Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Συνάρτηση Όιλερ

Στην [[θεωρία αριθμών]], η '''συνάρτηση Όιλερ''' είναι η [[συνάρτηση]] <math>\phi : \N_{>0} \to \N</math>, όπου για κάθε θετικό [[ακέραιος αριθμός|ακέραιο]] <math>n</math> το <math>\phi(n)</math> μας δίνει το πλήθος των [[Φυσικός αριθμός|φυσικών αριθμών]] μικρότερων του <math>n</math> οι οποίοι είναι [[σχετικά πρώτοι]] με τον <math>n</math> (δηλαδή έχουν με τον <math>\,n</math>, [[μέγιστος κοινός διαιρέτης|μέγιστο κοινό διαιρέτη]] τη μονάδα).<ref name="BRP">{{cite book |last1=Βλάμος |first1=Π. |last2=Ραππος |first2=Ε. |last3=Ψαρρακος |first3=Π. |title=Θεωρία αριθμών |year=2000 |publisher=Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία |location=Αθήνα |isbn=960-7341-18-X |url=http://www.hms.gr/apothema/?s=ss&i=125 }}</ref>{{rp|96}}<ref name="Hardy">{{cite book |last=Hardy |first=Godfrey H. |title=An introduction to the theory of numbers |publisher=Clarendon Press |location=Oxford |isbn=9780198531715 |edition=5η |author2=Wright, Edward Maitland}}</ref>{{rp|52-54}}<ref>{{cite book |last=Davenport |first=Harold |title=The higher arithmetic: an introduction to the theory of numbers |publisher=Cambridge university press |location=Cambridge |isbn=9780521722360 |edition=8η }}</ref>{{rp|37-40}}<ref>{{cite book |last=Graham |first=Ronald Lewis |title=Concrete mathematics: a foundation for computer science |publisher=Addison-Wesley |location=Upper Saddle River, NJ |isbn=9780201558029 |edition=2., 31. print |author2=Knuth, Donald Ervin |author3=Patashnik, Oren}}</ref>{{rp|133-144}}

Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε τον αριθμό 9. Το <math>\phi(9)</math> είναι ίσο με 6, αφού από τους φυσικούς αριθμούς από το 1 μέχρι το 9 ακριβώς έξι, οι 1, 2, 4, 5, 7 και 8, είναι πρώτοι ως προς το 9.

Η συνάρτηση του Όιλερ είναι πολύ χρήσιμη στην [[θεωρία αριθμών]]. Αρκεί και μόνο να παρατηρήσει κάποιος ότι το πλήθος των στοιχείων της πολλαπλασιαστικής ομάδας των ακεραίων modulo n είναι ακριβώς <math>\phi(n)</math>. Αυτό το γεγονός, μαζί με το [[θεώρημα του Λαγκράνζ]], μας δίνουν την απόδειξη για το [[θεώρημα του Όιλερ]], που αποτελεί γενίκευση του [[μικρό θεώρημα του Φερμά|μικρού θεωρήματος του Φερμά]].

== Παραδείγματα ==

* Για <math>n = 6</math>, έχουμε ότι <math>\phi(6) = 2</math>, <math>1, 5</math> είναι πρώτοι με το <math>6</math>.
* Για <math>n = 7</math>, έχουμε ότι <math>\phi(7) = 6</math>, καθώς <math>1, 2, 3, 4, 5, 6</math> είναι πρώτοι με το <math>7</math>.
* Για <math>n = 10</math>, έχουμε ότι <math>\phi(10) = 4</math>, καθώς <math>1, 3, 7, 9</math> είναι πρώτοι με το <math>10</math>.
* Για <math>n = 12</math>, έχουμε ότι <math>\phi(12) = 4</math>, καθώς <math>1, 5, 7, 11</math> είναι πρώτοι με το <math>12</math>.

== Ιστορία, ορολογία, συμβολισμός==
Ο [[Λέοναρντ Όιλερ]] εισήγαγε τη συνάρτηση το 1763, αλλά χωρίς να τη συμβολίσει. Το 1784 επέλεξε το ελληνικό γράμμα <math>\pi</math> για το συμβολισμό της: <math>\pi D</math> "''το πλήθος των αριθμών, μικρότερων του <math>D</math>, που δεν έχουν κοινό διαιρέτη με το D''"· ο ορισμός είναι ίδιος με αυτόν που χρησιμοποιούμε, εκτός από την περίπτωση <math>D=1</math>. To 1801 ο [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους|Γκάους]] χρησιμοποίησε τον συμβολισμό <math>\phi D</math> στη διατριβή του "''Disquisitiones Arithmeticae''". Ονομάστηκε "''η συνάρτηση <math>\phi</math> του Όιλερ''" ή "''η συνάρτηση <math>\phi</math>''" και γράφουμε <math>\phi(D)</math>. 

Το 1879 ο [[Τζέιμς Τζόσεφ Συλβέστερ|Τζ. Συλβέστερ]] δημιούργησε τον όρο ''totient'', έτσι τη λέμε "η συνάρτηση totient του Όιλερ". Γενίκευση της συνάρτησης είναι η totient του Τζόρνταν. Η "συνάρτηση <math>\phi</math> του Όιλερ" να μη συγχέεται με τη "συνάρτηση του Όιλερ", που είναι μία σειρά q στη [[συνδυαστική]] και τη [[μιγαδική ανάλυση]]. 

Οι αριθμοί που είναι μικρότεροι του <math>n</math> και πρώτοι με αυτόν ονομάζονται totatives του <math>n</math>, π.χ. οι 1, 5 είναι ''totatives'' του 6. Υπάρχουν <math>\phi(6)=2</math> τέτοιοι. Οι υπόλοιποι, δηλ. 2, 3, 4, 6 είναι εκείνοι που έχουν τουλάχιστον έναν κοινό παράγοντα με τον <math>n</math>· υπάρχουν <math>n-\phi(n) = 6-2 = 4</math> τέτοιοι και το πλήθος τους αυτό λέγεται ''cototient''.

== Ιδιότητες ==
Η συνάρτηση <math>\phi</math> δεν ορίζεται στο <math>n = 0</math> και επίσης θεωρούμε ότι <math>\phi(1) = 1</math>.

===1η ιδιότητα===
Η συνάρτηση του Όιλερ είναι [[πολλαπλασιαστική συνάρτηση|πολλαπλασιαστική]], που σημαίνει ότι για κάθε δύο φυσικούς <math>m</math>, <math>n</math> με <math>\mathrm{gcd}(m, n) = 1</math> ισχύει <math>\phi(mn) = \phi (m) \cdot \phi (n)</math>.{{r|BRP|p=98}}{{r|Hardy|p=53}}

===2η ιδιότητα===
Είναι εύκολο να παρατηρήσει κάποιος ότι αν ο <math>n</math> είναι [[πρώτος αριθμός]] τότε όλοι οι φυσικοί που είναι μικρότεροι από αυτόν είναι πρώτοι ως προς τον <math>n</math>, οπότε <math>\phi(n) = n-1</math>.{{r|Hardy|p=53}}

Για παράδειγμα: <math>\phi(101) = 101-1 = 100</math> επειδή το <math>101</math> είναι πρώτος.

===3η ιδιότητα===
Αν <math>n = p^k</math> για πρώτο αριθμό <math>p</math> και <math>k \geq 1</math> τότε{{r|BRP|p=97}}{{r|Hardy|p=53}}
:<math>\phi(p^k) = p^{k-1} \cdot (p-1) = p^k \left( 1 - \frac{1}{p} \right).</math>

Για παράδειγμα <math>\phi(81) = \phi(3^4) = 3^{4-1} \cdot (3-1) = 3^3 \cdot 2 = 54</math> ή <math>\phi(3^4) = 3^4\cdot (1 - 1/3) = 81 (3-1)/3 = 54</math>.

===Ο τύπος του Όιλερ===
Με χρήση των παραπάνω και του [[Κινεζικό Θεώρημα Υπολοίπων|Κινεζικού Θεωρήματος Υπολοίπων]] η τιμή της <math>\phi(n)</math> μπορεί να υπολογιστεί με χρήση του [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής|θεμελιώδους θεωρήματος της αριθμητικής]]:{{r|Hardy|p=53}} 

Αν <math>n = p_1^{k_1} \cdot \ldots \cdot p_r^{k_r}</math>, όπου τα <math>p_j</math> είναι διακεκριμένοι [[πρώτος αριθμός|πρώτοι αριθμοί]], τότε
:<math>\phi(n) = (p_{1}-1)p_{1}^{k_{1}-1} \cdot \ldots \cdot (p_{r}-1)p_{r}^{k_{r}-1}</math>.

Για παράδειγμα <math>\phi(72) = \phi(3^2 \cdot 2^3) = (3-1) \cdot 3^{2-1} \cdot (2-1) \cdot 2^{3-1} = 2 \cdot 3^1 \cdot 1 \cdot 2^2= 24</math>.

Ο τελευταίος τύπος μπορεί να γραφτεί και ως εξής: 
:<math>\phi(n)=p_1^{k_1} \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot p_r^{k_r} \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_r} \right) = n \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_r} \right)</math>.

Για παράδειγμα <math>\phi(36)=\phi(3^22^2)=36\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)=36\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=12</math>.

===4η ιδιότητα===
Πιο πάνω υπολογίσαμε το <math>\phi(9)</math>. Οι [[Διαιρέτης|διαιρέτες]] του 9 είναι οι 1, 3, 9 με <math>\phi(1) = 1</math>, <math>\phi(3) = 2</math>, <math>\phi(9) = 6</math>. Ο Γκάους παρατήρησε ότι <math>\phi(1)+\phi(3)+\phi(9) = 1+2+6 = 9</math> και γενικότερα{{r|Hardy|p=54}}
:<math>\sum_{d\mid n}\phi(d)=n</math>,
όπου <math>d</math> είναι όλοι οι (θετικοί) διαιρέτες του <math>n</math>.

Για παράδειγμα τα κλάσματα <math>1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9, 9/9</math> αν απλοποιηθούν δίνουν <math>1/9, 2/9, 1/3, 4/9, 5/9, 2/3, 7/9, 8/9, 1/1</math>.

Οι παρονομαστές είναι όλοι οι διαιρέτες του 9: 9,3, 1. Πόσα έχουν παρονομαστή το 9; όσα ο αριθμητής τους δεν είχε κοινό διαιρέτη με το 9, δηλ. <math>\phi(9)</math>. Πόσα έχουν παρονομαστή το 3; <math>\phi(3)</math>. Πόσα το 1; <math>\phi(1)</math>. Και αυτά είναι όλα τα κλάσματα. Συνολικά είναι 9, δηλ. <math>\phi(9) + \phi(3) + \phi(1) = 9</math>.

=== Παρατήρηση ===
Μπορούμε να πάρουμε έναν άλλο τύπο για την <math>\phi(n)</math>, χρησιμοποιώντας την αντιστροφή του Μέμπιους στο άθροισμα 
:<math>n=\sum_{d\mid n} \phi(d) </math>.
Ο τύπος αυτός είναι ο εξής:
:<math>\phi(n)=\sum_{d\mid n}d \cdot \mu(n/d) </math>, 
όπου με <math>\mu</math> συμβολίζουμε την [[συνάρτηση του Μέμπιους]] στους φυσικούς αριθμούς.

==Άλλοι τύποι για τη συνάρτηση φ==
*<math>a\mid b \implies \phi(a)\mid\phi(b)</math>.
*<math>\phi(mn)\phi(d) = \phi(m)\phi(n)d</math>, όπου d = μκδ(m, n)
:Ειδικές περιπτώσεις: 
:*Για <math>m = 2</math>, τότε έχουμε ότι
::<math>\phi(2n) = \begin{cases}
  2\phi(n) & \text{αν }n \text{ άρτιος}, \\
  (n) & \text{αν }n\text{ περιττός}.
\end{cases}</math>
:*Για <math>m = n</math> ο τύπος γίνεται 
:::<math>\phi(n^2) = n \cdot \phi(n)</math>
::και γενικότερα 
:::<math>\phi(n^k) = n^{k-1} \cdot \phi(n)</math>.

*<math>\phi(\mathrm{gcd}(m, n)) \cdot \phi(\mathrm{lcm}(m, n)) = \phi(m) \cdot \phi(n)</math>,
:που μοιάζει με τον τύπο <math>\mathrm{gcd}(m, n) \cdot \mathrm{lcm}(m, n) = m \cdot n</math> (δείτε [[Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο]]).
* Το <math>\phi(n)</math> είναι άρτιος για <math>n \geq 3</math>.<ref name="BRP" /> Ακόμη, αν ο <math>n</math> έχει <math>r</math> διακριτούς περιττούς παράγοντες τότε <math>2^r \mid \phi(n)</math>.

==Μερικές τιμές της συνάρτησης==
Οι πρώτες 143 τιμές {{OEIS|A000010}} εμφανίζονται στο γράφημα και στον πιο κάτω πίνακα:


[[File:EulerPhi100.svg|thumb|left|Γράφημα των πρώτων 100 τιμών]]

:{| class="wikitable" style="text-align: center"
|+{{math|''φ''(''n'')}} for {{math|1 ≤ ''n'' ≤ 143}}
! +
! 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11
|- 
! 0 
| {{n/a}} || 1 || 1 || 2 || 2 || 4 || 2 || 6 || 4 || 6 || 4 || 10
|-
! 12
| 4 || 12 || 6 || 8 || 8 || 16 || 6 || 18 || 8 || 12 || 10 || 22
|- 
! 24
| 8 || 20 || 12 || 18 || 12 || 28 || 8 || 30 || 16 || 20 || 16 || 24
|-
! 36
| 12 || 36 || 18 || 24 || 16 || 40 || 12 || 42 || 20 || 24 || 22 || 46
|-
! 48
| 16 || 42 || 20 || 32 || 24 || 52 || 18 || 40 || 24 || 36 || 28 || 58
|-
! 60
| 16 || 60 || 30 || 36 || 32 || 48 || 20 || 66 || 32 || 44 || 24 || 70
|-
! 72
| 24 || 72 || 36 || 40 || 36 || 60 || 24 || 78 || 32 || 54 || 40 || 82
|-
! 84
| 24 || 64 || 42 || 56 || 40 || 88 || 24 || 72 || 44 || 60 || 46 || 72
|-
! 96
| 32 || 96 || 42 || 60 || 40 || 100 || 32 || 102 || 48 || 48 || 52 || 106
|-
! 108
| 36 || 108 || 40 || 72 || 48 || 112 || 36 || 88 || 56 || 72 || 58 || 96
|-
! 120
| 32 || 110 || 60 || 80 || 60 || 100 || 36 || 126 || 64 || 84 || 48 || 130
|-
! 132
| 40 || 108 || 66 || 72 || 64 || 136 || 44 || 138 || 48 || 92 || 70 || 120
|}

Στο διάγραμμα η ευθεία y = n-1 είναι ένα άνω όριο και είναι ακριβώς αυτό στις περιπτώσεις όπου n = πρώτος. Δεν υπάρχει ευθεία που να είναι κάτω όριο.

== Ασυμπτωτική τιμή ==

Για κάθε σύνθετο αριθμό <math>n > 2</math> έχουμε ότι<ref>{{cite book |last=Cormen |first=Thomas H. |title=Introduction to algorithms |publisher=MIT Press |location=Cambridge, Massachusetts London, England |isbn=9780262533058 |edition=Third |author2=Leiserson, Charles Eric |author3=Rivest, Ronald Linn |author4=Stein, Clifford}}</ref>{{rp|943}}
:<math>\phi(n) > \frac{n}{e^{\gamma} \cdot \log \log n + \frac{3}{\log \log n}}</math>,
και 
:<math>\liminf_{n \to \infty} \frac{\phi(n)}{n/\log \log n} = e^{-\gamma}</math>,
όπου <math>\gamma</math> είναι η σταθερά Όιλερ. 

Επίσης, και για κάθε <math>n \geq 5</math> ισχύει η απλουστευμένη ανισότητα
:<math>\phi(n) > \frac{n}{6 \cdot \log \log n}</math>.

==Εφαρμογές==

===Εφαρμογή στο θεώρημα του Όιλερ===
Το [[θεώρημα του Όιλερ]] λέει ότι αν <math>a</math> και <math>n</math> είναι [[σχετικά πρώτοι]] μεταξύ τους, τότε
:<math>a^{\phi(n)} \equiv 1\mod n</math>.
Το [[μικρό θεώρημα του Φερμά]] είναι η ειδική περίπτωση που το <math>n</math> είναι πρώτος και τότε  
:<math> a^{n-1} \equiv 1\mod n</math>,
καθώς <math>\phi(n) = n-1</math>.

===Εφαρμογή στην κρυπτογραφία RSA===
Στην [[RSA|κρυπτογραφία RSA]] ξεκινάμε με δύο μεγάλους [[πρώτος αριθμός|πρώτους]] <math>p</math>, <math>q</math>. Για χάριν ευκολίας ας υποθέσουμε ότι είναι <math>p=5</math>, <math>q=11</math>. Παίρνουμε το γινόμενό τους <math>n = pq = 55</math> και το <math>\phi(n) = \phi(55) = 40</math>. Διαλέγουμε έναν αριθμό <math>e < \phi(n)</math> έτσι ώστε <math>e</math> και <math>\phi(n)</math> είναι [[σχετικά πρώτοι]] μεταξύ τους, ας είναι το <math>e = 7</math>. Υπολογίζουμε τον [[Πολλαπλασιαστικός αντίστροφος|αντίστροφό]] του <math>\mathrm{mod}\ \phi(n))</math> με τη βοήθεια του [[αλγόριθμος του Ευκλείδη|αλγορίθμου του Ευκλείδη]], που είναι το <math>d = 23</math>. Πράγματι <math>7 \cdot 23 = 161 = 1 \pmod{40}</math>. To ''δημόσιο κλειδί'' είναι το ζεύγος <math>(e, n) = (7, 55)</math> και το ''ιδιωτικό κλειδί'' είναι το <math>(d, n) = (23, 55)</math>. Αν ξέρει κάποιος άλλος το <math>(e, n)</math> δεν μπορεί (εύκολα) να βρει το <math>d</math> αν δεν ξέρει το <math>\phi(n)</math>, καθώς οι γνωστοί [[αλγόριθμος|αλγόριθμοι]] στηρίζονται στην [[παραγοντοποίηση]] του <math>n</math>. Μέχρι στιγμής, δεν είναι γνωστός κάποιος αλγόριθμος που γρήγορα παραγοντποιεί αριθμούς (δηλαδή αλγόριθμος που τρέχει σε [[πολυωνικός χρόνος|πολυωνυμικό χρόνο]]) και αυτό εγγυάται ότι δεν θα βρει κάποιος άλλος το ''ιδιωτικό κλειδί''.

Τέλος για να κρυπτογραφήσουμε ένα μήνυμα (δηλαδή έναν αριθμό) <math>m</math>, τον υψώνουμε στην δύναμη <math>e</math>, δηλαδή στέλνουμε <math>m^e (\mathrm{mod}\ m)</math>. Ο παραλήπτης υψώνει αυτό που έλαβε στη δύναμη <math>d</math> και λαμβάνει το <math>(m^e)^d \equiv m^{ed} \equiv m^1 \equiv m \pmod{1}</math>, δηλαδή το αρχικό μήνυμα.

===Εφαρμογή στην κυκλοτομία===
Στο τελευταίο κεφάλαιο του έργου του ''Disquisitiones'' ο [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους]] αποδεικνύει ότι ένα [[Κανονικό πολύγωνο|κανονικό]] <math>n</math>-γωνο μπορεί να κατασκευαστεί με [[κατασκευές με κανόνα και διαβήτη|κανόνα και διαβήτη]] αν το <math>\phi(n)</math> είναι δύναμη του <math>2</math>. 

Αναλύουμε τον <math>n</math> σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Τότε:

# Αν <math>n = 2^k</math> τότε <math>\phi(n) = 2^{k-1}</math> είναι δύναμη του <math>2</math> και το [[πολύγωνο]] κατασκευάζεται: <math>2, 4, 8, 16, 32, \ldots</math> 

# Αν <math>n=p^k</math> όπου <math>p</math> είναι πρώτος μεγαλύτερος του 2, τότε <math>\phi(n) = p^{k-1} \cdot (p-1)</math>, που για να είναι δύναμη του <math>2</math> πρέπει <math>k=1</math> και <math>p-1</math> να είναι δύναμη του <math>2</math>. Οι αριθμοί αυτοί <math>p</math> λέγονται[[Αριθμός Φερμά|πρώτοι αριθμοί του Φερμά]] και είναι γνωστοί οι εξής: 3, 5, 17, 257, 65537. Δεν ξέρουμε αν υπάρχουν άλλοι. 

# Συνδυασμός των παραπάνω: <math>2 \cdot 3, 2 \cdot 5, 2^2 \cdot 3, 3 \cdot 5, 2^2 \cdot 5, 2^3 \cdot 3, 2 \cdot 3 \cdot 5, 2 \cdot 17, 2^3 \cdot 5, \ldots</math> 

Τελικά τα κατασκευάσιμα κανονικά πολύγωνα είναι 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, ... {{OEIS|A003401}}.

== Περαιτέρω ανάγνωση ==

=== Ελληνικά άρθρα ===
* {{cite journal |title=Η Αριθμοθεωρητική Συνάρτηση φ(Α) του Euler |pages=193-194 |author=Π. Μαρουσάκης |journal=[[Ευκλείδης Β΄]] |year=1978 |issue=4 |url=http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4282 }}

=== Ξενόγλωσσα άρθρα ===
* {{cite journal |last=Moser |first=Leo |title=Some Equations Involving Euler's Totient Function |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1949-01_56_1/page/22 |journal=The American Mathematical Monthly |date=Ιανουαρίου 1949 |volume=56 |issue=1 |pages=22 |doi=10.2307/2305815}}
* {{cite journal |last=Shiu |first=Peter |title=97.02 Solutions to φ (m) = k! and σ (n) = k! |journal=The Mathematical Gazette |year=2013 |volume=97 |issue=538 |pages=110-115 |url=https://www.jstor.org/stable/24496766}}
* {{cite journal |last=Freed-Brown |first=Julian |coauthors=Holden, Matthew; Orrison, Michael E.; Vrable, Michael |title=Cyclotomic Polynomials, Symmetric Polynomials, and a Generalization of Euler's Totient Function |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2012-02_85_1/page/44 |journal=Mathematics Magazine |date=Φεβρουαρίου 2012 |volume=85 |issue=1 |pages=44–50 |doi=10.4169/math.mag.85.1.44}}
* {{cite web |last=Tou |first=Erik R. |title=Math Origins: The Totient Function |url=https://old.maa.org/press/periodicals/convergence/math-origins-the-totient-function |publisher=MAA |accessdate=8 Σεπτεμβρίου 2023 }}

== Παραπομπές ==
<references />

==Βιβλιογραφία==
* {{cite book |last1=Abramowitz |first1=M. |last2=Stegun |first2=I. A. |year=1964 |title=Handbook of Mathematical Functions |location=New York |publisher=Dover Publications |ISBN=0-486-61272-4 |chapter=24.3.2 }}
* {{cite book |last1=Bach |first1=Eric |last2=Shallit |first2=Jeffrey |year=1996 |title=Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms) |publisher=MIT Press Series in the Foundations of Computing |location=Cambridge, MA |ISBN=0-262-02405-5 }}
* {{cite journal |last1=Ford |first1=Kevin |year=1999 |title=The number of solutions of φ(x) = m |url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1999-07_150_1/page/n284 |journal=Annals of Mathematics |volume=150 |issue=1 |pages=283–311 |doi=doi:10.2307/121103 |ISSN=0003-486X |JSTOR=121103 |MR=1715326 }}
* {{cite book |last1=Gauss |first1=Carl Friedrich |translator-last1=Clarke |translator-first1=Arthur A. |year=1986 |title=Disquisitiones Arithmeticae |edition=2η |location=New York |publisher=Springer |ISBN=0-387-96254-9 }}
* {{cite book |last1=Graham |first1=Ronald |last2=Knuth |first2=Donald |last3=Patashnik |first3=Oren |year=1994 |title=Concrete Mathematics: a foundation for computer science |edition=2η |location=Reading, MA |publisher=Addison-Wesley |ISBN=0-201-55802-5 }}
* {{cite book |last=Guy |first=Richard K. |year=2004 |title=Unsolved Problems in Number Theory, Problem Books in Mathematics |url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr |edition=3η |location=New York, NY |publisher=Springer-Verlag |ISBN=0-387-20860-7 }}
* {{cite book |last1=Hardy |first1=G. H. |last2=Wright |first2=E. M. |year=1979 |title=An Introduction to the Theory of Numbers |edition=5η |location=Oxford |publisher=Oxford University Press |ISBN=978-0-19-853171-5 }}
* {{cite book |last=Long |first=Calvin T. |year=1972 |title=Elementary Introduction to Number Theory |edition=2η |location=Lexington |publisher=D. C. Heath and Company |LCCN=77-171950 }}
* {{cite book |last1=Pettofrezzo |first1=Anthony J. |last2=Byrkit |first2=Donald R. |year=1970 |title=Elements of Number Theory |url=https://archive.org/details/elementsofnumber0000pett |location=Englewood Cliffs |publisher=Prentice Hall |LCCN=77-81766 }}
* {{cite book |last=Ribenboim |first=Paulo |year=1996 |title=The New Book of Prime Number Records |url=https://archive.org/details/newbookofprimenu0000ribe |edition=3η |location=New York |publisher=Springer |ISBN=0-387-94457-5 }}
* {{cite book |last=Sandifer |first=Charles |year=2007 |title=The early mathematics of Leonhard Euler |publisher=MAA |ISBN=0-88385-559-3 }}
* {{cite book |editor-last1=Sándor |editor-first1=József |editor-last2=Mitrinović |editor-first2=Dragoslav S. |editor-last3=Crstici |editor-first3=Borislav |year=2006 |title=Handbook of number theory I |location=Dordrecht |publisher=Springer-Verlag |pages=9–36 |ISBN=1-4020-4215-9 }}
* {{cite book |last1=Sándor |first1=Jozsef |last2=Crstici |first2=Borislav |year=2004 |title=Handbook of number theory II |location=Dordrecht |publisher=Kluwer Academic |pages=179–327 |ISBN=1-4020-2546-7 }}
* {{cite journal |last=Schramm |first=Wolfgang |year=2008 |title=The Fourier transform of functions of the greatest common divisor |journal=Electronic Journal of Combinatorial Number Theory |volume=8 |issue=1 }}
* Βλάμος Π., Ράππος Ε. «[http://www.hdml.gr/pdfs/books/27.pdf Η συνάρτηση φ του Euler] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190116220306/http://www.hdml.gr/pdfs/books/27.pdf |date=2019-01-16 }}», σελ.96-103, από [http://www.hdml.gr/el/ Ελληνική Ψηφιακή Μαθηματική Βιβλιοθήκη] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190726125446/http://www.hdml.gr/el |date=2019-07-26 }}. [https://web.archive.org/web/20190116220306/http://www.hdml.gr/pdfs/books/27.pdf Αρχειοθετήθηκε] 16/01/2019. Ανακτήθηκε 16/01/2019.

{{Authority control}} 
{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{DEFAULTSORT:Συνάρτηση Όιλερ}}

[[Κατηγορία:Θεωρία αριθμών]]