Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Συνάρτηση μάζας πιθανότητας

Στην [[στατιστική]] και στην [[Θεωρία πιθανοτήτων]], η '''Συνάρτηση μάζας πιθανότητας''' είναι η συνάρτηση που προσδιορίζει την πιθανότητα μια διακριτή [[τυχαία μεταβλητή]] να λάβει ακριβώς μια τιμή από το πεδίο ορισμού της.

Η γνώση της συνάρτησης μάζας πιθανότητας ορίζει πλήρως την τυχαία μεταβλητή την οποία περιγράφει και ορίζεται τόσο για βαθμωτές τυχαίες μεταβλητές όσο και για πολυδιάστατες (τυχαία διανύσματα).

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας ορίζεται μόνον για διακριτές τυχαίες μεταβλητές και αυτή είναι μια από τις διαφορές της με την [[συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας]] που ορίζεται στις συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής λαμβάνει την μέγιστη τιμή της στην [[διάμεσος|διάμεσο]] της [[Κατανομή πιθανότητας|κατανομής]].

==Ορισμός==
Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι η κατανομή πιθανότητας μιας διακριτή τυχαίας μεταβλητής. Το πεδίο ορισμού της είναι όλες οι πιθανές τιμές που μπορεί να λάβει η τυχαία μεταβλητή ενώ η εικόνα του πεδίου ορισμού είναι οι πιθανότητες που  το πεδίο ορισμού της. 

Πιο συγκεκριμένα, θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή <math>X</math> και το σύνολο τιμών <math>\mathcal{X}</math>. Λέμε ότι η τ.μ. <math>X</math> λαμβάνει τιμές <math>x</math> στο σύνολο <math>\mathcal{X}</math> και συμβολίζουμε ως <math>X=x \in \mathcal{X}</math>. Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής <math>X</math> είναι η συνάρτηση <math>p_X: \mathcal{X} \to [0,1]</math> που ορίζεται ως:

<math display="block">p_X(x) = P(X = x)</math>

όπου <math>x \in \mathcal{X}</math> είναι μια εκ των πιθανών τιμών που μπορεί να λάβει η τυχαία μεταβλητή <math>X</math> και <math>P</math> είναι [[μέτρο πιθανότητας]].

Με άλλα λόγια η συνάρτηση μάζας πιθανότητας <math>p_X</math> με όρισμα την πιθανή τιμή <math>x</math> που μπορεί να πάρει η τυχαία μεταβλητή <math>X</math> συμβολίζεται με <math>p_X(x)</math> και δηλώνει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή <math>X=x</math> δηλαδή να λάβει ακριβώς την τιμή <math>x</math>. 

Σύμφωνα με τα αξιώματα των πιθανοτήτων (Αξιώματα κατά [[Αντρέι Κολμογκόροφ|Κολμογκόροφ]]) μια πιθανότητα είναι πάντα μη-μηδενική και ως εκ τούτου η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μπορεί να πάρε μόνον μη μηδενικές τιμές. Επιπλέον το άθροισμα (εν δυνάμει αριθμήσιμα  απείρων όρων) όλων των τιμών της συνάρτησης μάζας πιθανότητας πρέπει να είναι 1 δηλαδή:

<math display="block">\sum_{x\in \mathcal{X}} p_X(x) = 1 </math> και <math display="block"> p_X(x)\geq 0. \quad \forall x \in \mathcal{X}</math>