Αρχή του Χάμιλτον

Η αρχή του Χάμιλτον (Hamilton) είναι μία αρχή της φυσικής βάσει της οποίας τα φυσικά συστήματα συμπεριφέρονται έτσι ώστε το φυσικό μέγεθος που ονομάζεται δράση να στασιμοποιείται. Αυτή είναι μία αρχή η οποία φαίνεται να έχει γενική ισχύ στη φυσική και εφαρμόζεται σε διάφορα φυσικά συστήματα. Αρχικά, όμως, η αρχή αυτή εφαρμόστηκε σε κλασικά μηχανικά συστήματα.

Το φυσικό μέγεθος της δράσης

Η δράση (S) ενός συστήματος το οποίο βρισκόταν αρχικά στην κατάσταση Α και περιήλθε στην κατάσταση Β, είναι ένα φυσικό μέγεθος το οποίο ορίζεται ως εξής:

$S\equiv \underset{A}{\overset{B}{\int }}L(a_i,\dot{a_i},\ddot{a_i},...,t)dt$, όπου L είναι η Λαγκρανζιανή συνάρτηση του συστήματος και α_i μέγεθος που περιγράφει το σύστημα, ενώ ο δείκτης i δείχνει τον αριθμό της συνιστώσας του διανύσματος.

Το μέγεθος της δράσης έχει γενικά μονάδες: (Ενέργεια)•(Χρόνος).

Αρχή του Hamilton

Όπως εξηγήθηκε και προηγουμένως η αρχή του Hamilton λέει ότι η φύση προτιμά να ακολουθεί μία ακολουθία καταστάσεων για ένα σύστημα τέτοια ώστε η δράση S να στασιμοποιείται.
Η στασιμοποίηση έγκειται στην μεταβολή της δράσης κατά τάξη ε² ή μεγαλύτερης (δηλαδή ε³, ε⁴ κ.λ.π., κάτι που μαθηματικά συμβολίζεται ως Ο[ε²]), όταν το μέγεθος $\overrightarrow{a}$ αλλάζει κατά τάξη ε ως:

$\widetilde{a_i}=a_i+ϵ\cdot n_i$

Το n_i είναι μία συνεχής συνάρτηση που δείχνει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται το μέγεθος a_i και το ε δείχνει το μέγεθος της μεταβολής αυτής (το πόσο μεγάλη είναι η μεταβολή) και για την οποία πρέπει να ισχύει $n_i(A)=n_i(B)=0$, απαιτείται δηλαδή από το μέγεθος $\widetilde{a_i}$ να έχει ακριβώς την ίδια τιμή με το $a_i$ στις καταστάσεις Α και Β της αρχής και του τέλους αντιστοίχως.

Εξισώσεις Euler - Lagrange

Η εφαρμογή της αρχής του Hamilton σε ένα κλασικό μηχανικό σύστημα, μας οδηγεί στις εξισώσεις Euler - Lagrange που είναι οι εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιούνται για να ελαχιστοποιείται η δράση και είναι ισοδύναμες με τον 2ο νόμο του Newton.
Η Λαγκρανζιανή σε αυτήν την περίπτωση είναι της μορφής: $L=L(q(t),\dot{q(t)},t)$, όπου τα q είναι οι θέσεις του συστήματος (βλ. το άρθρο Λαγκρανζιανή συνάρτηση για το λόγο για τον οποίο απορρίφθηκε η υπόθεση η Λαγκρανζιανή στην περίπτωσή μας να είναι συνάρτηση και ανωτέρων παραγώγων της θέσης) και η δράση είναι εξ ορισμού ίση με: $S(q)=\underset{t_A}{\overset{t_B}{\int }}L(q(t),\dot{q}(t),t)dt$.
Υποθέτουμε ότι η q(t) είναι η τροχιά αυτή που ελαχιστοποιεί την δράση και $\widetilde{q(t)}=q(t)+ϵ\cdot n(t)$ μία παρέκκλιση αυτής της τροχιάς. Η μεταβολή στη δράση θα είναι:

$\mathrm{\Delta }S=S\left(\tilde{q}\right)-S(q)=\underset{t_A}{\overset{t_B}{\int }}L(\tilde{q}(t),\dot{\tilde{q}}(t),t)dt-\underset{t_A}{\overset{t_B}{\int }}L(q(t),\dot{q}(t),t)dt=\underset{t_A}{\overset{t_B}{\int }}(L(\tilde{q}(t),\dot{\tilde{q}}(t),t)-L(q(t),\dot{q}(t),t))dt$.

Το ανάπτυγμα της $L(\tilde{q}(t),\dot{\tilde{q}}(t),t)$ κατά Taylor δίνει:

$L(\tilde{q}(t),\dot{\tilde{q}}(t),t)=L(q(t),\dot{q}(t),t)+ϵ(\frac{\partial L}{\partial q}n+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{n})+O\left[{ϵ}^2\right]$

Συνεπώς, έχουμε:

$\mathrm{\Delta }S=ϵ\underset{t_A}{\overset{t_B}{\int }}(\frac{\partial L}{\partial q}n+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{n})dt+O\left[{ϵ}^2\right]=ϵ\underset{t_A}{\overset{t_B}{\int }}(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}})ndt+O\left[{ϵ}^2\right]$

Βάσει της αρχής του Hamilton πρέπει να μηδενιστεί ο όρος τάξης ε, δηλαδή πρέπει να ισχύει πάντοτε:

$\underset{t_A}{\overset{t_B}{\int }}(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}})ndt=0$

Και επειδή η n είναι μία τυχαία συνάρτηση, οδηγούμαστε στην εξίσωση:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$

η οποία είναι γνωστή ως εξίσωση Euler - Lagrange.

Εσωτερικοί σύνδεσμοι

• Λαγκρανζιανή συνάρτηση
• Λαγκρανζιανή μηχανική
• Χαμιλτονιανή μηχανική

Βιβλιογραφία

• Ιωάννου Πέτρος, Αποστολάτος Θ., Θεωρητική Μηχανική, Πανεπιστήμιο Αθηνών 2007 (έκδοση Β')