Απόλυτη τιμή

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού μπορεί να θεωρηθεί η απόστασή του από το 0.

Η απόλυτη τιμή ή το απόλυτο ενός πραγματικού αριθμού είναι η τιμή του αριθμού χωρίς πρόσημο και δείχνει την απόσταση του αριθμού από το μηδέν ή το κέντρο των αξόνων (μιγαδικοί). Η έννοια της απόλυτης τιμής μπορεί να βρεθεί και σε άλλες μαθηματικές δομές όπως στους δακτύλιους ή στους μιγαδικούς αριθμούς.

Ορολογία

Η έννοια "module" ως μονάδα μέτρησης στη γαλλική γλώσσα, αποδίδεται στον Jean-Robert Argand κυρίως για τους μιγαδικούς αριθμούς. Η εισαγωγή του συμβολισμού |α| αποδίδεται στον Karl Weierstrass ο οποίος την πρωτοχρησιμοποίησε το 1841. Άλλος, γνωστός κυρίως στην πληροφορική, συμβολισμός της απόλυτης τιμής ενός αριθμού a είναι ο abs(a).

Ορισμοί και ιδιότητες

Πραγματικοί αριθμοί

Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού α ή το απόλυτο α (το οποίο συμβολίζεται ως |α| δηλαδή ο αριθμός ανάμεσα σε δύο κατακόρυφες γραμμές) ορίζεται με τη συνάρτηση:

$|\alpha |=\{\begin{array}{cc}\alpha & \gamma \iota \alpha \alpha ⩾0\\ -\alpha & \gamma \iota \alpha \alpha <0.\end{array}$

Καθώς η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντα θετική ισχύει επίσης και το:

$|\alpha |=\sqrt{{\alpha }^2}$

$(1)$

Επίσης ισχύει:

$|\alpha |=|-\alpha |\ge 0$

$(2)$

$|\alpha {|}^2={\alpha }^2$

$(3)$

Απόσταση δύο σημείων

Γεωμετρική αναπαράσταση απόστασης δύο σημείων.

Αν πάρουμε δύο αριθμούς τους $x_1,x_2$ η απόσταση μεταξύ τους είναι $d(x_1,x_2)=|x_1-x_2|$. Το μέσο του τμήματος που ενώνει τους $x_1,x_2$ είναι το σημείο $x_0$το οποίο απέχει την ίδια απόσταση από τα δύο σημεία $x_1,x_2$:$d(x_0,x_1)=d(x_0,x_2)\Rightarrow |x_0-x_1|=|x_0-x_2|$ και τότε $x_0-x_1=x_2-x_0$ αν $(x_1<x_0<x_2)$. Το σημείο στην μέση ορίζεται ως $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$ και αντιστοιχεί στο κέντρο του διαστήματος $[x_1,x_2]$. Ο αριθμός $\rho =\frac{x_2-x_1}{2}$ λέγεται ακτίνα του διαστήματος $[x_1,x_2]$.

Με βάση αυτά έχω: $x_0\in ℝ,\rho >0|x-x_0|<\rho$ που γράφεται ως η απόσταση των δύο σημείων $d(x,x0)<\rho$ δηλαδή $x_0-\rho <x<x_0+\rho$ άρα $x\in (x_0-\rho ,x_0+\rho )\iff x_0-\rho <x<x_0+\rho$.

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού z είναι η απόσταση r του z από το κέντρο των συντεταγμένων.

Μιγαδικοί αριθμοί

Δεδομένου ότι το σύνολο των μιγαδικών αριθμών δεν είναι διατεταγμένο, ο ορισμός, μέσω συνάρτησης, για τους πραγματικούς αριθμούς δεν μπορεί άμεσα να γενικευθεί στους μιγαδικούς αριθμούς.

Καθώς όμως η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντα θετική ή μηδέν , σύμφωνα με την πιο πάνω εξίσωση (1), μπορούμε να ορίσουμε την απόλυτη τιμή ενός μιγαδικού αριθμού

$z=x+iy,$

ως:

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$

Παραπομπές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Μαθηματικά-επέκταση