Σταθερή συνάρτηση

Στα μαθηματικά, σταθερή συνάρτηση ονομάζεται μία συνάρτηση που λαμβάνει την ίδια τιμή ανεξάρτητα από την τιμή εισόδου. Πιο συγκεκριμένα, είναι μία συνάρτηση $f:X\to Y$ (δηλαδή από το σύνολο $X$ στο σύνολο $Y$), για την οποία υπάρχει κάποιο $c\in Y$, ώστε για κάθε $x\in X$ έχουμε ότι $f(x)=c$.Πρότυπο:Rp

Ο ίδιος ορισμός με σύμβολα γράφετε ως εξής:

$\mathrm{\exists }c\in Y.\mathrm{\forall }x\in X.f(x)=c$.

Παραδείγματα

• Η συνάρτηση $f:ℝ\to ℝ$ με $f(x)=\pi =3.14\dots$ για κάθε πραγματικό αριθμό $x\in ℝ$, είναι μία σταθερή συνάρτηση.
• Η συνάρτηση $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ με $f(x)=2$ για κάθε φυσικό αριθμό $x\in \mathbb{N}$ είναι μία σταθερή συνάρτηση.
• Η συνάρτηση (ή ακολουθία) $f:\mathbb{N}\to ℝ$ με $f(x)=\pi =3.14\dots$ για κάθε $x\in \mathbb{N}$ είναι μία σταθερή συνάρτηση.Πρότυπο:Rp
• Για τα σύνολα $S_1=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}$ και $S_2=\{1,2,3\}$, η συνάρτηση $f=\{\alpha \mapsto 3,\beta \mapsto 3,\gamma \mapsto 3,\delta \mapsto 3\}$ είναι σταθερή.
• Η μηδενική συνάρτηση $f:ℝ\to ℝ$ ικανοποιεί $f(x)=0$ για κάθε $x\in ℝ$.Πρότυπο:R
• Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ομοιόμορφης κατανομής είναι σταθερή.Πρότυπο:Rp

Ιδιότητες

• Η εικόνα μίας σταθερής συνάρτησης $f:X\to Y$, με $f(x)=c$ για κάθε $x\in X$, είναι το σύνολο ${ℛ}_f=\{c\}$. Από αυτό προκύπτει ότι η $f$ είναι επί ανν το σύνολο $Y$ περιέχει μόνο το $c$, δηλαδή $Y=\{c\}$.Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp
• Κάθε σταθερή συνάρτηση στους πραγματικούς είναι συνεχής,Πρότυπο:R παραγωγίσιμηΠρότυπο:Rp και περιοδική συνάρτηση.Πρότυπο:R
• Η σταθερή συνάρτηση είναι η μόνη συνάρτηση στους πραγματικούς, που είναι και αύξουσα και φθίνουσα.Πρότυπο:R
• Κάθε σταθερή συνάρτηση στους φυσικούς αριθμούς είναι τετριμμένα υπολογίσιμη.Πρότυπο:Rp