Τανυστής καμπυλότητας Ρίμαν

Πρότυπο:Μορφοποίηση Πρότυπο:Πηγές Στο μαθηματικό πεδίο της διαφορικής γεωμετρίας, ο τανυστής καμπυλότητας Ρίμαν (ή τανυστής Ρίμαν–Κρίστοφελ) από τους Μπέρναρντ Ρίμαν και Έλβιν Μπρούνο Κριστόφελ, είναι ο πιο συνηθισμένος τρόπος για να εκφραστεί η καμπυλότητα στις πολλαπλότητες Ρίμαν. Αυτός συσχετίζει έναν τανυστή σε κάθε σημείο της πολλαπλότητας του Ρίμαν (π.χ. ένα τανυστικό πεδίο), που μετράει την επέκταση στην οποία ο μετρικός τανυστής δεν είναι τοπικά ισομετρικός σε ένα Ευκλείδιο χώρο. Ο τανυστής καμπυλότητας μπορεί επίσης να προσδιοριστεί για κάθε ψευδο-πολλαπλότητα Ρίμαν, ή κάθε πολλαπλότητα που έχει μία ομοπαραλληλική σύνδεση. Είναι κεντρικό μαθηματικό εργαλείο στη θεωρία της γενική σχετικότητας, τη μοντέρνα θεωρία της βαρύτητας, και η καμπυλότητα του χωροχρόνου στη θεωρία είναι παρατηρήσιμη μέσω της εξίσωσης της γεωδαισιακής απόκλισης. Ο τανυστής καμπυλότητας αντιπροσωπεύει την παλιρροιακή δύναμη που υφίσταται ένα στερεό σώμα που κινείται κατά μήκος μιας γεωδαισιακής καμπύλης με τρόπο που περιγράφεται από την εξίσωση Τζακόμπι.

Ο τανυστής καμπυλότητας δίνεται σε όρους σύνδεσης Λέβι-Τσίβιτα $\mathrm{\nabla }$ από τον ακόλουθο τύπο:

$R(u,v)w={\mathrm{\nabla }}_u{\mathrm{\nabla }}_{v}w-{\mathrm{\nabla }}_v{\mathrm{\nabla }}_{u}w-{\mathrm{\nabla }}_{[u,v]}w$

όπου [u,v] είναι οι "αγκύλες Λάι (Lie)" των διανυσματικών πεδίων. Για κάθε ζεύγος εφαπτομενικών διανυσμάτων u και v, R(u,v) είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός του εφαπτομενικού χώρου της πολλαπλότητας. Είναι γραμμικός στα u and v, έτσι προσδιορίζει έναν τανυστή. Περιστασιακά, ο τανυστής καμπυλότητας προσδιορίζεται με αντίθετο πρόσημο.

Αν τα $u=\partial /\partial x^i$ και $v=\partial /\partial x^j$ είναι διανυσματικά πεδία συντεταγμένων τότε $[u,v]=0$

και συνεπώς ο τύπος απλοποιείται στον:

$R(u,v)w={\mathrm{\nabla }}_u{\mathrm{\nabla }}_{v}w-{\mathrm{\nabla }}_v{\mathrm{\nabla }}_{u}w.$

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book