Ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο

Πρότυπο:Χωρίς παραπομπές Πρότυπο:Πολύεδρο

Στη στερεομετρία, το ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο (ή μικρό ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο) είναι ένα κυρτό ημικανονικό πολύεδρο, που ανήκει στα στερεά του Αρχιμήδη. Διαθέτει 62 έδρες: 20 ισόπλευρα τρίγωνα, 30 τετράγωνα και 12 κανονικά πεντάγωνα. Έχει 60 κορυφές και 120 ακμές.

Οι 30 τετραγωνικές έδρες του πολυέδρου είναι συνεπίπεδες με τις 30 έδρες του ρομβικού τριακοντάεδρου, το οποίο είναι δυϊκό του εικοσιδωδεκάεδρου, εξού και το όνομα ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο.

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά ρομβοεικοσιδωδεκάεδρου

Αν θεωρήσουμε $α$ το μήκος της ακμής του στερεού, τότε ισχύουν τα εξής:

Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση κορυφών από το κέντρο)	$R = \frac{1}{2} \sqrt{11 + 4 \sqrt{5}} α \approx 2, 233 α$
Απόσταση ακμών από το κέντρο	$ρ = \frac{1}{2} \sqrt{10 + 4 \sqrt{5}} α \approx 2, 176 α$
Συνολική επιφάνεια	$S = (30 + 5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}) α^{2} \approx 59, 306 α^{2}$
Όγκος	$V = \frac{1}{3} (60 + 29 \sqrt{5}) α^{3} \approx 41, 615 α^{3}$

Κατασκευαστικά, το ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο μπορεί να προέλθει από το δωδεκάεδρο, εάν αποκοπούν όλες οι ακμές του, έτσι ώστε στη θέση των ακμών του αρχικού δωδεκαέδρου να σχηματιστούν τετράγωνα, ενώ στις κορυφές του να σχηματιστούν τρίγωνα. Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να προέλθει και από το δυϊκό πολύεδρο του δωδεκαέδρου, το εικοσάεδρο.

Ένας άλλος τρόπος κατασκευής του ρομβοεικοσιδωδεκάεδρου είναι να λάβουμε ένα δωδεκάεδρο και να απομακρύνουμε προς τα έξω (σε σχέση με το κέντρο του) όλες τις έδρες του κατά ορισμένη απόσταση, να κάνουμε το ίδιο και με ένα εικοσάεδρο (που έχει το ίδιο κέντρο και την ίδια ακμή με το δωδεκάεδρο) και, τέλος, να καλύψουμε τα 30 κενά που θα δημιουργηθούν με τετράγωνα (όσες είναι και οι ακμές των αρχικών στερεών). Έτσι το καινούριο πολύεδρο (το ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο) θα έχει ως έδρες τα 12 πεντάγωνα του δωδεκαέδρου, τα 20 τρίγωνα του εικοσαέδρου και επιπλέον 30 τετράγωνα που θα δημιουργηθούν (σύνολο εδρών: 62).