Μέτρο (μαθηματικά)

Μέτρο στα μαθηματικά ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση $\mu :\mathrm{\Sigma }\to [0,+\mathrm{\infty }]$ ορισμένη σε μία Σ-άλγεβρα $\mathrm{\Sigma }$ με τις ακόλουθες ιδιότητες:

• Αριθμήσιμη προσθετικότητα: Για κάθε αριθμήσιμη συλλογή $\{E_i{\}}_{i\in I}$ ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων

$\mu \left(\bigcup _{i\in I}{E}_i\right)=\sum _{i\in I}\mu (E_i).$

• Μηδενικό μέτρο στο κενό σύνολο:

$\mu (\varnothing )=0.$

Συγκεκριμένα ο παραπάνω ορισμός ορίζει ένα μη-αρνητικό μέτρο. Μέτρα με σύνολο τιμών το $ℝ$ ή το $ℂ$ εξετάζονται στην θεωρία ολοκλήρωσης.

Εξωτερικό μέτρο

Έστω ένα σύνολο X, και έστω $𝒫(X)$ το δυναμοσύνολο του X. Εξωτερικό μέτρο ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση $\mu :𝒫(X)\to [0,+\mathrm{\infty }]$ με τις ακόλουθες ιδιότητες:

• $\mu (\varnothing )=0.$
• Αν $A\subseteq B\subseteq X$, τότε $\mu (A)\le \mu (B)$.
• Αν $\{A_n\}$ είναι μια ακολουθία υποσυνόλων του Χ, τότε $\mu \left(\bigcup _n{A}_n\right)\le \sum _n\mu (A_n)$.

Σ-περατότητα

Έστω $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ ένας μετρήσιμος χώρος, δηλαδή έστω Χ κάποιο σύνολο, Σ μια σ-άλγεβρα και μ ένα μέτρο ορισμένο σε αυτή. Ένα μέτρο είναι σ-περατό αν για κάθε $E\in \mathrm{\Sigma }$, υπάρχει ακολουθία ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων $A_n$ με $\bigcup _n{A}_n=E$ τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της ακολουθίας να έχει περατό μέτρο, δηλαδή $\mu (A_i)<+\mathrm{\infty }$.