Μετρική (μαθηματικά)

Πρότυπο:Πηγές Στα μαθηματικά, μετρική ονομάζεται μια συνάρτηση $d:V\times V\to ℝ$, όπου $V$ ένα μη-κενό σύνολο, η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες για κάθε $x,y,z\in V$:

• $d(x,y)=0$, αν και μόνο αν $x=y$ (αξίωμα ταύτισης)
• $d(x,y)=d(y,x)$ (αξίωμα συμμετρίας)
• $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ (τριγωνική ανισότητα)

Η τιμή $d(x,y)$ ονομάζεται απόσταση των $x$, $y$, (ενν. μέσω της μετρικής $d$) και το ζεύγος $(V,d)$ ονομάζεται μετρικός χώρος.

Παραδείγματα

• Η Ευκλείδεια μετρική στο σύνολο ${ℝ}^n$ ορίζεται για δύο σημεία $x=(x_1,\dots ,x_n)$ και $y=(y_1,\dots ,y_n)$ ως

$d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+\dots +(x_n-y_n{)}^2}$.

• Ειδική περίπτωση αυτής στον $ℝ$ είναι η συνηθισμένη μετρική

$d(x,y)=|x-y|$.

• Η διακριτή μετρική σε οποιοδήποτε σύνολο $X$ ορίζεται ως

$d(x,y)=\{\begin{array}{cc}0& x=y\\ 1& x\ne y\end{array}$

• Η $p$-μετρική (για $p\ge 1$) στο σύνολο ${ℝ}^n$ ορίζεται για δύο σημεία $x=(x_1,\dots ,x_n)$ και $y=(y_1,\dots ,y_n)$ ως

$d(x,y)={((x_1-y_1{)}^p+(x_2-y_2{)}^p+\dots +(x_n-y_n{)}^p)}^{1/p}$.

• Η μετρική στο ${ℝ}^n$

$d_{\mathrm{\infty }}(x,y)=\max \{|x_i-y_i|:1\le i\le n\}$.

Ιδιότητες

Σε έναν μετρικό χώρο $(X,d)$ ισχύει ότι για κάθε $x,y\in V$

$d(x,y)\ge 0$.

Δείτε επίσης

• Μετρικός χώρος

Πρότυπο:Μαθηματικά-επέκταση