Στερεό εκ περιστροφής

Όλα τα τρισδιάστατα στερεά και επιφάνειες που παράγονται από περιστροφή
δισδιάστατης συνάρτησης μπορούν να διατυπωθούν αλγεβρικά στο παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων.

Έστω η δισδιάστατη παραμετρική $[X(t),Y(t)]$.
Στο τρισδιάστατο $[X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)]$ τοποθετούμε:$u=t$

$X(u,v)=X(u)$
$Y(u,v)=0$
$Z(u,v)=Y(u)$

Αν θέλουμε να περιστρέψουμε τον άξονα $Z$ τότε:
φ1=0
φ2=v

Αρα η συνάρτηση του στερεού εκ περιστροφής είναι:

$X(u,v)=X(u)cos(v)$
$Y(u,v)=-X(u)sin(v)$
$Z(u,v)=Y(u)$

Με παρόμοιο τρόπο παράγονται συναρτήσεις στερεών
από περιστροφή άλλων αξόνων η υπό γωνία.
Γνωστά στερεά από περιστροφή είναι η σφαίρα ο κώνος ο κύλινδρος ο τόρος κλπ.

Ακολουθεί το παράδειγμα της περιστροφής του ημιτόνου.
Σχηματίζεται κυματοειδής κυλινδρική επιφάνεια.

Σε πολλές περιπτώσεις είναι δυνατόν να υπολογιστεί το εμβαδό του στερεού.

Παραπομπή:commons:file:parametric system of coordinates.pdf