κύκλοι|κύκλοι τέμνονται]], τότε ο ριζικός άξονας τους είναι η ευθεία που ορίζεται από τα κοινά τους σημεία.
# Αν ο κύκλος <math>C'</math> βρίσκεται εντός του κύκλου <math>C</math>, τότε ο ριζικός άξονας τους δεν έχει κοινά σημεία με τους δύο κύκλους.

{{multiple image
 |total_width=500
 |align=center
 |image1= Radical axis tangential el.svg
 |caption1=Ριζικός άξονας εφαπτόμενων κύκλων.
 |image2=Radical axis intersecting el.svg
 |caption2=Ριζικός άξονας τεμνόμενων κύκλων.
 |image3=Radical axis internal el.svg
 |caption3=Ριζικός άξονας όπου ο ένας κύκλος είναι εντός του άλλου.
}}
== Ριζικό κέντρο τριών κύκλων ==

{{Μαθηματικό θεώρημα|
Θεωρούμε τρεις κύκλους <math>C_1(\mathrm{O_1},\rho_1)</math>, <math>C_2(\mathrm{O_2},\rho_2)</math>, <math>C_3(\mathrm{O_3},\rho_3)</math>, των οποίων τα κέντρα δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Αν <math>\delta_1</math> είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων <math>C_1</math>, <math>C_2</math>, <math>\delta_2</math> ο ριζικός άξονας των κύκλων <math>C_2</math>, <math>C_3</math> και τέλος  <math>\delta_3</math> ο ριζικός άξονας των κύκλων <math>C_1</math>, <math>C_3</math> οι τρεις ριζικοί άξονες διέρχονται από το ίδιο σημείο  <math>\rm K</math> το οποίο ονομάζεται '''ριζικό κέντρο''' των κύκλων   <math>C_1</math>, <math>C_2</math>, <math>C_3</math>.
}}
{{Μαθηματική απόδειξη|
[[File:Radical center el.svg|thumb|Το ριζικό κέντρο <math>\rm K</math> των τριών κύκλων.]]
Έστω <math>\rm K</math> το κοινό σημείο των αξόνων <math>\delta_1</math>και <math>\delta_2</math>. <br>Επειδή το <math>\rm K</math> είναι σημείο του άξονα <math>\delta_1</math>ισχύει:

:<math>{\Delta}_{C_1}^K={\Delta}_{C_2}^K</math>

Επίσης επειδή το  <math>\rm K</math> είναι σημείο του άξονα <math>\delta_2</math>ισχύει: 

:<math>{\Delta}_{C_2}^K={\Delta}_{C_3}^K</math>.

Από τις δύο σχέσεις συμπεραίνουμε ότι: 

:<math>{\Delta}_{C_1}^K={\Delta}_{C_3}^K</math>. 
Άρα το σημείο <math>\rm K</math> είναι σημείο του άξονα <math>\delta_3</math>.<br>{{Οεδ|| Συνεπώς οι τρεις ριζικοί άξονες διέρχονται από το ίδιο σημείο.}}}}

== Κατασκευή του ριζικού άξονα δύο κύκλων ==
[[File:Radical axis construction el.svg|thumb|right|300px|Σχήμα κατασκευής του ριζικού άξονα δύο κύκλων <math>C_1</math> και <math>C_2</math>.]]
Θεωρούμε τους κύκλους <math>C_1(\mathrm{O_1},\rho_1)</math>, <math>C_2(\mathrm{O_2},\rho_2)</math> οι οποίοι δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.
# Χαράζουμε τυχαίο κύκλο <math>C_3(\mathrm{O_3},\rho_3)</math> ο οποίος τέμνει τον κύκλο <math>C_1</math> στα σημεία <math>\rm A,B</math> και τον κύκλο <math>C_2</math> στα σημεία <math>\rm \Gamma ,\Delta </math>. 
# Η ευθεία <math>\delta_1</math> που διέρχεται από τα σημεία <math>\rm A,B</math> είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων <math>C_1, C_3 </math>. Η ευθεία <math>\delta_2</math> που διέρχεται από τα σημεία <math>\rm \Gamma ,\Delta </math> είναι ο ριζικός άξονας των κύκλων <math>C_2, C_3 </math>. 
# Έστω <math>\rm K</math> το σημείο τομής των  <math>\delta_1, \delta_2</math>. Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα το σημείο <math>\rm K</math> είναι το ριζικό κέντρο των τριών κύκλων <math>C_1, C_2, C_3 </math>. 
# Αν από το σημείο <math>\rm K</math> χαράξουμε την ευθεία <math>\delta_3</math> κάθετη στην διάκεντrο <math>\mathrm{{O_1}{O_2}}</math> αυτή είναι ο ριζικός άξονας των δύο κύκλων <math>C_1, C_2 </math>.
{{clear}}

== Δείτε επίσης ==
* [[Δύναμη σημείου ως προς κύκλο]]

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
* [https://photodentro.edu.gr/lor/r/8521/5635 Ριζικός άξονας δύο κύκλων] στο Φωτόδεντρο.
* [http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/gGallery/problems/RadicalAxis.html Ριζικός άξονας δύο κύκλων] στην πινακοθήκη γεωμετρικών σχημάτων.
* [https://www.geogebra.org/m/ggQvzQNX Ριζικός άξονας δύο κύκλων] στο [[Geogebra]].
* [https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/RadicalAxis.shtml Ριζικός άξονας] στο cut-the-knot.
* [https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/GeoGebra/RadicalAxes.shtml Πώς να κατασκευάσετε τον ριζικό άξονα] στο cut-the-knot.

==Παραπομπές==
<references/>

{{Γεωμετρικοί τόποι στην ευκλείδεια γεωμετρία|state=expanded}}
{{κύκλος}}
{{γεωμετρία-επέκταση}}

[[Κατηγορία:Κύκλος]]
[[Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία]]