Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Τετραγωνική ρίζα του 3

{{Μη-ακέραιος αριθμός
|image              = Square_root_of_3_triangle.svg
|image_caption      = Η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι ίση με το μήκος της κάθετης στο [[ορθογώνιο τρίγωνο]] όπου η υποτείνουσα έχει μήκος 2 και η άλλη κάθετη μήκος 1.
|binary = {{gaps|1.1011|1011|0110|0111...}}
|hexadecimal = {{gaps|1.BB67|AE85|84CA|A73B...}}
|continued_fraction=<math>1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}}</math>
|decimal={{gaps|1.7320|5080|7568|8772...}}
}}
Η '''τετραγωνική ρίζα του 3''' είναι ο θετικός [[πραγματικός αριθμός]] που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό [[3 (αριθμός)|3]]. Συμβολίζεται με '''<math display="inline">\sqrt {3}</math>''' ή '''<math>3^{1/2}</math>'''. Ονομάζεται ακριβέστερα η '''κύρια τετραγωνική ρίζα του 3''' για να διακρίνεται από τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα. Η [[τετραγωνική ρίζα]] του 3 είναι ένας [[άρρητος αριθμός]]. Είναι επίσης γνωστή ως η '''σταθερά του Θεοδώρου''', από τον [[Θεόδωρος ο Κυρηναίος|Θεόδωρο τον Κυρηναίο]] που απέδειξε την αρρητότητά της.

{{As of|2024|Ιούνιος}}, η αριθμητική της τιμή είχε υπολογιστεί σε τουλάχιστον 3 τρισεκατομμύρια ψηφία.<ref>{{cite web |last1=Yee |first1=Alexander |title=Records Set by y-cruncher |url=http://numberworld.org/y-cruncher/records.html}}</ref> Η δεκαδική της επέκταση, γραμμένη εδώ σε 60 δεκαδικά ψηφία, δίνεται από την ακολουθία:

: {{gaps|1.73205|08075|68877|29352|74463|41505|87236|69428|05253|81038|06280|55806...}} {{oeis|id=A002194}}

Το κλάσμα <math display="inline">\tfrac{97}{56}</math> ({{Val|1.732142857}}...) μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως καλή προσέγγιση. Παρόλο που έχει [[Κλάσμα|παρονομαστή]] μόνο 56, διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από <math display="inline">\frac {1}{10,000}</math> (περίπου <math display="inline">9.2\times 10^{-5}</math>, με σχετικό σφάλμα <math display="inline">5\times 10^{-5}</math>). Η στρογγυλοποιημένη τιμή του, {{Val|1.732}}, έχει σχετικό σφάλμα μόλις 0,01%.

Το κλάσμα <math display="inline">\frac {716,035}{413,403}</math> ( {{Val|1.73205080756}}...) έχει σχετικό σφάλμα <math display="inline">1\times 10^{-11}</math>.

Ο [[Αρχιμήδης]] ανέφερε ένα εύρος για την τιμή της: <math display="inline">(\frac{1351}{780})^{2}>3>(\frac{265}{153})^{2}
</math>.<ref>{{Cite journal|last=Knorr|first=Wilbur R.|date=June 1976|title=Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF00348496|journal=Archive for History of Exact Sciences|volume=15|issue=2|pages=115–140|doi=10.1007/bf00348496|jstor=41133444|mr=0497462|accessdate=November 15, 2022}}</ref>

Το κατώτερο όριο <math display="inline">\frac {1351}{780}</math> είναι μια ακριβής προσέγγιση για το <math>\sqrt{3}</math> που διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από <math display="inline">\frac {1}{608,400}</math> (έξι δεκαδικά ψηφία, σχετικό σφάλμα <math display="inline">3 \times 10^{-7}</math>) και το ανώτατο όριο '''<math display="inline">\frac {265}{153}</math>''' διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από <math display="inline">\frac {2}{23,409}</math> (τέσσερα δεκαδικά ψηφία, σχετικό σφάλμα <math display="inline">1\times 10^{-5}</math>).

== Σχέσεις ==
Το <math>\sqrt{3}</math> μπορεί να εκφραστεί ως το [[Συνεχιζόμενο κλάσμα|συνεχές κλάσμα]] {{Nowrap|[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …]}} {{Oeis|A040001}}.

Επόμενως, για τον πίνακα
:<math>\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 3 \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}</math>,
ισχύει ότι, καθώς <math>n\to\infty</math>
:<math> \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} -1 </math>.

Επίσης μπορεί να αναπαρασταθεί με το γενικευμένο συνεχές κλάσμα όπως το
:<math> [2; -4, -4, -4, ...] = 2 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \ddots}}}</math>,
που είναι το {{nowrap|[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …]}} όπου υπολογίζεται σε κάθε δεύτερο όρο.

== Γεωμετρία και τριγωνομετρία ==
[[Αρχείο:Equilateral triangle with height square root of 3.svg|200px|right|thumb|Το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου με μήκος πλευράς 2 είναι ίσο με {{sqrt|3}}. Επίσης, η πλευρά αυτή είναι η υποτείνουσα ενός τριγώνου 30-60-90 με μήκος 2.]]

[[Αρχείο:Root 3 Hexagon.svg|200px|thumb|right|Το ύψος ενός κανονικού εξαγώνου με πλευρές μήκους 1 είναι ίσο με {{sqrt|3}}.]]

[[Αρχείο:Square_root_of_3_in_cube.svg|μικρογραφία| Η διαγώνιος του [[μοναδιαίος κύβος|μοναδιαίου κύβου]] είναι {{Radic|3}}.]]
Η τετραγωνική ρίζα του 3 μπορεί να βρεθεί ως το μήκος του [[ύψος τριγώνου|ύψους]] ενός [[ισόπλευρο τρίγωνο|ισόπλευρου τριγώνου]] με πλευρά μήκους 2.

Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρές μήκους 1 κοπεί σε δύο ίσα μισά, διχοτομώντας μια εσωτερική γωνία για να σχηματιστεί μια ορθή γωνία στη μία πλευρά, η [[υποτείνουσα]] του τριγώνου της ορθής γωνίας έχει μήκος ένα και οι πλευρές του έχουν μήκος <math display="inline">\frac{1}{2}</math> και <math display="inline">\frac{\sqrt{3}}{2}</math>. Από αυτό, προκύπτουν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί
:<math display="inline">\tan{60^\circ}=\sqrt{3}</math>, <math display="inline">\sin{60^\circ}=\frac {\sqrt{3}}{2}</math> και <math display="inline">\cos{30^\circ}=\frac {\sqrt{3}}{2}</math>.

Η τετραγωνική ρίζα του 3 εμφανίζεται επίσης σε αλγεβρικές σχέσεις για διάφορες άλλες [[Ακριβείς τριγωνομετρικές σταθερές|τριγωνομετρικές σταθερές]], συμπεριλαμβανομένων<ref>{{Cite web|url=http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html|title=Sin and Cos in Surds|last=Wiseman|first=Julian D. A.|ημερομηνία=June 2008|website=JDAWiseman.com|accessdate=November 15, 2022}}</ref> των ημιτόνων των 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° και 87°.


Επίσης σε ένα [[κανονικό εξάγωνο]] με πλευρές μήκους 1, η απόσταση μεταξύ παράλληλων πλευρών είναι <math display="inline">\sqrt{3}</math>.

Στον [[μοναδιαίος κύβος|μοναδιαίο κύβο]] το μήκος της διαγωνίου είναι ίσο με <math display="inline">\sqrt{3}</math>.

== Άλλες χρήσεις και εμφανίσεις ==

=== Δυναμική μηχανική ===
Στην [[Μηχανική ενέργεια|δυναμική μηχανική]], η τάση μεταξύ δύο φάσεων σε ένα [[τριφασικό σύστημα]] είναι ίση με '''<math display="inline">\sqrt {3}</math>''' φορές τη γραμμή προς την ουδέτερη τάση. Αυτό συμβαίνει επειδή οποιεσδήποτε δύο φάσεις απέχουν 120° μεταξύ τους και δύο σημεία σε έναν κύκλο με απόσταση 120 μοιρών χωρίζονται μεταξύ τους με '''<math display="inline">\sqrt {3}</math>''' φορές την ακτίνα (δείτε παραδείγματα γεωμετρίας παραπάνω).

=== Ειδικές συναρτήσεις ===
Είναι γνωστό ότι οι περισσότερες ρίζες της ''ν''-οστής παραγώγου της <math>J_\nu^{(n)}(x)</math> (όπου <math>n < 18</math> και <math>J_\nu(x)</math> είναι η [[Συνάρτηση Μπέσελ|συνάρτηση Μπέσελ πρώτου τύπου]] τάξης <math>\nu</math>) είναι [[Υπερβατικός αριθμός|υπερβατικές]]. Οι μόνες εξαιρέσεις είναι οι αριθμοί <math>\pm\sqrt{3}</math>, που είναι οι αλγεβρικές ρίζες της <math>J_1^{(3)}(x)</math> και της <math>J_0^{(4)}(x)</math>.<ref name="lorch">{{Cite journal|last=Lorch|first=Lee|last2=Muldoon|first2=Martin E.|title=Transcendentality of zeros of higher dereivatives of functions involving Bessel functions|journal=International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences|date=1995|volume=18|issue=3|pages=551–560|doi=10.1155/S0161171295000706}}</ref>

== Δείτε επίσης ==
* [[Τετραγωνική ρίζα του 2]]
* [[Τετραγωνική ρίζα του 5]]

== Παραπομπές ==
{{Commons category|Square root of 3}}
{{Παραπομπές}}

[[Κατηγορία:Μαθηματικές σταθερές]]
[[Κατηγορία:Άρρητοι_αριθμοί]]