Φόρμουλα Μπέικερ – Κάμπελ – Χάουσντορφ

Στα μαθηματικά, η φόρμουλα Μπέικερ – Κάμπελ – Χάουσντορφ είναι η λύση για $Z$ στην εξίσωση

$e^X{e}^Y=e^Z$

για πιθανώς μη αντιμεταθετικό Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar στην άλγεβρα Λι μιας ομάδας Λι . Υπάρχουν διάφοροι τρόποι γραφής του τύπου, αλλά όλοι τελικά δίνουν μια έκφραση για $Z$ με Λι αλγεβρικούς όρους, δηλαδή ως σειρά (όχι απαραίτητα συγκλίνουσα) στο $X$ και $Y$ και επαναλαμβάνοντας τους μεταγωγείς τους. Οι πρώτοι όροι αυτής της σειράς είναι:

$Z=X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+\frac{1}{12}[X,[X,Y]]-\frac{1}{12}[Y,[X,Y]]+\cdots ,$

που " $\cdots$ " υποδηλώνει όρους που περιλαμβάνουν υψηλότερους μεταγωγείς του $X$ και $Y$ . Αν $X$ και $Y$ είναι αρκετά μικρά στοιχεία της άλγεβρας Λι $𝔤$ μιας ομάδας Λι $G$, η σειρά είναι συγκλίνουσα. Εν τω μεταξύ, κάθε στοιχείο $g$ αρκετά κοντά στην ταυτότητα του $G$ μπορεί να εκφραστεί ως $g=e^X$ για ένα μικρό $X$ σε $𝔤$ . Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι κοντά στην ταυτότητα ο πολλαπλασιασμός της ομάδας $G$ - γραμμένος ως $e^X{e}^Y=e^Z$ - μπορεί να εκφραστεί με καθαρά αλγεβρικούς όρους Λι.

Αν $X$ και $Y$ είναι αρκετά μικρά $n\times n$ πίνακες, τότε $Z$ μπορεί να υπολογιστεί ως ο λογάριθμος του $e^X{e}^Y$, όπου τα εκθετικά και ο λογάριθμος μπορούν να υπολογιστούν ως σειρές ισχύος.

Οι σύγχρονες εκθέσεις του τύπου μπορούν να βρεθούν, μεταξύ άλλων, στα βιβλία των Ρόσμαν και Χαλ.