Διακρίνουσα βάσης

Πρότυπο:Ορφανό Έστω $K=\mathbb{Q}(\theta )$ αριθμητικό σώμα βαθμού n και $a_1,..a_n$ μια βάση αυτού ως $\mathbb{Q}$ διανυσματικός χώρος. Ακόμα έστω $r_1,..,r_n{r}_i\ne r_j$ οι ρίζες του $Irr(\theta ,\mathbb{Q})$ στο $ℂ$ και ${\sigma }_i:K\to ℂ$ οι n διακεκριμένοι μονομορφισμοί από το Κ στο $ℂ$ όπου ${\sigma }_i(\theta )=r_i$. Κάνοντας χρήση των ${\sigma }_i$ σχηματίζουμε τον ακόλουθο πίνακα :

$A=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_1(a_1)& ...& {\sigma }_1(a_n)\\ {\sigma }_2(a_1)& ...& {\sigma }_2(a_n)\\ ...& ...& ...\\ {\sigma }_n(a_1)& ...& {\sigma }_n(a_n)\end{array}\right]$

Ως διακρίνουσα της βάσης (Basis discriminant) $a_1,..a_n$ του αριθμητικού σώματος Κ ορίζουμε το μιγαδικό αριθμό $\mathrm{\Delta }(a_1,..,a_n)=(det(A){)}^2$.

Παραδείγματα

• Έστω $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ και η $\{1,\sqrt{2}\}$ μια βάση αυτού ως $\mathbb{Q}$ διανυσματικού χώρου. Οι ρίζες του $Irr(\sqrt{2},\mathbb{Q})=x^2-2$ είναι οι $\pm \sqrt{2}$ οπότε οι δύο μονομορφισμοί από το $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ στο $ℂ$ είναι οι

${\sigma }_1(\sqrt{2})=\sqrt{2}$ και ${\sigma }_2(\sqrt{2})=-\sqrt{2}$

οπότε είμαστε πλέον σε θέση να υπολογίσουμε την διακρίνουσα της βάσης $\{1,\sqrt{2}\}$ του αριθμητικού σώματος $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Έχουμε λοιπόν ότι ${\mathrm{\Delta }}_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}(1,\sqrt{2})=(det\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_1(1)& {\sigma }_1(\sqrt{2})\\ {\sigma }_2(1)& {\sigma }_2(\sqrt{2})\end{array}\right]{)}^2=(det\left[\begin{array}{cc}1& \sqrt{2}\\ 1& -\sqrt{2}\end{array}\right]{)}^2=(-2\sqrt{2}{)}^2=8$