Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Τόρος

[[Αρχείο:Torus.png|μικρογραφία|δεξιά|220px|Ένας τόρος]]
[[Αρχείο:Sphere-like degenerate torus.gif|μικρογραφία|δεξιά|Καθώς η απόσταση από τον άξονα περιστροφής μειώνεται, ο δακτυλιοειδής τόρος γίνεται κερατοειδής τόρος, στη συνέχεια ατρακτοειδής τόρος και τελικά εκφυλίζεται σε μια σφαίρα.]]
Στη [[γεωμετρία]], o '''τόρος''' είναι ένα [[στερεό εκ περιστροφής]] που παράγεται από την περιστροφή ενός [[κύκλος|κύκλου]] στον τρισδιάστατο χώρο γύρω από έναν άξονα [[συνεπίπεδο]] με τον κύκλο. Συνήθως ο άξονας δεν τέμνει ούτε εφάπτεται με τον κύκλο, οπότε σε αυτή την περίπτωση η επιφάνεια έχει σχήμα δακτυλιοειδές και καλείται '''δακτυλιοειδής τόρος''', ή απλά τόρος και υπονοείται σιωπηρά ότι έχει δακτυλιοειδές σχήμα. Ορισμένες φορές καλείται (λανθασμένα) δακτύλιος, ωστόσο ο [[Δακτύλιος (γεωμετρία)|δακτύλιος]] είναι ένα δισδιάστατο επίπεδο σχήμα διαφορετικό από τον τρισδιάστατο τόρο.

Όταν ο άξονας εφάπτεται με τον κύκλο, η επιφάνεια που προκύπτει ονομάζεται '''κερατοειδής τόρος''', όταν ο άξονας συμπίπτει με μια χορδή του κύκλου, τότε ονομάζεται '''ατρακτοειδής τόρος''' (ή '''αξονικός τόρος'''). Μια [[Εκφυλισμος (μαθηματικά)|εκφυλισμένη]] περίπτωση τόρου έχουμε όταν ο άξονας συμπίπτει με τη διάμετρο του κύκλου, οπότε παράγεται απλώς η επιφάνεια μιας [[Σφαίρα|2-σφαίρα]]ς. Ο δακτυλιοειδής τόρος οριοθετεί ένα γεωμετρικό στερεό που λέγεται [[τοροειδές]], ή δακτυλιοειδή τοροειδές. Διάφορα αντικείμενα που έχουν σχήμα που μοιάζει με το τοροειδές είναι για παράδειγμα τα τοροειδή [[πηνίο|πηνία]], οι μετασχηματιστές, κάποια σωσίβια (κενά στο εσωτερικό τους), κ.λπ.

Ο τόρος δεν θα πρέπει να συγχέεται με τον [[Τόρος (στερεό)|στερεό τόρο]], ο οποίος σχηματίζεται από την περιστροφή ενός δίσκου, αντί ενός κύκλου, γύρω από έναν άξονα. Συνεπώς, είναι ο τόρος μαζί με τον όγκο στο εσωτερικό του. Διάφορα αντικείμενα που προσεγγίζουν τον στερεό τόρο είναι το κουλούρι, το ντόνατ, κάποια σωσίβια (χωρίς κενό το εσωτερικό τους), κ.λπ.

Στην [[τοπολογία]], ο δακτυλιοειδής τόρος είναι [[Ομοιομορφισμός|ομοιομορφικός]] προς το καρτεσιανό [[Γινόμενο (τοπολογία)|γινόμενο]] δύο κύκλων (''S''<sup>1</sup>&nbsp;×&nbsp;''S''<sup>1</sup>), που τελευταία θεωρείται ως ο ορισμός του τόρου στον τομέα αυτό. Ο τόρος από τοπολογική άποψη είναι μια συνεκτική 2-πολλαπλότητα γένους 1.

Ο δακτυλιοειδής τόρος είναι ένας τρόπος για να ενσωματωθεί αυτός ο χώρος στον τρισδιάστατο [[Ευκλείδειος χώρος|Ευκλείδειο χώρο]], αλλά ένας άλλος τρόπος για να γίνει αυτό είναι το καρτεσιανό γινόμενο της ενσωμάτωσης του ''S''<sup>1</sup> στο επίπεδο. Αυτό παράγει ένα γεωμετρικό αντικείμενο που ονομάζεται [[Κλίφορντ τόρος]], μια επιφάνεια [[Τετραδιάστατος χώρος|χώρου τεσσάρων διαστάσεων]].

Η λέξη ''τόρος'' προέρχεται από την [[Λατινική γλώσσα|λατινική]] λέξη ''torus'', που σημαίνει ''μαξιλάρι''.<ref>{{cite book |last=Stein |first=Harold A. |year=2002 |publisher=Mosby |location=St. Louis |title=Fitting guide for rigid and soft contact lenses: a practical approach |isbn=978-0-323-01440-3 |page=16 |url=http://books.google.com/?id=GGoNQzt3I_IC&pg=PA16&lpg=PA16&dq=torus+Latin+word+for+a+cushion+of+this+shape}}</ref>

== Γεωμετρία ==
[[Αρχείο:torus cycles.svg|μικρογραφία|δεξιά|Ένας τόρος είναι το γινόμενο δύο κύκλων, μόνο ένας εκ των οποίων φαίνεται σε αυτό το διάγραμμα. Ο κόκκινος κύκλος κάνει σάρωση γύρω από έναν άξονα, ο οποίος δεν απεικονίζεται, και έχει ακτίνα ''r'', ενώ ο ματζέντα έχει ''R''.]]
{{multiple image
 | direction = horizontal
 | width     = 100
 | footer    = Μισά του κάτω μέρους και οι εγκάρσιες διατομές των τριών κατηγοριών του τόρου
 | image1    = Standard_torus-ring.png
 | alt1      = δακτυλιοειδής τόρος
 | caption1  = ''R > r '':<br /> Δακτυλιοειδής
 | image2    = Standard_torus-horn.png
 | alt2      = κερατοειδής τόρος
 | caption2  = ''R = r '':<br /> Κερατοειδής
 | image3    = Standard_torus-spindle.png
 | alt3      = ατρακτοειδής τόρος
 | caption3  = ''R < r '':<br /> Ατρακτοειδής
}}
[[Αρχείο:Toroidal coord.png|200px|μικρογραφία|δεξιά|Ένα διάγραμμα που απεικονίζει την πολοειδή (''θ'') κατεύθυνση, που αντιπροσωπεύεται από το κόκκινο βέλος, και την δακτυλιοειδή (''ζ'' ή ''φ'') κατεύθυνση, που αντιπροσωπεύεται από το μπλε βέλος.]]
Στο [[παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων]] ένας τόρος ορίζεται ως:<ref>{{cite web |title=Equations for the Standard Torus |publisher=Geom.uiuc.edu |date=6 Ιουλίου 1995 |url=http://www.geom.uiuc.edu/zoo/toptype/torus/standard/eqns.html |accessdate=21 Ιουλίου 2012 |archive-date=2019-05-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190520005301/http://www.geom.uiuc.edu/zoo/toptype/torus/standard/eqns.html |url-status= }}</ref><ref>[[commons:file:parametric system of coordinates.pdf|Παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων.pdf]]</ref>
:<math>\begin{align}
  x(\theta, \varphi) &= (R + r \cos \theta) \cos{\varphi} \\
  y(\theta, \varphi) &= (R + r \cos \theta) \sin{\varphi} \\
  z(\theta, \varphi) &= r \sin \theta
\end{align}</math>

όπου
:''θ'', ''φ'' είναι οι γωνίες που κάνουν έναν πλήρη κύκλο, έτσι ώστε οι τιμές τους να ξεκινούν και να καταλήγουν στο ίδιο σημείο,
:''R'' είναι η απόσταση από το κέντρο του σωλήνα μέχρι το κέντρο του τόρου,
:''r'' είναι η ακτίνα του σωλήνα.

Η ''R'' είναι γνωστή ως «μείζονα ακτίνα» και η ''r'' ως «ελάσσονα ακτίνα».<ref>{{cite web |title=Torus |publisher=Spatial Corp. |url=http://doc.spatial.com/index.php/Torus |accessdate=16 Νοεμβρίου 2014}}</ref> Ο λόγος της ''R'' προς την ''r'' είναι γνωστός ως [[αναλογία διαστάσεων]] (''aspect ratio''). Ένα ντόνατ έχει αναλογία διαστάσεων περίπου 2 προς 3.

Μια υπονοούμενη εξίσωση σε [[Καρτεσιανές συντεταγμένες]] για έναν ακτινικά συμμετρικό τόρο γύρω από τον άξονα ''z'' είναι 
:<math>\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2</math>

είτε είναι η λύση του <math> f(x,y,z) = 0,</math> όπου
:<math> f(x,y,z) = \left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 - r^2</math>

Εξαλείφοντας αλγεβρικά την τετραγωνική ρίζα δίνει μια εξίσωση τέταρτου βαθμού:
:<math> (x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2)^2 = 4R^2(x^2+y^2)</math>
<br />

Οι τρεις κατηγορίες διαφορετικών τόρων αντιστοιχούν στις τρεις πιθανές αναλογίες διαστάσεων μεταξύ των ''R'' και ''r'':
* Αν {{nowrap|''R'' > ''r''}}, τότε η επιφάνεια θα είναι ο γνωστός δακτυλιοειδής τόρος.
* Αν {{nowrap|1=''R'' = ''r''}}, τότε αντιστοιχεί σε κερατοειδή τόρο, ο οποίος στην πραγματικότητα είναι τόρος χωρίς "οπή".
* Αν {{nowrap|''R'' < ''r''}}, τότε διαγράφεται ένας αυτο-τεμνόμενος ατρακτοειδής τόρος.
* Αν ''R'' = 0, τότε ο τόρος εκφυλίζεται σε σφαίρα.

Στις περιπτώσεις που ισχύει {{nowrap|''R'' ≥ ''r''}}, το [[Εσωτερικό (τοπολογία)|εσωτερικό]]
:<math>\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 < r^2</math>
αυτού του τόρου είναι [[Διαφορομορφισμός|διαφορομορφικό]] (και ως εκ τούτου, [[Ομοιομορφισμός|ομοιομορφικό]]) στο [[Καρτεσιανό γινόμενο|γινόμενο]] ενός [[Δίσκος (γεωμετρία)|Ευκλείδειου ανοικτού δίσκου]] και ενός κύκλου. Το [[εμβαδόν]] της επιφανείας και ο [[όγκος]] του εσωτερικού τού παρόντος τόρου υπολογίζονται εύκολα χρησιμοποιώντας το [[θεώρημα του Πάππου]], που δίνει:<ref>{{Mathworld|Torus|Torus}}</ref>
:<math>\begin{align}
  A &= \left( 2\pi r \right) \left(2 \pi R \right) = 4 \pi^2 R r \\
  V &= \left ( \pi r ^2 \right ) \left( 2 \pi R \right) = 2 \pi^2 R r^2
\end{align}</math>

Αυτές οι φόρμουλες είναι ίδιες με αυτές ενός κυλίνδρου μήκους 2π''R'' και ακτίνα ''r'', που δημιουργήθηκε με κοπή του σωλήνα του και εκτύλιξή του με ίσιωση πάνω στη γραμμή που βρίσκεται γύρω από το κέντρο του σωλήνα. Οι απώλειες της εσωτερικής πλευράς του σωλήνα στο εμβαδόν της επιφανείας, όσο και στον όγκο, ακυρώνουν τα ισόποσα κέρδη στην εξωτερική πλευρά του σωλήνα.

Όπως το γινόμενο δύο κύκλων είναι ένας τόρος, μερικές φορές χρησιμοποιείται ομοίως και σε μία τροποποιημένη έκδοση του συστήματος [[Σφαιρικές συντεταγμένες|σφαιρικών συντεταγμένων]]. Στην παραδοσιακές σφαιρικές συντεταγμένες υπάρχουν τρία μέτρα, η απόσταση ''R'' από το κέντρο του συστήματος συντεταγμένων, και οι θ, φ γωνίες οι οποίες μετρούνται από το κεντρικό σημείο. Όπως ένας τόρος έχει ουσιαστικά δύο κεντρικά σημεία, έτσι μετακινούνται και τα κεντρικά σημεία των γωνιών. Η φ μετρά την ίδια γωνία που μετρά και στο σφαιρικό σύστημα, αλλά είναι γνωστή ως η "τοροειδής" κατεύθυνση. Το κεντρικό σημείο της θ κινείται προς το κέντρο της ''r'' και είναι γνωστή ως η "πολοειδής" κατεύθυνση. Οι όροι αυτοί χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά σε μια συζήτηση για το μαγνητικό πεδίο της Γης, όπου η "πολοειδής» χρησιμοποιήθηκε για να δηλώσει «την κατεύθυνση προς τους πόλους».<ref>{{cite web |title=Oxford English Dictionary Online: poloidal |publisher=Oxford University Press |url=http://dictionary.oed.com/cgi/entry/50183023?single=1&query_type=word&queryword=poloidal&first=1&max_to_show=10 |accessdate=10 Αυγούστου 2007}}</ref>

Στη σύγχρονη χρήση τους οι όροι αυτοί χρησιμοποιούνται συχνότερα για αναφορά σε συσκευές που κάνουν σύντηξη με μαγνητική συγκράτηση.

== Τοπολογία ==
Στην [[τοπολογία]], ένας τόρος είναι μια κλειστή επιφάνεια που ορίζεται ως το γινόμενο δύο κύκλων (''S''<sup>1</sup>&nbsp;×&nbsp;''S''<sup>1</sup>). Έτσι μπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε έναν [[Πολύπλοκος χώρος συντεταγμένων|πολύπλοκο χώρο συντεταγμένων]] '''C'''<sup>2</sup> και είναι υποσύνολο της [[3-σφαίρα]]ς ''S''<sup >3</sup> με ακτίνα [[Τετραγωνική ρίζα του 2|{{sqrt|2}}]]. Αυτός ο τοπολογικός τόρος συχνά ονομάζεται και [[Κλίφορντ τόρος]]. Στην πραγματικότητα, με αυτόν τον τρόπο, η ''S''<sup>3</sup> έχει συμπληρωθεί από κάποιο είδος ένθετων τόρων (με δύο εκφυλισμένους κύκλους), γεγονός το οποίο είναι σημαντικό για τη μελέτη των ''S''<sup>3</sup> ως [[δέσμη ινών]] πάνω σε ''S''<sup>2</sup>.

Η επιφάνεια που περιγράφεται παραπάνω, δεδομένης της [[Σχετική τοπολογία|σχετικής τοπολογίας]] του [[Πραγματικός χώρος συντεταγμένων|πραγματικού χώρου συντεταγμένων]] '''R'''<sup>3</sup>, είναι [[Ομοιομορφισμός|ομοιομορφική]] προς έναν τοπολογικό τόρο εφ' όσον δεν τέμνει τον άξονά του. Ένας ιδιαίτερος πμοιομορφισμός δίνεται από την [[στερεογραφική προβολή]] του τοπολογικού τόρου στον '''R'''<sup>3</sup> από τον βόρειο πόλο της ''S''<sup>3</sup>.

Ο τόρος μπορεί επίσης να περιγραφεί ως ένα [[Πηλίκο χώρου (τοπολογία)|πηλίκο]] του [[Καρτεσιανό επίπεδο|Καρτεσιανού επιπέδου]] σύμφωνα με τις ταυτοποιήσεις:
:<big>(''x'', ''y'') ~ (''x''+1, ''y'') ~ (''x'', ''y''+1)</big>

Είτε, ισοδύναμα, ως το πηλίκο ενός [[Μοναδιαίο τετράγωνο|μοναδιαίου τετράγωνου]] με επικόλληση των αντιθέτων του πλευρών, που περιγράφεται ως ένα [[βασικό πολύγωνο]] ''ABA''<sup>−1</sup>''B''<sup>−1</sup>.

Η [[βασική ομάδα]] του τόρου είναι απλώς ένα [[Άμεσο γινόμενο ομάδων|άμεσο γινόμενο]] της βασικής ομάδας του κύκλου με τον εαυτό της:
:<math>\pi_1(\mathbf{T}^2) = \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1) \cong \mathbf{Z} \times \mathbf{Z}.</math>

[[Αρχείο:Inside-out torus (animated, small).gif|μικρογραφία|δεξιά|Γυρίζοντας έναν διατρημένο τόρο μέσα-έξω]]
Διαισθητικά μιλώντας, αυτό σημαίνει ότι η κλειστή διαδρομή που περιβάλλει την "οπή" του τόρου (ας πούμε, ένας κύκλος που διαγράφει ένα συγκεκριμένο γεωγραφικό πλάτος) και στη συνέχεια περιβάλλει το "σώμα" του τόρου (ας πούμε, ένας κύκλος που διαγράφει ένα συγκεκριμένο γεωγραφικό μήκος) μπορεί να παραμορφωθεί σε μια διαδρομή που περιβάλλει το σώμα και στη συνέχεια την οπή. Έτσι ανταλάσσονται τα αυστηρώς «γεωγραφικά» και τα αυστηρώς «διαμήκη» μονοπάτια. Αυτό μπορούμε να το φανταστούμε ως δύο κορδόνια που διέρχονται το ένα στο άλλα, μετά ξετυλίγονται και πάλι τυλίγονται.

Εάν ένας τόρος είναι διάτρητος και γύρισε από μέσα έξω, στη συνέχεια, γίνεται ένας άλλος τόρος, καθώς εναλλάσσονται οι γραμμές του γεωγραφικού μήκους και του γεωγραφικού πλάτους.

Η πρώτη [[ομόλογη ομάδα]] του τόρου είναι [[Ισομορφισμός|ισομορφική]] προς τη βασική ομάδα του. Αυτό προκύπτει από το [[θεώρημα Hurewicz]], δεδομένου ότι η βασική ομάδα είναι [[Αβελιανή ομάδα|αβελιανή]].

== Δύο φύλλα κάλυψης ==
Ο 2-τόρος διπλοκαλύπτει τη 2-σφαίρα, με τέσσερα [[Σημείο διακλάδωσης|σημεία διακλάδωσης]]. Κάθε [[σύμμορφη δομή]] πάνω στον 2-τόρο μπορεί να παρασταθεί ως δύο φύλλα κάλυψης της 2-σφαίρας. Τα σημεία του τόρο που αντιστοιχούν στα σημεία διακλάδωσης λέγονται ''σημεία Weierstrass''. Ο τύπος σύμμορφων του τόρου καθορίζεται, στην πραγματικότητα, από την [[εγκάρσια αναλογία]] των τεσσάρων σημείων διακλάδωσης.

== Πολυδιάστατος τόρος ==
{{μετάφραση}}
[[Αρχείο:Clifford-torus.gif|μικρογραφία|δεξιά|Η στερεογραφική προβολή ενός [[Κλίφορντ τόρος|Κλίφορντ τόρου]] σε τέσσερις διαστάσεις πραγματοποιεί μια απλή περιστροφή στο επίπεδο ''xz'']]
Ο τόρος έχει μια γενίκευση σε υψηλότερες διαστάσεις, ως ''n-διάστατος τόρος'', που συχνά αποκαλείται ''n-τόρος'' ή ''υπερτόρος'' για συντομία (αυτή είναι η μία από τις δύο διαφορετικές σημασίες του όρου «''n''-τόρος»). Υπενθυμίζοντας ότι ο τόρος είναι ο χώρος του γινομένου δύο κύκλων, συνεπώς ο ''n''-διάστατος τόρος είναι ο χώρος του γινομένου ''n'' κύκλων. Αυτό εκφράζεται ως:

:<math>\mathbf{T}^n = \underbrace{S^1 \times \cdots \times S^1}_n.</math>

Ο 1-τόρος είναι για την ακρίβεια ο κύκλος, δηλαδή '''T'''<sup>1</sup>&nbsp;=&nbsp;''S''<sup>1</sup>. Ο τόρος που αναφέρθηκε παραπάνω είναι ο 2-τόρος, '''T'''<sup>2</sup>. Παρομοίως με τον 2-τόρο, ο ''n''-τόρος, '''T'''<sup>''n''</sup>, μπορεί να περιγραφεί ως το πηλίκο του '''R'''<sup>''n''</sup> κάτω από αναπόσπαστες μετατοπίσεις σε κάθε συντεταγμένη. Δηλαδή, ο ''n''-τόρος είναι το '''R'''<sup>''n''</sup> υπόλοιπο της δράσης του ακεραίου πλέγματος '''Z'''<sup>''n''</sup> (η δράση εκλαμβάνεται ως προσθήκη διανύσματος). Ισοδύναμα, ο ''n''-τόρος αποκτάται από τον ''n''-διαστάσεων [[Υπερκύβος|υπερκύβο]] "κολλώντας" τις αντίθετετες μεταξύ τους έδρες.

<!-- Κείμενο προς μετάφραση:
An ''n''-torus in this sense is an example of an ''n-''dimensional [[compact space|compact]] [[manifold]]. It is also an example of a compact [[abelian group|abelian]] [[Lie group]]. This follows from the fact that the [[unit circle]] is a compact abelian Lie group (when identified with the unit [[complex number]]s with multiplication). Group multiplication on the torus is then defined by coordinate-wise multiplication.

Toroidal groups play an important part in the theory of [[compact Lie group]]s. This is due in part to the fact that in any compact Lie group ''G'' one can always find a [[maximal torus]]; that is, a closed [[subgroup]] which is a torus of the largest possible dimension. Such maximal tori ''T'' have a controlling role to play in theory of connected ''G''. Toroidal groups are examples of [[protorus|protori]], which (like tori) are compact connected abelian groups, which are not required to be [[manifold]]s.
-->
Οι [[Αυτομορφισμός|αυτομορφισμοί]] του ''T'' κατασκευάζονται εύκολα από αυτομορφισμούς του πλέγματος '''Z'''<sup>''n''</sup>, οι οποίοι χαρακτηρίζονται από [[Αντιστρέψιμος πίνακας|αντιστρέψιμους]] [[Ενσωματωμένος πίνακας|ενσωματωμένους πίνακες]] μεγέθους ''n'' με ενσωματωμένο αντίστροφο. Αυτοί είναι μόνο οι ενσωματωμένοι πίνακες με ορίζουσα ±1. Κάνοντας τους να δράσουν στο '''R'''<sup>''n''</sup> με τον συνήθη τρόπο, κάποιος έχει στο πηλίκο τον τυπικό ''τοροειδή αυτομορφισμό''.

Η [[βασική ομάδα]] του ''n''-τόρου είναι μια [[ελεύθερη αβελιανή ομάδα]] τάξης ''n''. Η ''k''-οστή [[ομάδα ομολογίας]] του ''n''-τόρου είναι μια ελεύθερη αβελιανή ομάδα τάξης [[ν ανά κ|''n'' ανά ''k'']]. Επομένως, η [[χαρακτηριστική Όιλερ]] του ''n''-τόρου είναι 0 για κάθε ''n''. Ο συνομόλογος δακτύλιος ''H''<sup>•</sup>('''T'''<sup>''n''</sup>,&nbsp;'''Z''') μπορεί να αναγνωριστεί με [[εξωτερική άλγεβρα]] κατά τη διάρκεια της '''Z'''-ενότητας, '''Z'''<sup>''n''</sup> γεννήτριες των οποίων είναι διπλά των ''n'' μη τετριμμένων κύκλων.
<!-- Κείμενο προς μετάφραση:
===Configuration space===
[[File:Moebius Surface 1 Display Small.png|thumb|The configuration space of 2 not necessarily distinct points on the circle is the [[orbifold]] quotient of the 2-torus, '''T'''<sup>2</sup>/''S''<sub>2</sub>, which is the [[Möbius strip]].]]
[[File:Neo-Riemannian Tonnetz.svg|thumb|left|The ''[[Tonnetz]]'' is an example of a torus in music theory.<br /><small>The Tonnetz is only truly a torus if [[enharmonic equivalence]] is assumed, so that the {{nowrap|(F♯-A♯)}} segment of the right edge of the repeated parallelogram is identified with the {{nowrap|(G♭-B♭)}} segment of the left edge.  If not, it is merely a [[cylinder (geometry)|cylinder]].</small>]]
As the ''n''-torus is the ''n''-fold product of the circle, the ''n''-torus is the [[configuration space]] of ''n'' ordered, not necessarily distinct points on the circle. Symbolically, '''T'''<sup>''n''</sup> = (''S''<sup>1</sup>)<sup>''n''</sup>. The configuration space of ''unordered'', not necessarily distinct points is accordingly the [[orbifold]] '''T'''<sup>''n''</sup>/''S<sub>n</sub>'', which is the quotient of the torus by the [[symmetric group]] on ''n'' letters (by permuting the coordinates).

For ''n'' = 2, the quotient is the [[Möbius strip]], the edge corresponding to the orbifold points where the two coordinates coincide. For ''n'' = 3 this quotient may be described as a solid torus with cross-section an [[equilateral triangle]], with a twist; equivalently, as a [[triangular prism]] whose top and bottom faces are connected with a 1/3 twist (120°): the 3-dimensional interior corresponds to the points on the 3-torus where all 3 coordinates are distinct, the 2-dimensional face corresponds to points with 2 coordinates equal and the 3rd different, while the 1-dimensional edge corresponds to points with all 3 coordinates identical.

These orbifolds have found significant [[Orbifold#Music theory|applications to music theory]] in the work of Dmitri Tymoczko and collaborators (Felipe Posada and Michael Kolinas, et al.), being used to model [[triad (music)|musical triad]]s.<ref>{{Cite journal | first = Dmitri | last = Tymoczko | journal = [[Science (journal)|Science]] | date = 7 July 2006 | volume = 313 | pages = 72–74 | doi = 10.1126/science.1126287 | url = http://www.brainmusic.org/EducationalActivitiesFolder/Tymoczko_chords2006.pdf | title = The Geometry of Musical Chords | issue = 5783 | pmid = 16825563}}</ref><ref>Tony Phillips, ''[http://www.ams.org/mathmedia/archive/10-2006-media.html Tony Phillips' Take on Math in the Media],'' [[American Mathematical Society]], October 2006</ref>

==Flat torus==
{| class=wikitable align=right width=480
|[[File:Torus from rectangle.gif|240px]]<BR>In three dimensions, one can bend a rectangle into a torus, but doing this typically stretches the surface, as seen by the distortion of the checkered pattern
|[[Image:Duocylinder ridge animated.gif|240px]]<BR>Seen in [[stereographic projection]] a 4D ''flat torus'' can be projected into 3-dimensions and rotated on a fixed axis
|}
The flat torus is a torus with the metric inherited from its representation as the [[Quotient space (topology)|quotient]], '''R'''<sup>2</sup>/'''L''', where '''L''' is a discrete subgroup of '''R'''<sup>2</sup> isomorphic to '''Z'''<sup>2</sup>. This gives the quotient the structure of a [[Riemannian manifold]]. Perhaps the simplest example of this is when '''L''' = '''Z'''<sup>2</sup> itself: '''R'''<sup>2</sup>/'''Z'''<sup>2</sup>, which can also be described as the [[Cartesian plane]] under the identifications (''x'',&#8239;''y'') ~ (''x''+1,&#8239;''y'') ~ (''x'',&#8239;''y''+1). This particular flat torus (and any uniformly scaled version of it as well) is known as the "square" flat torus.

This metric of the square flat torus can also be realised by specific embeddings of the familiar 2-torus into Euclidean 4-space or higher dimensions. Its surface has zero [[Gaussian curvature]] everywhere. Its surface is "flat" in the same sense that the surface of a cylinder is "flat". In 3 dimensions one can bend a flat sheet of paper into a cylinder without stretching the paper, but you cannot then bend this cylinder into a torus without stretching the paper (unless you give up some regularity and differentiability conditions, see below).

A simple 4-dimensional Euclidean embedding of a rectangular flat torus (more general than the square one) is as follows:

:(''x'',&#8239;''y'',&#8239;''z'',&#8239;''w'') = (''R''&#8239;cos''u'', ''R''&#8239;sin''u'', ''P''&#8239;cos''v'', ''P''&#8239;sin''v'')

where ''R'' and ''P'' are constants determining the aspect ratio. It is [[diffeomorphic]] to a regular torus but not [[isometry|isometric]]. It can not be isometrically embedded into Euclidean 3-space. [[map (mathematics)|Mapping]] it into ''3''-space requires you to stretch it, in which case it looks like a regular torus, for example, the following map

:(''x'',&nbsp;''y'',&nbsp;''z'') = ((''R'' + ''P''sin(''v''))cos(''u''),&nbsp;(''R'' + ''P''sin(''v''))sin(''u''),&nbsp;''P''cos(''v'')).

If ''R'' and ''P'' in the above flat torus form a unit vector <R, P> = <cos(η), sin(η)> then ''u'', ''v'', and ''η'' can be used to parameterize the unit 3-sphere in a parameterization associated with the [[3-sphere#Hopf_coordinates|Hopf map]].  In particular, for certain very specific choices of a square flat torus in the [[3-sphere]] '''S'''<sup>3</sup>, where ''η'' = π/4 above, the torus will partition the 3-sphere into two [[congruence (geometry)|congruent]] solid tori subsets with the aforesaid flat torus surface as their common [[boundary (topology)|boundary]].  One example is the torus '''T''' defined by 

           '''T'''  =  { (x,y,z,w) ∈ '''S'''<sup>3</sup>  |  x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 1/2, &nbsp;&nbsp;&nbsp; z<sup>2</sup> + w<sup>2</sup> = 1/2 }.
Other tori in '''S'''<sup>3</sup> having this partitioning property include the square tori of the form Q⋅'''T''', where Q is a rotation of 4-dimensional space '''R'''<sup>4</sup>, or in other words Q is a member of the Lie group '''SO'''(4).

It is known that there exists no C<sup>2</sup> (twice continuously differentiable) embedding of a flat torus into 3-space. (The idea of the proof is to take a large sphere containing such a flat torus in its interior, and shrink the radius of the sphere until it just touches the torus for the first time. Such a point of contact must be a tangency. But that would imply that part of the torus, since it has zero curvature everywhere, must lie strictly outside the sphere, which is a contradiction.) On the other hand, according to the [[Nash-Kuiper theorem]], proven in the 1950s, an isometric C<sup>1</sup> embedding exists.  This is solely an existence proof, and does not provide explicit equations for such an embedding.

In April 2012, an explicit C<sup>1</sup> (continuously differentiable) embedding of a flat torus into 3-dimensional Euclidean space '''R'''<sup>3</sup> was found.<ref>{{cite web|last=Filippelli |first=Gianluigi |url=http://docmadhattan.fieldofscience.com/2012/04/flat-torus-in-three-dimensional-space.html |title=Doc Madhattan: A flat torus in three dimensional space |doi=10.1073/pnas.1118478109 |publisher=Docmadhattan.fieldofscience.com |date=27 April 2012 |accessdate=21 July 2012}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.sci-news.com/othersciences/mathematics/article00279.html |title=Mathematicians Produce First-Ever Image of Flat Torus in 3D &#124; Mathematics |publisher=Sci-News.com |date=18 April 2012 |accessdate=21 July 2012}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www2.cnrs.fr/en/2027.htm |title=Mathematics : first-ever image of a flat torus in 3D - CNRS Web site - CNRS |date= |accessdate=21 July 2012}}</ref><ref>{{cite web|url=http://math.univ-lyon1.fr/~borrelli/Hevea/Presse/index-en.html |title=Flat tori finally visualized! |publisher=Math.univ-lyon1.fr |date=18 April 2012 |accessdate=21 July 2012}}</ref> It is similar in structure to a [[fractal]] as it is constructed by repeatedly corrugating a normal torus. Like fractals, it has no defined Gaussian curvature. However, unlike fractals, it does have defined [[surface normals]]. It "is" a flat torus in the sense that as metric spaces, it is isometric to a flat square torus. (These infinitely recursive corrugations are used only for embedding into three dimensions; they are not an intrinsic feature of the flat torus.)  This is the first time that any such embedding was defined by explicit equations, or depicted by computer graphics.
-->

== Πολλαπλός τόρος ==
Στη θεωρία των επιφανειών υπάρχει το αντικείμενο πολλαπλός τόρος, που συχνά αποκαλείται ''n''-πλάσιος τόρος ή ''n''-οπών τόρος. Ένας ''n''-πλάσιος τόρος, αντί να είναι το γινόμενο ''n'' κύκλων, είναι το άθροισμα ''n'' συνδεδεμένων 2-τόρος. Για να σχηματιστεί ένα συνδεδεμένο άθροισμα δύο επιφανειών, αφαιρούμε από την κάθε μια το εσωτερικό του δίσκου της και «κολλάμε» τις επιφάνειες μεταξύ τους κατά μήκος των κυκλικών ορίων των δίσκων τους. Για να σχηματιστεί το συνδεδεμένο άθροισμα περισσότερων των δύο επιφανειών, αθροίζουμε δύο από αυτές τη φορά έως ότου συνδεθούν όλες. Υπό την έννοια αυτή, ένας ''n''-τόρος μοιάζει με την επιφάνεια ''n'' κουλουριών που κολλάνε όλα μαζί το ένα πλάι στο άλλο.

Ένας συνηθισμένος τόρος είναι ένας 1-πλάσιος τόρος, ο 2-πλάσιος τόρος ονομάζεται [[διπλός τόρος]], ο 3-πλάσιος τόρος [[τριπλός τόρος]], και ούτω καθεξής. Ο ''n''-πλάσιος τόρος λέμε ότι είναι μια "[[Προσανατολισμός (μαθηματικά)|προσανατολίσιμη επιφάνεια]]" [[Γένος (μαθηματικά)|γένους]] ''n'', όπου το γένος είναι ο αριθμός των οπών (ή "λαβών"). Ο 0-πλάσιος τόρος είναι η 2-σφαίρα.

Το [[θεώρημα ταξινόμησης]] για επιφάνειες δηλώνει ότι κάθε [[Συμπαγής χώρος|συμπαγής]] [[Συνδεδεμένος χώρος|συνδεδεμένη]] επιφάνεια είναι τοπολογικά ισοδύναμη είτε με σφαίρα, είτε με ''n''-πλάσιο τόρο όπου ''n'' > 0, είτε με συνδεδεμένο άθροισμα ''n'' [[Προβολικό επίπεδο|προβολικών επιπέδων]] όπου ''n'' > 0 (δηλαδή, προβολικά επίπεδα πάνω σε [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικούς αριθμούς]]).

{| class=wikitable
|- align=center
|[[Αρχείο:Double torus illustration.png|160px]]<br />[[Διπλός τόρος]]
|[[Αρχείο:Triple torus illustration.png|240px]]<br />[[Τριπλός τόρος]]
|}

== Τοροειδή πολύεδρα ==
[[Αρχείο:Hexagonal torus.svg|μικρογραφία|δεξιά|Ένα [[τοροειδές πολύεδρο]] με 6&#8239;×&#8239;4&nbsp;=&nbsp;24 τετράπλευρες έδρες.]]
Τα πολύεδρα με τοπολογικό τύπο τόρου καλούνται [[Τοροειδές πολύεδρο|τοροειδή πολύεδρα]] και έχουν [[χαρακτηριστική Όιλερ]] ''V''&nbsp;− ''E''&nbsp;+ ''F''&nbsp;=&nbsp;0. Για τυχόν αριθμό οπών, ο τύπος γενικεύεται ως ''V''&nbsp;− ''E''&nbsp;+ ''F''&nbsp;= 2&nbsp;−&nbsp;2''N'', όπου ''N'' είναι ο αριθμός των οπών.

Ο όρος «τοροειδές πολύεδρο» χρησιμοποιείται επίσης σε υψηλότερου γένους πολύεδρα, καθώς και σε βυθίσεις τορειδών πολυέδρων.

== Κοπή ενός τόρου ==
Ένα τυπικός τόρος (συγκεκριμένα ένας δακτυλιοειδής τόρος) μπορεί να κοπεί με ''n'' επίπεδα το πολύ σε ''m'' μέρη, σύμφωνα με τον τύπο:<ref>{{MathWorld|urlname=TorusCutting|title=Torus Cutting}}</ref>
:<math>m = \tfrac{1}{6}(n^3 + 3n^2 + 8n) \qquad \forall\ n \in \mathbb{N}^*</math>

Οι αρχικοί όροι αυτής της ακολουθίας είναι: 2, 6, 13, 24, 40, … {{OEIS|id=A003600}}.

== Χρωματισμός ενός τόρου ==
Εάν χωρίσουμε έναν τόρο σε περιοχές, τότε είναι δυνατό να χρωματιστούν οι περιοχές αυτές, έτσι ώστε η κάθε γειτονική περιοχή να έχει διαφορετικό χρώμα, έτσι θα χρειαστούν τουλάχιστον επτά χρώματα. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με το [[θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων]] που ισχύει στο [[επίπεδο]], λόγω του ότι ο τόρος είναι [[Τρισδιάστατος χώρος|τρισδιάστατο]] αντικείμενο.
[[Αρχείο:Projection color torus.png|480px|μικρογραφία|κέντρο|Αυτή η κατασκευή δείχνει τον τόρο χωρισμένο και χρωματισμένο σε επτά περιοχές, κάθε μία εκ των οποίων εφάπτεται όλων των άλλων.]]

== Παραπομπές ==
<references />


{{Γεωμετρικά στερεά}}
{{authority control}}
{{Portal bar|Μαθηματικά}}
[[Κατηγορία:Επιφάνειες]]
[[Κατηγορία:Τοπολογία]]
[[Κατηγορία:Ομάδες Λι]]