Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν

{{χωρίς παραπομπές}}

[[Αρχείο:Complex zeta.jpg|μικρογραφία|upright=1.2|Η ''συνάρτηση ζήτα'' στο επίπεδο των μιγαδικών αριθμών]]
Η '''συνάρτηση ζήτα''' ή '''συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν'''<ref>{{Cite web|url=https://thalesandfriends.org/el/2021/03/03/ipothesi-riman-sthn-poli-ton-arithmon/|title=Η “Υπόθεση Ρίμαν” στην πόλη των αριθμών}}</ref>, από το όνομα του Γερμανού μαθηματικού [[Μπέρναρντ Ρίμαν]] είναι μια συνάρτηση με ιδιαίτερη σημασία στη [[θεωρία αριθμών]], λόγω της σχέσης της με την κατανομή των [[πρώτος αριθμός|πρώτων αριθμών]]. Έχει επίσης εφαρμογές σε άλλα πεδία, όπως η [[φυσική]], η [[θεωρία πιθανοτήτων]] και η εφαρμοσμένη [[στατιστική]].

== Ορισμός ==
[[Αρχείο:zeta.png|μικρογραφία|Η ζήτα συνάρτηση για πραγματικούς μεγαλύτερους του 1.]]
Η συνάρτηση ζήτα <math>\zeta(s)</math> είναι συνάρτηση μιας [[μιγαδικός αριθμός|μιγαδικής μεταβλητής]] s και ορίζεται με τη βοήθεια της ακόλουθης [[άπειρη σειρά|άπειρης σειράς]], όταν ο μιγαδικός αριθμός s έχει πραγματικό μέρος μεγαλύτερο της μονάδας:

:<math>\zeta(s)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s}</math>

Στην περιοχή <math>\{s \in\mathbb{C}: Re(s) > 1\}</math>, αυτή η σειρά συγκλίνει και ορίζει μια συνάρτηση αναλυτική σε αυτή την περιοχή.

Η συνάρτηση ζήτα ορίζεται ως η [[αναλυτική επέκταση]] της πάνω συνάρτησης σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο, καθώς ο Riemann έδειξε ότι αυτή η αναλυτική επέκταση για Re(s) ≤ 1 και s≠1 υπάρχει και είναι μοναδική, ενώ στο σημείο s=1 του μιγαδικού επιπέδου προκύπτει η [[αρμονική σειρά]] η οποία αποκλίνει προς το +∞.

Η συνάρτηση ζήτα συνδέεται με τους [[πρώτος αριθμός|πρώτους αριθμούς]] με την εξής σχέση, που ανακαλύφθηκε από τον [[Λέοναρντ Όιλερ]]:
:<math>\zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-s}}, \qquad s\in\mathbb{C}: Re(s) > 1,</math>
όπου <math>\mathbb{P}</math> το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών.

Αν ο s είναι ακέραιος, τότε ο παραπάνω τύπος του Όιλερ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της πιθανότητας s το πλήθος τυχαία επιλεγμένοι αριθμοί να είναι μεταξύ τους [[σχετικά πρώτοι]]. Η πιθανότητα αυτή αποδεικνύεται ότι ισούται με 1/ζ(s).

== Επεκτάσεις ==
{{δείτε|Συνάρτηση ζήτα πρώτων αριθμών}}

Η συνάρτηση ζήτα μπορεί να επεκταθεί αναλυτικά στην περιοχή <math>\{s \in\mathbb{C}: Re(s) > 0\}</math> σε μία [[μερομορφική συνάρτηση]] στην περιοχή αυτή με έναν [[πόλος (μαθηματικά)|πόλο]] τάξης 1 στο <math>s=1</math>. Η επεκταμένη αυτή συνάρτηση είναι:
:<math>\zeta(s)=\frac12+\frac1{s-1}-s\int_{1}^\infty \frac{saw(x)}{x^{s+1}}dx,</math>
όπου <math>saw(x)=x-\lfloor x\rfloor-1/2\quad(</math> με <math>\lfloor x\rfloor</math> δηλώνεται το ακέραιο μέρος του <math>\,x)</math>.

Η ζήτα συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί αναλυτικά σε όλο το <math>\mathbb{C}</math> σε μία μερομορφική συνάρτηση στην περιοχή αυτή με έναν πόλο τάξής 1 στο <math>s=1</math>. Για <math>\ Re(s) > 1-q</math> η επεκταμένη αυτή συνάρτηση είναι:
:<math>\zeta(s)=\frac12+\frac1{s-1}+\sum_{r=2}^q \frac{B_r}{r!} s(s+1) \ldots (s+r-2) -\frac1{q!}s(s+1) \ldots (s+q-1)\int_{1}^\infty \frac{\tilde{B}_{q}(x)}{x^{s+q}}dx,</math>
όπου <math>\ B_{r} </math> οι [[Αριθμός Μπερνούλι]], <math>\tilde{B}_{q}(x):=B_{q}(x-\lfloor x\rfloor), B_{q}(x)</math> τα πολυώνυμα Μπερνούλι και όπου το q μπορεί να πάρει οσοδήποτε μεγάλη τιμή.

== Σχέσεις ==
Συναρτησιακή εξίσωση της ζήτα συνάρτησης (functional equation):
:<math>\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s),\qquad s \in\mathbb{C},</math>
όπου <math>\Gamma\,</math> η [[συνάρτηση γάμμα]].

Η συνάρτηση γάμμα (ή ακριβέστερα η αναλυτική προέκτασή της στο <math>\mathbb{C}</math>) έχει πόλους τάξης 1 στο <math>s=-k,\,k\in\N_0</math>.
Η ζήτα συνάρτηση μηδενίζεται συνεπώς για <math>s=-2k, k\in \N^*</math>.

== Υπόθεση του Ρίμαν ==
Η [[υπόθεση Ρίμαν|υπόθεση του Ρίμαν]] είναι ένα από τα [[άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών]].
Δηλώνει ότι εκτός από τις τιμές <math>s=-2k, k\in \N^*</math> η συνάρτηση ζήτα μηδενίζεται μόνο για <math>\,s</math> με <math>\,\text{Re}(s)=1/2</math>.

Από την συναρτησιακή εξίσωση της συνάρτησης ζήτα και τις ιδιότητες της συνάρτησης γάμα προκύπτει ότι η συνάρτηση ζήτα για <math>\,s\in\mathbb{C}</math> με <math>\,Re(s)<0</math> μηδενίζεται μόνο για <math>s=-2k, k\in \N^*</math>.
Στην περιοχή <math>\{s \in\mathbb{C}: Re(s) > 1\}</math> προφανώς δε μηδενίζεται.
Επίσης αποδυκνείεται ότι <math>\zeta(s)\neq0</math> για <math>Re(s)\in\{0,1\}</math>.
Συνεπώς οι υπόλοιπες τιμές που τη μηδενίζουν πρέπει να ικανοποιούν <math>\,0<Re(s)<1</math>.

== Βιβλιογραφία ==
;Μαθηματικά:
* J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer, Berlin, 1992, ISBN 3-540-54273-6 {{de}}
* Reinhard Remmert, Funktionentheorie 1, Springer, Berlin, 1992, ISBN 3-540-55233-2 {{de}}
* [[Edward Charles Titchmarsh]], The Zeta-Function of Riemann, 1930 {{en}}
* [[Edward Charles Titchmarsh]], The Theory of the Riemann Zeta-Function, 1951 {{en}}
* [[Don Zagier]], Zetafunktionen und quadratische Körper, Teil 1, § 4, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1981, ISBN 3-540-10603-0 {{de}}
;Ιστορική εξέλιξη:
* Marcus du Sautoy, Η MOYΣIKH TΩN ΠPΩTΩN APIΘMΩN, Το μεγαλύτερο ανεπίλυτο μυστήριο των Μαθηματικών, Τραυλός, 2005, ISBN 960-6640-00-0 {{el}}
* John Derbyshire, PRIME OBSESSION, Joshef Henry Press, ISBN 0-309-08549

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
Αγγλικοί σύνδεσμοι:
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zeta.pdf Xavier Gourdon and Pascal Sebah: ορισμός]
* [https://web.archive.org/web/20081008204446/http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116A/zeta.pdf Xavier Gourdon and Pascal Sebah: γενικά]
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetaevaluations.pdf Xavier Gourdon and Pascal Sebah: υπολογισμοί]
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeros.pdf Xavier Gourdon and Pascal Sebah: ρίζες]
* [http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/114_05_JIPAM/114_05.pdf P. CERONE: BOUNDS FOR ZETA AND RELATED FUNCTIONS] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060722235052/http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/114_05_JIPAM/114_05.pdf |date=2006-07-22 }}, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Volume 6, Issue 5, Article 134, 2005
* [http://www.zetagrid.net Zetagrid]
Γερμανικοί σύνδεσμοι:
* [http://math-it.org/Mathematik/Riemann/RiemannApplet_de.html Graph der Riemannschen Zeta-Funktion (Animation)]

== Βιβλιογραφία ==
* {{cite journal|author1-link=:en:Jonathan Borwein|first1=Jonathan|last1=Borwein|first2=David M.|last2=Bradley|author3-link=:en:Richard Crandall|first3=Richard|last3=Crandall|url=http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf|title=Computational Strategies for the Riemann Zeta Function|journal=J. Comput. Appl. Math.|year=2000|volume=121|pages=247–296|doi=10.1016/S0377-0427(00)00336-8|issue=1–2|bibcode=2000JCoAM.121..247B|doi-access=free|archive-url=https://web.archive.org/web/20131213171642/http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin//zeta/borwein1.pdf|archive-date=13 December 2013|accessdate=2024-09-09|archivedate=2006-09-25|archiveurl=https://web.archive.org/web/20060925091659/http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf|deadurl=}}
* {{cite journal
|first1=Djurdje
|last1= Cvijović
|first2=Jacek
|last2= Klinowski
| title = Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments
| journal=J. Comput. Appl. Math.| year=2002| volume=142| pages=435–439
| doi = 10.1016/S0377-0427(02)00358-8
|mr=1906742
|issue=2|bibcode=2002JCoAM.142..435C|doi-access=free
}}
* {{cite journal
| first1=Djurdje
|last1= Cvijović
|first2= Jacek
|last2= Klinowski
| title = Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms| journal=Proc. Amer. Math. Soc.| year=1997| volume=125| pages=2543–2550| doi = 10.1090/S0002-9939-97-04102-6
| issue=9| doi-access=free}}
* {{cite book|first=H. M. |last=Edwards|author-link=:en:Harold Edwards (mathematician)| title=Riemann's Zeta Function|url=https://archive.org/details/riemannszetafunc00edwa_0 |url-access=registration |publisher=Academic Press|year=1974|isbn=0-486-41740-9}} Has an English translation of Riemann's paper.
* {{cite journal | last1 = Hadamard | first1 = Jacques | author-link = :en:Jacques Hadamard | year = 1896 | title = Sur la distribution des zéros de la fonction {{math|''ζ''(''s'')}} et ses conséquences arithmétiques | journal = Bulletin de la Société Mathématique de France | volume = 14 | pages = 199–220 | doi = 10.24033/bsmf.545 | doi-access = free }}
* {{cite book|author-link=:en:G. H. Hardy|first=G. H.|last=Hardy|title=Divergent Series|url=https://archive.org/details/dli.ernet.285939|publisher=Clarendon Press, Oxford|year=1949}}
* {{cite journal
|author-link=:en:Helmut Hasse
|first1=Helmut
|last1=Hasse
|title=Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche {{mvar|ζ}}-Reihe
|year=1930
|journal=Math. Z.
|volume=32
|pages=458–464
|mr=1545177
|doi=10.1007/BF01194645
|s2cid=120392534
}} (Globally convergent series expression.)
* {{cite book|first=Aleksandar  |last=Ivic| author-link=:en:Aleksandar Ivić | title=The Riemann Zeta Function|publisher=John Wiley & Sons|year=1985|isbn=0-471-80634-X}}
* {{cite book | first=Y. |last=Motohashi | title=Spectral Theory of the Riemann Zeta-Function | url=https://archive.org/details/spectraltheoryof0000moto | publisher= Cambridge University Press | year=1997| isbn=0521445205}}
* {{cite book|author1-link=:en:A. A. Karatsuba|first1=A. A.|last1= Karatsuba |first2= S. M.|last2= Voronin|title=The Riemann Zeta-Function|publisher= W. de Gruyter|location= Berlin|year=1992}}
* {{cite journal
|first1=István
|last1=Mező
|first2=Ayhan
|last2=Dil
|doi=10.1016/j.jnt.2009.08.005
|title=Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function
|journal= Journal of Number Theory
|year=2010
|volume=130
|issue=2
|pages=360–369
|hdl=2437/90539
|mr=2564902
|s2cid=122707401
|hdl-access=free
}}
* {{cite book| first1=Hugh L.|last1= Montgomery| author-link=:en:Hugh Montgomery (mathematician)|first2=Robert C. |last2=Vaughan |author-link2=:en:Robert Charles Vaughan (mathematician) | title=Multiplicative number theory. I. Classical theory| series=Cambridge tracts in advanced mathematics| volume=97| publisher=Cambridge University Press| year=2007| isbn=978-0-521-84903-6|at=Ch. 10}}
* {{cite book| author-link=:en:Donald J. Newman| first1=Donald J. |last1=Newman| title=Analytic number theory| series=[[:en:Graduate Texts in Mathematics|Graduate Texts in Mathematics]]| volume=177| publisher=Springer-Verlag| year=1998| isbn=0-387-98308-2 |at=Ch. 6}}
* {{cite journal
|first1=Guo
|last1=Raoh
|title=The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function
|journal=Proceedings of the London Mathematical Society
|year=1996
|volume=s3–72
|doi=10.1112/plms/s3-72.1.1 
|pages=1–27
}}
* {{Cite journal|first=Bernhard|last=Riemann|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/|title=Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse|year=1859|journal=Monatsberichte der Berliner Akademie}}. In ''Gesammelte Werke'', Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
* {{cite journal
|first1=Jonathan
|last1=Sondow
|doi=10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7
|title= Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series
|journal=Proc. Amer. Math. Soc.
|year=1994
|pages=421–424
|issue=2
|volume=120
|url=https://www.ams.org/journals/proc/1994-120-02/S0002-9939-1994-1172954-7/S0002-9939-1994-1172954-7.pdf
|doi-access=free
}}
* {{cite book|author-link=:en:Edward Charles Titchmarsh|first=E. C.|last=Titchmarsh|title=The Theory of the Riemann Zeta Function |edition=2nd rev. |editor=Heath-Brown|publisher=Oxford University Press|year= 1986}}
* {{cite book|author1-link=:en:E. T. Whittaker|first1=E. T.|last1=Whittaker|author2-link=:en:G. N. Watson|first2=G. N.|last2=Watson|date=1927|title=A Course in Modern Analysis|edition=4th|publisher=Cambridge University Press|at=Ch. 13}}
* {{cite journal|first1=Jianqiang
|last1=Zhao
|doi=10.1090/S0002-9939-99-05398-8 
| title = Analytic continuation of multiple zeta functions| journal=Proc. Amer. Math. Soc.| year=1999| volume=128| pages=1275–1283|mr=1670846|issue=5
|doi-access=free}}

== Παραπομπές ==
<references />

{{Authority control}}
{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{DEFAULTSORT:Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν}}
[[Κατηγορία:Θεωρία αριθμών]]
[[Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις]]
[[Κατηγορία:Μιγαδική ανάλυση]]