Ένα προς ένα

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση $f:A\to B$ μεταξύ δύο συνόλων $A$, $B$ ονομάζεται ένα προς ένα (1-1) ή ερριπτική ή αμφιμονότιμη, αν ισχύει ότι: αν $f(x)=f(y)$ τότε είναι $x=y$, για κάθε $x,y$ στο $A$. Ένας ισοδύναμος ορισμός είναι ο εξής: Αν $x\ne y$ τότε $f(x)\ne f(y)$, για κάθε $x,y$ στο $A$.Πρότυπο:Rp

Μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα $\mathrm{\Delta }$, τότε είναι "1-1" σε αυτό.

Μαθηματικός ορισμός

Συμβολικά, μία συνάρτηση $f:A\to B$ ονομάζεται ένας-προς-ένα αν ικανοποιεί

$\mathrm{\forall }x,y\in A.f(x)=f(y)\Rightarrow x=y,$

το οποίο είναι λογικά ισοδύναμο με

$\mathrm{\forall }x,y\in A.x\ne y\Rightarrow f(x)\ne f(y).$

Παραδείγματα

Παρακάτω δίνονται κάποια παραδείγματα συναρτήσεων που είναι ένα-προς-ένα και κάποιων που δεν είναι. Κάποιες ένα-προς-ένα συναρτήσεις, με την ίδια φόρμουλα αλλά ορισμένες σε διαφορετικά πεδία ορισμού μπορεί να μην είναι πλέον ένα-προς-ένα.

• Η συνάρτηση $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ με $f(x)=x+1$, είναι ένα-προς-ένα.
• Η συνάρτηση $f:[0,\mathrm{\infty })\to ℝ$ με $f(x)=x^2$, είναι ένα-προς-ένα. Ενώ, η συνάρτηση $g:ℝ\to ℝ$ με $g(x)=x^2$ δεν είναι, καθώς $g(3)=g(-3)=9$.
• Η συνάρτηση $f:[-1,\mathrm{\infty })\to ℝ$ με $f(x)=|x+1|$, είναι ένα-προς-ένα. Ενώ, η συνάρτηση $g:ℝ\to ℝ$ με $g(x)=|x+1|$ δεν είναι, καθώς $|2+1|=|(-4)+1|=3$.
• H συνάρτηση προσήμου $\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}:ℝ\to ℝ$ δεν είναι ένα-προς-ένα, αλλά η συνάρτηση $s:\{-1,0,1\}\to \{-1,0,1\}$ με $s(x)=x$ είναι.
• Η ταυτοτική συνάρτηση είναι ένα-προς-ένα.
• Η γραμμική συνάρτηση $f:ℝ\to ℝ$ με $f(x)=ax+b$ (για κάθε $a,b\in ℝ$ και $a\ne 0$) είναι ένα-προς-ένα.

Ιδιότητες

• Κάθε γνησίως μονότονη πραγματική συνάρτηση $f:\mathrm{\Delta }\to ℝ$ για $\mathrm{\Delta }\subseteq ℝ$ είναι ένα-προς-ένα.

• Η σύνθεση δύο ένα-προς-ένα συναρτήσεων $f:A\to B$ και $g:B\to C$, είναι ένα-προς-ένα.

Δείτε επίσης

• Συνάρτηση
• Επί