Τανυστής τάσεων Κωσύ

Συνιστώσες της τάσης σε τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων.

Στη μηχανική συνεχούς μέσου, ο τανυστής τάσεων Κωσύ $\mathit{\sigma }$ (ή πραγματικός τανυστής τάσεων) ή απλούστερα ο τανυστής τάσεων, που πήρε το όνομα από τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, είναι ένας τανυστής 2ης τάξης, του τύπου (1,1) (ο οποίος είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός), με 9 συνιστώσες ${\sigma }_{ij}$ ο οποίος προσδιορίζει επακριβώς την εντατική κατάσταση (τάσεις) σε ένα σημείο μέσα στο υλικό στην παραμορφωμένη κατάσταση. Ο τανυστής συσχετίζει ένα μοναδιαίο διάνυσμα κατεύθυνσης n με το διάνυσμα των τάσεων T⁽ⁿ⁾ πάνω σε μία φανταστική επιφάνεια κάθετα στο n:

${𝐓}^{(𝐧)}=𝐧\cdot \mathit{\sigma }\text{or}{T}_j^{(n)}={\sigma }_{ij}{n}_i.$

όπου,

$\mathit{\sigma }=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right]\equiv \left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\sigma }_{xy}& {\sigma }_{xz}\\ {\sigma }_{yx}& {\sigma }_{yy}& {\sigma }_{yz}\\ {\sigma }_{zx}& {\sigma }_{zy}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right]\equiv \left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_z\end{array}\right]$

Ο τανυστής τάσεων Κωσύ υπακούει στο νόμο μετασχηματισμού τανυστών κάτω από αλλαγή στο σύστημα συντεταγμένων. Μια γραφική απεικόνιση αυτού του νόμου μετασχηματισμού, είναι ο κύκλος του Μορ για τις τάσεις.

Ο τανυστής τάσεων Κωσύ χρησιμοποιείται για ανάλυση τάσεων υλικών σωμάτων που υπόκεινται σε μικρές παραμορφώσεις. Είναι κεντρική ιδέα στη γραμμική θεωρία ελαστικότητας. Για μεγάλες παραμορφώσεις, που αποκαλούνται επίσης και πεπερασμένες παραμορφώσεις, απαιτούνται άλλου είδους μετρήσεις των τάσεων, όπως ο τανυστής τάσεων Πιόλα-Κίρχοφ, ο τανυστής τάσεων Μπιό και ο τανυστής τάσεων Κίρχοφ.

Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της γραμμικής ορμής, αν το συνεχές σώμα είναι σε στατική ισορροπία μπορεί να δειχτεί ότι οι συνιστώσες του τανυστής τάσεων Κωσύ σε κάθε υλικό σημείο του σώματος ικανοποιεί τις εξισώσεις ισορροπίας (εξισώσεις κίνησης του Κωσύ για μηδενική επιτάχυνση). Ταυτόχρονα, σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της στροφορμής, η ισορροπία απαιτεί το άθροισμα των ροπών σε ένα αυθαίρετο σημείο να είναι μηδέν, κάτι που οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο τανυστής τάσεων είναι συμμετρικός και συνεπώς έχει μόνο έξι ανεξάρτητες συνιστώσες τάσεων, αντί για τις αρχικές εννιά.

Υπάρχουν συγκεκριμένες αναλλοίωτες σχετικά με τον τανυστή τάσεων, των οποίων οι τιμές δεν εξαρτώνται από το σύστημα συντεταγμένων που επιλέγεται ή την επιφάνεια του στοιχείου πάνω στο οποίο εφαρμόζεται ο τανυστής τάσεων. Αυτές είναι οι τρεις ιδιοτιμές του τανυστή τάσεων, που αποκαλούνται κύριες τάσεις.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πρότυπο:Commonscat2

Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Μηχανική-επέκταση