Ταυτοτική συνάρτηση

Στα μαθηματικά, ταυτοτική συνάρτηση (ή ταυτοτική απεικόνιση) λέγεται η συνάρτηση που αντιστοιχεί κάθε στοιχείο στον εαυτό της. Πιο συγκεκριμένα, για ένα σύνολο $S$, η ταυτοτική συνάρτηση στο $S$ είναι η συνάρτηση ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S:S\to S$, η οποία ικανοποιεί για κάθε στοιχείο $x\in S$, ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S(x)=x$.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Η ονομασία ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S$ είναι συντομογραφία της λατινικής λέξης identity που σημαίνει ταυτότητα. Όταν το σύνολο $S$ είναι ξεκάθαρο από τα συμφραζόμενα, μπορεί να παραληφθεί, και η συνάρτηση γράφετε ως $\mathrm{i}\mathrm{d}$.Πρότυπο:Rp

Παραδείγματα

• Για τους φυσικούς αριθμούς, η ταυτοτική συνάρτηση ικανοποιεί ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\mathbb{N}}(1)=1,{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\mathbb{N}}(2)=2,{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\mathbb{N}}(3)=3,\dots$.
• Για το πεπερασμένο σύνολο $S=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}$, η ταυτοτική συνάρτηση δίνεται από ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S(\alpha )=\alpha ,{\mathrm{i}\mathrm{d}}_S(\beta )=\beta ,{\mathrm{i}\mathrm{d}}_S(\gamma )=\gamma ,{\mathrm{i}\mathrm{d}}_S(\delta )=\delta$.

Ιδιότητες

• Η συνάρτηση είναι επί, καθώς για κάθε στοιχείο $s\in S$, ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S(s)=s$.Πρότυπο:Rp
• Η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, καθώς καθώς αν για δύο στοιχεία $s_1,s_2\in S$ έχουμε ότι ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_S(s_1)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_S(s_2)$, τότε $s_1=s_2$.
• Έστω $X$ και $Y$ δύο σύνολα και $X\to Y$ το σύνολο όλων των συναρτήσεων από το $X$ στο $Y$. Η συνάρτηση ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$ είναι η δεξιά αντίστροφη ως προς τη σύνθεση συνάρτησης, καθώς για κάθε συνάρτηση $f\in X\to Y$, ισχύει ότι για κάθε $x\in X$

$(f\circ {\mathrm{i}\mathrm{d}}_X)(x)=f({\mathrm{i}\mathrm{d}}_X(x))=f(x)$.

Αντίστοιχα, η συνάρτηση ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$ είναι η αριστερή αντίστροφη.Πρότυπο:R

• Επομένως, έπεται ότι η ταυτοτική συνάρτηση έχει ως αντίστροφο τον εαυτό της.Πρότυπο:Rp
• Η ταυτοτική συνάρτηση στους πραγματικούς αριθμούς ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{ℝ}$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη.Πρότυπο:R