Αλγεβρικό στοιχείο

Πρότυπο:Πηγές Έστω $K/L$ επέκταση σωμάτων. Ένα στοιχείο $k\in K$ καλείται αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το $L$ (algebraic element over L) αν είναι ρίζα ενός μη μηδενικού πολυωνύμου με συντελεστές από το $L$, δηλαδή $a_n{k}^n+a_{n-1}{k}^{n-1}+...a_{1}k+a_0=0$ όπου $a_i\in L$ και τουλάχιστον ένα από αυτά είναι διάφορο του μηδενός.

Αν δεν υπάρχει τέτοιο πολυώνυμο, τότε το $k$ καλείται υπερβατικό στοιχείο πάνω από το $L$ (transcedental element over L).

Οι έννοιες του αλγεβρικού αριθμού και του υπερβατικού αριθμού είναι ειδικές περιπτώσεις των προαναφερθεισών εννοιών του αλγεβρικού και υπερβατικού στοιχείου πάνω από ένα σώμα $L$ αντίστοιχα, όπου $K=ℂ$ και $L=\mathbb{Q}$.

Παραδείγματα

• Ο $\sqrt{2}$ είναι αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το $\mathbb{Q}$ καθώς είναι ρίζα του πολυωνύμου $p(t)=t^2-2\in \mathbb{Q}[t]$.

• Η φανταστική μονάδα i είναι αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το $\mathbb{Q}$ καθώς είναι ρίζα του πολυωνύμου $p(t)=t^2+1\in \mathbb{Q}[t]$.

• Ο π είναι υπερβατικός αριθμός αλλά αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το $ℝ$.