Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Τελευταίο θεώρημα του Φερμά

[[Αρχείο:Pierre de Fermat.jpg|thumb|right|294x294px|[[Πιέρ ντε Φερμά]]]]

Στη [[θεωρία αριθμών]], το '''τελευταίο θεώρημα του Φερμά''' (ορισμένες φορές ονομάζεται '''Υπόθεση του Φερμά''', κυρίως σε παλαιότερα κείμενα) διατυπώνεται ως εξής: τρεις [[θετικός αριθμός|θετικοί]] [[ακέραιος αριθμός|ακέραιοι αριθμοί]] ''a'', ''b'', και ''c'' δεν δύνανται να ικανοποιήσουν την εξίσωση ''a''<sup>''n''</sup>&nbsp;+&nbsp;''b''<sup>''n''</sup>&nbsp;=&nbsp;''c''<sup>''n''</sup> για κάθε ακέραιο αριθμό ''n'' μεγαλύτερο από το δύο. Επομένως, χωρίς τη χρήση μαθηματικών συμβόλων μπορεί να εκφραστεί: ''Είναι αδύνατον να χωρίσεις οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη της δεύτερης σε δύο ίδιες δυνάμεις»''.

Το θεώρημα διατυπώθηκε πρώτη φορά το 1637 από τον [[Πιέρ ντε Φερμά|Φερμά]], με τη μορφή χειρόγραφης σημείωσης σε ένα βιβλίο (συγκεκριμένα στα [[Αριθμητικά]] του [[Διόφαντος|Διόφαντου]]), όπου ο ίδιος ισχυρίστηκε ότι έχει την απόδειξη του θεωρήματος αλλά είναι τόσο μεγάλη που δεν χωρούσε στη σημείωση. Καμία επιτυχής απόδειξη δεν δημοσιεύθηκε μέχρι το 1995, παρά τις προσπάθειες των αμέτρητων μαθηματικών κατά τα 358 χρόνια που μεσολάβησαν. Το άλυτο αυτό πρόβλημα συνδέεται άμεσα με την πρόοδο της [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών|αλγεβρικής θεωρίας αριθμών]] τον 19ο αιώνα. Είναι ένα από τα πιο γνωστά θεωρήματα στην ιστορία των [[Μαθηματικά|μαθηματικών]] και πριν την απόδειξη του 1995 από τους μαθηματικούς [[Άντριου Γουάιλς]] και [[Ρίτσαρντ Τέιλορ]] βρισκόταν στο ''[[Βιβλίο Γκίνες]]'' ως το "πιο δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα".

==Επισκόπηση==
=== Το πρόβλημα ===
Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (γνωστό με τον τίτλο αυτό ιστορικά, αν και τεχνικά επρόκειτο για μια εικασία ή για αναπόδεικτες εικασίες, μέχρι να αποδειχθεί το 1995) αποτελούσε ένα άλυτο αίνιγμα στα μαθηματικά για πάνω από τρεις αιώνες. {{ασαφές|Το θεώρημα έχει μια ιδιαίτερα απλή και κατανοητή διατύπωση για οποιονδήποτε γνωρίζει στοιχειώδεις ορισμούς μαθηματικων γυμνασίου. Ο Φερμά διατείνονταν ότι το πρόβλημα είχε αποδειχθεί από τον ίδιο στα περιθώρια κάποιων σημειώσεών του περιληπτικά λόγω έλλειψης χώρου κοντά στο 1637. Η αξία του μέχρι τότε ανοιχτού προβλήματος(εικασία) έγινε αντιληπτή 30 χρόνια μετά τον θάνατό του ανθρώπου που το είχε διατυπώσει επισήμως. Πιθανότατα να μην είχε καταφέρει να ολοκληρώσει την απόδειξη καθώς υπήρχαν και άλλες δηλώσεις του για δικές του αποδείξεις σε μεγάλα προβλήματα της εποχής όπως η εύρεση κλειστού τύπου για την παραγωγή πρώτων αριθμών. Ο τύπος αυτός όπως φαίνεται κατέρρε για ν>5. Ο ζήλος του όμως αυτός είναι και ο ίδιος που ο δικηγόρος Φερμάτ άφησε ένα τόσο σημαντικό έργο στα μαθηματικά.}}.

Η αξίωση αυτή έγινε τελικά ένα από τα πιο διάσημα ανοιχτά προβλήματα των μαθηματικών. Οι προσπάθειες που έγιναν για να αποδειχθεί κατά τη διάρκεια του χρόνου που ακολούθησε, μέχρι τη δημοσίευση της επιτυχημένης απόδειξης, προκάλεσε ουσιαστική ανάπτυξη στη [[θεωρία αριθμών]] και με την πάροδο του χρόνου το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά αποκτήσει θρυλική εξέχουσα θέση ως ένα από τα πιο δημοφιλή [[άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών]]. Βασίζεται στον γνωστό τύπο του ("[[Πυθαγόρειο θεώρημα|Πυθαγόρειου Θεωρήματος]]") για την υποτείνουσα και τις δύο άλλες πλευρές ενός [[ορθογώνιο τρίγωνο|ορθογωνίου τριγώνου]] που ανακαλύφθηκε από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό [[Πυθαγόρας|Πυθαγόρα]] : 
{{nowrap|1=''a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>''}}

Σύμφωνα με τα δεδομένα αυτά, η εξίσωση έχει ένα άπειρο πλήθος ακεραίων λύσεων, που αντιστοιχούν στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Ο Φερμά ισχυρίστηκε ότι είχε μια απόδειξη ότι αυτό το θεώρημα δεν έχει λύσεις κάποιον φυσικό αριθμό (ή «ακέραιο») για κάθε ακέραιο εκθέτη μεγαλύτερο από το 2. Με άλλα λόγια αν η εξίσωση {{nowrap|1=''a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>''}} έχει άπειρο πλήθος λύσεων, οι παρόμοιες εξισώσεις
:{{nowrap|1=''a<sup>3</sup> + b<sup>3</sup> = c<sup>3</sup>''}}
:{{nowrap|1=''a<sup>4</sup> + b<sup>4</sup> = c<sup>4</sup>''}}
:{{nowrap|1=''a<sup>n</sup> + b<sup>n</sup> = c<sup>n</sup>''}}
για οποιονδήποτε άλλο εκθέτη n μεγαλύτερο του 2 δεν έχει λύσεις. Ο Φερμά δεν άφησε καμία απόδειξη της εικασίας του για όλα τα n>2, εκτός από την ειδική περίπτωση για n=4.

Χρησιμοποιώντας πιο επίσημη μαθηματική σημειογραφία, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

: ''Αν ένας ακέραιος n είναι μεγαλύτερος του 2, τότε η εξίσωση

:<math>x^n + y^n = z^n</math>'', όπου x, y, και z θετικοί ακέραιοι

:''δεν έχει λύση''.

Επειδή το συγκεκριμένο πρόβλημα γίνεται πολύ εύκολα κατανοητό από τον καθένα (ως προς τη διατύπωσή του), έχουν δημιουργηθεί κατά καιρούς οι περισσότερες λανθασμένες αποδείξεις από οποιοδήποτε άλλο πρόβλημα στην [[ιστορία των μαθηματικών]]. Όλα τα θεωρήματα που είχαν προταθεί από τον [[Πιέρ ντε Φερμά|Φερμά]] αποδείχτηκαν, είτε με δικές του αποδείξεις, είτε με αποδείξεις άλλων μαθηματικών, στους επόμενους δύο αιώνες που ακολούθησαν τις προτάσεις. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά δεν ήταν το τελευταίο που διατύπωσε, αλλά το τελευταίο που αποδείχτηκε. Υπάρχουν πολλές εξισώσεις που έχουν μορφή παρόμοια με αυτή του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Ένα παράδειγμα είναι το εξής:

:Υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι αριθμοί <math>x</math>, <math>y</math>, και <math>z</math>, τέτοιοι ώστε <math>x^n + y^n = z^m</math>, όπου <math>n</math> και <math>m</math> πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.

=== Μεταγενέστερες εξελίξεις και η απόδειξη του θεωρήματος ===

Με την ειδική περίπτωση n = 4 αποδεδειγμένη, το πρόβλημα ήταν να αποδειχθεί το θεώρημα για εκθέτες n, οι οποίοι είναι πρώτοι αριθμοί (ο περιορισμός αυτός θεωρείται τετριμμένος για να αποδεχθεί αφού: αν n δεν είναι πρώτος αριθμός τότε θα ήταν δυνατό να γραφεί με τη μορφή n = PQ, όπου P είναι ένας πρώτος αριθμός, και στη συνέχεια ισχύει a<sup>n</sup> = a<sup>P.Q</sup> = (a<sup>Q</sup>)<sup>P</sup> για καθέναν από τους a, b και c και μια ισοδύναμη λύση, θα μπορούσε να υπάρχει για μία μικρότερη πρώτη δύναμη. Κατά τη διάρκεια των δύο επόμενων αιώνων (1637-1839), η εικασία έχει αποδειχθεί μόνο για τους πρώτους 3, 5, και 7, αν και η [[Σοφί Ζερμαίν]] καινοτόμησε και κατόρθωσε να προσεγγίσει μια απόδειξη που θα αφορούσε μια ολόκληρη κατηγορία των πρώτων αριθμών. Στα μέσα του 19ου αιώνα, ο [[Ερνστ Κούμερ]] επέκτεινε την απόδειξη της Ζερμαίν και, επίσης, απέδειξε το θεώρημα για όλες κανονικούς πρώτους αριθμούς, αφήνοντας τους ακανόνιστους να αναλυθούν μεμονωμένα. Με βάση τις εργασίες του Κούμερ και τη χρήση εξελιγμένων μελετών με τη βοήθεια υπολογιστών, άλλοι μαθηματικοί ήταν σε θέση να επεκτείνουν την απόδειξη για να καλύψουν όλους τους πρώτους εκθέτες μέχρι τέσσερα εκατομμύρια, αλλά μια απόδειξη για όλους τους εκθέτες ήταν απρόσιτη εκείνη την περίοδο για τη μαθηματική κοινότητα (πράγμα που σημαίνει ότι οι μαθηματικοί γενικά θεωρούν μια απόδειξη μπορεί να είναι είτε αδύνατη, ή στην καλύτερη περίπτωση εξαιρετικά δύσκολη, ή δεν είναι εφικτή με τις σημερινές γνώσεις).

Η απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά στο σύνολό της, για όλα τα n, τελικά επιτεύχθηκε, μετά από 358 χρόνια, από τον Άντριου Γουάιλς, το 1995, ένα επίτευγμα για το οποίο τιμήθηκε και έλαβε πολλά βραβεία. Η λύση ήρθε με έμμεσο τρόπο, από έναν εντελώς διαφορετικό τομέα των μαθηματικών.

Περίπου το 1955 οι Ιάπωνες μαθηματικοί [[Γκόρο Σιμούρα]] και [[Γιουτάκα Τανιγιάμα]] διατύπωσαν την εικασία ύπαρξης σχέσης μεταξύ των ελλειπτικών καμπυλών και των [[modular form]]s, δύο εντελώς διαφορετικών περιοχών των μαθηματικών. Η αξίωση αυτή που έμεινε γνωστή ως Τανιγιάμα-Σιμούρα-Γουάιλς εικασία, και τελικά ως θεώρημα των modular forms, το οποίο εντάσσεται στον τομέα της μιγαδικής ανάλυσης, θεωρούνταν ανεξάρτητη, χωρίς προφανή σύνδεση με το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Είχε ευρέως θεωρηθεί ως σπουδαίο μαθηματικό πρόβλημα, αλλά ήταν (όπως και εξίσωση του Φερμά) εντελώς απρόσιτο στην απόδειξη του.

Το 1984, ο [[Ζέραντ Φρέι]] παρατήρησε μια προφανή σχέση μεταξύ του θεωρήματος των modular forms και του Τελευταίου θεώρηματος του Φερμά. Αυτή η πιθανή σχέση επιβεβαιώθηκε δύο χρόνια αργότερα από τον [[Κεν Ρίμπετ]]. Ο Άγγλος μαθηματικός Άντριου Γουάιλς, ο οποίος είχε γοητευθεί από τα 10 του χρόνια με το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, αποφάσισε ακούγοντας αυτό, να προσπαθήσει και να αποδείξει το θεώρημα των modular forms, πιστεύοντας ότι επρόκειτο για έναν τρόπο ώστε να αποδείξει το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Το 1993, μετά από έξι χρόνια, όπου εργάζεται κρυφά πάνω στο πρόβλημα, ο Γουάιλς κατόρθωσε να αποδείξει αρκετά για το θεώρημα των modular forms ώστε να φθάσει στη λύση του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Η απόδειξη του Γουάιλς ήταν τεράστια σε μέγεθος και σε πεδίο εφαρμογής. Ένα ελάττωμα ανακαλύφθηκε σε ένα τμήμα του αρχικού εγγράφου του κατά τη διάρκεια της αξιολόγησης από ομότιμους και απαιτείται ένα επιπλέον έτος και η συνεργασία του με έναν παλαιότερο φοιτητή, τον [[Ρίτσαρντ Τέιλορ]] για τη διόρθωσή του. Ως αποτέλεσμα η τελική απόδειξη το 1995 συνοδεύτηκε από ένα δεύτερο, μικρότερο έγγραφο για την επίλυση του προβλήματος αυτού. Το επίτευγμα του Γουάιλς είχε αναφερθεί ευρέως στον Τύπο, και διαδόθηκε σε βιβλία και τηλεοπτικά προγράμματα. Τα υπόλοιπα μέρη του θεωρήματος των modular forms στη συνέχεια αποδείχθηκαν από άλλους μαθηματικούς, με βάση τις εργασίες του Γουάιλς, μεταξύ 1996 και 2001.
[[Αρχείο:Andrew wiles1-3.jpg|thumb|right|250px|Άντριου Γουάιλς]]

== Μαθηματική αναδρομή ==

=== Πυθαγόρας και Διόφαντος ===

==== Πυθαγόρειες τριάδες ====
Μια Πυθαγόρεια τριάδα, το όνομά της οποίας προέρχεται από τον αρχαίο Έλληνα [[Πυθαγόρας|Πυθαγόρα]], είναι ένα σύνολο τριών ακεραίων (''a, b, c'') που ικανοποιούν την εξίσωση του Φερμά στην ειδική περίπτωση (''n''&nbsp;=&nbsp;2).<ref>Stark, pp. 151–155.</ref>

:<math>a^2 + b^2 = c^2.\ </math>

Παραδείγματα πυθαγόρειων τριάδων είναι (3, 4, 5) και (5, 12, 13). Υπάρχουν άπειρα παραδείγματα τέτοιων τριάδων<ref name="Stillwell_2003">{{cite book |last=Stillwell |first=John |year=2003 |title=Elements of Number Theory |publisher=Springer-Verlag |location=New York |isbn=0-387-95587-9 |pages=110–112 |url=http://books.google.com/books?id=LiAlZO2ntKAC&pg=PA110}}</ref> και οι μέθοδοι παραγωγής τέτοιων τριάδων μελετήθηκαν από πολλούς πολιτισμούς ξεκινώντας από τους [[Βαβυλωνία|Βαβυλώνιους]]<ref>Aczel, pp. 13–15</ref> και αργότερα από Έλληνες, Γιαπωνέζους και Ινδούς μαθηματικούς.<ref>Singh, pp. 18–20.</ref> Το διαχρονικό ενδιαφέρον για τις πυθαγόρειες τριάδες συνδέεται στενά με το [[Πυθαγόρειο θεώρημα]],<ref>Singh, p. 6.</ref> στην παραγωγική μορφή τους, αφού αναφέρεται ότι ένα τρίγωνο με πλευρές ''a'', ''b'', και ''c'' έχει μία ορθή γωνία μεταξύ των ''a'' και ''b'' πλευρών όταν οι αριθμοί προέρχονται από πυθαγόρειες τριάδες. Τα ορθογώνια τρίγωνα εμφανίζουν πολλές πρακτικές εφαρμογές όπως στην [[τοπογραφία]], στην [[ξυλουργία]], στην [[τοιχοποιία]] και στις κατασκευές. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά είναι μια επέκταση αυτού του προβλήματος σε υψηλότερες δυνάμεις, δηλώνοντας ότι δεν υπάρχει λύση όταν ο εκθέτης 2 αντικαθίσταται από οποιοδήποτε μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό.

====Διοφαντικές εξισώσεις====
Η εξίσωση του Φερμά, ''x''<sup>''n''</sup> + ''y''<sup>''n''</sup> = ''z''<sup>''n''</sup> με θετικές ακέραιες λύσεις είναι ένα παράδειγμα [[Διοφαντική εξίσωση|διοφαντικής εξίσωσης]],<ref>Stark, pp. 145–146.</ref> η οποία χαρακτηρίστηκε με αυτή την ονομασία τον 3ο αιώνα από τον Αλεξανδρινό μαθηματικό [[Διόφαντος|Διόφαντο]], ο οποίος τις μελέτησε και κατόρθωσε να αναπτύξει τη μέθοδο εύρεσης λύσεων για κάποια είδη αυτών των εξισώσεων. Ένα τυπικό διοφαντικό πρόβλημα είναι να βρεθούν δύο ακέραιοι αριθμοί ''x'' και ''y'' έτσι ώστε το άθροισμά τους, και το άθροισμα των τετραγώνων τους, να ισούνται με δύο δοθέντες αριθμούς ''A'' και ''B'', αντίστοιχα:

:<math>A = x + y\ </math>
:<math>B = x^2 + y^2.\ </math>

Σημαντικό έργο του Διόφαντου είναι το ''[[Αριθμητικά]]'', εκ του οποίου μόνο ένα μέρος έχει επιβιώσει.<ref>Singh, pp. 50–51.</ref> Ο Φερμά εμπνεύστηκε την εικασία του τελευταίου θεωρήματός του διαβάζοντας μια νέα έκδοση του ''Αριθμητικά'',<ref>Stark, p. 145.</ref> η οποία μεταφράστηκε στα λατινικά και δημοσιεύτηκε το 1621 από τον [[Κλαούντ Μπακέτ]].<ref>Aczel, pp. 44–45; Singh, pp. 56–58.</ref>

Οι Διοφαντικές εξισώσεις μελετούνται εδώ και χιλιάδες χρόνια. Για παράδειγμα, οι λύσεις για την τετραγωνική διοφαντική εξίσωση ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = ''z''<sup>2</sup> δόθηκε από τις [[Πυθαγόρειες τριάδες]], στην πραγματικότητα λύθηκε από τους Βαβυλώνιους περίπου το 1800 π.Χ.<ref>Aczel, pp. 14–15.</ref> Λύσεις για τις γραμμικές Διοφαντικές εξισώσεις όπως η 26''x'' + 65''y'' = 13, μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον [[Αλγόριθμος του Ευκλείδη|αλγόριθμο του Ευκλείδη]] (5ος αιώνας π.Χ.).<ref>Stark, pp. 44–47.</ref> Πολλές διοφαντικές εξισώσεις έχουν παρόμοια μορφή με αυτήν των εξισώσεων του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά από την άποψη της Άλγεβρας, υπό την έννοια ότι δεν έχουν αντίστοιχους όρους με την ανάμειξη δύο γραμμάτων, χωρίς να μοιράζονται τις συγκεκριμένες ιδιότητες. Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι ''x'', ''y'', και ''z'' τέτοιοι ώστε ''x''<sup>''n''</sup> + ''y''<sup>''n''</sup> = ''z''<sup>''m''</sup> όπου ''n'' και ''m'' φυσικοί αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους.<ref group="note">Για παράδειγμα <math>\left((j^r+1)^s\right)^r + \left(j(j^r+1)^s)\right)^r = (j^r+1)^{rs+1}.</math></ref>

===Εικασία του Φερμά===
[[File:Diophantus-II-8.jpg|thumb|right|Πρόβλημα II.8 στην έκδοση του 1621 του "Αριθμητικά" του [[Διόφαντος|Διόφαντου]]. Στο δεξιό περιθώριο διατύπωσε ο Φερμά την εικασία του, ισχυριζόμενος ότι μπορεί να την αποδείξει.]]
Το Πρόβλημα II.8 του ''[[Αριθμητικά]]'', θέτει το ερώτημα για τον τρόπο με τον οποίο το τετράγωνο ενός δοσμένου αριθμού μπορεί να διαιρεθεί σε δύο άλλα τετράγωνα, με άλλα λόγια για έναν ρητό αριθμό ''k'', βρείτε τους ρητούς αριθμούς ''u'' και ''v'' ώστε ''k''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;''u''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''v''<sup>2</sup>. Ο Διόφαντος απέδειξε ότι η παραπάνω εξίσωση λύνεται όταν ο ''k''&nbsp;=&nbsp;4 (η λύση είναι ''u'' = 16/5 και ''v'' = 12/5).<ref>Friberg, pp. 333– 334.</ref>

Γύρω στο 1637, ο Φερμά έγραψε το τελευταίο του θεώρημα ως σημείωση στο "Αριθμητικά" δίπλα στο πρόβλημα του αθροίσματος των τετραγώνων του Διόφαντου.<ref>p. 731; Singh, pp. 60–62; Aczel, p. 9.</ref>

Δεν είναι γνωστό εάν ο Φερμά είχε βρει πραγματικά μια έγκυρη απόδειξη. Έχει επιβιώσει μόνο η απόδειξη του για την περίπτωση ''n''&nbsp;=&nbsp;4.<ref>Dickson, pp. 615–616; Aczel, p. 44.</ref> Ο Φερμά θέτει τις υποθέσεις των περιπτώσεων ''n''&nbsp;=&nbsp;4 και ''n''&nbsp;=&nbsp;3 ως προκλήσεις για τους μαθηματικούς ανταποκριτές του όπως ο [[Τέλειος αριθμός|Μαρίν Μερσέν]], ο [[Μπλεζ Πασκάλ]] και ο [[Τζον Γουάλις]].<ref>Ribenboim, pp. 13, 24.</ref> Ωστόσο, τα τελευταία τριάντα χρόνια της ζωής του, ο Φερμά δεν έγραψε ξανά για την "πραγματικά θαυμάσια" απόδειξή του στη γενική της περίπτωση.

Μετά τον θάνατο του Φερμά, ο γιος του Κλεμάντ-Σάμουελ Φερμά παρήγαγε μια νέα έκδοση του βιβλίου, το 1670, επαυξημένη με τα σχόλια του πατέρα του.<ref>Singh, pp. 62–66.</ref> Η σημείωση στο περιθώριο έγινε γνωστή ως ''τελευταίο θεώρημα του Φερμά''<ref name="Dickson, p. 731">Dickson, p. 731.</ref> αφού πρόκειται για το θεώρημα του Φερμά που αποδείχθηκε τελευταίο.<ref>Singh, p. 67; Aczel, p. 10.</ref>

===Οι αποδείξεις για συγκεκριμένους εκθέτες===
Μόνο μία μαθηματική απόδειξη από τον Φερμά έχει διασωθεί, σχετικη με το δύσκολο αυτό πρόβλημα: ότι η περιοχή ενός ορθογωνίου τριγώνου με ακέραιες πλευρές δεν μπορεί ποτέ να ισούται με τετράγωνο ακεραίου.<ref>{{cite web |last=Freeman |first=L. |year=2005 |title=Fermat's One Proof |url=http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-one-proof.html |accessdate=2009-05-23}}</ref> Η απόδειξη του είναι ισοδύναμη με την απόδειξη ότι η εξίσωση

:<math>x^4 - y^4 = z^2</math>

δεν έχει μη τετριμένες λύσεις στους ακέραιους αριθμούς. Η απόδειξή του χρησιμοποιεί την τεχνική της άπειρης καθόδου. Με τη σειρά του, αυτό αποδεικνύει το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για την περίπτωση ''n''=4, δεδομένου ότι η εξίσωση ''a''<sup>4</sup> + ''b''<sup>4</sup> = ''c''<sup>4</sup> μπορεί να γραφτεί ως ''c''<sup>4</sup> − ''b''<sup>4</sup> = (''a''<sup>2</sup>)<sup>2</sup>.

Εναλλακτικές αποδείξεις της υπόθεσης ''n''&nbsp;=&nbsp;4 αναπτύχθηκαν αργότερα από τους<ref>Ριμπενμπόιμ, pp. 15–24.</ref> [[Bernard Frénicle de Bessy|Frénicle de Bessy]] (1676),<ref>Frénicle de Bessy, ''Traité des Triangles Rectangles en Nombres'', vol. I, 1676, Paris. Reprinted in ''Mém. Acad. Roy. Sci.'', '''5''', 1666–1699 (1729).</ref> [[Λέοναρντ Όιλερ]] (1738),<ref name="Euler_1738">{{cite journal |last=Euler |first=Leonhard |year=1738 |title=Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes |journal=Comm. Acad. Sci. Petrop. |volume=10 |pages=125–146}}. Reprinted ''Opera omnia'', ser. I, "Commentationes Arithmeticae", vol. I, pp. 38–58, Leipzig:Teubner (1915).</ref> Κάσλερ (1802)<ref name="Kausler_1802" >{{cite journal |last=Kausler |first=C. F. |year=1802 |title=Nova demonstratio theorematis nec summam, nec differentiam duorum cuborum cubum esse posse |journal=Novi Acta Acad. Petrop. |volume=13 |pages=245–253}}</ref> [[Πήτερ Μπάρλοου (μαθηματικός)|Πήτερ Μπάρλοου]] (1811),<ref>{{cite book |last=Barlow |first=Peter |year=1811 |title=An Elementary Investigation of Theory of Numbers |url=https://archive.org/details/anelementaryinv00barlgoog |location=St. Paul's Church-Yard, London |publisher=J. Johnson |pages=[https://archive.org/details/anelementaryinv00barlgoog/page/n166 144]–145}}</ref> Αντριάν Μαρί Λαζάντρ (1830)<ref name="Legendre_1830" >{{cite book |last=Legendre |first=Adrien-Marie |year=1830 |title=Théorie des Nombres (Volume II) |edition=3η |publisher=Firmin Didot Frères |location=Paris}} Reprinted in 1955 by A. Blanchard (Paris).</ref> Schopis (1825),<ref>{{cite book | author = Schopis | year = 1825 | title = Einige Sätze aus der unbestimmten Analytik | publisher = Programm | location = Gummbinnen}}</ref> Τερκέμ (1846)<ref>{{cite journal |last=Terquem |first=O. |year=1846 |title=Théorèmes sur les puissances des nombres |journal=Nouv. Ann. Math. |volume=5 |pages=70–87}}</ref> [[Τζόζεφ Λουί Φρανσουά Μπερτράντ]] (1851) <ref>{{cite book |last=Bertrand |first=Joseph Louis François |year=1851 |title=Traité Élémentaire d'Algèbre |url=https://archive.org/details/bub_gb_0FSuyl077NwC |publisher=Hachette |location=Paris |pages=[https://archive.org/details/bub_gb_0FSuyl077NwC/page/n224 217]–230, 395}}</ref> [[Βίκτορ Λεμπέσγκ]] (1853, 1859, 1862),<ref>{{cite journal |last=Lebesgue |first=V.A. |year=1853 |title=Résolution des équations biquadratiques ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>4</sup> ± 2<sup>''m''</sup>''y''<sup>4</sup>, ''z''<sup>2</sup> = 2<sup>''m''</sup>''x''<sup>4</sup> − ''y''<sup>4</sup>, 2<sup>''m''</sup>''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>4</sup> ± ''y''<sup>4</sup> |journal=J. Math. Pures Appl. |volume=18 |pages=73–86}}</ref><ref>{{cite book |last=Lebesgue |first=V.A. |year=1859 |title=Exercices d'Analyse Numérique |publisher=Leiber et Faraguet |location=Paris |pages=83–84, 89}}</ref><ref>{{cite book |last=Lebesgue |first=V.A. |year=1862 |title=Introduction à la Théorie des Nombres |publisher=Mallet-Bachelier |location=Paris |pages=71–73}}</ref> Θεοφίλ Πεπίν (1883),<ref>{{cite journal |last=Pepin |first=T. |year=1883 |title=Étude sur l'équation indéterminée ''ax''<sup>4</sup> + ''by''<sup>4</sup> = ''cz''<sup>2</sup> |journal=Atti Accad. Naz. Lincei |volume=36 |pages=34–70}}</ref> Tafelmacher (1893),<ref>{{cite journal |last=Tafelmacher |first=W. L. A. | year = 1893 | title = Sobre la ecuación ''x''<sup>4</sup> + ''y''<sup>4</sup> = ''z''<sup>4</sup> | journal = Ann. Univ. Chile | volume = 84 | pages = 307–320}}</ref> [[Ντέιβιντ Χίλμπερτ]] (1897),<ref>{{cite journal |last=Hilbert |first=David |year=1897 |title=Die Theorie der algebraischen Zahlkörper |journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung |volume=4 |pages=175–546}} Reprinted in 1965 in ''Gesammelte Abhandlungen, vol. I'' by New York:Chelsea.</ref> Μπέντζ (1901),<ref>{{cite book |last=Bendz |first=T. R. |year=1901 |title=Öfver diophantiska ekvationen ''x''<sup>''n''</sup> + ''y''<sup>''n''</sup> = ''z''<sup>''n''</sup> |publisher=Almqvist & Wiksells Boktrycken |location=Uppsala}}</ref> Gambioli (1901),<ref name="Gambioli_1901" >{{cite journal |last=Gambioli |first=D. |year=1901 |title=Memoria bibliographica sull'ultimo teorema di Fermat |journal=Period. Mat. |volume=16 |pages=145–192}}</ref> [[Λέοπολντ Κρόνεκερ]] (1901),<ref>{{cite book |last=Kronecker |first=Leopold |year=1901 |title=Vorlesungen über Zahlentheorie, vol. I |publisher=Teubner |location=Leipzig |pages=35–38}} Reprinted by New York: Springer-Verlag in 1978.</ref> Μπάνγκ (1905),<ref>{{cite journal |last=Bang |first=A. |year=1905 |title=Nyt Bevis for at Ligningen ''x''<sup>4</sup> − ''y''<sup>4</sup> = ''z''<sup>4</sup>, ikke kan have rationale Løsinger |journal= Nyt Tidsskrift Mat. |volume=16B |pages=35–36}}</ref> Σόμμερ (1907),<ref>{{cite book |last=Sommer |first=J. |year=1907 |title=Vorlesungen über Zahlentheorie |url=https://archive.org/details/vorlesungenberz00sommgoog |publisher=Teubner |location=Leipzig}}</ref> Μποτάρρι (1908),<ref>{{cite journal |last=Bottari |first=A. |year=1908 |title=Soluzione intere dell'equazione pitagorica e applicazione alla dimostrazione di alcune teoremi dellla teoria dei numeri | journal = Period. Mat. | volume = 23 | pages = 104–110}}</ref>
[[Κάρελ Ρίκλικ]] (1910),<ref name="Rychlik_1910">{{cite journal |last=Rychlik |first=K. | year = 1910 | title = On Fermat's last theorem for ''n''&nbsp;=&nbsp;4 and ''n''&nbsp;=&nbsp;3 (in Bohemian) | journal = Časopis Pěst. Mat. | volume = 39 | pages = 65–86}}</ref> Νατζορν (1912),<ref>{{cite journal |last=Nutzhorn |first=F. | year = 1912 | title = Den ubestemte Ligning ''x''<sup>4</sup> + ''y''<sup>4</sup> = ''z''<sup>4</sup> | journal = Nyt Tidsskrift Mat. | volume = 23B | pages = 33–38}}</ref> [[Ρόμπερτ Κάρμιχαλ]] (1913),<ref>{{cite journal |last=Carmichael |first=Robert Daniel | year = 1913 | title = On the impossibility of certain Diophantine equations and systems of equations |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1913-09_20_7/page/213 | journal = Amer. Math. Monthly | volume = 20 | pages = 213–221 | doi = 10.2307/2974106 | issue = 7 | publisher = Mathematical Association of America | jstor = 2974106}}</ref> Χάνκονκ (1931),<ref>{{cite book |last=Hancock |first=H. | year = 1931 | title = Foundations of the Theory of Algebraic Numbers, vol. I | publisher = Macmillan | location = New York}}</ref> και Βράνκο (1966).<ref>{{cite journal |last=Vrǎnceanu |first=G. | year = 1966 | title = Asupra teorema lui Fermat pentru ''n''=4 | journal = Gaz. Mat. Ser. A | volume = 71 | pages = 334–335}} Reprinted in 1977 in ''Opera matematica'', vol. 4, pp. 202–205, Bucureşti: Edit. Acad. Rep. Soc. Romana.</ref>

Για την απόδειξη της γενικής περίπτωσης, αρκεί να εξεταστούν οι υποπεριπτώσεις ''n'' = 4 και ''n'' περιττός πρώτος.<ref>Ribenboim, pp. 1–2.</ref> Αυτό συμβαίνει γιατί αν ο ''n'' διαιρείται από τον ''e'', τότε ''n'' = ''ed'' για κάποιο ''d'' και η εξίσωση

: ''a''<sup>''n''</sup> + ''b''<sup>''n''</sup> = ''c''<sup>''n''</sup>

είναι ισοδύναμη με την εξίσωση

: (''a''<sup>''d''</sup>)<sup>''e''</sup> + (''b''<sup>''d''</sup>)<sup>''e''</sup> = (''c''<sup>''d''</sup>)<sup>''e''</sup>.

Από εδώ φαίνεται ότι αν η εξίσωση δεν έχει λύση για κάποιο διαιρέτη ''e'' του ''n'', τότε δεν έχει λύση ούτε για το ''n'': μια λύση (''a'', ''b'', ''c'') για εκθέτη ''n'' δίνει τη λύση (''a<sup>d</sup>'', ''b<sup>d</sup>'', ''c<sup>d</sup>'') για εκθέτη ''e''. Για ''n'' &gt; 2, το ''n'' διαιρείται από το 4, το οποίο αποδείχθηκε από τον Φερμά, ή από κάποιον περιττό πρώτο αριθμό, στο οποίο επικεντρώθηκε η μελέτη των μεταγενέστερων μαθηματικών.

====Σοφί Ζερμαίν====
Στις αρχές του 19ου αιώνα, η [[Σοφί Ζερμαίν]] ανέπτυξε διάφορες νέες προσεγγίσεις για να αποδείξει το "Τελευταίο θεώρημα του Φερμά" για όλους εκθέτες.<ref name="Laubenbacher_2007" >{{cite web |last1=Laubenbacher |first1=R. |last2=Pengelley |first2=D. |year=2007 |title=Voici ce que j'ai trouvé: Sophie Germain's grand plan to prove Fermat's Last Theorem |url=http://www.math.nmsu.edu/%7Edavidp/germain.pdf |accessdate=2009-05-19 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130405163013/http://www.math.nmsu.edu/%7Edavidp/germain.pdf |archivedate=2013-04-05 |url-status=dead }}</ref> Πρώτα, όρισε ένα σύνολο βοηθητικών πρώτων θ τους οποίους κατασκεύασε από τον πρώτο εκθέτη ''p'' από την εξίσωση θ&nbsp;=&nbsp;2''hp''+1, όπου ''h'' είναι οποιοσδήποτε ακέραιος που δεν διαιρείται με το τρία. Έδειξε ότι, αν ένας μη ακέραιος ''p'' υψωθεί στην ''p''-οστή δύναμη προκύπτει υπόλοιπο θ, τότε το θ πρέπει να διαιρεί το γινόμενο ''xyz''. Στόχος της ήταν να χρησιμοποιήσει τη [[μαθηματική επαγωγή]] για να αποδείξει ότι, για κάθε δεδομένο ''p'', απείρως πολλοί βοηθητικοί πρώτοι θ ικανοποιούν την κατάσταση της μη συνέχειας και διαιρούν το γινόμενο ''xyz'', δεδομένου ότι το γινόμενο ''xyz'' μπορεί να έχει το πολύ ένα πεπερασμένο αριθμό πρώτων παραγόντων, μια τέτοια απόδειξη θα μπορούσε να είχε καθιερώσει το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Αν και ανέπτυξε πολλές τεχνικές για τον καθορισμό της κατάστασης της μη συνέχειας, δεν πέτυχε τον στρατηγικό στόχο της. Εργάστηκε επίσης ώστε να καθιερωθούν χαμηλότερα όρια για το μέγεθος των λύσεων της εξίσωσης του Φερμά για έναν δεδομένο εκθέτη ''p'', μια τροποποιημένη έκδοση του οποίου δόθηκε στη δημοσιότητα από την [[Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ]]. Ως πόρισμα αυτής της τελευταίας εργασίας, απέδειξε το θεώρημα της [[Σοφί Ζερμαίν]], η οποία επιβεβαίωσε την πρώτη περίπτωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά (δηλαδή, στην περίπτωση κατά την οποία το ''p'' δεν διαιρεί το ''xyz'') για κάθε περιττό πρώτο εκθέτη λιγότερο από 100.<ref name="Laubenbacher_2007" /><ref>Aczel, p. 57.</ref> Η Ζερμαίν προσπάθησε ανεπιτυχώς να αποδείξει την πρώτη περίπτωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά για όλους τους εκθέτες, ειδικά για ''n''&nbsp;=&nbsp;2''p'' το οποίο αποδείχθηκε από τον [[Γκάι Τερζανιάν]] το 1977.<ref>{{cite journal |last=Terjanian |first=G. |year=1977 |title=Sur l'équation ''x''<sup>2''p''</sup> + ''y''<sup>2''p''</sup> = ''z''<sup>2''p''</sup> |journal=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série a et B |volume=285 |pages=973–975}}</ref> Το 1985, ο [[Λεονάρντ Άντμαν]], ο [[Ρότζερ Χεθ-Μράουν]] και ο [[Έτιεν Φουβριέ]] απέδειξαν ότι η πρώτη περίπτωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά ισχύει για απείρως πολλούς περιττούς πρώτους ''p''.<ref>{{cite journal |last1=Adleman |first1=L. M. |last2=Heath-Brown |first=D. R. |year=1985 |month=June |title=The first case of Fermat's last theorem |journal=Inventiones Mathematicae |volume=79 |issue=2 |pages=409–416 |publisher=Springer |location=Berlin |doi=10.1007/BF01388981}}</ref>

==== Ο Ερνστ Κούμμερ και η θεωρία των ιδανικών====
Το 1847, ο [[Γκάμπριελ Λαμέ]] παρουσίασε μια απόδειξη για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά βασισμένη στους παράγοντες της εξίσωσης ''x''<sup>''p''</sup> + ''y''<sup>''p''</sup> = ''z''<sup>''p''</sup> οι οποίοι ανήκουν στους [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικούς αριθμούς]], και συγκεκριμένα το [[κυκλοτομικό πεδίο]] με βάση τις ρίζες του αριθμού 1. Ωστόσο, η απόδειξή του απέτυχε, επειδή θεώρησε εσφαλμένα ότι τέτοιοι πολύπλοκοι αριθμοί μπορούν να συνυπολογιστούν μοναδικά, παρόμοια με ακέραιους αριθμούς. Το κενό αυτό επισημάνθηκε αμέσως από τον [[Ζοζέφ Λουιβίλ]], ο οποίος διάβάσε αργότερα μια εργασία που έδειχνε αυτή την αποτυχία της μοναδικής παραγοντοποίησης, που γράφτηκε από τον [[Ερνστ Κούμμερ]]. Ο Κούμμερ όρισε στο δικό του έργο το κατά πόσον το κυκλοτομικό πεδίο θα μπορούσε να γενικευθεί συμπεριλαμβάνοντας νέους πρώτους αριθμούς, έτσι ώστε η μοναδική παραγοντοποίησης αποκαταστάθηκε. Πέτυχε στο έργο αυτό από την ανάπτυξη των ιδανικών αριθμών. Χρησιμοποιώντας τη γενική προσέγγιση που περιγράφεται από τον Λαμέ, ο Κούμμερ απέδειξε και τις δύο υποθέσεις του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά για όλους τους κανονικούς [[Πρώτοι αριθμοί|πρώτους αριθμούς]]. Ωστόσο, δεν μπορούσε να αποδείξει το θεώρημα για τους μη κανονικούς πρώτους αριθμούς που συμβαίνουν περίπου στο 39% τη φορά, οι μόνοι μη κανονικοί κάτω από 100 είναι 37, 59 και 67.

====Εικασία του Μόρντελ====
Στη δεκαετία του 1920, ο [[Λουί Μόρντελ]] θέτει μια εικασία που συνεπάγεται ότι η εξίσωση του Φερμά έχει το πολύ έναν πεπερασμένο αριθμό μη τετριμμένων πρώτων ακέραιων λύσεων, αν ο εκθέτης ''n'' είναι μεγαλύτερο από δύο.<ref>Aczel, pp. 84–88; Singh, pp. 232–234.</ref> Αυτή η υπόθεση αποδείχθηκε το 1983 από τον [[Ζερ Φόλτινγκ]],<ref>{{cite journal |last=Faltings |first=Gerd |year=1983 |title=Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern |url=https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_1983-09_73_3/page/349 |journal=Inventiones Mathematicae |volume=73 |issue=3 |pages=349–366 |doi=10.1007/BF01388432}}</ref> και σήμερα είναι γνωστή ως [[θεώρημα Faltings]].

====Υπολογιστικές μελέτες====

Στο δεύτερο μισό του 20ου αιώνα, οι υπολογιστικές μέθοδοι που είχαν χρησιμοποιήθηκαν για την επέκταση της προσέγγισης του Κούμμερ για τους μη κανονικούς πρώτους αριθμούς. Το 1954, ο [[Χάρι Βανντιβερ]] χρησιμοποίησε ένα [[SWAC (υπολογιστή)|SWAC υπολογιστή]] για να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για όλους τους πρώτους μέχρι τον 2521.<ref>{{cite book | author = [[Paulo Ribenboim|Ribenboim P]] | year = 1979 | title = 13 Lectures on Fermat's Last Theorem | publisher = Springer Verlag | location = New York | isbn = 978-0-387-90432-0 | page = 202}}</ref> Μέχρι το 1978, ο [[Σαμουήλ Σ. Γαγκστραφ, ο νεώτερος|Samuel Wagstaff]] το είχε επεκτείνει σε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από το 125.000.<ref>{{cite journal | author = [[Samuel S. Wagstaff, Jr.|Wagstaff SS, Jr.]] | year = 1978 | title = The irregular primes to 125000 | url = https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1978-04_32_142/page/583 | journal = Math. Comp. | volume = 32 | pages = 583–591 | doi = 10.2307/2006167 | issue = 142 | publisher = American Mathematical Society | jstor = 2006167}} [http://www.ams.org/journals/mcom/1978-32-142/S0025-5718-1978-0491465-4/S0025-5718-1978-0491465-4.pdf (PDF)]</ref> Μέχρι το 1993, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά είχε αποδειχθεί για όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από τέσσερα εκατομμύρια <ref>{{cite journal | author = Buhler J, Crandell R, Ernvall R, Metsänkylä T | year = 1993 | title = Irregular primes and cyclotomic invariants to four million | url = https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1993-07_61_203/page/151 | journal = Math. Comp. | volume = 61 | pages = 151–153 | doi = 10.2307/2152942 | issue = 203 | publisher = American Mathematical Society | jstor = 2152942}}</ref>

Ωστόσο, παρά τις προσπάθειες αυτές και τα αποτελέσματά τους, δεν υπήρχε απόδειξη για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Οι αποδείξεις των μεμονωμένων εκθετών από τη φύση τους δεν θα μπορούσε να ισχύει γενικά ακόμα και αν όλοι οι εκθέτες είχαν ελεγχθεί μέχρι και σε ένα εξαιρετικά μεγάλο αριθμό Χ, μπορεί να υπάρχει ένας εκθέτης μεγαλύτερος του X, για τον οποίο ο ισχυρισμός να μην ισχύει (Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο κάποιες προηγούμενες εικασίες δεν είχαν γίνει αποδεκτές και συνεπώς δεν θα μπορούσε να αναιρεθεί για αυτή την εικασία)

===Σύνδεση με ελλειπτικές καμπύλες===

Η στρατηγική που τελικά οδήγησε σε μια επιτυχή απόδειξη του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά προέκυψε από την "εκπληκτική" <ref name="Singh">[Fermat's Last Theorem, Simon Singh, 1997, ISBN 1-85702-521-0</ref> {{rp | 211}} [[Modular forms|εικασία των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Γουέιλ]], που προτάθηκε περίπου το 1955, και πολλοί μαθηματικοί πίστευαν ότι ήταν σχεδόν αδύνατο να αποδειχθεί,<ref name="Singh" /> {{rp | 223 }} και η οποία συνδέθηκε στη δεκαετία του 1980 από τον [[Ζέραρντ Φρέι]] και τον [[Κεν Ρίμπετ]] με την εξίσωση του Φερμά. Με τη μερική εκπλήρωση απόδειξη αυτής της εικασίας το 1995, ο [[Άντριου Γουάιλς]] τελικά κατόρθωσε να αποδείξει το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά, ανοίγοντας τον δρόμο για μια πλήρη απόδειξη από τους άλλους για αυτό που είναι σήμερα το θεώρημα των [[modular form]]s.

==== Η εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ ====

Περίπου το 1955, οι [[Ιάπωνες]] μαθηματικοί [[Γκόρο Σιμούρα]] και [[Γουτάκα Τανιγιάμα]] παρατήρησαν μια πιθανή σύνδεση μεταξύ δύο φαινομενικά εντελώς ξεχωριστών, υποκατηγοριών των μαθηματικών, της [[Ελλειπτική καμπύλη|ελλειπτικής καμπύλης]] και της [[μιγαδικής μορφής]]. Το αποτέλεσμα ήταν η δημιουργία του [[θεωρήματος modular forms]] (παλαιότερα ήταν γνωστό ως η εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα) το θεώρημα αυτό διατυπώνει ότι κάθε ελλειπτική καμπύλη σχετίζεται με τα [[modular forms]], που σημαίνει ότι μπορεί να συνδέεται με μια μοναδική [[μιγαδική μορφή]]. Αρχικά είχε απορριφθεί ως απίθανο ή πολύ υποθετικό, και είχε επανεξεταστεί όταν ο μαθηματικός [[Αντρέ Βέιλ]] βρήκε αποδεικτικά στοιχεία που το υποστηρίζουν, αλλά όχι την απόδειξη, με αποτέλεσμα η "εκπληκτική" <ref name="Singh" /> {{rp | 211}} εικασία έγινε κυρίως γνωστή ως η εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ. Και έγινε ένα μέρος του [[προγράμματος Λάνγκλαντ]], το οποίο είναι μια λίστα με σημαντικές εικασίες που χρειάζονται απόδειξη ή διάψευση <ref name="Singh" /> {{rp | 211-215}}.

Ακόμα και μετά την απόκτηση σοβαρή προσοχή, η εικασία θεωρήθηκε από τους σύγχρονους μαθηματικούς ως εξαιρετικά δύσκολο ή ίσως αδύνατο να αποδειχτεί.<ref name="Singh" />{{rp|203-205, 223, 226}}Για παράδειγμα, Γουάιλς «ex -επόπτη [[Τζον Χ. Κόατσε]] δηλώνει ότι φαινόταν «πραγματικά αδύνατο να αποδειχθεί»,<ref name="Singh" />{{rp|226}} και ο Κεν Ρίμπετ θεωρούσε τον εαυτό του «ένα από τα άτομα της τεράστιας πλειοψηφίας των ανθρώπων που πίστευαν ότι ήταν εντελώς απρόσιτα ", προσθέτοντας ότι ο Άντριου Γουάιλς ήταν ίσως ένας από τους λίγους ανθρώπους στη γη που είχαν το θράσος να ονειρεύονται ότι μπορεί πραγματικά να αποδειχθεί."&nbsp;<ref name="Singh" />{{rp|223}}

====Η καμπύλη του Φρέι/Θεώρημα Ρίμπετ====

Το 1984, ο [[Γκέρχαρντ Φρέι]] παρατήρησε μια σύνδεση μεταξύ της εξίσωσης Φερμά και του θεωρήματος της αντιστοίχισης των [[ρητός αριθμός|ρητών]] [[ελλειπτική καμπύλη|ελλειπτικών καμπυλών]] σε modular forms, το οποίο τότε ήταν γνωστό ως εικασία των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ. Το επιχείρημά του ήταν ότι αν

:α) n &ge; 5
:β) ''a''<sup>''n''</sup> + ''b''<sup>''n''</sup> = ''c''<sup>''n''</sup>
:γ) οι ''a'', ''b'', ''c'' είναι μη μηδενικοί ακέραιοι, [[σχετικά πρώτοι]] μεταξύ τους
:δ) ο ''b'' είναι ζυγός και ο ''a'' = 3 (mod 4)

τότε η ρητή ελλειπτική καμπύλη (καμπύλη Φρέι)

:''y''<sup>2</sup> = ''x''&nbsp;(''x''&nbsp;−&nbsp;''a''<sup>''n''</sup>)(''x''&nbsp;+&nbsp;''b''<sup>''n''</sup>)

έχει πολύ ασυνήθιστες ιδιότητες οι οποίες καθιστούν απίθανη την αντιστοίχησή της σε modular form.<ref>{{cite journal | author = [[Gerhard Frey|Frey G]] | year = 1986 |title = Links between stable elliptic curves and certain diophantine equations | journal = Ann. Univ. Sarav. Ser. Math. | volume = 1 | pages = 1–40}}</ref><ref name="ribet90">{{cite journal|last=Ribet|first=Ken|authorlink=Ken Ribet|title=On modular representations of Gal({{overline|'''Q'''}}/'''Q''') arising from modular forms|journal=Inventiones mathematicae|volume=100|year=1990|issue=2|pages=431–476|doi=10.1007/BF01231195|mr=1047143|url=http://math.berkeley.edu/~ribet/Articles/invent_100.pdf|format=PDF}}</ref> Καθώς οι 4 συνθήκες ορίζουν μια μη-τετριμμένη στοιχειώδη λύση της εξίσωσης του Φερμά για n &ge; 5, ο Φρέι παρατήρησε ότι η απόδειξη της εικασίας των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ μπορεί να έχει ως άμεσο αποτέλεσμα την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά.<ref>Singh, pp. 194–198; Aczel, pp. 109–114.</ref> Οι περιπτώσεις για n = 3, 4 είχαν ήδη αποδειχθεί από τον Όυλερ και τον Φερμά.

Ακολουθώντας αυτή τη στρατηγική, μια απόδειξη για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά απαιτούσε δύο βήματα. Πρώτον, να αποδειχθεί η παραπάνω υποψία του Φρέι για τη συγκεκριμένη κατηγορία ελλειπτικών καμπυλών. Δεύτερον, να αποδειχθεί η εικασία των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ, αν όχι για όλες τις ελλιπτικές καμπύλες, τουλάχιστον για την οικογένεια των ημισταθών καμπυλών στην οποία ανήκουν οι καμπύλες Φρέι. Ο Φρέι δεν κατόρθωσε να διατυπώσει μια αυστηρή απόδειξη, το κομμάτι που έλειπε εντοπίσθηκε από τον [[Ζαν Πιέρ Σερ]]<!-- δες την εισαγωγή της δημοσίευσης του Ρίμπετ--> για να αποδειχθεί τελικά το 1986 από τον [[Κεν Ρίμπετ]].<ref name="ribet90"/> Απέμενε λοιπόν η απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ, την οποία οι μαθηματικοί της εποχής θεωρούσαν απρόσιτη.<ref name="Singh" />{{rp|203-205, 223, 226}}

* Το θεώρημα του Ρίμπετ- αποδείχθηκε το 1986- έδειξε ότι αν μια λύση από την εξίσωση του Φερμά υπάρχει, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία μιας ρητής ελλειπτικής καμπύλης που δεν έχει modular form
* Το θεώρημα των modular forms σύμφωνα με το οποίο όλες τις ρητές ελλειπτικές καμπύλες, ή τουλάχιστον ένα υποσύνολο αυτών που περιέχει τις καμπύλες Φρέι, έχουν modular form.
* Η αντίφαση σημαίνει ότι δεν μπορούν να υπάρχουν λύσεις για την εξίσωση του Φερμά, αποδεικνύοντας έτσι το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά.

==== Γενική απόδειξη του Γουάιλς ====

Η απόδειξη του Ρίμπετ [[έψιλον εικασία]] το 1986 πραγματοποίησε τον πρώτο από τους δύο στόχους που προτείνει ο Φρέι. Κατόπιν της επιτυχίας του Ρίμπετ, ο [[Άντριου Γουάιλς]], ένας Άγγλος μαθηματικός που είχε γοητευτεί από την παιδική ηλικία με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, και με προγενέστερη μελέτη στον χώρο των ελλειπτικών εξισώσεων, αποφάσισε να δεσμευτεί με την επίτευξη του δεύτερου στόχου: να αποδειχθεί μια ειδική περίπτωσή της, το [[θεώρημα των modular forms]] (τότε γνωστή ως η εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα) για ημισταθερές ελλειπτικές καμπύλες.<ref>Singh, p. 205; Aczel, pp. 117–118.</ref>

Ο Γουάιλς εργάστηκε σε αυτό το έργο για έξι χρόνια με σχεδόν απόλυτη μυστικότητα, κάλυπτε μέχρι και τις προσπάθειές του με την εμφάνιση προηγούμενων εργασιών σε μικρά τμήματα ως ξεχωριστές εργασίες και εμπιστευτικά μόνο στη σύζυγό του.<ref name="Singh" />{{rp|229-230}} Αρχική του μελέτη πρότεινε μια [[μαθηματική απόδειξη|απόδειξη]] με [[μαθηματική επαγωγή|επαγωγή]],<ref name="Singh" />{{rp|230-232, 249-252}} και βασίστηκε στην αρχική εργασία του και την πρώτη σημαντική ανακάλυψη σχετικά με τη [[Θεωρία Γκαλουά|θεωρία του Γκαλουά]]<ref name="Singh" />{{rp|251-253, 259}} πριν από την προσπάθεια να επεκτείνει την [[θεωρία Ιγασάγα|Οριζόντια θεωρία του Ιγασάγα]] για την επαγωγή το 1990-1991, όταν φάνηκε ότι δεν υπήρχε επαρκής υπάρχουσα προσέγγιση στο πρόβλημα.<ref name="Singh" />{{rp|258-259}} Ωστόσο, το καλοκαίρι του 1991, η θεωρία του Ιγασάνα, επίσης, φάνηκε να μην επαρκεί για την επίλυση των κεντρικών ζητημάτων του προβλήματος.<ref name="Singh" />{{rp|259-260}}<ref>Singh, pp. 237–238; Aczel, pp. 121–122.</ref> Κατόπιν, πλησίασε τους συναδέλφους του για να αναζητήσει τυχόν υποδείξεις από έρευνα αιχμής και τις νέες τεχνικές, και ανακάλυψε το [[σύστημα του Όιλερ]] που πρόσφατα είχε αναπτύχθηκε από τον [[Βίκτορ Καλιβάγκην]] και τον [[Ματίας Φλατς (μαθηματικός)|Ματίας Φλατς]], η οποία φαινόταν ιδανική για το επαγωγικό μέρος της απόδειξης του.<ref name="Singh" />{{rp|260-261}} Ο Γουάιλς μελέτησε και επέκτεινε αυτή την προσέγγιση, στην οποία και εργάστηκε. Δεδομένου ότι το έργο του στηρίχθηκε στη συγκεκριμένη μέθοδο προσέγγισης σε μεγάλο βαθμό, αλλά οι προσεγγίσεις ήταν καινούργιες για τον Γουάιλς, ο ίδιος τον Ιανουάριο του 1993 ζήτησε από τον συνάδελφό του στο Πρίνστον [[Νικ Κατζ]] να ελέγξει τον συλλογισμό του για λάθη. Το συμπέρασμά τους την εποχή εκείνη ήταν ότι οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται από τον Γουάιλς φάνηκε να λειτουργούν σωστά.<ref name="Singh" />{{rp|261-265}}<ref>Singh, pp. 239–243; Aczel, pp. 122–125.</ref>

Μέχρι τα μέσα του Μάη του 1993 ο Γουάιλς αισθάνθηκε έτοιμος να πει στη γυναίκα του ότι νόμιζε πως είχε την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά,<ref name="Singh" />{{rp|265}} και τον Ιούνιο ένιωθε αρκετά σίγουρος για να παρουσιάσει τα αποτελέσματά του σε τρεις διαλέξεις που πραγματοποιήθηκαν στις 21 - 23 Ιουν. 1993 στο [[Ινστιτούτο Μαθηματικών Επιστημών Ισαάκ Νεύτων]].<ref>Singh, pp. 244–253; Aczel, pp. 1–4, 126–128.</ref> Συγκεκριμένα, ο Γουάιλς παρουσίασε την απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμα-Σιμούρα για ημισταθερές ελλειπτικές καμπύλες, καθώς και την απόδειξη της έψιλον εικασίας του Ρίμπετ, αυτό συνεπαγόταν την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Ωστόσο, κατέστη σαφές κατά τη διάρκεια της αξιολόγησης ότι ένα κρίσιμο σημείο στην απόδειξη ήταν εσφαλμένο. Περιείχε ένα λάθος σε ένα όριο της τάξης του συγκεκριμένου. Το σφάλμα απασχόλησε πολλούς μαθηματικούς και τη διαιτησία των χειρόγραφων ανέλαβε μια ομάδα μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένου του Κατζ (στον ρόλο του ως κριτής),<ref>Aczel, pp. 128–130.</ref> ο οποίος ειδοποίησε τον Γουάιλς στις 23 Αυγούστου 1993.<ref>Singh, p. 257.</ref>

===Μεταγενέστερες εξελίξεις===
Η πλήρης Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ εικασία τελικά αποδεικνύεται από τους Ντάιαμοντ (1996), Κόνραντ & Ντάιαμοντ & Τέιλορ (1999), και Μπρουέλ & Κόνραντ & Ντάιμοντ & Τέιλορ (2001), οι οποίοι με βάση τις εργασίες του Γουάιλς, διαχώρισαν σταδιακά και επεκτάθηκαν στις υπόλοιπες περιπτώσεις μέχρι να αποδειχθεί πλήρως. Η πλήρως αποδεδειγμένη εικασία έγινε γνωστή ως θεώρημα των ''modular forms''. Πολλά άλλα θεωρήματα στη θεωρία αριθμών, που είναι παρόμοια με το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά, προκύπτουν επίσης με την ίδια λογική, χρησιμοποιώντας το θεώρημα των ''modular forms''. Για παράδειγμα, κανένας κύβος δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο διαφορετικών ''n''-οστών δυνάμεων, όπου ''n''&nbsp;≥&nbsp;3. (Η περίπτωση ''n'' = 3 ήταν ήδη γνωστή από τον [[Λέοναρντ Όιλερ|Όιλερ]])

==Εκθέτες εκτός θετικών ακεραίων==

===Ρητοί εκθέτες===

Όλες οι λύσεις της Διοφαντικής εξίσωσης <math>a^{n/m} + b^{n/m} = c^{n/m}</math> με ''n''=1 που υπολογίστηκαν από τον Λένστρα το 1992.<ref>[[Hendrik Lenstra|Lenstra, Jr. H.W.]] (1992). ''On the inverse Fermat equation.'' Discrete Mathematics, '''106-107''', pp. 329-331.</ref> Στην περίπτωση κατά την οποία το ''m''<sup>th</sup> οι ρίζες πρέπει να είναι πραγματικές και θετικές και όλες δίνονται από <ref>Newton, M., "A radical diophantine equation", ''[[Journal of Number Theory]]'' 13 (1981), 495-498.</ref>

:<math>a=rs^m</math>
:<math>b=rt^m</math>
:<math>c=r(s+t)^m</math>

για θετικούς ακέραιους ''r, s, t'' με ''s'' και ''t'' πρώτους μεταξύ τους.

Το 2004 για ''n''>2, οι Μπένετ, Γλάς Σζεκέλυ απέδειξαν ότι αν ο ΜΚΔ(''n'',''m'')=1 τότε υπάρχουν ακέραιες λύσεις [[αν και μόνο αν]] το 6 διαιρεί ''m'', και <math>a^{1/m}</math>, <math>b^{1/m},</math> και <math>c^{1/m}</math> είναι διαφορετικής 6ης πολυπλοκότητας ρίζες για τον ίδιο πραγματικό αριθμό.<ref>Bennett, Curt D., Glass, Andrew M.W., and [[Gábor J. Székely|Székely, Gábor J.]] (2004). ''Fermat’s last theorem for rational exponents.'' The American Mathematical Monthly, '''111''', no. 4, pp. 322-329.</ref>

===Αρνητικοί εκθέτες===

====''n'' =&nbsp;–1====

Όλοι οι συντελεστές τις εξίσωσης <math>a^{-1}+b^{-1}=c^{-1}</math> μπορούν να δοθούν με τις μορφές<ref>Dickson, pp. 688-691</ref> :

:<math>a=mn+m^2,</math>
:<math>b=mn+n^2,</math>
:<math>c=mn</math>

για θετικούς, πρώτους μεταξύ τους, ακεραίους m, n.

====''n'' =&nbsp;–2====

Στην περίπτωση ''n'' =&nbsp;–2 αντιστοιχεί σε μια απειρία λύσεων, και αυτή έχει μια γεωμετρική ερμηνεία όσον αφορά το ορθογώνιο τρίγωνο με ακέραιες πλευρές και ακέραιο το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα<ref>Voles, Roger, "Integer solutions of <math>a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}</math>," ''[[Mathematical Gazette]]'' 83, July 1999, 269–271.</ref><ref>Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," ''Mathematical Gazette'' 92, July 2008, 313–317.</ref> Το σύνολο των λύσεων μπορεί να δοθεί από τις εξισώσεις

:<math>a=(v^2-u^2)(v^2+u^2), \,</math>
:<math>b=2uv(v^2+u^2), \,</math>
:<math>d=2uv(v^2-u^2), \,</math>

για ξένους ακέραιους ''u'', ''v'' με ''v''&nbsp;>&nbsp;''u''. Η γεωμετρική ερμηνεία είναι ότι οι ''a'' και ''b'' είναι οι ακέραιες κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου και ''d'' είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Με τα δεδομένα αυτά η υποτείνουσα είναι ο ακέραιος

:<math>c=(v^2+u^2)^2, \,</math>

και η (a,b,c) είναι μία [[Πυθαγόρεια τριάδα]].

====Ακέραιος ''n'' <&nbsp;–2====

Δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις για την εξίσωση <math>a^n+b^n=c^n</math> για ακέραιους ''n'' <&nbsp;–2. Αν υπήρχαν, τότε η εξίσωση θα μπορούσε να πολλαπλασιαστεί με τους <math>a^{|n|}b^{|n|}c^{|n|}</math> και τροποποιείται σε <math>(bc)^{|n|}+(ac)^{|n|}=(ab)^{|n|}</math>, το οποίο είναι αδύνατο σύμφωνα με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά.

==Μήπως ο Φερμά είχε μια γενική απόδειξη;==

Οι μαθηματικές τεχνικές που χρησιμοποιούσε ο Φερμά για τη "θαυμάσια" απόδειξη είναι άγνωστες. Μόνο μία λεπτομερής απόδειξη του Φερμά έχει διασωθεί, από την παράπανω απόδειξη ότι δεν υπάρχουν τρεις πρώτοι μεταξύ τους ακέραιοι (''x'', ''y'', ''z'') που να ικανοποιούν την εξίσωση ''x''<sup>4</sup> − ''y''<sup>4</sup> = ''z''<sup>2</sup>.

Η απόδειξη Τέιλορ και Γουάιλς στηρίζεται σε μαθηματικές τεχνικές που αναπτύχθηκαν τον 20ο αιώνα, που θα ήταν άγνωστες για τους μαθηματικούς που είχαν εργαστεί πάνω στο τελευταίο θεώρημα του Φερμά, ακόμη και έναν αιώνα νωρίτερα. 
Η υποτιθέμενη «θαυμάσια απόδειξη του "Φερμά", θα έπρεπε να είναι στοιχειώδης, λόγω της μαθηματικής γνώσης της εποχής, και έτσι δεν θα μπορούσε να ήταν η ίδια με την απόδειξη του Γουάιλς. Οι περισσότεροι μαθηματικοί και ιστορικοί αμφιβάλλουν ότι Φερμά είχε μια έγκυρη απόδειξη του θεωρήματός του για όλους τους εκθέτες ''n''.

==Χρηματικά βραβεία==

Το 1816 και ξανά το 1850, η [[Γαλλική Ακαδημία των Επιστημών]] αθλοθέτησε ένα βραβείο για μια γενική απόδειξη του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά.<ref>Aczel, p. 69; Singh, p. 105.</ref> Το 1857, η Ακαδημία έδωσε 3000 φράγκα και ένα χρυσό μετάλλιο στον Κούμμερ για την έρευνά του σχετικά με τους ιδανικούς αριθμούς, παρόλο που ο ίδιος δεν είχε υποβάλει δήλωση για το βραβείο.<ref>Aczel, p. 69.</ref> Άλλο βραβείο αθλοθετήθηκε από την Ακαδημία των Βρυξελλών το 1883.<ref name="Koshy_2001" >{{cite book | author = Koshy T | year = 2001 | title = Elementary number theory with applications | publisher = Academic Press | location = New York | isbn = 978-0-12-421171-1 | page = 544}}</ref>

Το 1908, ο Γερμανός βιομήχανος και ερασιτέχνης μαθηματικός [[Paul Wolfskehl]] κληροδότησε 100.000 [[Γερμανικό μάρκο|μάρκα]] στην Ακαδημία Επιστημών της Γκότιγκεν για να αθλοθετηθεί βραβείο για μια πλήρη απόδειξη του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά.<ref>Singh, pp. 120–125, 131–133, 295–296; Aczel, p. 70.</ref> Στις 27 Ιουνίου 1908 η Ακαδημία δημοσίευσε εννέα κανόνες για την απονομή του βραβείου. Μεταξύ άλλων, οι κανόνες αυτοί απαιτούσαν η απόδειξη να δημοσιευθεί σε επιστημονικό περιοδικό, το βραβείο να μη χορηγηθεί πριν περάσουν δύο έτη από τη δημοσίευση, και να μη δοθεί μετά την 13 Σεπτεμβρίου 2007, περίπου έναν αιώνα μετά ο αγώνας ξεκίνησε.<ref>Singh, pp. 120–125.</ref> Ο Wiles εισέπραξε τα χρήματα του βραβείου, που ανέρχονταν τότε σε 50.000 δολάρια περίπου, στις 27 Ιουνίου 1997.<ref>Singh, p. 284</ref>

Πριν από την απόδειξη του Γουάιλς, χιλιάδες λανθασμένες αποδείξεις υποβλήθηκαν στην επιτροπή Wolfskehl, που γεμίζουν κάπου 3 μέτρα χαρτί αλληλογραφίας.<ref>Singh, p. 295.</ref> Κατά το πρώτο έτος (1907-1908) υποβλήθηκαν 621 απόπειρες απόδειξης, αν και από τη δεκαετία του 1970, ο ρυθμός υποβολής είχε μειωθεί σε περίπου 3-4 προσπάθειες απόδειξης ανά μήνα. Σύμφωνα με τον F. Schlichting, μέλος της κριτικής επιτροπής του βραβείου Βόλφσκελ, οι περισσότερες από τις αποδείξεις βασίζονταν σε στοιχειώδεις μεθόδους που διδάσκονται στα σχολεία, και συχνά υποβάλλονταν από "ανθρώπους με τεχνική εκπαίδευση, αλλά αποτυχημένη καριέρα".<ref>Singh, pp. 295–296.</ref>

==3.987<sup>12</sup> + 4.365<sup>12</sup> = 4.472<sup>12</sup>==
Το άθροισμα 3.987<sup>12</sup> + 4.365<sup>12</sup> ισούται με 4.472,0000000070576171875<sup>12</sup> έχοντας απόκλιση μόλις 0,000000002 τοις εκατό από την ακέραια τιμή του 4.472<sup>12</sup>. Ωστόσο ο έλεγχος της τιμής σε [[Αριθμομηχανή|αριθμομηχανές]] χειρός οι οποίες συνήθως διαθέτουν χώρο για έως 10 μόνο χαρακτήρες στην οθόνη τους, επιστρέφει 4.472,0000 ως αποτέλεσμα, δίνοντας την εσφαλμένη εντύπωση πως ισχύει η εξίσωση 3.987<sup>12</sup> + 4365<sup>12</sup> = 4.472<sup>12</sup> παρότι έχει αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν λύσεις για εκθέτες μεγαλύτερους του 2 σύμφωνα με το θεώρημα του Φερμά. Η εξίσωση αυτή προέκυψε από την τηλεοπτική σειρά κινουμένων σχεδίων [[Οι Σίμσονς]] όπου εμφανίζεται σε μαυροπίνακα έχοντας γραφεί από τον χαρακτήρα του Χόμερ.<ref>{{Cite book|title=The Simpsons and their Mathematical Secrets|first=Simon|last=Singh|isbn=978-1-4088-3530-2|year=2013|location=Λονδίνο|page=35-36}}</ref>

==Αναφορές και αφιερώματα==

* Το επεισόδιο της τηλεοπτικής σειράς ''[[Star Trek: The Next Generation]]'', με τον τίτλο "[[Το βασιλικό]]", αναφέρεται στο θεώρημα στην πρώτη σκηνή.<ref>{{cite web|url=http://memory-alpha.org/wiki/Facets_(episode) |title=Facets (episode) - Memory Alpha, the Star Trek Wiki |publisher=Memory-alpha.org |date= |accessdate=2012-08-15}}</ref>
* "Η απόδειξη" -''Nova'' ([[Public Broadcasting System|PBS]]) ντοκιμαντέρ σχετικά με την απόδειξη του Άντριου Γουάιλς για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά. 
* Στις 17 Αυγ 2011, ένα [[Google doodle]] είχε εμφανιστεί στην αρχική σελίδα του Google, που δείχνει ένα πίνακα με το θεώρημα αυτό. Όταν αιωρούνταν πάνω, εμφανίζει το κείμενο "Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, την οποία αυτό το doodle είναι πολύ μικρό για να περιέχει". Αυτό είναι μια αναφορά στο σημείωμα του Φερμά στο περιθώριο της ''Αριθμητικής''. Έτσι εορτάστηκε η 410η επέτειος γέννησης του Φερμά, διαδικτυακά.<ref>[http://www.telegraph.co.uk/technology/google/google-doodle/8706390/Pierre-de-Fermats-birthday-celebrated-in-Google-Doodle.html "Pierre de Fermat's birthday celebrated in Google Doodle", The Telegraph, 17 August 2011]</ref>
* Στο βιβλίο [[Το κορίτσι που έπαιζε με τη φωτιά]], ο κύριος χαρακτήρας η Λίσμπεθ Σάλαντερ παθαίνει εμμονή με το θεώρημα στα αρχικά κεφάλαια του βιβλίου. Συνεχίζοντας την προσπάθειά της να καταλήξει σε μια απόδειξη λειτουργεί ως υποπλοκή σε όλη την ιστορία, και χρησιμοποιείται ως ένας τρόπος για να αποδείξει την εξαιρετική ευφυΐα της. Στο τέλος εμφανίζεται με μια απόδειξη (η πραγματική απόδειξη δεν εμφανίζεται στο βιβλίο). Ωστόσο πυροβολείται στο κεφάλι και η απόδειξη χάνεται.

== Δείτε επίσης ==
* [[Εικασία του Γκόλντμπαχ]]

== Σημειώσεις ==
<references group="note"/>

== Παραπομπές ==
<references />

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
* [http://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά στο Wolfram Mathworld]
* {{cite web| author=Christopher, David A.| year=2011| url=http://depmath.ulbsibiu.ro/genmath/gm/vol19nr3/07_Christopher/07_Christopher.pdf| title=On the equation x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = z<sup>n</sup>| accessdate=2012-04-14| archive-date=2013-01-23| archive-url=https://web.archive.org/web/20130123231843/http://depmath.ulbsibiu.ro/genmath/gm/vol19nr3/07_Christopher/07_Christopher.pdf| url-status=dead}}
* {{cite web| author=Wiles| year=1995| url=http://www.cs.berkeley.edu/~anindya/fermat.pdf| title=Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem| accessdate=February 9, 2013| archiveurl=https://web.archive.org/web/20160304203826/http://www.cs.berkeley.edu/~anindya/fermat.pdf| archivedate=2016-03-04| url-status=dead}} Scientific article by Andrew Wiles
* {{cite web|author=Daney, Charles|year=2003|url=http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt01.htm|title=The Mathematics of Fermat's Last Theorem|accessdate=5 August 2004|archiveurl=https://web.archive.org/web/20040803221632/http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt01.htm|archivedate=2004-08-03|url-status=dead}}
*[http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/ The bluffer's guide to Fermat's Last Theorem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091121194032/http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/ |date=2009-11-21 }}
* {{cite web|author=Elkies, Noam D.| url=http://www.math.harvard.edu/~elkies/ferm.html| title=Tables of Fermat "near-misses" &mdash; approximate solutions of x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = z<sup>n</sup>}}
* {{cite web|author=Freeman, Larry| year=2005|url=http://www.fermatslasttheorem.blogspot.com| title=Fermat's Last Theorem Blog}} Blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Fermat to Wiles.
* {{springer|title=Fermat's last theorem|id=p/f110070}}
* {{cite web|author=Ribet, Ken|year=1995|url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/ribet.pdf|title=Galois representations and modular forms|format=PDF|accessdate=2013-05-31|archive-date=2009-09-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20090916154627/http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/ribet.pdf|url-status=dead}} Discusses various material which is related to the proof of Fermat's Last Theorem: elliptic curves, modular forms, Galois representations and their deformations, Frey's construction, and the conjectures of Serre and of Taniyama–Shimura.
* {{cite web| author=Shay, David| year=2003| url=http://shayfam.com/David/flt/index.htm| title=Fermat's Last Theorem| accessdate=5 August 2004| archiveurl=https://web.archive.org/web/20120227191218/http://shayfam.com/David/flt/index.htm| archivedate=2012-02-27| url-status=dead}} The story, the history and the mystery.
* {{MathWorld | urlname=FermatsLastTheorem| title=Fermat's Last Theorem}}
* {{cite web | author = O'Connor JJ, Robertson EF | year = 1996 | url = http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Fermat's_last_theorem.html | title = Fermat's last theorem | accessdate = 5 August 2004 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20130116053929/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Fermat%27s_last_theorem.html | archivedate = 2013-01-16 | url-status = dead }}
* {{cite web |url=http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/| title=The Proof}} The title of one edition of the PBS television series NOVA, discusses Andrew Wiles's effort to prove Fermat's Last Theorem.
* {{cite web |url=http://www.youtube.com/watch?v=7FnXgprKgSE| title= Documentary Movie on Fermat's Last Theorem (1996) }} Simon Singh and John Lynch's film tells the story of Andrew Wiles.
* [http://www.coolissues.com/mathematics/BealFermatPythagorasTriplets.htm Beal Fermat and Pythagora's Triplets]

== Βιβλιογραφία ==
* Aczel, Amir, ''Πώς ο A. Wiles έλυσε το τελευταίο θεώρημα του Φερμά''
* Singh, Simon, ''Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά''
* {{Cite book|last=Aczel|first=Amir|title=Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem|date=30 September 1996|publisher=Four Walls Eight Windows|isbn=978-1-56858-077-7|url-access=registration|url=https://archive.org/details/fermatslasttheor00acz_pep}}
* {{Cite book | author = Dickson L. E. | year = 1919 | title = [[History of the Theory of Numbers]]. Volume II. Diophantine Analysis | publisher = Chelsea Publishing | location = New York | pages = 545–550, 615–621, 688–691, 731–776}}
* {{Cite book | author = Edwards, H. M. | year = 1997 | title = Fermat's Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory | publisher = Springer-Verlag | location = New York | series = Graduate Texts in Mathematics | volume = 50}}
* {{Cite book | last = Friberg | first = Joran | year = 2007 | title = Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics | publisher =World Scientific Publishing Company | isbn = 978-981-270-452-8}}
* {{Cite journal | author = Kleiner I | year = 2000 | title = From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem | journal = Elem. Math. | volume = 55 | pages = 19–37 | url = http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf | doi = 10.1007/PL00000079 | date =  | accessdate = 2013-05-31 | archivedate = 2012-02-19 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20120219145734/http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf | deadurl = dead }}
* {{Cite book | author = Mordell L. J. | year = 1921 | title = Three Lectures on Fermat's Last Theorem | url = https://archive.org/details/threelectureson00mordgoog| publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge}}
* {{Cite book | last = Panchishkin | first = Alekseĭ Alekseevich | year = 2007 | title = Introduction to Modern Number Theory (Encyclopedia of Mathematical Sciences | publisher =Springer Berlin Heidelberg New York | isbn = 978-3-540-20364-3}}
* {{Cite book | author = Ribenboim P. | year = 2000 | title = Fermat's Last Theorem for Amateurs | publisher = Springer-Verlag | location = New York | isbn = 978-0-387-98508-4}}
* {{Cite book | author = Singh S. | title = Fermat's Enigma | url = https://archive.org/details/fermatsenigmaepi00sing | date = Οκτώβριος 1998 | publisher = Anchor Books | location = New York | isbn = 978-0-385-49362-8}}
* {{Cite book | author = Stark H. | year = 1978 | title = An Introduction to Number Theory | publisher = MIT Press | isbn = 0-262-69060-8 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/introductiontonu00star_0 }}
{{refend}}

== Διαβάστε επίσης ==
* {{Cite book|last=Bell|first=Eric T.|title=The Last Problem|location=New York|isbn=978-0-88385-451-8|date=6 August 1998|publisher=The Mathematical Association of America|origyear=1961}}
* {{Cite book|last=Benson|first=Donald C.|title=The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-513919-8|date=5 April 2001}}
* {{Cite book|last=Brudner|first=Harvey J.|title=Fermat and the Missing Numbers|publisher=WLC, Inc|isbn=978-0-9644785-0-3|year=1994}}
* {{Cite book | last=Edwards|first=H. M. | title=Fermat's Last Theorem | publisher=Springer-Verlag | origyear=1977|date=Μάρτιος 1996| isbn=978-0-387-90230-2|location=New York }}
* {{Cite journal | author = Faltings G. | year = 1995 | month = July | url = http://www.ams.org/notices/199507/faltings.pdf|format=PDF|title=The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles|journal=Notices of the AMS|volume=42|issue=7|pages=743–746|issn=0002-9920}}
* {{Cite book|last=Mozzochi|first=Charles | title=The Fermat Diary |url=https://archive.org/details/fermatdiary0000mozz| date=7 December 2000 | isbn=978-0-8218-2670-6|publisher=American Mathematical Society}}
* {{Cite book | author = Ribenboim P. | year = 1979 | title = 13 Lectures on Fermat's Last Theorem | publisher = Springer Verlag | location = New York | isbn = 978-0-387-90432-0}}
* {{Cite book|last=van der Poorten|first=Alf|title=Notes on Fermat's Last Theorem|url=https://archive.org/details/notesonfermatsla0000vand|date=6 March 1996|publisher=WileyBlackwell |isbn=978-0-471-06261-5}}
* {{Cite journal | last = Saikia | first = Manjil P | year = 2011 | month = July | url = http://www.thequantizedquark.com/papers/kummerFLT.pdf | format = PDF | title = A Study of Kummer's Proof of Fermat's Last Theorem for Regular Primes | journal = IISER Mohali Report | date =  | accessdate = 2013-05-31 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20130829014946/http://www.thequantizedquark.com/papers/kummerFLT.pdf | archivedate = 2013-08-29 | url-status = dead }}
* Άγγελος Μαντζαφλάρης (2006), ''[https://www-sop.inria.fr/members/Angelos.Mantzaflaris/down/FLT.pdf Το τελευταίο Θεώρημα του Fermat. Η μερική απόδειξη του Kummer]'', ΕΚΠΑ

[[Κατηγορία:Θεωρία αριθμών]]