Δυναμοσύνολο

Στα μαθηματικά, το δυναμοσύνολο ενός συνόλου $X$ είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του. Συνήθως συμβολίζεται με $𝒫(X)$, όπου το $𝒫$ έρχεται από τον αγγλικό όρο powerset. Επίσης συχνά συμβολίζεται ως $2^X$.Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Με συμβολισμούς θεωρίας συνόλων, το δυναμοσύνολο ισούται με

$𝒫(X)=\{A:A\subseteq X\}$,

η ύπαρξη του οποίου προκύπτει από τα αξιώματα της αντίστοιχης θεωρίας (όπως αυτά της θεωρίας Ζερμέλο Φράνκελ).

Παραδείγματα

• Το σύνολο $X=\{x,y\}$ έχει τα εξής υποσύνολα:
  • Μεγέθους 0: $\{\}$
  • Μεγέθους 1: $\{x\},\{y\}$
  • Μεγέθους 2: $\{x,y\}$

Επομένως, $P(X)=\{\{\},\{x\},\{y\},\{x,y\}\}$.

• Το σύνολο $X=\{x,y,z\}$ έχει τα εξής υποσύνολα:
  • Μεγέθους 0: $\{\}$
  • Μεγέθους 1: $\{x\},\{y\},\{z\}$
  • Μεγέθους 2: $\{x,y\},\{y,z\},\{x,z\}$
  • Μεγέθους 3: $\{x,y,z\}$

Επομένως, $P(X)=\{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{y,z\},\{x,z\},\{x,y,z\}\}$.

Ιδιότητες

• Αν το $X$ είναι υποσύνολο του $Y$ ($X\subseteq Y$), τότε $𝒫(X)\subset 𝒫(Y)$.
• $𝒫(X)\cap 𝒫(Y)=𝒫(X\cap Y)$.
• Αν $x_1\in 𝒫(X)$ και $x_2\in 𝒫(X)$, τότε $x_1\cap x_2\in 𝒫(X)$.Πρότυπο:R
• Αν $x_1\in 𝒫(X)$ και $x_2\in 𝒫(X)$, τότε $x_1\cup x_2\in 𝒫(X)$.Πρότυπο:R

Πλήθος στοιχείων

Το δυναμοσύνολο $𝒫(X)$ ενός πεπερασμένου συνόλου $X$ με $n$ στοιχεία, έχει συνολικά $2^n$ στοιχεία.Πρότυπο:R Για παράδειγμα, για ένα σύνολο $X$ με $|X|=2$ έχουμε $|𝒫(X)|=2^2=4$ και για ένα σύνολο $Y$ με $|Y|=3$ έχουμε $|𝒫(Y)|=2^3=8$.

Η απόδειξη προκύπτει από το γεγονός ότι για κάθε στοιχείο έχουμε δύο επιλογές: είτε (i) να βάλουμε στο σύνολο είτε (ii) να μην στο βάλουμε. Επομένως,

$|𝒫(X)|=\underset{n\text{ όροι}}{\underbrace{2\cdot \dots \cdot 2}}=2^n$.

Δείτε επίσης

• Θεωρία συνόλων
• Τομή συνόλων
• Ένωση συνόλων