Τοπολογική συζυγία

Στα μαθηματικά, δύο συναρτήσεις είναι τοπολογικώς συζυγείς μεταξύ τους εάν υπάρχει κάποιος ομοιομορφισμός ώστε να συζευχθεί η μια με την άλλη. Η τοπολογική συζυγία είναι σημαντική για τη μελέτη των επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων και γενικότερα των δυναμικών συστημάτων, δεδομένου ότι, αν η δυναμική μιας επαναλαμβανόμενης συνάρτησης μπορεί να λυθεί, τότε αυτό ισχύει ακολούθως και για οποιαδήποτε τοπολογικώς συζυγή συνάρτηση.

Για να φανεί αυτό άμεσα, ας υποθέσουμε ότι οι συναρτήσεις Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar είναι επαναλαμβανόμενες και ότι υπάρχει ένας ομοιομορφισμός Πρότυπο:Mvar τέτοιος ώστε οι Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar να είναι τοπολογικώς συζυγείς

$g=h^{-1}\circ f\circ h.$

Κατόπιν βέβαια κάποια πρέπει να υπάρχει

$g^n=h^{-1}\circ f^n\circ h$    (το συμβολο ○ δηλώνει την σύνθεση συναρτήσεων),

και έτσι οι επαναλαμβανόμενες συναρτήσεις είναι επίσης συζυγείς.

Ορισμός

Έστω ότι οι Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar είναι τοπολογικοί χώροι και έστω ότι οι $f:X\to X$ και $g:Y\to Y$ είναι συνεχείς συναρτήσεις. Τότε λέμε ότι η Πρότυπο:Mvar είναι τοπολογικώς ημισυζυγής στην Πρότυπο:Mvar εάν υπάρχει μια συνεχής και επί συνάρτηση $h:Y\to X$ τέτοια ώστε $f\circ h=h\circ g$.

Αν Πρότυπο:Mvar είναι ένας ομοιομορφισμός, μπορούμε να πούμε ότι οι Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar είναι τοπολογικώς συζυγείς και καλούμε τον Πρότυπο:Mvar ως τοπολογική συζυγία μεταξύ των Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar.

Ομοίως, μια ροή Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Mvar είναι τοπολογικά ημισυζυγής σε μια ροή Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Mvar, εάν υπάρχει μια συνεχής και επί συνάρτηση $h:Y\to X$ τέτοια ώστε $\phi (h(y),t)=h\psi (y,t)$ για κάθε $y\in Y,t\in ℝ.$ Αν Πρότυπο:Mvar είναι ένας ομοιομορφισμός, τότε οι Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar είναι τοπολογικώς συζυγείς.

Για παράδειγμα, η λογιστική τομή και η τομή τέντας είναι τοπολογικώς συζυγείς.

Τοπολογική ισοδυναμία

Μπορούμε να πούμε ότι δύο ροές Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar είναι τοπολογικώς ισοδύναμες, εάν υπάρχει ένας ομοιομορφισμός $h:Y\to X$, που χαρτογραφεί ομοιομορφικά τις τροχιές της Πρότυπο:Mvar στις τροχιές της Πρότυπο:Mvar, ενώ διατηρεί τον προσανατολισμό των τροχιών. Με άλλα λόγια, έστω ότι το $𝒪$ υποδηλώνει μια τροχιά, η οποία για κάθε $y\in Y$ έχει:

$h(𝒪(y,\psi ))=\{h(\psi (y,t)):t\in ℝ\}=\{\phi (h(y),t):t\in ℝ\}=𝒪(h(y),\phi )$

Επιπλέον, πρέπει κανείς να παρατάξει τη ροή του χρόνου, δηλαδή, για κάθε $y\in Y$, υπάρχει ένα $\delta >0$ έτσι ώστε, εάν $0<|s|<t<\delta$ και το Πρότυπο:Mvar είναι τέτοιο ώστε $\phi (h(y),s)=h(\psi (y,t))$, τότε το $s>0.$

Σε γενικές γραμμές, η τοπολογική ισοδυναμία είναι ασθενέστερο κριτήριο ισοδυναμίας από την τοπολογική συζυγία, καθώς δεν απαιτεί να χαρτογραφείται η έννοια του χρόνου μαζί με τις τροχιές και τον προσανατολισμό τους. Ένα παράδειγμα συστήματος με τοπολογική ισοδυναμία που δεν έχει τοπολογική συζυγία, μπορεί να είναι τα μη υπερβολικά δισδιάστατα συστημάτα διαφορικών εξισώσεων που έχουν κλειστές τροχιές. Ενώ οι τροχιές μπορούν να μετασχηματιστούν η μια στην άλλη, ώστε να επικαλύπτονται με τη χωρική έννοια, οι περίοδοι τέτοιων συστημάτων δεν μπορούν να συνδυάζονται με ανάλογο τρόπο, αποτυγχάνοντας έτσι να ικανοποιήσουν το κριτήριο της τοπολογικής συζυγίας ενώ ικανοποιούν το κριτήριο της τοπολογικής ισοδυναμίας.

Ομαλή και τροχιακή ισοδυναμία

Μπορούν να μελετηθούν περισσότερα κριτήρια ισοδυναμίας εάν οι ροές Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar προκύπτουν από διαφορικές εξισώσεις.

Δύο δυναμικά συστήματα που ορίζονται από τις διαφορικές εξισώσεις $x^{\prime }=f(x)$ και $y^{\prime }=g(y)$ λέγεται ότι είναι ομαλώς ισοδύναμα εάν υπάρχει ένας διαφορομορφισμός $h:X\to Y$ έτσι ώστε

$f(x)=M^{-1}(x)g(h(x))$   όπου   $M(x)=\frac{\mathrm{d}h(x)}{\mathrm{d}x}.$

Στην περίπτωση αυτή, τα δυναμικά συστήματα μπορούν να μετατραπούν το ένα στο άλλο με μετασχηματισμό συντεταγμένων $y=h(x).$

Δύο δυναμικά συστήματα σε χώρο ίδιας κατάστασης, που ορίζονται από το $x^{\prime }=f(x)$ και $x^{\prime }=g(x)$, λέγεται ότι είναι τροχιακώς ισοδύναμα εάν υπάρχει μια θετική συνάρτηση $\mu :X\to 𝐑$ έτσι ώστε $g(x)=\mu (x)f(x).$ Τα συστήματα με τροχιακή ισοδυναμία διαφέρουν μόνο ως προς την παραμετροποίηση του χρόνου.

Τα συστήματα που είναι ομαλώς ισοδύναμα ή τροχιακώς ισοδύναμα είναι και τοπολογικώς ισοδύναμα. Ωστόσο, το αντίστροφο δεν ισχύει. Για παράδειγμα, σκεφτείτε τα γραμμικά συστήματα δύο διαστάσεων της μορφής $x^{\prime }=Ax.$ Εάν ο πίνακας $A$ έχει δύο θετικές πραγματικές ιδιοτιμές, τότε το σύστημα έχει έναν ασταθή κόμβο. Εάν ο πίνακας $A$ έχει δύο πολύπλοκες ιδιοτιμές με θετικό πραγματικό μέρος, τότε το σύστημα έχει ασταθή εστίαση (ή είναι σπιράλ). Οι κόμβοι και οι εστίες έχουν τοπολογική ισοδυναμία, αλλά δεν έχουν ομαλή ή τροχιακή ισοδυναμία.

Γενικεύσεις των δυναμικών τοπολογικών συζυγιών

Υπάρχουν δύο αναφερόμενες επεκτάσεις της έννοιας της δυναμικής τοπολογικής συζυγίας:

• Τα ανάλογα συστήματα που ορίζονται ως ισομορφικά δυναμικά συστήματα
• Τα συνεχή συζυγή δυναμικά συστημάτα που ορίζονται μέσω συνεχών συζυγών συναρτητών και φυσικών ισοδυναμιών σε κατηγοριακή δυναμική.

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite web