Εξίσωση Ντιράκ

Πρότυπο:Πηγές Πρότυπο:Κβαντική μηχανικήΠρότυπο:Κβαντική θεωρία πεδίου Η εξίσωση Ντιράκ, που ονομάστηκε έτσι προς τιμή του θεωρητικού φυσικού Πολ Ντιράκ, είναι μία εξίσωση της σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής, η οποία περιγράφει σωματίδια με σπιν. Η πρώτη προσπάθεια για μία σχετικιστική εξίσωση στην κβαντική μηχανική κατέληξε στην εξίσωση Κλάιν-Γκόρντον, μία γενίκευση της εξίσωσης Σρέντινγκερ. Το κίνητρο για τη δημιουργία της εξίσωσης Ντιράκ, ήταν να μπορέσει να αποφευχθεί η εμφάνιση αρνητικών ενεργειών μέσω της γραμμικοποίησης της εξίσωσης ως προς την παράγωγο του χρόνου, δηλαδή την ενέργεια. Η γραμμικοποίηση ως προς τον χρόνο επιτεύχθηκε, αλλά η ανάγκη ικανοποίησης της σχετικιστικής σχέσης για την ενέργεια E²=p²+m² (c=1), επανεμφάνισε τις αρνητικές ενέργειες. Το κέρδος τελικά είναι ότι η νέα εξίσωση έχει λύσεις σε μορφή πινάκων, δηλαδή σε «πλουσιότερη» δομή και το σπιν προκύπτει αυθόρμητα μέσα από τις λύσεις της.

Η εξίσωση

Η μορφή

Η γραμμικοποίηση της Κλάιν-Γκόρντον ως προς την χρονική παράγωγο, επιβάλει γραμμικοποίηση και στην κλίση (ανάδελτα), ώστε να είναι η εξίσωση σε συναλλοίωτη μορφή. Τελικά στην εξίσωση δόθηκε η γενική μορφή:

$i\frac{\partial \psi }{\partial t}=(-i\mathit{\alpha }\cdot \mathrm{\nabla }+\beta m)\psi$

ή διαφορετικά:

$H\psi =(\mathit{\alpha }\cdot 𝐏+\beta m)\psi$

η οποία θα πρέπει να ικανοποιεί επί πλέον την σχετικιστική εξίσωση ενέργειας-ορμής (και εδώ είναι που εισέρχονται και πάλι οι αρνητικές ενέργειες):

$H^2\psi =({𝐏}^2+m^2)\psi$

Οι σταθερές α_i, i=1,2,3 και β, είναι αρχικά αυθαίρετες και καθορίζονται μετέπειτα από ιδιότητες που προκύπτουν από την εξίσωση για την ικανοποίηση της σχετικιστικής ενέργειας.

Οι σταθερές α_i και β

Συγκεκριμένα ισχύει:

$H^2\psi =(\mathit{\alpha }\cdot 𝐏+\beta m{)}^2\psi =({\alpha }_i{P}_i+\beta m)({\alpha }_j{P}_j+\beta m)\psi =$

$=({\alpha }_i^2{P}_i^2+({\alpha }_i{\alpha }_j+{\alpha }_j{\alpha }_i)P_i{P}_j+({\alpha }_i\beta +\beta {\alpha }_i)P_{i}m+{\beta }^2{m}^2)\psi =$

$=({𝐏}^2+m^2)\psi$

Η τελευταία ισότητα φυσικά αποτελεί απαίτηση ώστε να δίνει η εξίσωσή μας, την σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής.

Από την παραπάνω σχέση προκύπτουν τα εξής:

${\alpha }_i{\alpha }_j+{\alpha }_j{\alpha }_i=0\iff \{{\alpha }_i,{\alpha }_j\}=0,i\ne j$

${\alpha }_i\beta +\beta {\alpha }_i=0\iff \{{\alpha }_i,\beta \}=0,i=1,2,3$

${\alpha }_i^2=1$

${\beta }^2=1$

Συνεπώς προκύπτει ως συμπέρασμα από τις δύο πρώτες σχέσεις, ότι τα α_i και β αντιμετατίθενται όλα μεταξύ τους και επομένως δεν είναι απλοί αριθμοί. Ιδιότητα μη μετάθεσης εμφανίζουν οι πίνακες και επομένως τα α_i και ο β είναι πίνακες με τις παραπάνω ιδιότητες.

Αποδεικνύεται ότι οι πίνακες α_i και β, είναι ερμιτιανοί, άιχνοι (μηδενικό ίχνος πίνακα), έχουν άρτια διάσταση και ιδιοτιμές ±1 .

Βιβλιογραφία

• Halzen, F., & Martin, A. D. (1984). Quarks and leptons: an introductory course in modern particle physics. New York: Wiley.
• Aitchison, I. J., & Hey, A. J. (2003). Gauge theories in particle physics (3rd ed.). New York: Taylor & Francis Group.